ใน ปีที่ผ่านมาวิธีการวิเคราะห์ทางสถิติ การประมาณค่า และการควบคุมระบบสุ่มที่เหมาะสมที่สุดโดยอาศัยผลลัพธ์ของทฤษฎีกระบวนการมาร์คอฟแพร่หลายมากขึ้น เนื้อหาในส่วนนี้กล่าวถึงการประยุกต์ใช้วิธีการจากทฤษฎีกระบวนการมาร์คอฟสำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติของระบบสุ่มเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

สมการฟอกเกอร์ - พลังค์ - โคลโมโกรอฟในทฤษฎีของกระบวนการมาร์คอฟนั้นจะได้รับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนของประเภทพาราโบลาสำหรับความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (การเปลี่ยนผ่าน) และแบบไม่มีเงื่อนไขของกระบวนการมาร์คอฟแบบต่อเนื่อง x(ท)นำไปใช้กับกระบวนการสเกลาร์มาร์คอฟ เอ็กซ์(ที)สมการความหนาแน่น , เรียกว่าสมการฟอกเกอร์-พลังค์-โคลโมโกรอฟ (FPK) มีรูปแบบดังนี้

ฟังก์ชั่น ก(x, t)และข(x, เสื้อ)เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์การดริฟท์และการแพร่กระจายของกระบวนการมาร์คอฟตามลำดับ x(ท)

ในกรณีหลายมิติ สมการ เอฟเคสำหรับกระบวนการเวกเตอร์มาร์คอฟ x(เสื้อ)ประกอบด้วย nส่วนประกอบ , เขียนดังนี้:

ที่ไหน - เวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ดริฟท์ -เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์การแพร่ของกระบวนการเวกเตอร์ x(ท)

การบูรณาการสมการ FPC สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด , มีความเป็นไปได้ที่จะกำหนดความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของกระบวนการมาร์คอฟที่กำลังพิจารณาในเวลาต่อมา

สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มท่ามกลางกระบวนการมาร์คอฟต่อเนื่องต่างๆ ในปัญหาเชิงปฏิบัติ ที่เรียกว่ากระบวนการมาร์คอฟการแพร่กระจาย การเปลี่ยนแปลงในเวลาซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ

เสียงสีขาวมาตรฐานอยู่ที่ไหน

สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม

สมการของแบบฟอร์ม (2.53) สามารถเขียนได้โดยตรงสำหรับระบบไดนามิกที่กำลังศึกษาอยู่ หากการดำเนินการอินพุตแบบสุ่มของระบบนี้สามารถประมาณได้ด้วยเสียงสีขาวมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ระบบมิติเดียวที่ประกอบด้วยการเชื่อมโยงการบูรณาการ 1/หน้า,ครอบคลุมด้วยการตอบรับแบบไม่เชิงเส้น ฉ(x)ขึ้นอยู่กับสัญญาณรบกวนสีขาวที่อินพุต สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มลำดับที่หนึ่ง

เมื่อใช้วิธีการสร้างตัวกรอง สมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบที่สัมผัสกับสัญญาณรบกวนสีสามารถลดลงได้ในรูปแบบ (2.53)

ตัวอย่าง.ให้อธิบายระบบไดนามิกที่กำลังศึกษาด้วยฟังก์ชันถ่ายโอนของลิงก์อะคาเดียน

อิทธิพลภายนอก - กระบวนการสุ่มที่มีความหนาแน่นของสเปกตรัม

ได้รับ ถึงเป็นตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียนที่แสดงคุณลักษณะด้วยพารามิเตอร์ ม.เคและ ดีเค

เพื่ออธิบายระบบนี้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม เราจะเขียนความสัมพันธ์ (2.54) ใหม่ในรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบปกติ:

ให้เรารวมสมการสุดท้ายเข้ากับสมการตัวกรองรูปร่าง , ได้รับก่อนหน้านี้ [ดู สูตร (2.30")].

และสมการตัวกรองรูปร่างสำหรับพารามิเตอร์สุ่ม

เป็นผลให้เราได้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มของรูปแบบ (2.53) ซึ่งอธิบายระบบไดนามิกที่กำลังพิจารณา ซึ่งกระบวนการสุ่มเวกเตอร์ x(เสื้อ)การรวมตัวแปรเป็นส่วนประกอบ ใช่ x 1และ ถึง,เป็นกระบวนการมาร์คอฟแบบแพร่กระจาย ส่วนประกอบของฟังก์ชันเวกเตอร์ ฉ T (x, t) - n เข้าในกรณีนี้จะเท่ากัน

เสียงสีขาวเป็นกระบวนการสุ่มแบบสเกลาร์ เพราะใน; ทางด้านขวามือของสมการ (2.56) และ (2.57) มีอิทธิพลสุ่มภายนอกเหมือนกัน และ

คำถามเกิดขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์การดริฟท์แสดงออกมาอย่างไร? ก(x, t)และการแพร่กระจาย ข(x, t),รวมอยู่ในสมการ FPC (2.51) หรือ (2.52) อธิบายการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่น พี(x, ที)การแจกแจงความน่าจะเป็นของกระบวนการมาร์คอฟการแพร่ x(เสื้อ)ผ่าน ฉ(x, ที)และ ? ขึ้นอยู่กับคำตอบของคำถามนี้ สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มของ Ito และ Stratonovich มีความโดดเด่น ในสมการ Ito ในกรณีสเกลาร์ ค่าสัมประสิทธิ์การดริฟท์และการแพร่กระจายจะเท่ากันตามลำดับ ฉ(x, ที)และ . สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มของ Stratonovich ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ *(* Dimentberg M.F. ปัญหาสุ่มแบบไม่เชิงเส้นของการสั่นสะเทือนทางกล M.: Nauka, 1980. 368 pp.)

เวอร์ชันเฉพาะของการตีความสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่ใช้นั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของระบบทางกายภาพที่กำลังวิเคราะห์

ในกรณีที่แพร่หลายที่สุดที่จะกล่าวถึงต่อไปในบทนี้ เมื่อไม่ได้ขึ้นอยู่กับ เอ็กซ์,การแก้ไขความผันผวนของค่าสัมประสิทธิ์การดริฟท์ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มของ Stratonovich หายไปและการตีความทั้งสองนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน

เป็นการยากที่จะบูรณาการสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนของประเภทพาราโบลาในเชิงวิเคราะห์และแม้กระทั่งเชิงตัวเลข เช่น สมการ FPC โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่มิติของเวกเตอร์ เอ็กซ์ยอดเยี่ยม. เฉพาะในกรณีมิติเดียวและสองมิติบางกรณีเท่านั้นที่เป็นไปได้ที่จะหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ของสมการนี้ ซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มของระบบไม่เชิงเส้น อย่างไรก็ตาม แต่ละวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวเป็นที่สนใจอย่างมาก เนื่องจากเป็นคุณลักษณะที่สมบูรณ์ที่สุดของความแม่นยำของระบบ ทำให้สามารถประเมินความแม่นยำของโซลูชันที่ได้รับโดยใช้วิธีการโดยประมาณ - การคำนวณ เช่น โดยใช้วิธีการเชิงเส้นตรงทางสถิติ

ข้าว. 2.1. ระบบไม่เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง

ดังนั้นคำตอบคงที่ของสมการ FPC ที่สอดคล้องกับ ระบบไม่เชิงเส้นลำดับแรกดังแสดงในรูป 2.4 สำหรับ พี(เอ็กซ์,∞)=p st (x) คือนิพจน์

โดยค่าคงที่การอินทิเกรต กับถูกเลือกจากสภาวะการทำให้เป็นมาตรฐาน . ในกรณีที่อยู่กับที่ ระบบเชิงเส้นที่ ฉ(x) -- เอ็กซ์จาก (2.60) เราจะได้ความหนาแน่นแบบเกาส์เซียน - หากข้อเสนอแนะมีรีเลย์ที่มีระดับความอิ่มตัว เอ,ที่

ความหนาแน่น (2.61) สอดคล้องกับ และ .

สมการสำหรับโมเมนต์ของกระบวนการแพร่การประยุกต์ใช้สมการ FPC หลักในการวิเคราะห์นิรนัยเกี่ยวกับความแม่นยำของระบบคือการได้รับความช่วยเหลือจากสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับเวกเตอร์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็มเอ็กซ์(ที)และเมทริกซ์สหสัมพันธ์ เคเอ็กซ์(ที)เวกเตอร์เฟสของระบบมาร์คอฟการแพร่ สมการเหล่านี้จะออกมาแน่นอนหากสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (2.53) เป็นแบบเส้นตรง และเป็นแบบประมาณในกรณีของสมการไม่เชิงเส้น (2.53)

เพื่อให้ได้สมการ FPC จากสมการและในกรณีที่เมื่อใด เอ็กซ์(ที)- กระบวนการสเกลาร์คูณ (2.51) ด้วย เอ็กซ์และอินทิเกรตทั้งสองด้านบนตัวแปรนี้เหนือขีดจำกัดอนันต์ แล้วเราก็ได้

ทางซ้ายในสมการ (2.62) เรามี

และเราคำนวณอินทิกรัลทางด้านขวาโดยใช้วิธีอินทิกรัลทีละส่วนและคำนึงถึงเงื่อนไขขอบเขต ผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นดังนี้:

สมการสำหรับการกระจายตัว ดีเอ็กซ์ได้จากการคูณด้านซ้ายและขวาของ (2.51) ด้วยแล้วอินทิเกรตเข้ากับตัวแปร เอ็กซ์ภายในขอบเขตอันไม่มีที่สิ้นสุด ส่งผลให้เราได้

ความสัมพันธ์ (2.64) - (2.65) สร้างการเชื่อมโยงระหว่างอนุพันธ์ตามเวลาของ ม.เอ็กซ์และ ดีเอ็กซ์กระบวนการแพร่กระจาย เอ็กซ์(ที)และความหนาแน่นของการกระจายตัว พี(x, ท).ไม่พบเลย เอ็มเอ็กซ์(ที)และ ดีเอ็กซ์(ที)ถ้าความหนาแน่น พี(x, ที)ไม่ทราบ

สมการของโมเมนต์ในระบบเชิงเส้นถ้าค่าสัมประสิทธิ์การดริฟท์ ฉ(x, ที)ทางด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (2.57) - เชิงเส้นเทียบกับ เอ็กซ์,เช่น. ฉ(x,t)=ก(เสื้อ)x + ข(t),จากนั้นความสัมพันธ์ (2.64) และ (2.65) จะกลายเป็นสมการ ม.เอ็กซ์และ ดีเอ็กซ์,นั่นคือพวกเขาจะถอนตัวออกไป ในกรณีนี้จริงๆ

ดังนั้นสำหรับระบบมาร์คอฟเชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง

การบูรณาการสมการ (2.66) และ (2.67) ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ม. x (เสื้อ 0)และ ดีเอ็กซ์(t0)ช่วยให้คุณตัดสินใจได้ เอ็มเอ็กซ์(ที)และ ดีเอ็กซ์(ที)

หากระบบที่พิจารณาอยู่นิ่งและมั่นคงและจำเป็นต้องมี ม.เอ็กซ์และ ดีเอ็กซ์ในสภาวะคงตัว ปริมาณเหล่านี้สามารถหาได้จากสมการพีชคณิต

เนื่องจากอยู่ในสภาวะคงที่สำหรับระบบดังกล่าวและ

ในกรณีหลายมิติ สมการสำหรับ เสื้อและ เคเอ็กซ์กลายเป็นดังนี้:

สมการเวกเตอร์ (2.69) ของมิติ nร่วมกับสมการเมทริกซ์ (2.70) ของมิติ พี×พีเรียกว่าระบบสมการสหสัมพันธ์ ระบบ (2.69) และ (2.70) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแต่ละระบบ ดังนั้นจึงสามารถรวมระบบแยกกันได้ เมื่อพิจารณาถึงความสมมาตรของเมทริกซ์ เคเอ็กซ์เพื่อกำหนดมันก็เพียงพอแล้วที่จะบูรณาการ n(n+1)/2สมการสำหรับโมเมนต์ความแปรปรวนร่วมต่างๆ เคเอ็กซ์เงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับ (2.69) และ (2.70) เป็นเวกเตอร์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม. x (เสื้อ 0)และเมทริกซ์สหสัมพันธ์ K x (เสื้อ 0)เวกเตอร์เฟส x(t0)ในช่วงเวลาเริ่มต้น

หากระบบมาร์คอฟเชิงเส้นที่กำลังศึกษาอยู่นิ่งและเสถียรและสิ่งที่จำเป็นคือ เสื้อและ เคเอ็กซ์ในสภาวะคงตัวก็สามารถหาได้จากระบบสมการพีชคณิต

หนึ่งในโซลูชั่นคือการบูรณาการระบบที่เกี่ยวข้องเข้าด้วยกัน สมการเชิงอนุพันธ์(2.69) และ (2.70) สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดโดยพลการ การบรรจบกันของโซลูชันทำให้มั่นใจได้ด้วยความเสถียรของระบบไดนามิกที่กำลังศึกษาอยู่

สมการโดยประมาณสำหรับการหาโมเมนต์ของกระบวนการแพร่ในระบบไม่เชิงเส้นเพื่อให้ได้ระบบสมการปิดโดยประมาณจาก (2.64) และ (2.65) ในกรณีทั่วไปของค่าสัมประสิทธิ์ดริฟท์ไม่เชิงเส้น ฉ(x, ที)สมมติว่ามีความหนาแน่น พี(x, ที)การแจกแจงความน่าจะเป็นของเวกเตอร์เฟสคือแบบเกาส์เซียน ที่ พี(x, t) =พี Г (x, t)สามารถคำนวณอินทิกรัลทางด้านขวามือของความสัมพันธ์ (2.64) และ (2.65) ได้ ฟังก์ชั่นผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับ เอ็มเอ็กซ์(ที)และ ดีเอ็กซ์(ที)อธิบาย พี Г (x, t):

การแทนที่ (2.73) และ (2.74) ลงใน (2.64) และ (2.65) เราจะได้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบไม่เชิงเส้นสองสมการ:

บูรณาการระบบนี้เพื่อให้ ม. x (เสื้อ 0)และ ดีเอ็กซ์(t0)ช่วยให้คุณค้นหา เอ็มเอ็กซ์(ที)และ ดีเอ็กซ์(ที)กล่าวคือ แก้ปัญหาโดยประมาณของการวิเคราะห์ทางสถิติของระบบไม่เชิงเส้นที่กำลังพิจารณา สำหรับความไม่เชิงเส้น "ทั่วไป" ฉ(x)สูตรสำหรับ ฉ 0 (ม.x , ลx)และ K(ม x , ลึก x)สามารถนำมาจากตารางนิพจน์สำหรับค่าสัมประสิทธิ์เชิงเส้นตรงทางสถิติ

ตัวอย่าง.อนุญาต ฉ(x)ใน (2.53) คือลักษณะเฉพาะของรีเลย์ ฉ(x)=-กเข้าสู่ระบบ (x).

สำหรับความไม่เชิงเส้นนี้ ฉ (ดูตัวอย่างในส่วนที่ 1.1) และ

สมการสำหรับ ม.เอ็กซ์และ ดีเอ็กซ์ในระบบดังกล่าวก็มีรูปแบบ

ค่าสถานะคงตัวและได้รับโดยการตั้งค่า และ

เรามี - เมื่อเปรียบเทียบค่าโดยประมาณกับค่าที่แน่นอนที่ได้รับก่อนหน้านี้โดยการแก้สมการ FPC เราจะเห็นว่าสมมติฐานของการแจกแจงแบบเกาส์เซียน พี(เอ็กซ์)ในระบบไม่เชิงเส้นที่พิจารณาซึ่งมีรีเลย์ในการป้อนกลับทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการกระจายเท่ากับ 22%

ในกรณีหลายมิติ เวกเตอร์ เอ็มเอ็กซ์(ที)และเมทริกซ์สหสัมพันธ์ เคเอ็กซ์(ที)สามารถพบได้จากการบูรณาการร่วมกันของสองระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ฟังก์ชันเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นอนุพันธ์ย่อยของส่วนประกอบของฟังก์ชันเวกเตอร์เทียบกับส่วนประกอบเวกเตอร์ เสื้อ

หากระบบที่ศึกษามีเพียงการเชื่อมโยงเชิงเส้นและความไม่เป็นเชิงเส้นที่มีนัยสำคัญมิติเดียวทั่วไป จะสะดวกในการสร้างระบบความสัมพันธ์ของรูปแบบ (2.76) โดยใช้ร่วมกันเชิงเส้นทางสถิติของการเชื่อมโยงที่ไม่เชิงเส้นและระบบความสัมพันธ์ของสมการ (2.69) - (2.70) สำหรับระบบเชิงเส้นตรงเชิงสถิติ

เมื่อการเคลื่อนที่แบบควบคุมของเครื่องบินถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มไม่เชิงเส้น ซึ่งทางด้านขวามือประกอบด้วยความไม่เชิงเส้นหลายมิติที่ราบรื่น การวิเคราะห์โดยประมาณของความแม่นยำของการเคลื่อนที่ดังกล่าวจะง่ายขึ้นอย่างมากเมื่อเทียบกับการใช้สมการโดยตรง (2.76) หากเราใช้สิ่งที่เรียกว่าระบบสมการสหสัมพันธ์เสมือนเสมือน เมื่อรวบรวมระบบดังกล่าว การเคลื่อนไหวทั้งหมดของระบบที่กำลังศึกษาจะแบ่งออกเป็นสองการเคลื่อนไหว: ปานกลางและตกอกตกใจ เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่โดยเฉลี่ยซึ่งแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงในความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของส่วนประกอบของเวกเตอร์เฟส สมการไม่เชิงเส้นของระบบจะถูกนำมาใช้กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ของเงื่อนไขเริ่มต้นและอิทธิพลภายนอก เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ที่ถูกรบกวนซึ่งระบุลักษณะการเบี่ยงเบนแบบสุ่มของส่วนประกอบของเวกเตอร์เฟสจากค่าเฉลี่ย สมการเชิงเส้นจะถูกใช้ และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะถูกใช้เป็นค่าอ้างอิงสำหรับการทำให้เป็นเส้นตรง พิกัดเฟสในเวลาที่เหมาะสม

ตัวอย่าง.ให้เราพิจารณาปัญหาของการลงมาของขีปนาวุธของเครื่องบิน เช่น การลงโดยไม่มีแรงยกในชั้นบรรยากาศของโลก การเคลื่อนที่ตามยาวของยานพาหนะอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น

จำเป็นต้องประมาณการกระจายตัวของวิถียานพาหนะ โดยถือว่าตัวแปรสุ่ม วีθ, เอ็นและ ลในขณะนี้ เสื้อ 0จุดเริ่มต้นของการสืบเชื้อสาย; ค่าคงที่ R, C x, S, tและ กรัมและการพึ่งพาอาศัยกันเป็นเลขชี้กำลัง , ที่ไหน .

ให้เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ของอุปกรณ์ใหม่ในรูปแบบของสมการเวกเตอร์

ลองจินตนาการถึงเวกเตอร์เฟส เอ็กซ์ในรูปแบบ x=t x +Δx,และฟังก์ชันเวกเตอร์ไม่เชิงเส้น ฉ(x, ที)ทำให้เป็นเส้นตรงในบริเวณใกล้เคียง x=เสื้อ x:

โดยที่เมทริกซ์ 4×4 ของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเวกเตอร์อยู่ที่ไหน ฉ(x, ที)โดยส่วนประกอบเวกเตอร์ เอ็กซ์,คำนวณที่ x=txเราได้สมการ

ซึ่งจากผลของการหาค่าเฉลี่ย เราจะหาสมการของเวกเตอร์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้โดยตรง

มีลักษณะคล้ายกับ (2.77) เมื่อลบ (2.79) จาก (2.78) เราจะได้สมการเชิงเส้นตรงของการเคลื่อนที่ที่ถูกรบกวน

บนพื้นฐานของที่เราเขียนสมการสำหรับเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของเวกเตอร์เฟส

การอินทิเกรตร่วมของสมการ (2.80) และ (2.81) เข้าด้วยกันทำให้เกิดระบบสมการกึ่งสัมพันธ์ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด เสื้อ x (เสื้อ 0)และ เคเอ็กซ์(t0)ช่วยให้คุณตัดสินใจได้ เสื้อ x (เสื้อ)และ เคเอ็กซ์(ที)ในเวลาต่อมา ความแม่นยำของการแก้ปัญหาถูกกำหนดโดยความแม่นยำของการประมาณของฟังก์ชันเวกเตอร์โดยการพึ่งพาเชิงเส้นสำหรับค่าเบี่ยงเบนสุ่มเหล่านั้น ∆x(t)เวกเตอร์เฟส x(เสื้อ)ซึ่งเกิดขึ้นในปัญหาที่กำลังพิจารณาสำหรับคุณลักษณะทางสถิติที่กำหนดของเงื่อนไขเริ่มต้นแบบสุ่ม

2.6. วิธีการสร้างแบบจำลองทางสถิติ (มอนติคาร์โล)

วิธีการสร้างแบบจำลองทางสถิติเป็นวิธีสากลในการวิเคราะห์ทางสถิติของระบบสุ่ม (เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น คงที่และไม่คงที่) ขึ้นอยู่กับอิทธิพลของปัจจัยสุ่ม ประเภทต่างๆด้วยคุณสมบัติทางสถิติตามอำเภอใจ ในวรรณคดี วิธีการนี้เรียกอีกอย่างว่าวิธีทดสอบทางสถิติหรือวิธีมอนติคาร์โล

พื้นฐานของวิธีการสร้างแบบจำลองทางสถิติคือกฎของจำนวนจำนวนมากซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์ของการหาค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับปัจจัยสุ่ม (เหตุการณ์ ปริมาณ กระบวนการ หรือสนาม) ซึ่งคำนวณโดย nการนำไปปฏิบัติสิ้นสุดการสุ่มและถือได้ว่าเป็นการประเมินลักษณะที่สอดคล้องกันของปัจจัยที่กำลังพิจารณา โดยเฉพาะตามทฤษฎีบท เบอร์นูลลี่ ณ จำนวนมากการทดลอง (การรับรู้) ความถี่ของเหตุการณ์สุ่มเข้าใกล้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ มีทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับคุณลักษณะทางสถิติของตัวแปรสุ่ม กระบวนการ และฟิลด์

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์นิรนัยของความแม่นยำของระบบสุ่มวิธีการสร้างแบบจำลองทางสถิติประกอบด้วยการดำเนินการทดลองทางสถิติบนคอมพิวเตอร์ที่จำลองการทำงานของระบบภายใต้การศึกษาภายใต้อิทธิพลของปัจจัยสุ่มและในการประมวลผลผลลัพธ์ที่ได้รับในภายหลัง ในการทดลองเหล่านี้โดยใช้วิธีทางสถิติทางคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดลักษณะทางสถิติที่สอดคล้องกัน

เทคนิคการสร้างแบบจำลองทางสถิติ ขั้นตอนแรกของการเตรียมการสำหรับการสร้างแบบจำลองทางสถิติของระบบสุ่มคือการเลือกประเภทของคอมพิวเตอร์ (คอมพิวเตอร์ดิจิทัล AVM หรือคอมเพล็กซ์แอนะล็อกดิจิทัล) ที่แนะนำให้ทำการสร้างแบบจำลอง โดยคำนึงถึงความซับซ้อนของระบบที่กำลังศึกษา ลักษณะและจำนวนของความไม่เชิงเส้นภายใน ความเร็วของกระบวนการในส่วนต่างๆ (ลิงก์) ของระบบ ชนิดและคุณลักษณะของการรบกวนแบบสุ่มที่กระทำต่อระบบ และปัจจัยอื่นๆ .

มีความชัดเจนถึงความเป็นไปได้ในการใช้การขยายมาตรฐานของกระบวนการสุ่มที่ดำเนินการกับระบบที่กำลังศึกษาอยู่ หากทุกคนรู้จักการขยายตัวดังกล่าว ฟังก์ชั่นสุ่มเมื่อพิจารณาในระบบแล้ว การสร้างแบบจำลองของระบบสามารถทำได้ง่ายขึ้นอย่างมาก เนื่องจากในกรณีนี้ ในระหว่างการสร้างแบบจำลอง จำเป็นต้องได้รับการตระหนักถึงตัวแปรสุ่มเท่านั้น (เงื่อนไขเริ่มต้น พารามิเตอร์ของระบบ และค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตามรูปแบบบัญญัติ)

สถานการณ์ทั่วไปและซับซ้อนมากขึ้นคือเมื่อการรบกวนของระบบรวมถึงกระบวนการสุ่มซึ่งไม่ทราบการขยายตามรูปแบบบัญญัติ ในกรณีนี้สมการที่อธิบายระบบไดนามิกที่กำลังศึกษาจะลดลงเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มในรูปแบบปกติของแบบฟอร์ม

โดยที่ λ เป็นเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ระบบสุ่ม - เวกเตอร์เสียงสีขาว เวกเตอร์ของเงื่อนไขเริ่มต้น x(t0)ยังสามารถสุ่มได้

การรบกวนแบบสุ่มบางอย่างที่เกิดขึ้นกับระบบอาจไม่ใช่สัญญาณรบกวนสีขาว สำหรับกระบวนการดังกล่าว จำเป็นต้องเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ของตัวกรองรูปร่าง เมื่อทำการสร้างแบบจำลอง ควรรวมสมการเหล่านี้เข้ากับสมการของระบบ (2.82)

ต่อไปจะรวบรวมโปรแกรมบูรณาการบนคอมพิวเตอร์ดิจิทัลของระบบ (2.82) ร่วมกับสมการตัวกรองการขึ้นรูปหรือโครงร่างแบบจำลองสำหรับคอมพิวเตอร์ดิจิทัล องค์ประกอบลักษณะของโปรแกรมคือบล็อกที่ให้การใช้งานปัจจัยสุ่มที่พิจารณาในระบบ

การรับการใช้งานตัวแปรสุ่มบนคอมพิวเตอร์เมื่อสร้างแบบจำลองปัญหาบน AVM และบางครั้งบนคอมพิวเตอร์ดิจิทัล การใช้งานตัวแปรสุ่มจะถูกระบุโดยใช้ตารางตัวเลขสุ่ม ตารางที่แพร่หลายที่สุดคือตารางตัวเลขสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ (เกาส์เซียน) และการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ ตารางตัวเลขสุ่มแบบแจกแจงแบบปกติประกอบด้วยการใช้งานตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียนที่สอดคล้องกับ และ โดยการนำตัวเลขจากตารางนี้ การใช้งานตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียนที่มีลักษณะเฉพาะและคำนวณโดยใช้สูตร

ตารางตัวเลขที่แจกแจงสม่ำเสมอประกอบด้วยการรับรู้ที่เป็นไปตามรูปแบบการแจกแจงความน่าจะเป็นตลอดช่วงเวลา เพื่อให้ได้มาซึ่งคุณค่า เอ็กซ์,กระจายอย่างสม่ำเสมอตามช่วงเวลา ตัวเลขที่นำมาจากตารางจะถูกแปลงโดยใช้ความสัมพันธ์

วิธีหลักในการรับการใช้งานตัวแปรสุ่มบนคอมพิวเตอร์ดิจิทัลคือการใช้รูทีนมาตรฐานพิเศษที่เรียกว่าเซ็นเซอร์ตัวเลขสุ่มเทียม แต่ละครั้งที่มีการเข้าถึงเซ็นเซอร์ จะมีการคำนวณตัวเลขสุ่มใหม่ การคำนวณดำเนินการโดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ อาร์กิวเมนต์ซึ่งเป็นตัวเลขสุ่มหลายตัวที่คำนวณในการเรียกรูทีนย่อยนี้ก่อนหน้านี้ ด้วยชุดตัวเลขสุ่มเริ่มต้น (เริ่มต้น) คงที่ ตัวเลขต่อมาทั้งหมดที่คำนวณซ้ำโดยเซ็นเซอร์จะเป็นค่าที่แน่นอน ขึ้นอยู่กับชุดเริ่มต้น ดังนั้นตัวเลขที่ได้รับจากเซ็นเซอร์จึงเรียกว่าการสุ่มหลอก สูตรที่เกิดซ้ำที่ใช้ในเซ็นเซอร์ถูกเลือกเพื่อให้ตัวเลขสุ่มหลอกที่ได้รับโดยใช้เซ็นเซอร์มีคุณสมบัติทางสถิติที่ต้องการ - สอดคล้องกับความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แน่นอน พี(เอ็กซ์)และสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นศูนย์

ตามกฎแล้ว ไลบรารีของรูทีนคอมพิวเตอร์ดิจิทัลมาตรฐานจะมีเซ็นเซอร์ตัวเลขสุ่มเทียมสองตัว: กระจายสม่ำเสมอตลอดช่วงเวลา และแบบเกาส์เซียนด้วย และ

การได้รับการประยุกต์ใช้ตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียนของเวกเตอร์ไม่ทำให้เกิดปัญหาใดๆ หากเวกเตอร์นี้ไม่สัมพันธ์กัน การรับรู้องค์ประกอบแต่ละส่วนของเวกเตอร์ดังกล่าวสามารถคำนวณได้โดยใช้เซ็นเซอร์ตัวเลขแบบเกาส์เซียนโดยไม่แยกจากกัน ถ้าเป็นเวกเตอร์เกาส์เซียน เอ็กซ์มีความสัมพันธ์กัน การสำนึกของมันได้มาโดยการแปลงเชิงเส้นของการสำนึกของเวกเตอร์เกาส์เซียนที่ไม่สัมพันธ์กัน คุณในมิติเดียวกัน สร้างขึ้นโดยใช้เซ็นเซอร์ตัวเลขสุ่มเทียมแบบเกาส์เซียน ที่เวกเตอร์ คุณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นเวกเตอร์ศูนย์และเมทริกซ์สหสัมพันธ์คือตัวตน เมทริกซ์การแปลงเชิงเส้น กถูกเลือกเพื่อให้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่เป็นผลลัพธ์ เคเอ็กซ์เท่ากับค่าที่กำหนด เมื่อพิจารณาจะใช้ความสัมพันธ์ (1.26)

เมื่อจาก (1.26) เราจะได้สมการต่อไปนี้ ตอบ:

สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน หากคุณค้นหา กในรูปของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยม

จากนั้นจาก (2.83) เราจะได้สมการ n(n+1)/2 สำหรับองค์ประกอบของเมทริกซ์นี้ ซึ่งสามารถแก้ไขได้แบบวนซ้ำ ผลลัพธ์คือนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับองค์ประกอบเมทริกซ์ ตอบ:

องค์ประกอบของเมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่กำหนดอยู่ที่ไหน

ตัวอย่าง.อนุญาต เอ็กซ์- เวกเตอร์สองมิติพร้อมเมทริกซ์สหสัมพันธ์

ลองหาเมทริกซ์กัน เอ,เช่นนั้น

ที่ไหน- เวกเตอร์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับ .

การใช้ความสัมพันธ์ (2.84) เราพบ ac เช่น

ในหลายกรณี มีความจำเป็นต้องได้รับตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงที่ไม่เหมือนกันหรือแบบเกาส์เซียน วิธีการสร้างแบบจำลองที่พบบ่อยที่สุดในกรณีนี้คือการแปลงแบบไม่เชิงเส้นของการใช้งานที่ได้รับโดยใช้เซ็นเซอร์ตัวเลขแบบกระจายสม่ำเสมอ

ปัญหาการพิจารณาการแปลงแบบไม่เชิงเส้น y=ฉ(x)การเชื่อมต่อตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และ ที่ด้วยความหนาแน่นของการกระจายที่กำหนด พี(เอ็กซ์)และ พี(ย)(ความหนาแน่น พี(เอ็กซ์)-uniform) เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับปัญหาในการพิจารณาการกระจายตัวของฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของตัวแปรสุ่ม ซึ่งพิจารณาในส่วน 1.1. ถ้าจะจำหน่าย พี(เอ็กซ์)- สม่ำเสมอจากนั้นจากความสัมพันธ์ (1.32) ที่เรามี จากนั้นเราได้รับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นซ้ำซากจำเจ

ที่ไหน ฉ (ญ)- ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นแบบอินทิกรัลของปริมาณ คุณ

ฟังก์ชันคือค่าผกผันของฟังก์ชันที่ต้องการ ฉ(x)ดังนั้น นิยามของการแปลงแบบไม่เชิงเส้นที่ต้องการ ย = ฉ(x)ลดลงจนพบจากความหนาแน่นที่กำหนด พี(ย)ฟังก์ชั่นอินทิกรัล ฉ(ญ)และการแก้สมการในภายหลัง ฉ(ย) = xค่อนข้าง คุณ

ตัวอย่าง.อนุญาต

จากนั้นในช่วง (0, 1) เรามี xF(y)=y 2 ,จากที่ไหนเช่น จ.

สามารถใช้แนวทางอื่นได้ในกรณีที่จำเป็นต้องรับตัวแปรสุ่ม ที่ตามฮิสโตแกรมที่มีอยู่หรือเมื่อมีการแจกแจง พี(ย)มีรูปร่างที่ซับซ้อนซึ่งสามารถประมาณได้ด้วยการขึ้นต่อกันของขั้นตอน

ปล่อยให้ช่วงเวลา [ ใช่ 0 , ใช่ ]ค่าที่เป็นไปได้จริงของตัวแปรสุ่ม ใช่มีการกระจาย พี(ย)แบ่งออกเป็น nพื้นที่ภายในแต่ละแห่งซึ่งมีความหนาแน่น พี(ย)สามารถถือว่ามีความสม่ำเสมอ ความน่าจะเป็นที่จะตีแต่ละช่วงเวลา

และ . เมื่อใช้การประมาณดังกล่าว พี(ย)

การใช้งานสามารถกำหนดได้โดยการเรียกตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมที่กระจายสม่ำเสมอสองครั้ง ในการเรียกครั้งแรก ผลลัพธ์ของการนำไปใช้จะถูกเล่น ใช่แล้วในช่วงเวลาหนึ่ง สำหรับสิ่งนี้ความน่าจะเป็น ป.ลฮิต ใช่แล้วช่วงเวลาจะถูกจับคู่กับช่วงเวลาของค่าของตัวเลขสุ่มเทียมที่กระจายสม่ำเสมอจากช่วงทั่วไป หากตัวเลขสุ่ม x i р.р ซึ่งได้รับจากการเข้าถึงเซ็นเซอร์ตกอยู่ในช่วงเวลานั้น จะสัมพันธ์กับการเข้าชมของการดำเนินการ ใช่แล้วในช่วงเวลา ครั้งที่สองที่มีการเข้าถึงเซ็นเซอร์ ค่าการใช้งานจะถูกเล่น ใช่แล้วเป็นตัวแปรสุ่มที่กระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา

การจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ของการนำกระบวนการสุ่มไปใช้ที่ AVM การใช้งานกระบวนการสุ่มจะได้รับโดยใช้เครื่องกำเนิดสัญญาณรบกวน นี่คือสิ่งที่พวกเขาเรียกว่าอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ แรงดันไฟฟ้าผลลัพธ์ซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มที่มีคุณสมบัติทางสถิติที่กำหนด เครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางสถิติของการเคลื่อนที่แบบควบคุมของเครื่องบินจะสร้างเสียงรบกวนโดยมีความหนาแน่นของสเปกตรัมสม่ำเสมอในช่วงความถี่อินฟราเรดต่ำ (ตั้งแต่สูงถึง Hz) และมีการกระจายความน่าจะเป็นแบบเกาส์เซียนแบบหนึ่งมิติ ในการสร้างแบบจำลองทางสถิติของระบบที่มีแบนด์วิธแคบกว่า เช่น ระบบควบคุมเครื่องบิน ตามกฎแล้ว เสียงของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าจะถือเป็นสีขาว สัญญาณรบกวนสีที่กระทำต่อระบบภายใต้การศึกษาจะถูกจำลองบน AVM โดยการส่งผ่านสัญญาณรบกวนสีขาวผ่านตัวกรองรูปร่างที่เลือกอย่างเหมาะสม

ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัล เสียงสีขาวถูกจำลองโดยการประมาณโดยกระบวนการสุ่มอย่างแน่นอนแบบเป็นขั้นตอนโดยประมาณ x(ท)การรับรู้รายการหลังจะคำนวณตามกฎต่อไปนี้ อาร์กิวเมนต์กระบวนการ - เวลา ที- เปลี่ยนแปลงอย่างไม่ต่อเนื่องตามขั้นตอน ∆tภายในแต่ละขั้นตอน ค่าการใช้งานจะถูกตั้งค่าใหม่โดยใช้เซ็นเซอร์ตัวเลขสุ่มเทียมแบบเกาส์เซียน

ที่ไหน ใน- ตัวคูณคงที่

ค่าจะคงที่ตลอดช่วงเวลาทั้งหมด หมายเลขสุ่มเทียมที่ได้รับโดยใช้เซ็นเซอร์จะไม่สัมพันธ์กันแบบคู่กัน ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่างค่าของขั้นตอนกระบวนการ เอ็กซ์(ที)ในช่วงเวลาต่างๆ และ , ไม่มา. ดังนั้นฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการนี้จึงเท่ากับ

ด้วยทัศนคติ . ดังนั้นเมื่อช่วงเวลาน้อยเพียงพอ กระบวนการจึงจะเกิดขึ้น เอ็กซ์(ที)ด้วยฟังก์ชันสหสัมพันธ์ รับ(t),กำหนดโดยความสัมพันธ์ (2.85) ถือเป็นค่าประมาณของเสียงสีขาวที่มีความเข้ม . ยิ่งช่วงห่างน้อยเท่าใด ความแม่นยำของการประมาณก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น .

เมื่อรวมสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (2.82) บนคอมพิวเตอร์ดิจิทัล ค่าของช่วงเวลา , ใช้ในการสร้างแบบจำลองเสียงสีขาว , การดำเนินการกับระบบไม่สามารถตั้งค่าได้น้อยกว่าขั้นตอนการรวมระบบ ดังนั้นขั้นตอนของการปริพันธ์เชิงตัวเลขจะต้องถูกกำหนดจากเงื่อนไข

โดยที่ช่วงเวลาที่กระบวนการสุ่มอย่างเป็นขั้นตอนประมาณเสียงสีขาวค่อนข้างแม่นยำ - ขั้นตอนของการบูรณาการเชิงตัวเลขทำให้มั่นใจถึงความแม่นยำในการคำนวณที่ยอมรับได้ด้วยวิธีการเลือกของการบูรณาการเชิงตัวเลขของระบบ (2.82)

การทดลองบนคอมพิวเตอร์ดิจิทัลแสดงให้เห็นว่าด้วยวิธีการรวมตัวเลขทุกวิธี , ดังนั้นเพื่อให้แน่ใจว่าการประมาณค่าของเสียงสีขาวโดยกระบวนการเป็นขั้นตอน การรวมระบบ (2.82) จึงต้องดำเนินการเป็นขั้นตอน

ในบรรดาวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขทั้งหมด เวลาคอมพิวเตอร์ที่จำเป็นสำหรับขั้นตอนการอินทิเกรตขั้นตอนเดียวจะน้อยที่สุดเมื่ออินทิเกรตโดยใช้วิธีออยเลอร์:

ด้วยเหตุนี้จึงควรใช้วิธีนี้ในการสร้างแบบจำลองทางสถิติของระบบ , และค่าสัมประสิทธิ์ ในคำนวณตามสูตร

โดยที่ความเข้มของสัญญาณรบกวนสีขาวที่กระทำต่อระบบคือเท่าใด

ดำเนินการสร้างแบบจำลองทางสถิติและประมวลผลผลลัพธ์เมื่อรวบรวมโปรแกรมสำหรับการสร้างแบบจำลองระบบไดนามิกที่กำลังศึกษาบนคอมพิวเตอร์ดิจิทัลหรือพิมพ์โครงร่างการจำลองบนคอมพิวเตอร์อัตโนมัติแล้ว สามารถใช้เพื่อให้ได้จำนวนที่ต้องการของการรับรู้พิกัดเอาต์พุตของระบบที่กำลังศึกษา การประมวลผลผลลัพธ์ของการสร้างแบบจำลองสามารถทำได้ทั้งในระหว่างการสร้างแบบจำลองหรือหลังจากเสร็จสิ้นโดยใช้วิธีสถิติทางคณิตศาสตร์ ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์เฉพาะของการสร้างแบบจำลองทางสถิติ ผลลัพธ์ของการประมวลผลสามารถประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว โมเมนต์ความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ และคุณลักษณะทางสถิติอื่น ๆ ของพิกัดเอาต์พุตของระบบ ยิ่งจำนวนการใช้งานที่ได้รับการประมวลผลทางสถิติมากเท่าใด ความแม่นยำของการประมาณการก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น ความสัมพันธ์ในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นและความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นของการประมาณค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ขึ้นอยู่กับจำนวนการใช้งานที่ใช้ในการรับค่าเหล่านั้นมีอยู่ในหนังสือ

หากระบบที่กำลังศึกษาและการรบกวนที่กระทำกับระบบนั้นทำให้ตัวแปรเอาท์พุตที่กำลังพิจารณานั้นเป็นกระบวนการที่อยู่นิ่งตามหลักสรีรศาสตร์ ดังนั้นในระหว่างการสร้างแบบจำลอง ก็เพียงพอที่จะจำกัดตัวเราเองให้ได้รับการรับรู้ตัวแปรนี้ในระยะยาว ในกรณีอื่นๆ จำเป็นต้องรับและประมวลผลการใช้งานพิกัดเอาต์พุตหลายครั้ง

วิธีการกำหนดการประเมินสภาพของเครื่องบิน

3.1. ปัญหาการประมาณค่าเป็นกรณีพิเศษของการแก้ปัญหาทางสถิติ แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

ให้เรากำหนดปัญหาของการสร้างการประมาณการ พิจารณาเวกเตอร์สุ่ม เอ็กซ์,ความหนาแน่นของการแจกแจงซึ่งมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่รู้จัก แต่มีพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักจำนวนหนึ่ง มีการระบุตัวอย่างค่าที่วัดได้ของส่วนประกอบของเวกเตอร์นี้ ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่าเวกเตอร์การวัด Y

เช่นถ้าวัด เอ็นครั้งหนึ่ง ตองค์ประกอบเวกเตอร์ n มิติ เอ็กซ์,แล้วก็เวกเตอร์ ยจะรวมถึง น×มส่วนประกอบ. เวกเตอร์ ยยังเป็นแบบสุ่มเนื่องจากมีข้อผิดพลาดในการวัดที่เรียกว่าความหนาแน่นของการกระจายซึ่งถือว่าทราบแล้ว จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์การวัด Y เพื่อให้ได้ค่าประมาณของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักของความหนาแน่นของการกระจาย เอ็กซ์และกำหนดความถูกต้องของการประมาณการเหล่านี้

สิ่งสำคัญคือต้องสามารถเปรียบเทียบคุณสมบัติของการประมาณค่าต่างๆ ของพารามิเตอร์เดียวกันได้ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เพื่อค้นหาการประมาณค่าที่มีความแม่นยำสูงสุด เรากำหนดความถูกต้องของการประมาณการตามลักษณะทางสถิติของการเบี่ยงเบนของการประมาณการจาก "ค่าจริง" ที่ไม่รู้จักของพารามิเตอร์ที่ประมาณไว้ ความหนาแน่นของการกระจาย เอ็กซ์,โดดเด่นด้วยค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์โดยประมาณเราเรียกว่า "จริง"

การกำหนดปัญหาในการประมาณค่านี้เรียกว่าเชิงสถิติและเป็นปัญหาทางเทคนิคที่แพร่หลายที่สุดในปัจจุบัน ในเวลาเดียวกัน ยังมีสูตรอื่นๆ ของปัญหาการประมาณค่าเมื่อไม่สามารถตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการกระจายของมูลค่าที่กำลังประเมินได้ สถานการณ์นี้ถือว่าแยกกัน

กลับมาที่ปัญหาการประมาณค่าทางสถิติกัน ให้เราแนะนำคำจำกัดความบางอย่าง

ฟังก์ชันของค่าของปริมาณโดยประมาณ เช่น ฟังก์ชันการวัด จะเรียกว่าสถิติในอนาคต ดังนั้นสถิติที่ง่ายที่สุดคือการประมาณค่าเวกเตอร์แบบสุ่ม เอ็กซ์,ได้มาจากการวัด Y เช่น (ใช่)ยังเป็นสถิติอีกด้วย หากสถิติมีข้อมูลเชิงประจักษ์ที่จำเป็นทั้งหมดในการสร้างการกระจายตัว เอ็กซ์,ก็เรียกว่าพอเพียงแล้ว

หากค่าประมาณมาบรรจบกันในความน่าจะเป็นกับค่าประมาณ เอ็กซ์ด้วยขนาดตัวอย่างที่เพิ่มขึ้นไม่ จำกัด เช่นมิติของเวกเตอร์ Y เรียกว่าสอดคล้องกัน

การประเมินเวกเตอร์ X เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์สุ่ม ดังนั้น ในการเปรียบเทียบการประมาณค่าระหว่างกันและเลือกค่าที่ดีที่สุด จำเป็นต้องพิจารณาลักษณะทางสถิติของฟังก์ชันการสูญเสีย ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันความเสี่ยง

สามารถสร้างฟังก์ชันดังกล่าวได้หลายอย่าง ฟังก์ชันความเสี่ยงที่ใช้บ่อยที่สุดมีดังนี้

1. ความเสี่ยงโดยเฉลี่ยหรือความเสี่ยงเบื้องต้น:

ที่ไหน พี(x, ย)-ความหนาแน่นของการกระจายความน่าจะเป็นร่วมของเวกเตอร์ เอ็กซ์และคุณ

บูรณาการใน (3.3) ดำเนินการในพื้นที่ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เอ็กซ์และ U ในกรณีต่อไปนี้ เราจะไม่ระบุขีดจำกัดของการบูรณาการ x ฉัน y- ค่าของเวกเตอร์สุ่ม X และ Y สัญกรณ์ (ญ)ใน (3.3) เน้นความจริงที่ว่าการประมาณนั้นถือเป็นฟังก์ชัน คุณหากนับคะแนนได้ (ญ)ลดฟังก์ชันความเสี่ยง (3.3) จากนั้นเรียกว่าเหมาะสมที่สุดในแง่ของความเสี่ยงโดยเฉลี่ย ความเสี่ยงปานกลาง (3.3) ร( ) สามารถนำเสนอในรูปแบบ

, ขยายใหญ่สุด หรือสิ่งที่เหมือนกัน , เรียกว่าการประมาณค่าความน่าจะเป็นหลังสุด และวิธีการประมาณค่านั้นเรียกว่าวิธีหาความน่าจะเป็นหลังสูงสุด

2. ความเสี่ยงแบบเบย์:

ที่ไหน พี(x/ป)- ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นหลังของค่า เอ็กซ์สำหรับที่กำหนด (คงที่) ใช่ พี(x)-ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นก่อนหน้าของเวกเตอร์ เอ็กซ์,นั่นคือมีอยู่ก่อนประสบการณ์ซึ่งเวกเตอร์บางตัวได้เกิดขึ้นจริง คุณดังนั้น ความเสี่ยงแบบเบย์เนื่องจากโครงสร้างของสูตรเบย์ (1.9) ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับการประมาณเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นก่อนหน้าด้วย พี(เอ็กซ์)ซึ่งสะท้อนให้เห็นในการบันทึก . ระดับ , การลดความเสี่ยงให้เหลือน้อยที่สุด (3.4) เรียกว่าเหมาะสมที่สุดในความหมายแบบเบย์หรือเรียกง่ายๆ ว่าแบบเบย์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสำหรับฟังก์ชันการสูญเสียของแบบฟอร์ม (3.1) การประมาณการแบบเบย์จะช่วยลดความเสี่ยง (3.3) และ (3.4) ไปพร้อมๆ กัน อัลกอริธึมการประมาณค่าที่ให้การประมาณค่าแบบเบย์มักเรียกว่าแบบเบย์

3. ความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไข:

ฟังก์ชันความเสี่ยงนี้จะระบุลักษณะข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสำหรับค่าที่กำหนด (คงที่) ของเวกเตอร์โดยประมาณ เอ็กซ์มีความเชื่อมโยงระหว่างความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไขและค่าเฉลี่ย:

ใน (3.5) และ (3.6) พี(มี/เอ็กซ์)และ พี(เอ็กซ์)- ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเวกเตอร์ ยและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบนิรนัยของเวกเตอร์ เอ็กซ์ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(มี/เอ็กซ์)สามารถสร้างการประมาณความเป็นไปได้สูงสุดได้ นี่คือค่าประมาณที่จะเพิ่มสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นให้สูงสุด ในกรณีที่ง่ายที่สุด สามารถเลือกฟังก์ชันความน่าจะเป็นได้ พี(มี/เอ็กซ์)โดยนำค่าการวัดจริงมาทดแทน คุณเพื่อสร้าง พี(มี/เอ็กซ์)ไม่จำเป็นต้องทราบประเภทของความหนาแน่นของการกระจาย พี(เอ็กซ์)นั่นคือรูปแบบของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบนิรนัยของเวกเตอร์ เอ็กซ์.เอ็กซ์.เอ็กซ์บนชุด

อาจกล่าวได้ว่าตัวประมาณค่าต่ำสุดคือแบบเบย์ภายใต้การแจกแจงครั้งก่อน เอ็กซ์,เป็นผลดีต่องานประเมินน้อยที่สุด ให้เราอธิบายความคิดสุดท้ายโดยละเอียด

ความเสี่ยงแบบเบย์ สามารถกำหนดได้หากทราบประเภทของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบนิรนัย พี(เอ็กซ์)เวกเตอร์ เอ็กซ์,เนื่องจากโดยอาศัยอำนาจตาม (1.9) ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ที่ไหน พี(ย)ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเวกเตอร์ ย.

ในกรณีที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(เอ็กซ์)ไม่มีอยู่ เราสามารถกำหนดแต่ละรายการได้ตามเงื่อนไข เอ็กซ์จากการแจกแจงครั้งก่อนๆ , อยู่ในกลุ่มการกระจายบางประเภท .

ปรากฎว่าสำหรับฟังก์ชันการสูญเสียของแบบฟอร์ม (3.1) จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

เช่น การประมาณการขั้นต่ำสุด เหมือนกับการประมาณค่าแบบเบย์ คำนวณสำหรับการกระจายก่อนหน้าซึ่งจะเพิ่มความเสี่ยงแบบเบย์สูงสุดโดย สิ่งนี้สร้างความเชื่อมโยงระหว่างการประมาณค่าแบบเบย์และค่าต่ำสุด

3.2. อัลกอริธึมการประมาณค่าแบบเบย์

ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ ความซับซ้อนของการใช้อัลกอริธึมการประมาณค่านั้นขึ้นอยู่กับประเภทเป็นอันดับแรก แบบจำลองทางคณิตศาสตร์การเคลื่อนที่ของระบบไดนามิกที่กำลังประเมินและการวัด และประการที่สอง วิธีการวัด เช่น วิธีรับการวัด ไม่ว่าจะต่อเนื่องหรือแยกกัน ลองพิจารณาเชิงเส้น (สำหรับโมเดลเชิงเส้น) กึ่งเชิงเส้น (สำหรับโมเดลเชิงเส้นตรง) และอัลกอริธึมแบบเบย์ไม่เชิงเส้น (สำหรับโมเดลไม่เชิงเส้น) ตามกฎแล้ว เราจะถือว่าข้อมูลการวัดมาถึงแบบไม่ต่อเนื่องและอัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องมีรูปแบบที่เกิดซ้ำ อัลกอริธึมรูปแบบนี้สะดวกที่สุดสำหรับการใช้งานบนคอมพิวเตอร์เมื่อเวกเตอร์การวัดขาเข้าได้รับการประมวลผลทีละตัว ในบางกรณี จะสะดวกในการสรุปผลลัพธ์ที่ได้รับในกรณีของการวัดแบบต่อเนื่อง

ในส่วนนี้ เราใช้วิธีกระบวนการ Markov เพื่อค้นหาตัวดีมอดูเลเตอร์ที่เหมาะสมที่สุด การนำเสนอของเราเป็นเพียงผิวเผิน ดังนั้นเพื่อการพิจารณาที่มีรายละเอียดมากขึ้น ผู้อ่านที่สนใจควรอ้างอิงแหล่งข้อมูลเพิ่มเติม (โดยเฉพาะ) และคราวนี้เราจะสมมติว่าข้อความนั้นเป็นกระบวนการสุ่มแบบเกาส์เซียนที่มีการแทนค่าอันจำกัดในตัวแปรสถานะ เช่น

โดยที่กระบวนการสุ่มแบบเกาส์เซียนสีขาวที่มีฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมคืออะไร

แม้ว่าเราจะไม่ได้ใช้ข้อเท็จจริงนี้ในการสนทนาของเรา แต่ก็ควรชี้ให้เห็นว่าขั้นตอนที่อธิบายไว้ในส่วนนี้สามารถทำได้เช่นกันเมื่อสมการสถานะและสมการสังเกตไม่เชิงเส้นและมีรูปแบบ

โปรดทราบว่าภายใต้ข้อจำกัดบางประการที่บังคับใช้คือกระบวนการเวกเตอร์มาร์คอฟ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นแบบเกาส์เซียน ไม่มีวิธีการใดที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ที่อนุญาตให้แก้ไขปัญหาเกี่ยวกับข้อความของคลาสนี้ ผลลัพธ์ส่วนใหญ่ที่จะได้รับในย่อหน้านี้ยังสามารถได้รับเพิ่มเติมอีกด้วย กระบวนการทั่วไปอธิบายโดยสมการ (78) และ (79)

ตอนนี้เรากลับมาที่แบบจำลองในรูปแบบของกระบวนการสุ่มที่อธิบายโดยความสัมพันธ์ เพื่อความเรียบง่ายของสัญลักษณ์ เราจะพิจารณาข้อความที่เป็นกระบวนการเกาส์เซียนมาร์คอฟแบบสเกลาร์ และโดยที่การสั่นที่ส่งถูกมอดูเลตโดยความเฉื่อยบางอย่าง - ประเภทของมอดูเลตฟรี การสั่นสะเทือนที่ยอมรับได้เขียนอยู่ในรูปแบบ

กระบวนการข้อความเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่ง

ดังนั้น สำหรับค่าจำกัดใดๆ ข้อความจะเป็นกระบวนการที่อยู่นิ่งและมีสเปกตรัมบัตเตอร์เวิร์ธลำดับที่หนึ่ง นอกจากนี้ เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่ากระบวนการมาร์คอฟอยู่ในลำดับแรก ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของมันในกรณีที่ไม่มีการสังเกตใดๆ เป็นไปตามสมการฟอกเกอร์-พลังค์ [ดู (3.79)]

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากมีการสังเกตในช่วงเวลาหนึ่ง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่เราสนใจจึงไม่ใช่ความหนาแน่นแบบไม่มีเงื่อนไข แต่เป็นความหนาแน่นเนื่องจากการแกว่งที่สังเกตได้ ให้เราแสดงความหนาแน่นนี้ด้วย

โปรดทราบว่า (86) คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่ง (ค่าที่แสดงถึงค่า a ณ ขณะนั้นเนื่องจากการแกว่งที่สังเกตได้ และเป็นคุณลักษณะที่มีการกำหนดไว้อย่างดี แสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นนี้เป็นไปตามสมการ

โดยที่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ถูกพรากไปจากความหนาแน่น หากเราแนะนำอนุพันธ์อย่างเป็นทางการ

จากนั้น (87) สามารถเขียนอย่างเป็นทางการเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ได้

ความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นด้านหลังและการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยขั้นต่ำนั้นเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยขั้นต่ำคือค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขของความหนาแน่นด้านหลัง (ดูหน้า 73 ของเล่มแรก) เช่น

เมื่อคูณทั้งสองข้างของ (89) ด้วย A เมื่อรวมส่วนและคำนึงถึงเงื่อนไขที่สอดคล้องกันที่จุดสิ้นสุดของช่วง เราจะได้ (ดูปัญหา 7.2.2)

โปรดทราบว่า (91) ยังคงมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตามที่คาดไว้ สมการนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ในกรณีทั่วไปของการมอดูเลต ในกรณีของวิธีการมอดูเลตเชิงเส้น เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดง (เช่น 18] หรือปัญหา 7.2.1) ว่าจะลดลงเหลือ สำหรับปัญหามอดูเลชันแบบไม่เชิงเส้นจำนวนมาก ความสำเร็จสามารถทำได้โดยการขยายไปสู่ชุดของเงื่อนไขสมการที่แตกต่างกัน ( 91) จากนั้น ถ้าเราถือว่าข้อผิดพลาดในการประมาณค่ามีน้อยและกำหนดเงื่อนไขบางประการในช่วงเวลาที่มีคำสั่งซื้อที่สูงกว่า เราสามารถละเลยเงื่อนไขของคำสั่งซื้อที่สองและที่สูงกว่าได้ และได้สมการโดยประมาณต่อไปนี้ (รายละเอียดที่มาโดยละเอียดมีให้ในบทที่ 4 ของหนังสือ ):

โดยที่แสดงถึงค่าประมาณโดยประมาณโดยพิจารณาจากความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยขั้นต่ำ ฟังก์ชันนี้เป็นเงื่อนไขโดยประมาณ [โดย จัตุรัสกลางข้อผิดพลาดซึ่งเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์

โดยมีเงื่อนไขขอบเขต

โปรดทราบว่าสมการการประมาณค่า (92) และสมการการกระจายตัว (93) มีความเกี่ยวข้องกัน โปรดสังเกตเพิ่มเติมว่าค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของรากที่มีเงื่อนไข [เช่น e. ข้อผิดพลาด โดยมีเงื่อนไขว่าการประมาณที่ต้องทำเพื่อให้ได้มานั้นถูกต้องเมื่อข้อผิดพลาดมีน้อย

เราเห็นว่าสมการ (92) สามารถนำไปใช้ในรูปแบบของแผนภาพบล็อกที่แสดงในรูปที่ 7.3. การใช้งานนี้คล้ายกับโครงสร้างของตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นหลังสูงสุดที่สังเคราะห์ใน Chap มาก 2 โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตอนนี้ตัวกรองในลูปถูกนำไปใช้โดยอัตโนมัติ ข้อเสียของการดำเนินการนี้คือการมีการสื่อสารระหว่างลูป

ในกรณีของการมอดูเลตเชิงมุม ก็สามารถแสดงให้เห็นว่าการมีเพศสัมพันธ์นี้มักจะถูกละเลย เช่น การปรับเฟส

น่าจะเป็นมากกว่านั้นมาก ความถี่สูงสุดในสเปกตรัมข้อความและระบบอยู่ในสถานะหยุดนิ่งทางสถิติ ในกรณีนี้ก็แสดงว่า

เป็นไปตามสมการการกระจายตัวเมื่อทำการทดแทน

สำหรับกระบวนการมาร์คอฟลำดับที่หนึ่ง สมการนี้มีรูปแบบ

แผนภาพบล็อกของเครื่องรับแสดงในรูปที่ 1 7.4. โครงสร้างนี้เกิดขึ้นพร้อมกันทุกประการกับส่วนที่นำมาใช้ของตัวรับความน่าจะเป็นหลังสูงสุดโดยประมาณ ซึ่งถูกสังเคราะห์ไว้ก่อนหน้านี้ (ดูปัญหาใน (68)) ขณะนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นข้อผิดพลาดกำลังสองเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขโดยประมาณ

ข้าว. 7.4. เครื่องรับที่เหมาะสมที่สุด: การมอดูเลตเฟส การสื่อสารกับสเปกตรัม Butterworth ลำดับแรก

เนื่องจากรายละเอียดของผลลัพธ์ส่วนใหญ่ถูกละเว้น จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบข้อจำกัดของผลลัพธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ (91) ซึ่งกำหนดค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขนั้นเป็นสมการที่แน่นอน อย่างไรก็ตาม การประมาณที่เกี่ยวข้องกับการได้รับ (92)-(93) สอดคล้องกับสมมติฐานการทำให้เป็นเส้นตรง ดังนั้น ผลลัพธ์ของเราจึงเป็นค่าประมาณโดยประมาณโดยพิจารณาจากค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยขั้นต่ำที่สอดคล้องกับเทอมแรกของการขยายอนุกรมของการประมาณการที่แน่นอน เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่ดีขึ้น สามารถคงเงื่อนไขการขยายจำนวนมากไว้ได้ (ดูตัวอย่าง) ความยากของขั้นตอนนี้ก็คือการประมาณสองเทอมนั้นซับซ้อนมากจนแทบไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติเลย

โครงสร้างและการจำแนกประเภทของระบบคิว

ระบบคิว

บ่อยครั้งมีความจำเป็นต้องแก้ไขปัญหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับระบบคิว (QS) ตัวอย่างซึ่งอาจเป็น:

สำนักงานขายตั๋ว;

ร้านซ่อม;

การค้า การขนส่ง ระบบพลังงาน

ระบบการสื่อสาร

ความเหมือนกันของระบบดังกล่าวถูกเปิดเผยในความสามัคคีของวิธีการทางคณิตศาสตร์และแบบจำลองที่ใช้ในการศึกษากิจกรรมของพวกเขา

ข้าว. 4.1. พื้นที่หลักของการประยุกต์ใช้ TMO

ข้อมูลป้อนเข้า QS ได้รับการร้องขอบริการจำนวนมาก เช่น ลูกค้าหรือคนไข้ อุปกรณ์เสีย โทรศัพท์ คำขอมาถึงอย่างไม่สม่ำเสมอและสุ่มครั้ง ระยะเวลาการให้บริการก็เป็นแบบสุ่มเช่นกัน สิ่งนี้ทำให้เกิดความผิดปกติในการทำงานของ QS และทำให้เกิดการโอเวอร์โหลดและอันเดอร์โหลด

ระบบคิวมีโครงสร้างที่แตกต่างกัน แต่โดยทั่วไปสามารถแยกแยะได้ องค์ประกอบพื้นฐานสี่ประการ:

1. กระแสความต้องการที่เข้ามา

2. จัดเก็บ (คิว)

3. อุปกรณ์ (ช่องทางการให้บริการ)

4. การไหลออก

ข้าว. 4.2. รูปแบบทั่วไปของระบบคิว

ข้าว. 4.3. รูปแบบการทำงานของระบบ

(ลูกศรระบุช่วงเวลาที่ได้รับข้อกำหนดมา

ระบบสี่เหลี่ยม – เวลาให้บริการ)

รูปที่ 4.3 a แสดงแบบจำลองการทำงานของระบบที่มีข้อกำหนดการไหลสม่ำเสมอ เนื่องจากทราบช่วงเวลาระหว่างการมาถึงของคำขอ เวลาให้บริการจึงถูกเลือกเพื่อให้โหลดระบบได้เต็มที่ สำหรับระบบที่มีความต้องการไหลสุ่ม สถานการณ์จะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - ความต้องการมาถึงในเวลาที่ต่างกันและเวลาให้บริการก็เป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน ซึ่งสามารถอธิบายได้ตามกฎหมายการกระจายที่แน่นอน (รูปที่ 4.3 b)

ขึ้นอยู่กับกฎในการเข้าคิว QS ต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

1) ระบบที่มีความล้มเหลว ซึ่งเมื่อช่องทางบริการทั้งหมดไม่ว่าง คำร้องขอจะปล่อยให้ระบบไม่ได้รับบริการ

2) ระบบคิวไม่จำกัด ซึ่งคำขอจะเข้าสู่คิวหาก ณ เวลาที่รับคำขอ ช่องทางบริการทั้งหมดไม่ว่าง

3) ระบบที่มีการรอและคิวที่จำกัด โดยระยะเวลารอจะถูกจำกัดด้วยเงื่อนไขบางประการหรือมีการจำกัดจำนวนการสมัครในคิว

พิจารณาลักษณะของกระแสความต้องการที่เข้ามา

เรียกว่ากระแสความต้องการ นิ่ง หากความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จำนวนหนึ่งจะตกอยู่ในส่วนของเวลาที่มีความยาวที่แน่นอนนั้นขึ้นอยู่กับความยาวของส่วนนี้เท่านั้น

กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า ไหลไปโดยไม่มีผลตามมา หากจำนวนเหตุการณ์ที่ตกในช่วงระยะเวลาหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่ตกทับผู้อื่น

กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า สามัญ หากเป็นไปไม่ได้ที่เหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นไปจะเกิดขึ้นพร้อมๆ กัน

เรียกว่ากระแสความต้องการ ปัวซอง (หรือง่ายที่สุด) หากมีคุณสมบัติ 3 ประการ คือ นิ่ง ธรรมดา และไม่มีผลกระทบใดๆ ชื่อนี้เกิดจากการที่หากตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด จำนวนเหตุการณ์ที่ตรงกับช่วงเวลาที่กำหนดใดๆ จะถูกกระจายตามกฎของปัวซอง

ความเข้มโฟลว์ของแอปพลิเคชัน แลคือจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่มาจากโฟลว์ต่อหน่วยเวลา

สำหรับการไหลที่อยู่นิ่ง ความเข้มข้นจะคงที่ ถ้า τ คือค่าเฉลี่ยของช่วงเวลาระหว่างคำขอสองรายการที่อยู่ใกล้เคียง ดังนั้นในกรณีของโฟลว์ปัวซอง ความน่าจะเป็นของการมาถึงเพื่อรับบริการ มการสมัครในช่วงระยะเวลาหนึ่ง ทีกำหนดโดยกฎของปัวซอง:

เวลาระหว่างคำขอใกล้เคียงจะถูกกระจายตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

เวลาให้บริการเป็นตัวแปรสุ่มและเป็นไปตามกฎการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลโดยมีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น โดยที่ μ คือความเข้มข้นของการไหลของบริการ กล่าวคือ จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ให้บริการต่อหน่วยเวลา

อัตราส่วนของความเข้มของการไหลเข้าต่อความเข้มของการไหลของบริการเรียกว่า บูตระบบ

ระบบคิวคือระบบประเภทแยกที่มีชุดสถานะจำกัดหรือนับได้ และการเปลี่ยนระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งจะเกิดขึ้นทันทีเมื่อมีเหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้น

กระบวนการนี้เรียกว่า กระบวนการที่มีสถานะแยกกัน หากสถานะที่เป็นไปได้สามารถกำหนดหมายเลขใหม่ล่วงหน้าได้ และการเปลี่ยนแปลงของระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งจะเกิดขึ้นเกือบจะในทันที

กระบวนการดังกล่าวมีสองประเภท: เวลาไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง

ในกรณีที่มีเวลาไม่ต่อเนื่อง การเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐอาจเกิดขึ้น ณ จุดเวลาที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด กระบวนการต่อเนื่องเวลามีความโดดเด่นด้วยความจริงที่ว่าระบบสามารถเปลี่ยนไปสู่สถานะใหม่ได้ตลอดเวลา

กระบวนการสุ่มคือการโต้ตอบซึ่งแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ (ในกรณีนี้คือช่วงเวลาจากช่วงเวลาของการทดสอบ) เชื่อมโยงกับตัวแปรสุ่ม (ในกรณีนี้คือสถานะของ QS) ตัวแปรสุ่ม คือปริมาณที่เป็นผลจากการทดลอง สามารถรับปริมาณหนึ่งได้ แต่ไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใดเป็นค่าตัวเลขจากชุดตัวเลขที่กำหนด

ดังนั้นในการแก้ปัญหาทฤษฎีคิวจึงจำเป็นต้องศึกษากระบวนการสุ่มนี้ ได้แก่ สร้างและวิเคราะห์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

กระบวนการสุ่มเรียกว่า มาร์โคเวียน หากในช่วงเวลาใดลักษณะความน่าจะเป็นของกระบวนการในอนาคตขึ้นอยู่กับสถานะของมันในขณะนั้นเท่านั้นและไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าระบบมาถึงสถานะนี้เมื่อใดและอย่างไร

การเปลี่ยนผ่านของระบบจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่งเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของกระแสบางอย่าง (กระแสของการสมัคร, กระแสของการปฏิเสธ) หากกระแสเหตุการณ์ทั้งหมดที่นำระบบไปสู่สถานะใหม่เป็นปัวซองที่ง่ายที่สุดกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบจะเป็นมาร์คอฟเนื่องจากการไหลที่ง่ายที่สุดไม่มีผล: ในอนาคตไม่ได้ขึ้นอยู่กับอดีต . - กลุ่มตัวหมากรุก สถานะของระบบนั้นมีลักษณะเฉพาะคือจำนวนชิ้นส่วนศัตรูที่เหลืออยู่บนกระดานในขณะนี้ ความน่าจะเป็นที่ในขณะนี้ความได้เปรียบด้านวัตถุจะอยู่ที่ฝั่งของฝ่ายตรงข้ามคนใดคนหนึ่งนั้นขึ้นอยู่กับสถานะของระบบในขณะนั้นเป็นหลัก และไม่ขึ้นอยู่กับว่าชิ้นส่วนจะหายไปจากกระดานก่อนช่วงเวลาใดและในลำดับใด

กระบวนการสุ่มของ Markov ได้รับการตั้งชื่อตาม A.A. นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวรัสเซีย Markov (1856-1922) ผู้ซึ่งเริ่มศึกษาความสัมพันธ์ของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มเป็นครั้งแรก และสร้างทฤษฎีที่สามารถเรียกว่า "พลวัตของความน่าจะเป็น" ต่อมารากฐานของทฤษฎีนี้จึงกลายเป็นจุดเริ่มต้น ทฤษฎีทั่วไปกระบวนการสุ่ม ตลอดจนวิทยาศาสตร์ประยุกต์ที่สำคัญ เช่น ทฤษฎีกระบวนการแพร่ ทฤษฎีความน่าเชื่อถือ ทฤษฎีคิว เป็นต้น ปัจจุบันทฤษฎีกระบวนการมาร์คอฟและการประยุกต์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาวิทยาศาสตร์ต่างๆ เช่น กลศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี เป็นต้น

เนื่องจากความเรียบง่ายและความชัดเจนในการเปรียบเทียบของอุปกรณ์ทางคณิตศาสตร์ ความน่าเชื่อถือและความถูกต้องสูงของโซลูชันที่ได้รับ กระบวนการมาร์คอฟจึงได้รับความสนใจเป็นพิเศษจากผู้เชี่ยวชาญที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยการดำเนินงานและทฤษฎีการตัดสินใจที่เหมาะสมที่สุด

แม้จะมีความเรียบง่ายและชัดเจนข้างต้น การประยุกต์ใช้จริงทฤษฎีลูกโซ่มาร์คอฟต้องอาศัยความรู้คำศัพท์บางคำและหลักการพื้นฐานที่ควรอภิปรายก่อนนำเสนอตัวอย่าง

ตามที่ระบุไว้ กระบวนการสุ่มมาร์คอฟอ้างอิงถึงกรณีพิเศษของกระบวนการสุ่ม (SP) ในทางกลับกัน กระบวนการสุ่มจะขึ้นอยู่กับแนวคิดของฟังก์ชันสุ่ม (SF)

ฟังก์ชันสุ่มคือฟังก์ชันที่มีค่าของอาร์กิวเมนต์เป็นตัวแปรสุ่ม (RV) กล่าวอีกนัยหนึ่ง SF สามารถเรียกได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ในแต่ละการทดสอบใช้รูปแบบที่ไม่รู้จักมาก่อน

ตัวอย่างของ SF ได้แก่ ความผันผวนของแรงดันไฟฟ้า วงจรไฟฟ้า, ความเร็วของรถบนส่วนของถนนที่มีการจำกัดความเร็ว, ความขรุขระของพื้นผิวของชิ้นส่วนในบางพื้นที่ เป็นต้น

ตามกฎแล้วเชื่อกันว่าหากข้อโต้แย้งของ SF คือเวลา กระบวนการดังกล่าวจะเรียกว่าสุ่ม มีคำจำกัดความอีกประการหนึ่งของกระบวนการสุ่ม ซึ่งใกล้เคียงกับทฤษฎีการตัดสินใจมากกว่า ในกรณีนี้ กระบวนการสุ่มถือเป็นกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มในสถานะของทางกายภาพหรือใดๆ ระบบทางเทคนิคตามเวลาหรือข้อโต้แย้งอื่น ๆ

มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเรากำหนดสถานะและพรรณนาการพึ่งพา การพึ่งพาดังกล่าวจะเป็นฟังก์ชันสุ่ม

กระบวนการสุ่มถูกจำแนกตามประเภทของสถานะและอาร์กิวเมนต์ t ในกรณีนี้ กระบวนการสุ่มอาจมีสถานะหรือเวลาไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องก็ได้

นอกจากตัวอย่างการจำแนกประเภทของกระบวนการสุ่มข้างต้นแล้ว ยังมีคุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่งอีกด้วย คุณสมบัตินี้อธิบายการเชื่อมต่อความน่าจะเป็นระหว่างสถานะของกระบวนการสุ่ม ตัวอย่างเช่น หากในกระบวนการสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ระบบจะเปลี่ยนไปสู่สถานะที่ตามมาแต่ละสถานะนั้นขึ้นอยู่กับสถานะก่อนหน้าเท่านั้น กระบวนการดังกล่าวจะเรียกว่ากระบวนการที่ไม่มีผลกระทบตามมา

ให้เราทราบ ประการแรก ว่ากระบวนการสุ่มที่มีสถานะและเวลาแยกกันเรียกว่าลำดับสุ่ม

หากลำดับสุ่มมีคุณสมบัติมาร์คอฟ จะเรียกว่าลูกโซ่มาร์คอฟ

ในทางกลับกัน ถ้าในกระบวนการสุ่ม สถานะไม่ต่อเนื่อง เวลาจะต่อเนื่องกันและคุณสมบัติผลที่ตามมาจะถูกรักษาไว้ ดังนั้น กระบวนการสุ่มดังกล่าวจะเรียกว่ากระบวนการมาร์คอฟที่มีเวลาต่อเนื่อง

กระบวนการสุ่มของมาร์คอฟกล่าวกันว่าเป็นเนื้อเดียวกัน ถ้าความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงยังคงที่ในระหว่างกระบวนการ

ลูกโซ่มาร์คอฟจะถือว่าได้รับหากมีเงื่อนไขสองประการ

1. มีชุดของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบของเมทริกซ์:

2. มีเวกเตอร์ของความน่าจะเป็นเริ่มต้น

อธิบายสถานะเริ่มต้นของระบบ

นอกจากรูปแบบเมทริกซ์แล้ว โมเดลลูกโซ่มาร์คอฟยังสามารถแสดงเป็นกราฟถ่วงน้ำหนักแบบกำหนดทิศทางได้ (รูปที่ 1)

ข้าว. 1

ชุดสถานะของระบบลูกโซ่มาร์คอฟถูกจำแนกในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง โดยคำนึงถึงพฤติกรรมเพิ่มเติมของระบบ

1. ชุดกลับไม่ได้ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

ในกรณีของเซตที่ไม่ส่งคืน การเปลี่ยนใดๆ ภายในเซ็ตนี้สามารถทำได้ ระบบสามารถออกจากชุดนี้ได้ แต่ไม่สามารถกลับมาได้

2. ชุดส่งคืน (รูปที่ 3)

ข้าว. 3.

ในกรณีนี้ การเปลี่ยนใดๆ ภายในชุดก็สามารถทำได้เช่นกัน ระบบเข้าชุดนี้ได้แต่ออกไม่ได้

3. ชุด Ergodic (รูปที่ 4)

ข้าว. 4.

ในกรณีของชุดเออร์โกดิก การเปลี่ยนใดๆ ภายในเซ็ตนั้นเป็นไปได้ แต่ไม่รวมการเปลี่ยนจากและไปยังเซ็ต

4. ชุดดูดซับ (รูปที่ 5)

ข้าว. 5.

เมื่อระบบเข้าสู่ชุดนี้กระบวนการจะสิ้นสุดลง

ในบางกรณี แม้ว่ากระบวนการจะเป็นแบบสุ่ม แต่ก็สามารถควบคุมกฎการกระจายหรือพารามิเตอร์ของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงได้ในระดับหนึ่ง โซ่มาร์คอฟดังกล่าวเรียกว่าควบคุม เห็นได้ชัดว่าด้วยความช่วยเหลือของกลุ่มมาร์คอฟที่มีการควบคุม (MCC) กระบวนการตัดสินใจจะมีประสิทธิภาพเป็นพิเศษ ดังที่จะกล่าวถึงในภายหลัง

คุณสมบัติหลักของ discrete Markov chain (DMC) คือการกำหนดช่วงเวลาระหว่างแต่ละขั้นตอน (ขั้นตอน) ของกระบวนการ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งในกระบวนการจริงคุณสมบัตินี้จะไม่ถูกสังเกต และช่วงเวลากลายเป็นแบบสุ่มตามกฎการกระจายบางข้อ แม้ว่าคุณสมบัติ Markov ของกระบวนการจะยังคงอยู่ก็ตาม ลำดับสุ่มดังกล่าวเรียกว่ากึ่งมาร์คอฟ

นอกจากนี้ เมื่อคำนึงถึงการมีอยู่และไม่มีชุดของสถานะบางสถานะที่กล่าวถึงข้างต้น โซ่มาร์คอฟสามารถดูดซับได้หากมีสถานะการดูดซับอย่างน้อยหนึ่งสถานะ หรือตามหลักสรีรศาสตร์หากความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงก่อตัวเป็นชุดตามหลักสรีรศาสตร์ ในทางกลับกัน โซ่เออร์โกดิกอาจเป็นแบบปกติหรือแบบวงกลมก็ได้ วงจรโซ่แตกต่างจากโซ่ปกติตรงที่ระหว่างการเปลี่ยนผ่าน จำนวนหนึ่งขั้นตอน (รอบ) กลับสู่สถานะใดสถานะหนึ่ง เชนทั่วไปไม่มีคุณสมบัตินี้

กระแสของเหตุการณ์เรียกลำดับเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งปรากฏขึ้นทีละเหตุการณ์ในเวลาสุ่ม ตัวอย่าง: การรับสายที่ชุมสายโทรศัพท์ การไหลของความล้มเหลวของคอมพิวเตอร์ กระแสการร้องขอการคำนวณในศูนย์คอมพิวเตอร์ ฯลฯ

ลำดับเหตุการณ์ต่างๆ แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนด้วยจุดที่มีจุดหักมุม คำถามที่ 1, คำถามที่ 2, ..., คิวน์, ...(รูปที่ 6.15) โดยมีช่วงเวลาระหว่างกัน: T 1 = Q 2 - Q 1, T 2 = Q 3 -Q 2, ..., T n = Q n +1 - Q n- เมื่ออธิบายด้วยความน่าจะเป็น โฟลว์ของเหตุการณ์สามารถแสดงเป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม:

คำถามที่ 1 ; ค 2 = ค 1 + ที 1 ; คำถาม 3 = คำถาม 1 + T 1 + T 2- ฯลฯ

ตัวเลขในรูปแบบของชุดจุดไม่ได้แสดงถึงการไหลของเหตุการณ์ (เป็นการสุ่ม) แต่มีเพียงการดำเนินการเฉพาะเจาะจงเท่านั้น

กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า นิ่ง,หากลักษณะความน่าจะเป็นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกแหล่งกำเนิดหรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จำนวนหนึ่งที่ตกในช่วงเวลาใด ๆ ขึ้นอยู่กับความยาวของช่วงเวลานี้เท่านั้นและไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่แน่นอนบนแกน 0-tมันตั้งอยู่

รูปที่ 6.15 – การดำเนินการตามโฟลว์ของเหตุการณ์

กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า สามัญ,ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นไปที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาพื้นฐานนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น

รูปที่ 6.16 – โฟลว์ของเหตุการณ์เป็นกระบวนการสุ่ม

กระแสเหตุการณ์ธรรมดาสามารถตีความได้ว่าเป็นกระบวนการสุ่ม เอ็กซ์(ท) -จำนวนเหตุการณ์ที่ปรากฏก่อนช่วงเวลา เสื้อ (รูปที่ 6.16) กระบวนการสุ่ม เอ็กซ์(ที)เพิ่มขึ้นทันทีหนึ่งหน่วยที่จุด ถาม ,คำถาม 2 ,...,คำถาม.

กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า ไหลลื่นไม่มีผลตามมาถ้าจำนวนเหตุการณ์ที่ตรงกับช่วงเวลาใดๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่ตรงกับช่วงเวลาอื่นที่ไม่ตัดกับเหตุการณ์นั้น การไม่มีผลที่ตามมาในโฟลว์เสมือนหมายความว่าเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดโฟลว์จะปรากฏที่จุดใดจุดหนึ่งของเวลาโดยแยกจากกัน

กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า ง่ายที่สุดถ้ามันอยู่นิ่ง ธรรมดา และไม่มีผลตามมา ช่วงเวลา ตระหว่างสองเหตุการณ์ที่อยู่ใกล้เคียงกันของโฟลว์ที่ง่ายที่สุดจะมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

(ที่ เสื้อ>0); (6.21)

ที่ไหน / เอ็ม [ท]- ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยของช่วงเวลา ต.

เรียกว่ากระแสเหตุการณ์ธรรมดาที่ไม่มีผลตามมา ปัวโซเนียนการไหลที่ง่ายที่สุดคือกรณีพิเศษของการไหลแบบปัวซองที่อยู่นิ่ง ความเข้มโฟลว์ของเหตุการณ์คือจำนวนเหตุการณ์โดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา สำหรับการไหลคงที่ สำหรับการไหลที่ไม่คงที่ โดยทั่วไปจะขึ้นอยู่กับเวลา:

กระบวนการสุ่มของมาร์คอฟ- กระบวนการสุ่มเรียกว่า มาร์โคเวียนถ้ามันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง t 0 ความน่าจะเป็นของสถานะใด ๆ ของระบบในอนาคต(ที่ เสื้อ >เสื้อ 0) ขึ้นอยู่กับสภาพของเธอในปัจจุบันเท่านั้น(ที่ เสื้อ = เสื้อ 0) และไม่ขึ้นอยู่กับว่าระบบมาถึงสถานะนี้ได้อย่างไร

ในบทนี้เราจะพิจารณาเฉพาะกระบวนการ Markov ที่มีสถานะแยกกันเท่านั้น ส 1, ส 2, ..., สน- สะดวกในการแสดงกระบวนการดังกล่าวโดยใช้กราฟสถานะ (รูปที่ 5.4) โดยระบุสถานะด้วยสี่เหลี่ยม (หรือวงกลม) ส 1, เอส 2, ... ระบบ S และลูกศรบ่งชี้ถึงการเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐที่เป็นไปได้ (เฉพาะการเปลี่ยนผ่านโดยตรงเท่านั้นที่ถูกทำเครื่องหมายไว้บนกราฟ และไม่ใช่การเปลี่ยนผ่านรัฐอื่น)

รูปที่ 5.4 – กราฟสถานะของกระบวนการสุ่ม

บางครั้งกราฟสถานะไม่เพียงแต่ทำเครื่องหมายการเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐที่เป็นไปได้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงความล่าช้าในสถานะก่อนหน้าด้วย สิ่งนี้แสดงด้วยลูกศร (“ วนซ้ำ”) ที่กำกับจากสถานะที่กำหนด แต่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้มัน จำนวนสถานะของระบบอาจเป็นแบบจำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด (แต่นับได้)

กระบวนการสุ่มมาร์กอฟที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาไม่ต่อเนื่องมักเรียกว่าโซ่มาร์คอฟสำหรับกระบวนการดังกล่าวชั่วขณะหนึ่ง เสื้อ 1, เสื้อ 2...เมื่อระบบ สสามารถเปลี่ยนสถานะได้สะดวกที่จะพิจารณาว่าเป็นขั้นตอนต่อเนื่องของกระบวนการและไม่ใช่เวลาที่ถือเป็นข้อโต้แย้งที่กระบวนการขึ้นอยู่กับ เสื้อและหมายเลขขั้นตอน: 1, 2, . - ., เคะ;….กระบวนการสุ่มในกรณีนี้มีลักษณะเป็นลำดับของสถานะ

ถ้า ส(0)- สถานะเริ่มต้นของระบบ (ก่อนขั้นตอนแรก) เอส(1)- สถานะของระบบทันทีหลังจากขั้นตอนแรก - เอส(เค)- สถานะของระบบทันทีหลังจากขั้นตอนที่ k....

เหตุการณ์ ส ฉัน , (ไอ= 1,2,...)เป็นเหตุการณ์สุ่ม ดังนั้นลำดับของสถานะ (5.6) จึงถือเป็นลำดับได้ เหตุการณ์สุ่ม- สถานะเริ่มต้น ส(0)สามารถกำหนดไว้ล่วงหน้าหรือสุ่มก็ได้ เหตุการณ์ในลำดับ (5.6) กล่าวกันว่าก่อตัวเป็นลูกโซ่มาร์คอฟ

พิจารณากระบวนการด้วย nเงื่อนไขที่เป็นไปได้ ส 1, ส 2, ..., สน- ถ้าเราแสดงโดย เอ็กซ์(ที)จำนวนสถานะที่ระบบ S อยู่ในขณะนี้ เสื้อจากนั้นกระบวนการนี้อธิบายโดยฟังก์ชันสุ่มจำนวนเต็ม เฮน(t)>0ค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเท่ากับ 1, 2,...,น- ฟังก์ชันนี้จะกระโดดจากค่าจำนวนเต็มหนึ่งไปยังอีกค่าหนึ่งตามเวลาที่กำหนด เสื้อ 1, ที2,... (รูปที่ 5.5) และต่อเนื่องกันทางด้านซ้าย ซึ่งมีเครื่องหมายจุดในรูปที่ 1 5.5.

รูปที่ 5.5 – กราฟของกระบวนการสุ่ม

ให้เราพิจารณากฎการกระจายหนึ่งมิติของฟังก์ชันสุ่ม X(t) ให้เราแสดงด้วยความน่าจะเป็นหลังจากนั้น เคขั้นตอนที่ [และจนถึง ( เค+1)-th] ระบบ S จะสามารถ ส ฉัน (i=1,2,...,n)- ความน่าจะเป็น ฉัน (k)ถูกเรียกว่า ความน่าจะเป็นของรัฐโซ่มาร์คอฟ แน่นอนสำหรับใครก็ตาม เค

. (5.7)

การกระจายความน่าจะเป็นของรัฐที่จุดเริ่มต้นของกระบวนการ

หน้า 1 (0) ,หน้า 2 (0),…,หน้า (0),…,หน้า (0)(5.8)

เรียกว่า การกระจายความน่าจะเป็นเริ่มต้นห่วงโซ่มาร์คอฟ โดยเฉพาะถ้าสภาพเริ่มแรก ส(0)ตัวอย่างเช่นระบบ S เป็นที่รู้จักอย่างแน่นอน ส(0)=ส ผมแล้วความน่าจะเป็นเริ่มต้น พี ฉัน(0) = 1 และอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลงบน เค-ก้าวที่ 1 จากรัฐ ส ฉันในรัฐ จเรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่ระบบตามมา เคขั้นตอนที่ 3 จะสามารถ จโดยมีเงื่อนไขว่าทันทีก่อน (หลัง เค - 1ขั้นตอน) เธออยู่ในสถานะ ศรี.ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนบางครั้งเรียกว่า "ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยน"

ห่วงโซ่มาร์คอฟเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันหากความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านไม่ได้ขึ้นอยู่กับหมายเลขขั้นตอน แต่ขึ้นอยู่กับสถานะที่ทำการเปลี่ยนผ่านเท่านั้น:

ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนผ่านของลูกโซ่มาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกัน รจสร้างตารางสี่เหลี่ยม (เมทริกซ์) ขนาด n* n:

(5.10)

. (5.11)

เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีคุณสมบัตินี้ สุ่มความน่าจะเป็น รจไม่มีอะไรมากไปกว่าความน่าจะเป็นที่ระบบซึ่งมาถึงขั้นตอนที่กำหนดในสถานะ จและจะยังคงอยู่ในขั้นตอนต่อไป

ถ้าสำหรับลูกโซ่มาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกัน จะมีการแจกแจงความน่าจะเป็นเริ่มต้น (5.8) และเมทริกซ์ของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลง (5.10) ดังนั้นความน่าจะเป็นของระบบจะระบุ สามารถกำหนดได้โดยสูตรการเกิดซ้ำ

(5.12)

สำหรับลูกโซ่มาร์คอฟที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงในเมทริกซ์ (5.10) และสูตร (5.12) ขึ้นอยู่กับหมายเลขขั้นตอน เค.

สำหรับห่วงโซ่มาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกัน ถ้าสถานะทั้งหมดมีความจำเป็นและจำนวนสถานะมีจำกัด ก็จะมีขีดจำกัด กำหนดจากระบบสมการ และผลรวมของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงในแถวใดๆ ของเมทริกซ์จะเท่ากับ 1

เมื่อทำการคำนวณจริงโดยใช้สูตร (5.12) จำเป็นต้องคำนึงถึงไม่ใช่ทุกสถานะ จแต่เฉพาะความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงแตกต่างจากศูนย์เท่านั้น เช่น ลูกศรที่นำไปสู่สถานะบนกราฟสถานะ ศรี.

กระบวนการสุ่มมาร์กอฟที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่องกันบางครั้งเรียกว่า "ลูกโซ่มาร์คอฟต่อเนื่อง"- สำหรับกระบวนการดังกล่าว ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนจากสถานะ ส ฉันวี จในช่วงเวลาใดๆ ก็ตามจะเท่ากับศูนย์ แทนที่จะเป็นความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลง พี่จกำลังพิจารณา ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลงซึ่งกำหนดเป็นขีดจำกัดของอัตราส่วนความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนจากสถานะ ส ฉันในรัฐ จในช่วงเวลาอันสั้นที่อยู่ติดกับขณะนั้น เสื้อไปจนถึงความยาวของช่วงเวลานี้เมื่อมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงอาจเป็นค่าคงที่ () หรือขึ้นอยู่กับเวลาก็ได้ ในกรณีแรก จะมีการเรียกกระบวนการสุ่มมาร์คอฟที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่องกัน เป็นเนื้อเดียวกันตัวอย่างทั่วไปของกระบวนการดังกล่าวคือกระบวนการสุ่ม เอ็กซ์(ที)แสดงถึงจำนวนที่ปรากฏจนถึงปัจจุบัน ทีเหตุการณ์ในโฟลว์ที่ง่ายที่สุด (รูปที่ 5.2)

เมื่อพิจารณากระบวนการสุ่มที่มีสถานะแยกกันและเวลาต่อเนื่อง จะสะดวกที่จะนำเสนอการเปลี่ยนแปลงของระบบ S จากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งซึ่งเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของกระแสเหตุการณ์บางอย่าง ในกรณีนี้ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงจะใช้กับความหมายของความเข้มของโฟลว์เหตุการณ์ที่สอดคล้องกัน (ทันทีที่เหตุการณ์แรกในโฟลว์เกิดขึ้นด้วยความเข้มข้น ระบบจะเปลี่ยนจากสถานะเป็น ส ฉันกระโดดเข้าไป เอสเจ)- ถ้ากระแสทั้งหมดนี้คือปัวซอง กระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบ S จะเป็นมาร์โคเวียน

เมื่อพิจารณากระบวนการสุ่มของมาร์คอฟที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่อง จะสะดวกที่จะใช้กราฟสถานะซึ่งอยู่ตรงข้ามกับลูกศรแต่ละอันที่นำออกจากสถานะ ส ฉัน, วี จระบุความรุนแรงของการไหลของเหตุการณ์ที่เคลื่อนระบบไปตามลูกศรนี้ (รูปที่ 5.6) กราฟสถานะดังกล่าวเรียกว่า ทำเครื่องหมาย

ความน่าจะเป็นที่ระบบ S อยู่ในสถานะ ส ฉันในช่วงเวลาเบื้องต้น () จะเข้าสู่สภาวะ จ(องค์ประกอบของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลงจาก ส ฉันวี จ) มีความเป็นไปได้ว่าในช่วงเวลานี้ dtอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ของเธรดที่ถ่ายโอนระบบจะปรากฏขึ้น สจาก เอส ฉัน ถึง เอส เจ .จนถึงลำดับที่สูงกว่าเล็กน้อย ความน่าจะเป็นนี้จะเท่ากับ .

โฟลว์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงจากรัฐ ศรีวี จเรียกว่าปริมาณ (ในที่นี้ความเข้มข้นสามารถเป็นได้ทั้งขึ้นอยู่กับเวลาและไม่ขึ้นอยู่กับเวลา)

ลองพิจารณากรณีที่ระบบ S มีจำนวนสถานะจำกัด ส 1, ส 2,..., สพี.เพื่ออธิบายกระบวนการสุ่มที่เกิดขึ้นในระบบนี้ จะใช้ความน่าจะเป็นของรัฐ

(5.13)

ที่ไหน พี ฉัน (t) -ความน่าจะเป็นที่ระบบ สในขณะนี้ ทีอยู่ในสถานะ ฉัน:

. (5.14)

แน่นอนสำหรับใครก็ตาม ที

ในการค้นหาความน่าจะเป็น (5.13) จำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (สมการโคลโมโกรอฟ) ที่มีรูปแบบ

(ผม=1,2,…,n)

หรือละเว้นข้อโต้แย้ง ทีในตัวแปร เอ่อ ฉัน

(ผม=1,2,…,น). (5.16)

โปรดจำไว้ว่าความเข้มข้นของการไหลอาจขึ้นอยู่กับเวลา .

สะดวกในการรวบรวมสมการ (5.16) โดยใช้กราฟที่มีป้ายกำกับสถานะของระบบและกฎช่วยในการจำต่อไปนี้: อนุพันธ์ของความน่าจะเป็นของแต่ละรัฐเท่ากับผลรวมของกระแสความน่าจะเป็นทั้งหมดที่ถ่ายโอนจากรัฐอื่นไปยังรัฐนี้ ลบด้วยผลรวมของกระแสความน่าจะเป็นทั้งหมดที่ถ่ายโอนจากรัฐนี้ไปยังรัฐอื่นตัวอย่างเช่น สำหรับระบบ S , กราฟสถานะที่มีป้ายกำกับซึ่งแสดงไว้ในรูปที่ 10.6 ระบบสมการของโคลโมโกรอฟมีรูปแบบ

(5.17)

เพราะเพื่อใครก็ตาม ทีเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไข (5.15) ความน่าจะเป็นใดๆ (5.13) สามารถแสดงในรูปของสมการอื่นๆ ได้ และลดจำนวนสมการลงหนึ่งรายการ

เพื่อแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (5.16) สำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ หน้า 1 (เสื้อ) หน้า 2 (เสื้อ), …, พี เอ็น (ท) คุณต้องตั้งค่าการแจกแจงความน่าจะเป็นเริ่มต้น

หน้า 1 (0),หน้า 2 (0), …,หน้า (0), …,หน้า (0), ( 5.18)

ผลรวมเท่ากับหนึ่ง

โดยเฉพาะในช่วงแรกๆ ที= 0 ทราบสถานะของระบบ S อย่างแน่นอน เช่น ส(0) =ศรี, และ ฉัน (0)= 1 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่ของนิพจน์ (5.18) จะเท่ากับศูนย์

ในหลายกรณี เมื่อกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบกินเวลานานเพียงพอ คำถามก็เกิดขึ้นเกี่ยวกับพฤติกรรมที่จำกัดของความน่าจะเป็น พี ฉัน(t) ที่ . หากกระแสของเหตุการณ์ทั้งหมดที่ถ่ายโอนระบบจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่งเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด (เช่น ปัวซองที่อยู่กับที่ซึ่งมีความเข้มข้นคงที่) ในบางกรณีก็ยังมีอยู่ สุดท้าย (หรือจำกัด) ความน่าจะเป็นของรัฐ

, (5.19)

เป็นอิสระจากสถานะที่ระบบ S อยู่ในช่วงเริ่มต้น ซึ่งหมายความว่าเมื่อเวลาผ่านไป ระบบ S ก็ถูกสร้างขึ้น จำกัด โหมดอยู่กับที่ในระหว่างนั้นมันจะย้ายจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง แต่ความน่าจะเป็นของรัฐจะไม่เปลี่ยนแปลงอีกต่อไป ในโหมดสุดขั้วนี้ ทุกความน่าจะเป็นสุดท้ายสามารถตีความได้ เป็นเวลาสัมพัทธ์โดยเฉลี่ยระบบยังคงอยู่ในสถานะนี้

ระบบที่มีความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายเรียกว่า ตามหลักการยศาสตร์ถ้าระบบ S มีจำนวนสถานะจำกัด เอส 1 , เอส 2 , . - - ,สนแล้วสำหรับการมีอยู่ของความน่าจะเป็นขั้นสุดท้าย เพียงพอ,ถึง ไม่ว่าจะอยู่ในสถานะใดก็ตามของระบบก็เป็นไปได้(ในจำนวนขั้นตอนที่กำหนด) ไปที่อื่นหากมีจำนวนรัฐ เอส 1 , เอส 2 , . - - ,สนมีค่าเป็นอนันต์ จากนั้นเงื่อนไขนี้ก็จะไม่เพียงพอ และการมีอยู่ของความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายนั้นไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับกราฟสถานะเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับความเข้มด้วย

ความน่าจะเป็นในสถานะสุดท้าย (ถ้ามี) สามารถรับได้จากการแก้โจทย์ ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นพวกมันได้มาจากสมการเชิงอนุพันธ์ของโคลโมโกรอฟหากเราใส่ด้านซ้ายมือ (อนุพันธ์) เท่ากับศูนย์ อย่างไรก็ตาม จะสะดวกกว่าถ้าเขียนสมการเหล่านี้โดยตรงจากกราฟสถานะ โดยใช้กฎช่วยในการจำ: สำหรับแต่ละรัฐ กระแสความน่าจะเป็นขาออกทั้งหมดจะเท่ากับกระแสขาเข้าทั้งหมดตัวอย่างเช่น สำหรับระบบ S กราฟสถานะที่มีป้ายกำกับจะแสดงไว้ที่ p เป็น. 5.7 สมการสำหรับความน่าจะเป็นสถานะสุดท้ายจะมีรูปแบบดังนี้

(5.20)

ปรากฎว่า(สำหรับระบบ เอสกับพีรัฐ) ระบบ nสมการพีชคณิตเชิงเส้นเอกพันธ์ด้วย nไม่ทราบ หน้า 1, หน้า 2, ..., รพีคุณสามารถค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จักได้จากระบบนี้ หน้า 1, หน้า 2, . . . , รพีสถูกต้องตามปัจจัยที่กำหนด เพื่อหาค่าที่แน่นอน หน้า 1,..., รพีเพิ่มเข้าไปในสมการ เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน p 1 + p 2 + …+ พีพี=1 ซึ่งคุณสามารถแสดงความน่าจะเป็นใดๆ ได้ พี ฉันผ่านสมการอื่น ๆ (และละทิ้งสมการใดสมการหนึ่งไปตามลำดับ)

ทบทวนคำถาม

1 สิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันสุ่ม, กระบวนการสุ่ม, ภาพตัดขวางของกระบวนการสุ่ม, การนำไปปฏิบัติ?

2 กระบวนการสุ่มแตกต่างกันอย่างไรในโครงสร้างและลักษณะของความก้าวหน้าเมื่อเวลาผ่านไป

3 กฎการกระจายของฟังก์ชันสุ่มใดที่ใช้อธิบายฟังก์ชันสุ่ม

4 ฟังก์ชั่นคืออะไร ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันสุ่ม ความหมายทางเรขาคณิตของมันคืออะไร?

5 ฟังก์ชั่นการกระจายของฟังก์ชันสุ่มคืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตของมันคืออะไร?

6 ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการสุ่มคืออะไร และมีลักษณะเฉพาะอย่างไร

7 คุณสมบัติของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการสุ่มมีอะไรบ้าง

8 เหตุใดจึงมีการนำแนวคิดของฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบปกติมาใช้

9 อธิบายวิธีรับค่าประมาณฟังก์ชันของคุณลักษณะของกระบวนการสุ่มโดยใช้ข้อมูลการทดลองได้อย่างไร

10 อะไรคือความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามและฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ?

11 กระบวนการสุ่มใดจัดเป็นกระบวนการคงที่ในแง่แคบและในแง่กว้าง

12 คุณสมบัติการยศาสตร์ของกระบวนการสุ่มที่อยู่นิ่งคืออะไร?

13 การสลายตัวทางสเปกตรัมของกระบวนการสุ่มที่อยู่นิ่งหมายถึงอะไร และเหตุใดจึงจำเป็น

14 ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันสหสัมพันธ์กับความหนาแน่นสเปกตรัมของฟังก์ชันสุ่มแบบคงที่คืออะไร?

15 เหตุการณ์ใดเรียกว่ากระแสที่ง่ายที่สุด?

16 กระบวนการสุ่มใดที่เรียกว่าลูกโซ่มาร์คอฟ มีวิธีการคำนวณสถานะอย่างไร?

17 กระบวนการสุ่มมาร์คอฟที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่องคืออะไร

ม(U)=10, ง(U)=0.2

6.5 ค้นหาส่วนกลับที่ทำให้เป็นมาตรฐาน ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ฟังก์ชั่นสุ่ม X(t)=t*Uและ ย(t)=(t+1)คุณ, ที่ไหน คุณเป็นตัวแปรสุ่มและความแปรปรวน ด(U)=10.