วันนี้เราขอเชิญคุณมาสำรวจและสร้างกราฟของฟังก์ชันกับเรา หลังจากศึกษาบทความนี้อย่างละเอียดแล้ว คุณจะไม่ต้องออกแรงทำงานประเภทนี้เป็นเวลานาน ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะศึกษาและสร้างกราฟของฟังก์ชัน แต่เป็นงานที่ต้องใช้ความใส่ใจและความแม่นยำสูงสุดในการคำนวณ เพื่อให้เนื้อหาเข้าใจง่ายขึ้น เราจะศึกษาฟังก์ชันเดียวกันทีละขั้นตอน และอธิบายการกระทำและการคำนวณทั้งหมดของเรา ยินดีต้อนรับสู่โลกคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งและน่าหลงใหล! ไปกันเลย!

โดเมนของคำจำกัดความ

เพื่อที่จะสำรวจและสร้างกราฟฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้คำจำกัดความหลายประการ ฟังก์ชั่นเป็นหนึ่งในแนวคิดหลัก (พื้นฐาน) ในทางคณิตศาสตร์ มันสะท้อนถึงการพึ่งพาระหว่างตัวแปรหลายตัว (สองสามตัวขึ้นไป) ในระหว่างการเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันนี้ยังแสดงการขึ้นต่อกันของเซตอีกด้วย

ลองจินตนาการว่าเรามีตัวแปรสองตัวที่มีการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่ง ดังนั้น y คือฟังก์ชันของ x โดยมีเงื่อนไขว่าแต่ละค่าของตัวแปรตัวที่สองจะต้องสอดคล้องกับค่าหนึ่งของตัวแปรตัวที่สอง ในกรณีนี้ ตัวแปร y จะขึ้นอยู่กับตัวแปร และเรียกว่าฟังก์ชัน เป็นเรื่องปกติที่จะบอกว่าตัวแปร x และ y อยู่ในนั้น เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้นของการพึ่งพานี้ จึงสร้างกราฟของฟังก์ชันขึ้นมา กราฟของฟังก์ชันคืออะไร? นี่คือเซตของจุดบนระนาบพิกัด โดยที่ค่า x แต่ละค่าสอดคล้องกับค่า y หนึ่งค่า กราฟอาจแตกต่างกันได้ เช่น เส้นตรง ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา คลื่นไซน์ และอื่นๆ

เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างกราฟฟังก์ชันหากไม่มีการวิจัย วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีดำเนินการวิจัยและสร้างกราฟของฟังก์ชัน การจดบันทึกระหว่างการศึกษาเป็นสิ่งสำคัญมาก ซึ่งจะทำให้งานง่ายขึ้นมาก แผนการวิจัยที่สะดวกที่สุด:

1. ขอบเขตของคำจำกัดความ
2. ความต่อเนื่อง
3. คู่หรือคี่
4. ความเป็นงวด
5. เส้นกำกับ
6. ศูนย์
7. ลงชื่อความมั่นคง
8. เพิ่มขึ้นและลดลง
9. สุดขั้ว
10. ความนูนและความเว้า

เริ่มจากประเด็นแรกกันก่อน มาดูโดเมนของคำจำกัดความกัน ซึ่งก็คือ ฟังก์ชันของเรามีอยู่ในช่วงใด: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ในกรณีของเรา มีฟังก์ชันสำหรับค่าใดๆ ของ x นั่นคือโดเมนของคำจำกัดความเท่ากับ R ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ xÎR

ความต่อเนื่อง

ตอนนี้เราจะตรวจสอบฟังก์ชันความไม่ต่อเนื่อง ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ความต่อเนื่อง" เกิดขึ้นจากการศึกษากฎการเคลื่อนที่ อนันต์คืออะไร? พื้นที่ เวลา การขึ้นต่อกันบางอย่าง (ตัวอย่างคือการขึ้นอยู่กับตัวแปร S และ t ในปัญหาการเคลื่อนไหว) อุณหภูมิของวัตถุที่ให้ความร้อน (น้ำ กระทะ เทอร์โมมิเตอร์ ฯลฯ) เส้นต่อเนื่อง (นั่นคือเส้นที่ สามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกออกจากแผ่นดินสอ)

กราฟจะถือว่าต่อเนื่องหากกราฟไม่แตกหัก ณ จุดใดจุดหนึ่ง หนึ่งในตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของกราฟดังกล่าวคือไซนัสอยด์ ซึ่งคุณสามารถเห็นได้ในภาพในส่วนนี้ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุดใดจุดหนึ่ง x0 หากตรงตามเงื่อนไขหลายประการ:

• ฟังก์ชั่นถูกกำหนด ณ จุดที่กำหนด
• ขีดจำกัดด้านซ้ายและขวาที่จุดหนึ่งมีค่าเท่ากัน
• ลิมิตเท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด x0

หากไม่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ แสดงว่าฟังก์ชันล้มเหลว และจุดที่ฟังก์ชันแบ่งมักจะเรียกว่าจุดพัก ตัวอย่างของฟังก์ชันที่จะ “แตกหัก” เมื่อแสดงเป็นกราฟิกคือ: y=(x+4)/(x-3) ยิ่งไปกว่านั้น y ไม่มีอยู่ที่จุด x = 3 (เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์)

ในฟังก์ชันที่เรากำลังศึกษา (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) ทุกอย่างกลายเป็นเรื่องง่าย เนื่องจากกราฟจะต่อเนื่องกัน

แม้กระทั่งคี่

ตอนนี้ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน ก่อนอื่นมีทฤษฎีเล็กน้อย ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไข f(-x)=f(x) สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x (จากช่วงของค่า) ตัวอย่างได้แก่:

• โมดูล x (กราฟดูเหมือนรุ่งอรุณ, เส้นแบ่งครึ่งของไตรมาสที่หนึ่งและสองของกราฟ);
• x กำลังสอง (พาราโบลา);
• โคไซน์ x (โคไซน์)

โปรดทราบว่ากราฟทั้งหมดนี้มีความสมมาตรเมื่อดูด้วยความเคารพต่อแกน y (นั่นคือแกน y)

ฟังก์ชันคี่เรียกว่าอะไร? ฟังก์ชันเหล่านี้คือฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไข: f(-x)=-f(x) สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x ตัวอย่าง:

• ไฮเปอร์โบลา;
• ลูกบาศก์พาราโบลา;
• ไซนัสอยด์;
• แทนเจนต์และอื่น ๆ

โปรดทราบว่าฟังก์ชันเหล่านี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด (0:0) ซึ่งก็คือจุดกำเนิด จากสิ่งที่กล่าวไว้ในบทความในส่วนนี้ ฟังก์ชันคู่และคี่ต้องมีคุณสมบัติ: x เป็นของชุดคำจำกัดความและ -x เช่นกัน

ลองตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน เราเห็นว่าเธอไม่เหมาะกับคำอธิบายใดๆ ดังนั้นฟังก์ชันของเราจึงไม่เป็นคู่หรือคี่

เส้นกำกับ

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ เส้นกำกับคือเส้นโค้งที่อยู่ใกล้กับกราฟมากที่สุด กล่าวคือ ระยะทางจากจุดหนึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ โดยรวมแล้วมีเส้นกำกับสามประเภท:

• แนวตั้ง นั่นคือ ขนานกับแกน y
• แนวนอน นั่นคือ ขนานกับแกน x
• โน้มเอียง

สำหรับประเภทแรก ควรมองหาบรรทัดเหล่านี้ในบางจุด:

• ช่องว่าง;
• สิ้นสุดขอบเขตของคำจำกัดความ

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง และโดเมนของคำจำกัดความเท่ากับ R ดังนั้น จึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

กราฟของฟังก์ชันมีเส้นกำกับแนวนอน ซึ่งตรงตามข้อกำหนดต่อไปนี้: ถ้า x มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์หรือลบอนันต์ และขีดจำกัดจะเท่ากับตัวเลขจำนวนหนึ่ง (เช่น a) ในกรณีนี้ y=a คือเส้นกำกับแนวนอน ไม่มีเส้นกำกับแนวนอนในฟังก์ชันที่เรากำลังศึกษา

เส้นกำกับเฉียงจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อตรงตามเงื่อนไขสองประการเท่านั้น:

• ลิม(f(x))/x=k;
• ลิม f(x)-kx=b.

จากนั้นหาได้จากสูตร: y=kx+b อีกครั้ง ในกรณีของเราไม่มีเส้นกำกับแบบเฉียง

ฟังก์ชันศูนย์

ขั้นตอนต่อไปคือการตรวจสอบกราฟของฟังก์ชันเพื่อหาศูนย์ สิ่งสำคัญมากที่ต้องทราบคืองานที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันนั้นไม่เพียงเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อศึกษาและสร้างกราฟของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังเป็นงานอิสระและเป็นวิธีการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันด้วย คุณอาจต้องค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันบนกราฟหรือใช้สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์

การค้นหาค่าเหล่านี้จะช่วยให้คุณสร้างกราฟฟังก์ชันได้แม่นยำยิ่งขึ้น กล่าวง่ายๆ ก็คือ ศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของตัวแปร x โดยที่ y = 0 หากคุณกำลังมองหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันบนกราฟ คุณควรใส่ใจกับจุดที่กราฟตัดกับแกน x

หากต้องการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน คุณต้องแก้สมการต่อไปนี้: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0 หลังจากดำเนินการคำนวณที่จำเป็นแล้วเราจะได้คำตอบดังนี้:

ลงชื่อความมั่นคง

ขั้นตอนต่อไปของการวิจัยและสร้างฟังก์ชัน (กราฟ) คือการค้นหาช่วงของเครื่องหมายคงที่ ซึ่งหมายความว่าเราต้องกำหนดว่าช่วงใดที่ฟังก์ชันรับค่าบวก และช่วงใดที่ฟังก์ชันรับค่าลบ ฟังก์ชันศูนย์ที่พบในส่วนสุดท้ายจะช่วยให้เราทำสิ่งนี้ได้ ดังนั้น เราจำเป็นต้องสร้างเส้นตรง (แยกจากกราฟ) และกระจายศูนย์ของฟังก์ชันตามลำดับที่ถูกต้องจากน้อยไปหามาก ตอนนี้คุณต้องพิจารณาว่าช่วงผลลัพธ์ใดที่มีเครื่องหมาย "+" และช่วงใดที่มีเครื่องหมาย "-"

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันรับค่าบวกตามช่วงเวลา:

• จาก 1 ถึง 4;
• จาก 9 ถึงอนันต์

ค่าลบ:

• จากลบอนันต์ถึง 1;
• จาก 4 ถึง 9

นี่ค่อนข้างง่ายที่จะกำหนด แทนตัวเลขใดๆ จากช่วงลงในฟังก์ชันแล้วดูว่าคำตอบที่ได้มีเครื่องหมายอะไร (ลบหรือบวก)

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

ในการสำรวจและสร้างฟังก์ชัน เราจำเป็นต้องรู้ว่ากราฟจะเพิ่มขึ้นที่ใด (ขึ้นไปตามแกน Oy) และจะตกที่ใด (คลานลงไปตามแกน y)

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นก็ต่อเมื่อค่าที่มากกว่าของตัวแปร x สอดคล้องกับค่า y ที่มากกว่า นั่นคือ x2 มากกว่า x1 และ f(x2) มากกว่า f(x1) และเราสังเกตเห็นปรากฏการณ์ที่ตรงกันข้ามอย่างสิ้นเชิงด้วยฟังก์ชันที่ลดลง (ยิ่ง x ยิ่ง y ยิ่งน้อยลง) ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงคุณต้องค้นหาสิ่งต่อไปนี้:

• ขอบเขตของคำจำกัดความ (เรามีอยู่แล้ว);
• อนุพันธ์ (ในกรณีของเรา: 1/3(3x^2-28x+49);
• แก้สมการ 1/3(3x^2-28x+49)=0

หลังจากการคำนวณเราจะได้ผลลัพธ์:

เราได้รับ: ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาจากลบอนันต์เป็น 7/3 และจาก 7 เป็นอนันต์ และลดลงในช่วงเวลาจาก 7/3 เป็น 7

สุดขั้ว

ฟังก์ชันภายใต้การศึกษา y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีอยู่สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x จุดสุดขีดแสดงค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีของเราไม่มีเลยซึ่งทำให้งานก่อสร้างง่ายขึ้นมาก มิฉะนั้นก็สามารถพบได้โดยใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ เมื่อพบแล้วอย่าลืมทำเครื่องหมายไว้บนแผนภูมิ

ความนูนและความเว้า

เรายังคงสำรวจฟังก์ชัน y(x) เพิ่มเติมต่อไป ตอนนี้เราต้องตรวจสอบความนูนและความเว้า คำจำกัดความของแนวคิดเหล่านี้ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจ เป็นการดีกว่าที่จะวิเคราะห์ทุกสิ่งโดยใช้ตัวอย่าง สำหรับการทดสอบ: ฟังก์ชันจะนูนออกมาหากเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง เห็นด้วยนี่เป็นสิ่งที่เข้าใจยาก!

เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลำดับที่สอง เราได้: y=1/3(6x-28) ทีนี้ลองจัดด้านขวาให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการ คำตอบ: x=14/3 เราพบจุดเปลี่ยนเว้า ซึ่งก็คือจุดที่กราฟเปลี่ยนจากความนูนเป็นความเว้าหรือในทางกลับกัน ในช่วงเวลาตั้งแต่ลบอนันต์ถึง 14/3 ฟังก์ชันจะนูน และจาก 14/3 ถึงบวกอนันต์ ฟังก์ชันจะเว้า สิ่งสำคัญมากที่ต้องทราบคือจุดเปลี่ยนบนกราฟควรเรียบและนุ่มนวล และไม่ควรมีมุมที่แหลมคม

การกำหนดจุดเพิ่มเติม

หน้าที่ของเราคือตรวจสอบและสร้างกราฟของฟังก์ชัน เราศึกษาเสร็จแล้ว การสร้างกราฟของฟังก์ชันตอนนี้ไม่ใช่เรื่องยาก หากต้องการสร้างเส้นโค้งหรือเส้นตรงบนระนาบพิกัดที่แม่นยำและละเอียดยิ่งขึ้น คุณสามารถค้นหาจุดเสริมได้หลายจุด คำนวณได้ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น เราใช้ x=3 แก้สมการผลลัพธ์แล้วหา y=4 หรือ x=5 และ y=-5 และอื่นๆ คุณสามารถใช้คะแนนเพิ่มเติมได้มากเท่าที่คุณต้องการสำหรับการก่อสร้าง พบอย่างน้อย 3-5 อัน

พล็อตกราฟ

เราจำเป็นต้องตรวจสอบฟังก์ชัน (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y เครื่องหมายที่จำเป็นทั้งหมดระหว่างการคำนวณถูกสร้างขึ้นบนระนาบพิกัด สิ่งที่คุณต้องทำคือสร้างกราฟ ซึ่งก็คือ เชื่อมต่อจุดทั้งหมดเข้าด้วยกัน การเชื่อมต่อจุดต่างๆ ควรราบรื่นและแม่นยำ นี่เป็นเรื่องของทักษะ การฝึกฝนเพียงเล็กน้อยแล้วกำหนดการของคุณจะสมบูรณ์แบบ

เชิงนามธรรม

“การศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟอย่างเต็มรูปแบบ”

การแนะนำ

การศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันและการพล็อตกราฟเป็นหนึ่งในการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ที่ยอดเยี่ยมที่สุด วิธีการศึกษาฟังก์ชันนี้ได้รับการวิเคราะห์อย่างรอบคอบซ้ำแล้วซ้ำอีก เหตุผลหลักก็คือในการใช้งานคณิตศาสตร์ เราต้องเผชิญกับปัญหามากขึ้นเรื่อยๆ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนที่ปรากฏขึ้นเมื่อศึกษาปรากฏการณ์ใหม่ๆ มีข้อยกเว้นสำหรับกฎที่พัฒนาโดยคณิตศาสตร์ กรณีเกิดขึ้นเมื่อกฎที่สร้างขึ้นไม่เหมาะสมเลย ฟังก์ชันปรากฏว่าไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง

วัตถุประสงค์ของการศึกษาหลักสูตรพีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นในระดับ 10-11 คือการศึกษาฟังก์ชันอย่างเป็นระบบการเปิดเผยค่าประยุกต์ของวิธีทั่วไปของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชัน

การพัฒนาแนวคิดเชิงฟังก์ชันในหลักสูตรการศึกษาพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ในระดับอาวุโสของการศึกษาช่วยให้นักเรียนมัธยมปลายได้รับความเข้าใจภาพเกี่ยวกับความต่อเนื่องและความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันเรียนรู้เกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชันประถมศึกษาในสาขานี้ ของการประยุกต์ใช้ เรียนรู้การสร้างกราฟและสรุปข้อมูลเกี่ยวกับพื้นฐาน ฟังก์ชั่นเบื้องต้นและตระหนักถึงบทบาทของตนในการศึกษาปรากฏการณ์แห่งความเป็นจริงในการปฏิบัติของมนุษย์

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

การแก้ปัญหาต่างๆ ในสาขาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และเทคโนโลยี นำไปสู่การสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์นี้

หากการพึ่งพาฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงออกมาในเชิงวิเคราะห์ได้นั่นคือในรูปแบบของสูตรตั้งแต่หนึ่งสูตรขึ้นไปก็จะเป็นไปได้ที่จะศึกษาโดยใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

นี่หมายถึงความเป็นไปได้ในการชี้แจงพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อตัวแปรหนึ่งหรือตัวแปรอื่นเปลี่ยนแปลง (โดยที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น, ลดลง, เมื่อถึงค่าสูงสุด ฯลฯ)

การประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชันนั้นมีพื้นฐานมาจากการเชื่อมโยงง่ายๆ ที่มีอยู่ระหว่างพฤติกรรมของฟังก์ชันกับคุณสมบัติของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน โดยหลักๆ คืออนุพันธ์อันดับหนึ่งและตัวที่สองของฟังก์ชัน

ลองพิจารณาว่าเราจะหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงได้อย่างไร ซึ่งก็คือช่วงเวลาของความน่าเบื่อของมัน ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ มีความเป็นไปได้ที่จะกำหนดทฤษฎีบทที่ช่วยให้เราสามารถเชื่อมโยงค่าของอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดกับธรรมชาติของความซ้ำซากจำเจได้

ทฤษฎีบท 1.1 ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ ( x ) , หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา( ก , ข ) เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจในช่วงเวลานี้ จากนั้น ณ จุดใดก็ได้
( x ) >0; ถ้ามันลดลงอย่างน่าเบื่อก็ ณ จุดใดก็ได้ในช่วงเวลานั้น ( x )<0.

การพิสูจน์. ให้ฟังก์ชันย = ฉ ( x ) เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่ายด้วย( ก , ข ) , ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกคนที่มีขนาดเล็กพอ > 0 มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ฉ ( x - ) < ฉ ( x ) < ฉ ( x + ) (รูปที่ 1.1)

ข้าว. 1.1

พิจารณาขีดจำกัด

.

ถ้า > 0 แล้ว > 0 ถ้า< 0, то

< 0.

ในทั้งสองกรณี นิพจน์ใต้เครื่องหมายขีดจำกัดจะเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดจะเป็นค่าบวก กล่าวคือ ( x )>0 ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ ส่วนที่สองของทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับการลดลงของฟังก์ชันแบบโมโนโทนิก ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

ทฤษฎีบท 1.2 ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ ( x ) ต่อเนื่องในส่วนนี้[ ก , ข ] และสามารถหาความแตกต่างได้ที่จุดภายในทั้งหมด และนอกจากนี้ ( x ) >0 สำหรับใครก็ตาม x ϵ ( ก , ข ) จากนั้นฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจด้วย( ก , ข ) - ถ้า

( x ) <0 สำหรับใครก็ตาม xϵ ( ก , ข ), จากนั้นฟังก์ชันนี้จะลดลงอย่างซ้ำซากจำเจด้วย( ก , ข ) .

การพิสูจน์. เอาล่ะ ϵ ( ก , ข ) และ ϵ ( ก , ข ) , และ< - ตามทฤษฎีบทของลากรองจ์

( ค ) = .

แต่ ( ค )>0 และ > 0 ซึ่งหมายถึง ( > 0 นั่นคือ

(- ผลลัพธ์ที่ได้บ่งชี้ถึงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่ซ้ำซากจำเจ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ ส่วนที่สองของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

สุดขีดของฟังก์ชัน

เมื่อศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชัน จุดที่แยกจากกันในช่วงเวลาของการเพิ่มแบบโมโนโทนิกจากช่วงเวลาของการลดลงแบบโมโนโทนิกจะมีบทบาทพิเศษ

คำจำกัดความ 2.1 จุด เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

ย = ฉ ( x ) ถ้ามีไม่ว่าจะเล็กน้อยก็ตาม , ( < 0 , а точка เรียกว่าจุดต่ำสุดถ้า ( > 0.

จุดต่ำสุดและสูงสุดเรียกรวมกันว่าจุดสุดขั้ว ฟังก์ชันโมโนโทนิกทีละชิ้นของจุดดังกล่าวมีจำนวนจำกัดในช่วงเวลาจำกัด (รูปที่ 2.1)

ข้าว. 2.1

ทฤษฎีบท 2.1 ( สภาพที่จำเป็นการดำรงอยู่ของสุดขั้ว). หากหาผลต่างได้ในช่วงเวลา( ก , ข ) ฟังก์ชั่นมีตรงจุด จากช่วงเวลานี้คือค่าสูงสุด ดังนั้นอนุพันธ์ ณ จุดนี้จึงเท่ากับศูนย์ เช่นเดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับจุดต่ำสุด .

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทของโรล ซึ่งแสดงให้เห็นว่าที่จุดต่ำสุดหรือสูงสุด = 0 และแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้จะขนานกับแกนวัว .

ตามมาจากทฤษฎีบท 2.1 ว่า ถ้าฟังก์ชันย = ฉ ( x ) มีอนุพันธ์ทุกจุดแล้วถึงจุดสุดขั้วตรงจุดนั้นได้ = 0.

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอ เนื่องจากมีฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ แต่ไม่มีค่าสูงสุด ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันย= ณ จุดหนึ่ง x = 0 อนุพันธ์เป็นศูนย์ แต่ไม่มีจุดสุดขั้ว ณ จุดนี้ นอกจากนี้จุดสุดโต่งอาจอยู่ที่จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อยู่ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันย = | x | มีขั้นต่ำ ณ จุดนั้นx = 0 แม้ว่าอนุพันธ์จะไม่มีอยู่ในจุดนี้ก็ตาม

คำจำกัดความ 2.2 จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันหายไปหรือมีความต่อเนื่องเรียกว่าจุดวิกฤตของฟังก์ชันนี้.

ดังนั้นทฤษฎีบท 2.1 จึงไม่เพียงพอสำหรับการหาจุดสุดขั้ว

ทฤษฎีบท 2.2 (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว)- ให้ฟังก์ชัน ย = ฉ ( x ) อย่างต่อเนื่องตามช่วงเวลา( ก , ข ) ซึ่งมีจุดวิกฤติอยู่ และสามารถหาอนุพันธ์ได้ในทุกจุดของช่วงเวลานี้ ยกเว้นจุดที่เป็นไปได้นั้นเอง - จากนั้นหากเมื่อผ่านจุดนี้จากซ้ายไปขวาเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบนี่คือจุดสูงสุดและในทางกลับกันจากลบเป็นบวก - จุดต่ำสุด.

การพิสูจน์. ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุด จากซ้ายไปขวาจากบวกเป็นลบจากนั้นฟังก์ชันจะเลื่อนจากเพิ่มไปลดนั่นคือไปถึงจุดนั้น สูงสุดและในทางกลับกัน

จากที่กล่าวมาข้างต้นมีรูปแบบการศึกษาฟังก์ชันในระดับสุดขีดดังนี้

1) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

2) คำนวณอนุพันธ์

3) ค้นหาจุดวิกฤติ

4) โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะพิจารณาลักษณะของพวกมัน

งานศึกษาฟังก์ชันสำหรับส่วนปลายไม่ควรสับสนกับงานกำหนดค่าต่ำสุดและสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ ในกรณีที่สอง จำเป็นต้องค้นหาไม่เพียงแต่จุดสูงสุดของเซกเมนต์เท่านั้น แต่ยังต้องเปรียบเทียบกับค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายด้วย

ช่วงของฟังก์ชันนูนและเว้า

คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของกราฟของฟังก์ชันที่สามารถกำหนดได้โดยใช้อนุพันธ์คือความนูนหรือความเว้า

คำจำกัดความ 3.1 การทำงาน ย = ฉ ( x ) เรียกว่านูนตามช่วงเวลา( ก , ข ) ถ้ากราฟของมันอยู่ใต้แทนเจนต์ใดๆ ที่วาดลงไปในช่วงเวลาที่กำหนด และในทางกลับกัน จะเรียกว่าเว้าถ้ากราฟของมันอยู่เหนือแทนเจนต์ใดๆ ที่วาดลงไปในช่วงเวลาที่กำหนด.

ขอให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดช่วงเวลาของความนูนและความเว้าของฟังก์ชันได้

ทฤษฎีบท 3.1 หากทุกจุดของช่วงเวลา( ก , ข ) อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ( x ) เป็นแบบต่อเนื่องและเป็นลบ จากนั้นจึงเป็นฟังก์ชันย = ฉ ( x ) นูนและในทางกลับกัน ถ้าอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องและเป็นบวก ฟังก์ชันก็จะเว้า.

เราทำการพิสูจน์ช่วงเวลาความนูนของฟังก์ชัน ลองใช้จุดใดก็ได้ϵ ( ก , ข ) และวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ย = ฉ ( x ) (รูปที่ 3.1)

ทฤษฎีบทนี้จะได้รับการพิสูจน์หากแสดงได้ว่าทุกจุดของเส้นโค้งในช่วงเวลานั้น( ก , ข ) อยู่ใต้แทนเจนต์นี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามีค่าเท่ากันx กำหนดเส้นโค้งย = ฉ ( x ) น้อยกว่าพิกัดของแทนเจนต์ที่ลากไปที่จุดนั้น .

ข้าว. 3.1

เพื่อความแน่นอน ให้เราแสดงสมการของเส้นโค้ง: = ฉ ( x ) และสมการของแทนเจนต์ที่จุดนั้น :

- ฉ ( ) = ( )( x - )

หรือ

= ฉ ( ) + ( )( x - ) .

มาสร้างความแตกต่างกันเถอะและ :

- = ฉ(x) – ฉ( ) - ( )(เอ็กซ์- ).

นำไปใช้กับความแตกต่างฉ ( x ) – ฉ ( ) ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของลากรองจ์:

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

ที่ไหน ϵ ( , x ).

ตอนนี้ให้เราใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์กับนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยม:

- = ( )( - )( x - ) , ที่ไหน ϵ ( , ).

ดังจะเห็นได้จากรูปx > , แล้ว x - > 0 และ - > 0 - นอกจากนี้ ตามทฤษฎีบท ( )<0.

เมื่อคูณปัจจัยทั้งสามนี้ เราจะได้สิ่งนั้น ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

คำจำกัดความ 3.2 จุดที่แยกช่วงนูนออกจากช่วงเว้าเรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้า.

จากคำจำกัดความ 3.1 ตามมาว่า ณ จุดที่กำหนด แทนเจนต์จะตัดเส้นโค้ง กล่าวคือ เส้นโค้งจะอยู่ใต้เส้นสัมผัสแทนเจนต์ด้านหนึ่ง และอีกด้านหนึ่งอยู่ด้านบน

ทฤษฎีบท 3.2 ถ้าตรงจุด อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

ย = ฉ ( x ) จะเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่และเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนไปตรงกันข้าม จากนั้นจุดนี้ก็คือจุดเปลี่ยนเว้า.

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่าสัญญาณต่างๆ ( x ) อยู่ฝั่งตรงข้ามของจุด แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าด้านหนึ่งของจุดฟังก์ชันจะนูน และอีกด้านหนึ่งจะเว้า ในกรณีนี้ตามคำจำกัดความ 3.2 ประเด็น คือจุดเปลี่ยนเว้า

การศึกษาฟังก์ชันสำหรับความนูนและความเว้าดำเนินการตามรูปแบบเดียวกันกับการศึกษาส่วนปลายสุด

4. เส้นกำกับของฟังก์ชัน

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ มีการกล่าวถึงวิธีการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม ในบรรดาคำถามที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชันที่สมบูรณ์ ยังมีคำถามที่ไม่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อีกด้วย

ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องรู้ว่าฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไรเมื่อจุดบนกราฟเคลื่อนออกจากจุดกำเนิดอย่างไม่สิ้นสุด ปัญหานี้สามารถเกิดขึ้นได้ในสองกรณี: เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันไปที่อนันต์ และเมื่อใดที่จุดสิ้นสุดไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง ฟังก์ชันนั้นจะไปที่อนันต์ ในทั้งสองกรณีนี้ สถานการณ์อาจเกิดขึ้นเมื่อฟังก์ชันมีแนวโน้มเป็นเส้นตรงที่เรียกว่าเส้นกำกับ

คำนิยาม . เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชันย = ฉ ( x ) เป็นเส้นตรงที่มีคุณสมบัติว่าระยะห่างจากกราฟถึงเส้นตรงนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์เนื่องจากจุดกราฟเคลื่อนที่จากจุดกำเนิดอย่างไม่มีกำหนด.

เส้นกำกับมีสองประเภท: แนวตั้งและแนวเฉียง

เส้นกำกับแนวตั้งประกอบด้วยเส้นตรงx = ซึ่งมีคุณสมบัติที่กราฟของฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงไปถึงอนันต์ นั่นคือ เป็นไปตามเงื่อนไข: .

แน่นอนว่าข้อกำหนดของคำจำกัดความที่ระบุมีดังต่อไปนี้: ระยะห่างจากกราฟของเส้นโค้งถึงเส้นตรงx = มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ และเส้นโค้งเองก็เข้าสู่ระยะอนันต์ ดังนั้น ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่องของชนิดที่สอง ฟังก์ชันจะมีเส้นกำกับแนวตั้ง ตัวอย่างเช่นย= ณ จุดหนึ่ง x = 0 - ดังนั้น การกำหนดเส้นกำกับแนวดิ่งของฟังก์ชันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับการค้นหาจุดไม่ต่อเนื่องของชนิดที่สอง

เส้นกำกับเฉียงอธิบายได้ด้วยสมการทั่วไปของเส้นตรงบนระนาบ กล่าวคือย = เคเอ็กซ์ + ข - ซึ่งหมายความว่า จำเป็นต้องกำหนดตัวเลขซึ่งต่างจากเส้นกำกับแนวตั้งเค และ ข .

เลยปล่อยให้โค้ง = ฉ ( x ) มีเส้นกำกับเฉียงนั่นคือที่x จุดของเส้นโค้งจะเข้ามาใกล้เส้นตรงตามที่ต้องการ = เคเอ็กซ์ + ข (รูปที่ 4.1) อนุญาต ม ( x , ย ) - จุดที่อยู่บนเส้นโค้ง ระยะทางจากเส้นกำกับจะมีลักษณะเป็นความยาวของเส้นตั้งฉาก| มน | .

งานที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือการพัฒนาตัวอย่างทั่วไปของการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชัน

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา และอนุพันธ์ของมันคือค่าบวกหรือเท่ากับ 0 ในช่วงเวลา (a,b) ดังนั้น y=f(x) จะเพิ่มขึ้น (f"(x)0) ถ้าฟังก์ชัน y=f (x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ และอนุพันธ์ของมันเป็นลบหรือเท่ากับ 0 ในช่วงเวลา (a,b) ดังนั้น y=f(x) จะลดลง (f"(x)0 )

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันไม่ลดลงหรือเพิ่มขึ้นเรียกว่าช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะที่จุดของขอบเขตคำจำกัดความซึ่งสัญญาณของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ครั้งแรกเท่านั้น จุดที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันหายไปหรือมีความต่อเนื่องเรียกว่าวิกฤต

ทฤษฎีบท 1 (เงื่อนไขที่เพียงพอประการที่ 1 สำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว)

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดไว้ที่จุด x 0 และปล่อยให้มีค่าใกล้เคียง δ>0 โดยที่ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกันในช่วงเวลาและสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานั้น (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) และอนุพันธ์ของมันยังคงมีเครื่องหมายคงที่ในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ จากนั้นถ้าบน x 0 -δ,x 0) และ (x 0 , x 0 +δ) สัญญาณของอนุพันธ์ต่างกัน ดังนั้น x 0 คือจุดสุดขั้ว และหากมันตรงกัน แล้ว x 0 ไม่ใช่จุดสุดขีด . ยิ่งไปกว่านั้น หากเมื่อผ่านจุด x0 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (ทางซ้ายของ x 0 f"(x)>0 เป็นไปตามนั้น x 0 คือจุดสูงสุด ถ้าอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก ลบถึงบวก (ทางด้านขวาของ x 0 ดำเนินการ f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

จุดสูงสุดและต่ำสุดเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน และจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันคือค่าที่มากสุด

ทฤษฎีบท 2 (สัญลักษณ์ที่จำเป็นของจุดสุดโต่งในท้องถิ่น)

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีจุดสิ้นสุดที่ปัจจุบัน x=x 0 แล้ว f'(x 0)=0 หรือ f'(x 0) จะไม่มีอยู่จริง
ที่จุดปลายสุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ เส้นสัมผัสของกราฟจะขนานกับแกน Ox

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้ว:

1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2) ค้นหาจุดวิกฤติ เช่น จุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและมีอนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่
3) พิจารณาบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุด และตรวจสอบเครื่องหมายอนุพันธ์ทางซ้ายและขวาของจุดนี้
4) กำหนดพิกัดของจุดสุดขั้ว เพื่อแทนที่ค่าของจุดวิกฤตลงในฟังก์ชันนี้ ใช้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายสุด แล้วจึงได้ข้อสรุปที่เหมาะสม

ตัวอย่างที่ 18 ตรวจสอบฟังก์ชัน y=x 3 -9x 2 +24x เพื่อหาค่าสุดขีด

สารละลาย.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4)
2) การหาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์เราจะพบว่า x 1 =2, x 2 =4 ในกรณีนี้ อนุพันธ์ถูกกำหนดไว้ทุกที่ ซึ่งหมายความว่านอกเหนือจากจุดสองจุดที่พบแล้ว ก็ไม่มีจุดวิกฤตอื่นอีก
3) เครื่องหมายของอนุพันธ์ y"=3(x-2)(x-4) เปลี่ยนแปลงไปตามช่วงดังแสดงในรูปที่ 1 เมื่อผ่านจุด x=2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ และเมื่อผ่านจุด x=4 - จากลบไปบวก
4) ณ จุด x=2 ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด y ค่าสูงสุด =20 และที่จุด x=4 - ค่าต่ำสุด y ค่าต่ำสุด =16

ทฤษฎีบท 3 (เงื่อนไขที่เพียงพอประการที่ 2 สำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว)

ให้ f"(x 0) และ ณ จุด x 0 มี f""(x 0) แล้วถ้า f""(x 0)>0 แล้ว x 0 คือจุดต่ำสุด และถ้า f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

บนเซ็กเมนต์ ฟังก์ชัน y=f(x) สามารถเข้าถึงค่าที่น้อยที่สุด (y น้อยที่สุด) หรือค่าสูงสุด (y สูงสุด) ที่จุดวิกฤตของฟังก์ชันที่อยู่ในช่วงเวลา (a;b) หรือที่ ส่วนท้ายของส่วน

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง y=f(x) บนเซ็กเมนต์:

1) ค้นหา ฉ"(x)
2) ค้นหาจุดที่ไม่มี f"(x)=0 หรือ f"(x) และเลือกจากจุดเหล่านั้นที่อยู่ในส่วน
3) คำนวณค่าของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุดที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2) รวมถึงที่ส่วนท้ายของส่วนและเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจากพวกมัน: ตามลำดับคือค่าที่ใหญ่ที่สุด (y ใหญ่ที่สุด) และค่าน้อยที่สุด (y น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 19 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง y=x 3 -3x 2 -45+225 บนเซ็กเมนต์

1) เรามี y"=3x 2 -6x-45 บนเซ็กเมนต์
2) อนุพันธ์ของ y" มีอยู่สำหรับ x ทั้งหมด มาหาจุดที่ y"=0; เราได้รับ:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 = 5
3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
ส่วนนี้มีเพียงจุด x=5 ค่าที่พบมากที่สุดของฟังก์ชันคือ 225 และค่าที่น้อยที่สุดคือ 50 ดังนั้น y สูงสุด = 225, y นาที = 50

การศึกษาฟังก์ชันเกี่ยวกับความนูน

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสอง อันแรกนูนขึ้น ส่วนอันที่สองนูนลง

ฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์และสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา (a;b) เรียกว่านูนขึ้น (ลง) บนเซ็กเมนต์นี้ หากสำหรับ axb กราฟของมันอยู่ไม่สูง (ไม่ต่ำกว่า) กว่า แทนเจนต์ที่วาดที่จุดใดๆ M 0 (x 0 ;f(x 0)) โดยที่ axb

ทฤษฎีบท 4 ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองที่จุดภายใน x ใดๆ ของเซกเมนต์และต่อเนื่องกันที่ปลายเซ็กเมนต์นี้ จากนั้นหากความไม่เท่าเทียมกัน f""(x)0 คงอยู่ในช่วงเวลา (a;b) ฟังก์ชันก็จะนูนลงตามช่วงเวลา ; หากความไม่เท่าเทียมกัน f""(x)0 คงอยู่ในช่วงเวลา (a;b) แสดงว่าฟังก์ชันจะนูนขึ้นบน

ทฤษฎีบท 5 ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองในช่วงเวลา (a;b) และถ้ามันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุด x 0 แล้ว M(x 0 ;f(x 0)) จะเป็น จุดเปลี่ยน

กฎการหาจุดเปลี่ยนเว้า:

1) ค้นหาจุดที่ f""(x) ไม่มีอยู่หรือหายไป
2) ตรวจสอบเครื่องหมาย f""(x) ทางด้านซ้ายและขวาของแต่ละจุดที่พบในขั้นตอนแรก
3) ตามทฤษฎีบทที่ 4 ให้สรุปผล

ตัวอย่างที่ 20 ค้นหาจุดปลายสุดและจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชัน y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12

เรามี f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 แน่นอน f"(x)=0 เมื่อ x 1 =0, x 2 =1 เมื่อผ่านจุด x=0 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก แต่เมื่อผ่านจุด x=1 จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่า x=0 คือจุดต่ำสุด (y นาที =12) และไม่มีจุดสุดขีดที่จุด x=1 ต่อไปเราจะพบ - อนุพันธ์อันดับสองหายไปที่จุด x 1 =1, x 2 =1/3 สัญญาณของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์อันดับสองมีดังนี้: บนรังสี (-∞;) เรามี f""(x)>0 บนช่วง (;1) เรามี f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0 ดังนั้น x= คือจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน (การเปลี่ยนจากนูนลงไปเป็นนูนขึ้น) และ x=1 ก็เป็นจุดเปลี่ยนเว้าเช่นกัน (การเปลี่ยนจากนูนขึ้นเป็นนูนลง) ถ้า x= แล้ว y= ; ถ้า แล้ว x=1, y=13

อัลกอริทึมในการค้นหาเส้นกำกับของกราฟ

I. ถ้า y=f(x) เป็น x → a แล้ว x=a เป็นเส้นกำกับแนวดิ่ง
ครั้งที่สอง ถ้า y=f(x) เป็น x → ∞ หรือ x → -∞ แล้ว y=A จะเป็นเส้นกำกับแนวนอน
ที่สาม ในการค้นหาเส้นกำกับเฉียง เราใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:
1) คำนวณ . ถ้าขีดจำกัดมีอยู่และเท่ากับ b แล้ว y=b จะเป็นเส้นกำกับแนวนอน ถ้า ให้ไปที่ขั้นตอนที่สอง
2) คำนวณ . หากไม่มีขีดจำกัดนี้ ก็จะไม่มีเส้นกำกับ ถ้ามันมีอยู่และเท่ากับ k ให้ไปที่ขั้นตอนที่สาม
3) คำนวณ . หากไม่มีขีดจำกัดนี้ ก็จะไม่มีเส้นกำกับ ถ้ามันมีอยู่และเท่ากับ b ให้ไปที่ขั้นตอนที่สี่
4) เขียนสมการของเส้นกำกับเฉียง y=kx+b

ตัวอย่างที่ 21: ค้นหาเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชัน

1)
2)
3)
4) สมการของเส้นกำกับเฉียงมีรูปแบบ

โครงการศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟ

I. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
ครั้งที่สอง ค้นหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด
ที่สาม ค้นหาเส้นกำกับ
IV. ค้นหาจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้
V. ค้นหาจุดวิกฤติ
วี. ใช้รูปประกอบ สำรวจเครื่องหมายของอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สอง กำหนดพื้นที่ฟังก์ชันเพิ่มและลด หาทิศทางความนูนของกราฟ จุดสุดขั้ว และจุดเปลี่ยนเว้า
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สร้างกราฟโดยคำนึงถึงการวิจัยที่ดำเนินการในย่อหน้าที่ 1-6

ตัวอย่างที่ 22: สร้างกราฟของฟังก์ชันตามแผนภาพด้านบน

สารละลาย.
I. โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x=1
ครั้งที่สอง เนื่องจากสมการ x 2 +1=0 ไม่มีรากที่แท้จริง กราฟของฟังก์ชันจึงไม่มีจุดตัดกับแกน Ox แต่ตัดแกน Oy ที่จุด (0;-1)
ที่สาม ให้เราชี้แจงคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของเส้นกำกับ ให้เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดไม่ต่อเนื่อง x=1 เนื่องจาก y → ∞ เป็น x → -∞, y → +∞ เป็น x → 1+ ดังนั้นเส้นตรง x=1 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน
ถ้า x → +∞(x → -∞) ดังนั้น y → +∞(y → -∞); ดังนั้นกราฟจึงไม่มีเส้นกำกับแนวนอน นอกจากนี้จากการมีอยู่ของขีดจำกัด

การแก้สมการ x 2 -2x-1=0 เราจะได้จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้สองจุด:
x 1 =1-√2 และ x 2 =1+√2

V. เพื่อหาจุดวิกฤต เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง:

เนื่องจาก f""(x) ไม่หายไป จึงไม่มีจุดวิกฤต
วี. ให้เราตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สอง จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ที่ต้องพิจารณา: x 1 =1-√2 และ x 2 =1+√2 แบ่งโดเมนของการดำรงอยู่ของฟังก์ชันออกเป็นระยะ (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) และ (1+√2;+∞)

ในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมาย: ในช่วงแรก - บวก ในช่วงที่สอง - ลบ ในช่วงที่สาม - บวก ลำดับของเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับ 1 จะถูกเขียนดังนี้: +,-,+
เราพบว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นที่ (-∞;1-√2) ลดลงที่ (1-√2;1+√2) และเพิ่มขึ้นอีกครั้งที่ (1+√2;+∞) จุดสุดขั้ว: สูงสุดที่ x=1-√2 และ f(1-√2)=2-2√2 ต่ำสุดที่ x=1+√2 และ f(1+√2)=2+2√2 ที่ (-∞;1) กราฟจะนูนขึ้น และที่ (1;+∞) กราฟจะนูนลง
VII มาสร้างตารางค่าที่ได้รับกัน

VIII จากข้อมูลที่ได้รับ เราสร้างภาพร่างกราฟของฟังก์ชัน

จุดอ้างอิงเมื่อศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟคือจุดลักษณะเฉพาะ - จุดไม่ต่อเนื่อง จุดสุดขั้ว จุดเปลี่ยนเว้า จุดตัดกับแกนพิกัด การใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สามารถสร้างคุณลักษณะเฉพาะของการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันได้: การเพิ่มขึ้นและลดลง ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด ทิศทางของความนูนและความเว้าของกราฟ การมีอยู่ของเส้นกำกับ

ภาพร่างกราฟของฟังก์ชันสามารถ (และควร) วาดได้หลังจากค้นหาเส้นกำกับและจุดสุดขั้วแล้ว และสะดวกในการกรอกตารางสรุปการศึกษาฟังก์ชันในขณะที่การศึกษาดำเนินไป

โดยปกติจะใช้รูปแบบการศึกษาฟังก์ชั่นต่อไปนี้

1.ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ ช่วงเวลาของความต่อเนื่อง และจุดพักของฟังก์ชัน.

2.ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อหาความสม่ำเสมอหรือความคี่ (สมมาตรตามแนวแกนหรือศูนย์กลางของกราฟ

3.ค้นหาเส้นกำกับ (แนวตั้ง แนวนอน หรือแนวเฉียง)

4.ค้นหาและศึกษาช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จุดปลายสุด

5.ค้นหาช่วงของความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง รวมถึงจุดเปลี่ยนเว้า

6.ค้นหาจุดตัดของเส้นโค้งด้วยแกนพิกัด หากมี

7.รวบรวมตารางสรุปผลการศึกษา

8.มีการสร้างกราฟโดยคำนึงถึงการศึกษาฟังก์ชันที่ดำเนินการตามจุดที่อธิบายไว้ข้างต้น

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชัน

และสร้างกราฟขึ้นมา

7. มารวบรวมตารางสรุปเพื่อศึกษาฟังก์ชัน โดยเราจะป้อนจุดคุณลักษณะทั้งหมดและช่วงเวลาระหว่างจุดเหล่านั้น เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน เราจะได้ตารางต่อไปนี้:

				คุณสมบัติแผนภูมิ
[-1, 0[			เพิ่มขึ้น	นูน
				(0; 1) – จุดสูงสุด
]0, 1[			จากมากไปน้อย	นูน
				จุดเปลี่ยนรูปแบบกับแกน วัวมุมป้าน

กระบวนการวิจัยฟังก์ชันประกอบด้วยหลายขั้นตอน เพื่อให้เข้าใจพฤติกรรมของฟังก์ชันและลักษณะของกราฟได้ครบถ้วนที่สุด จำเป็นต้องค้นหา:

โดเมนของการดำรงอยู่ของฟังก์ชัน

แนวคิดนี้รวมทั้งโดเมนของค่าและโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

จุดแตกหัก (ถ้ามี)

ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง

คะแนนสูงสุดและต่ำสุด

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันในโดเมนของคำจำกัดความ

พื้นที่นูนและเว้า

จุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี)

เส้นกำกับ (ถ้ามี)

การสร้างกราฟ

ลองดูการประยุกต์ใช้รูปแบบนี้โดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

เราค้นหาโดเมนของการดำรงอยู่ของฟังก์ชัน เห็นได้ชัดว่า ขอบเขตของคำจำกัดความฟังก์ชั่นคือพื้นที่ (-; -1)  (-1; 1)  (1; )

ในทางกลับกัน จะเห็นได้ชัดว่าเส้นตรง x = 1, x = -1 คือ เส้นกำกับแนวตั้งคดเคี้ยว

ช่วงของค่าของฟังก์ชันนี้คือช่วงเวลา (-; )

จุดพักฟังก์ชันคือจุด x = 1, x = -1

เราพบ จุดวิกฤติ.

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

จุดวิกฤต: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1

ลองหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันกัน

ให้เราพิจารณาความนูนและความเว้าของเส้นโค้งตามช่วงเวลา

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0 เส้นโค้งเว้า

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0 เส้นโค้งเว้า

< x < , y >0 เส้นโค้งเว้า

ค้นหาช่องว่าง เพิ่มขึ้นและ จากมากไปน้อยฟังก์ชั่น ในการทำเช่นนี้ เราจะกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามช่วงเวลา

- < x < -,y >0 ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0 ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น

จะเห็นได้ว่าจุด x = - คือจุด สูงสุดและจุด x = คือจุด ขั้นต่ำ- ค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้จะเท่ากับ 3/2 และ -3/2 ตามลำดับ

เกี่ยวกับแนวตั้ง เส้นกำกับได้ถูกกล่าวไว้ข้างต้นแล้ว ตอนนี้เรามาหากัน เส้นกำกับเฉียง.

โดยรวมแล้วสมการของเส้นกำกับเฉียงคือ y = x

มาสร้างกันเถอะ กำหนดการคุณสมบัติ:

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาตัวอย่างการศึกษาฟังก์ชันประเภทต่างๆ โดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่าง:วิธีคำนวณเชิงอนุพันธ์

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือจำนวนจริงทั้งหมด (-; )

3. จุดตัดกับแกนพิกัด: ด้วยแกน Oy: x = 0; ย = 1;

ด้วยแกน Ox: y = 0; x = 1;

4. เบรกพอยท์และเส้นกำกับ: ไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

เส้นกำกับความลาดเอียง: สมการทั่วไป y = kx + b;

รวม: y = -x – เส้นกำกับเฉียง

5. เพิ่มและลดฟังก์ชันจุดสุดขีด

จะเห็นได้ว่า y 0 สำหรับ x  0 ใดๆ ดังนั้น ฟังก์ชันจึงลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดและไม่มีค่าสุดขีด ณ จุด x = 0 อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ แต่ ณ จุดนี้การลดลงจะไม่เปลี่ยนเป็นการเพิ่มขึ้น ดังนั้น ณ จุด x = 0 ฟังก์ชันน่าจะมีการผันกลับมากที่สุด ในการหาจุดเปลี่ยนเว้า เราจะหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

y = 0 สำหรับ x =0 และ y =  สำหรับ x = 1

จุด (0,1) และ (1,0) เป็นจุดเปลี่ยนเพราะว่า ย(1-ชม.)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; ย(ซ)< 0 для любого h > 0.

6. มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน

ตัวอย่าง:สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือค่าทั้งหมดของ x ยกเว้น x = 0

2. ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไปในแง่เลขคู่และเลขคี่

3. จุดตัดกับแกนพิกัด: กับแกน Ox: y = 0; x=

ด้วยแกน Oy: x = 0; y – ไม่มีอยู่จริง

4. จุด x = 0 คือจุดไม่ต่อเนื่อง ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

เรามองหาเส้นกำกับเฉียงในรูปแบบ: y = kx + b

เส้นกำกับเฉียง y = x

5. ค้นหาจุดปลายสุดของฟังก์ชัน

- y = 0 สำหรับ x = 2, y =  สำหรับ x = 0

y > 0 สำหรับ x  (-, 0) – ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น

ใช่< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 สำหรับ x  (2, ) – ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น

ดังนั้น จุด (2, 3) คือจุดต่ำสุด

เพื่อหาลักษณะของความนูน/ความเว้าของฟังก์ชัน เราจะหาอนุพันธ์อันดับสอง

> 0 สำหรับ x  0 ใดๆ ดังนั้น ฟังก์ชันจะเว้าตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

6. มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน

ตัวอย่าง:สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือช่วง x  (-, )

ในความหมายของคู่และคี่ ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป

จุดตัดกับแกนพิกัด: ด้วยแกน Oy: x = 0, y = 0;

ด้วยแกน Ox: y = 0, x = 0, x = 1

เส้นกำกับของเส้นโค้ง

ไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

ลองหาเส้นกำกับเฉียงในรูปแบบ y = kx + b

- ไม่มีเส้นกำกับแบบเฉียง

การหาจุดสุดยอด

หากต้องการหาจุดวิกฤต คุณควรแก้สมการ 4x 3 – 9x 2 + 6x –1 = 0

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแยกตัวประกอบพหุนามของดีกรี 3 นี้ก่อน

จากการเลือก เราสามารถระบุได้ว่าหนึ่งในรากของสมการนี้คือตัวเลข

x = 1 จากนั้น:

4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1

 4x 3 – 4x 2 4x 2 – 5x + 1

จากนั้นเราสามารถเขียนได้ (x – 1)(4x 2 – 5x + 1) = 0 สุดท้ายนี้ เราได้จุดวิกฤตสองจุด: x = 1 และ x = ¼

บันทึก. การดำเนินการของการหารพหุนามสามารถหลีกเลี่ยงได้หากเมื่อค้นหาอนุพันธ์ เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

ลองหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน: 12x 2 – 18x + 6 เมื่อเท่ากับศูนย์ เราจะพบว่า:

มาจัดระบบข้อมูลที่ได้รับในตาราง:

	ปัญหา ลง		เพิ่มขึ้น ปัญหา ลง		เพิ่มขึ้น ประเด็นขึ้น		เพิ่มขึ้น ปัญหา ลง

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันดีกว่า