เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ในด้านเรขาคณิต กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และความรู้สาขาอื่นๆ ความต้องการเกิดขึ้นโดยใช้กระบวนการวิเคราะห์เดียวกันจากฟังก์ชันนี้ y=ฉ(x)รับฟังก์ชั่นใหม่ที่เรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์(หรือเพียงแค่ อนุพันธ์) ของฟังก์ชันที่กำหนด f(x)และถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์

กระบวนการที่มาจากฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x)รับคุณสมบัติใหม่ ฉ" (x), เรียกว่า ความแตกต่างและประกอบด้วย 3 ขั้นตอนดังนี้ 1) ให้ข้อโต้แย้ง xเพิ่มขึ้น  xและกำหนดส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน  y = ฉ(x+ x) -ฉ(x)- 2) สร้างความสัมพันธ์

3) การนับ xคงที่และ  x0, เราหาได้
ซึ่งเราแสดงโดย ฉ" (x)ราวกับว่าเป็นการเน้นว่าฟังก์ชันผลลัพธ์นั้นขึ้นอยู่กับค่าเท่านั้น xซึ่งเราไปถึงขีดจำกัดแล้ว คำนิยาม: อนุพันธ์ y " =f " (x) ฟังก์ชันที่กำหนด y=f(x) สำหรับ x ที่กำหนดเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยมีเงื่อนไขว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ถ้าแน่นอน มีขีดจำกัดนี้อยู่ เช่น มีจำกัด
ดังนั้น,

, หรือ xโปรดทราบว่าหากมีค่าบางอย่าง เช่น เมื่อใด x=ก
, ทัศนคติ  xที่ ฉ(x)0 ไม่มีแนวโน้มที่จะมีขีดจำกัดจำกัด ดังนั้นในกรณีนี้ เขาจะบอกว่าฟังก์ชันนั้น เช่น เมื่อใดที่ เช่น เมื่อใด(หรือตรงจุด. เช่น เมื่อใด.

) ไม่มีอนุพันธ์หรือหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้นไม่ได้

2. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ฉ(x)

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้กับจุด x 0

ลองพิจารณาเส้นตรงใดๆ ที่ผ่านจุดบนกราฟของฟังก์ชัน - จุด A(x 0, f (x 0)) และตัดกราฟที่จุดใดจุดหนึ่ง B(x;f(x)) เส้นตรงดังกล่าว (AB) เรียกว่าเส้นตัด จาก ∆ABC: ​​​​AC = ∆x;

ก่อนคริสต์ศักราช =∆у; tgβ=∆y/∆x

ตั้งแต่ AC || Ox แล้ว ALO = BAC = β (สอดคล้องกับขนาน) แต่ ALO คือมุมเอียงของเส้นตัด AB กับทิศทางบวกของแกน Ox ซึ่งหมายความว่า tanβ = k คือความชันของเส้นตรง AB
ตอนนี้เราจะลด ∆x นั่นคือ ∆х→ 0 ในกรณีนี้ จุด B จะเข้าใกล้จุด A ตามกราฟ และเส้นตัด AB จะหมุน ตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด AB ที่ ∆x→ 0 จะเป็นเส้นตรง (a) เรียกว่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A
ถ้าเราไปถึงขีดจำกัดเป็น ∆x → 0 ในความเท่าเทียมกัน tgβ =∆y/∆x เราจะได้
ตามคำนิยามของอนุพันธ์ แต่ tg = k คือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ซึ่งหมายถึง k = tg = f "(x 0)

ดังนั้น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงเป็นดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่วาดที่จุดด้วย abscissa x 0 .

3. ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรง ให้พิกัดของจุด ณ เวลาใดก็ได้ x(t) เป็นที่ทราบกันดี (จากหลักสูตรฟิสิกส์) ว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลานี้ต่อเวลา กล่าวคือ

วาฟ = ∆x/∆t ไปที่ขีดจำกัดของความเสมอภาคสุดท้ายด้วย ∆t → 0

lim Vav (t) = (t 0) - ความเร็วทันที ณ เวลา t 0, ∆t → 0

และ lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์)

ดังนั้น (t) =x"(t)

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มีดังนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันย = ฉ(x) ณ จุดนั้นx 0 คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันฉ(x) ณ จุดนั้นx 0

อนุพันธ์นี้ใช้ในฟิสิกส์เพื่อค้นหาความเร็วจากฟังก์ชันที่ทราบของพิกัดเทียบกับเวลา ความเร่งจากฟังก์ชันที่ทราบของความเร็วเทียบกับเวลา

(t) = x"(t) - ความเร็ว

a(f) = "(t) - ความเร่งหรือ

หากทราบกฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในวงกลม เราสามารถหาความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนได้:

φ = φ(t) - การเปลี่ยนแปลงมุมเมื่อเวลาผ่านไป

ω = φ"(t) - ความเร็วเชิงมุม

ε = φ"(t) - ความเร่งเชิงมุมหรือ ε = φ"(t)

หากทราบกฎการกระจายมวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ก็จะสามารถหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้:

ม. = ม.(x) - มวล

x  , ล. - ความยาวของไม้เรียว

p = m"(x) - ความหนาแน่นเชิงเส้น

เมื่อใช้อนุพันธ์ ปัญหาจากทฤษฎีความยืดหยุ่นและการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะได้รับการแก้ไข ดังนั้นตามกฎของฮุค

F = -kx, x – พิกัดตัวแปร, k – สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง เมื่อ ω 2 =k/m เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของลูกตุ้มสปริง x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

โดยที่ ω = √k/√m ความถี่การสั่น (l/c), k คือความแข็งของสปริง (H/m)

สมการของรูปแบบ y" + ω 2 y = 0 เรียกว่าสมการของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก (เครื่องกล, ไฟฟ้า, แม่เหล็กไฟฟ้า) วิธีแก้สมการดังกล่าวคือฟังก์ชัน

y = Asin(ωt + φ 0) หรือ y = Acos(ωt + φ 0) โดยที่

เอ - แอมพลิจูดของการแกว่ง, ω - ความถี่ไซคลิก

φ 0 - เฟสเริ่มต้น

ในบทนี้ เราจะเรียนรู้การใช้สูตรและกฎการสร้างความแตกต่าง

ตัวอย่าง. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. การใช้กฎเกณฑ์ ฉัน,สูตร 4, 2 และ 1- เราได้รับ:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. เราก็แก้เหมือนกันโดยใช้สูตรและสูตรเดียวกัน 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

การใช้กฎเกณฑ์ ฉัน,สูตร 3, 5 และ 6 และ 1.

การใช้กฎเกณฑ์ IV,สูตร 5 และ 1 .

ในตัวอย่างที่ห้าตามกฎ ฉันอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์และเราเพิ่งพบอนุพันธ์ของเทอมที่ 1 (ตัวอย่าง 4 ) ดังนั้นเราจะพบอนุพันธ์ 2และ 3เงื่อนไขและ สำหรับวันที่ 1สรุปเราสามารถเขียนผลลัพธ์ได้ทันที

เรามาแยกแยะกันดีกว่า 2และ 3เงื่อนไขตามสูตร 4 - ในการทำเช่นนี้ เราแปลงรากของกำลังสามและสี่ในตัวส่วนเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบ จากนั้นตาม 4 สูตรเราหาอนุพันธ์ของกำลัง

ดูตัวอย่างนี้และผลลัพธ์ คุณจับรูปแบบหรือไม่? ดี. ซึ่งหมายความว่าเรามีสูตรใหม่และสามารถเพิ่มลงในตารางอนุพันธ์ของเราได้

มาแก้ตัวอย่างที่หกแล้วหาสูตรอื่นมา

ลองใช้กฎกันดู IVและสูตร 4 - ลองลดเศษส่วนผลลัพธ์กัน

ลองดูฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของมันกัน แน่นอนว่าคุณเข้าใจรูปแบบและพร้อมที่จะตั้งชื่อสูตรแล้ว:

เรียนรู้สูตรใหม่!

ตัวอย่าง.

1. ค้นหาส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์และส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน y= x2ถ้าค่าเริ่มต้นของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ 4 และใหม่ - 4,01 .

สารละลาย.

ค่าอาร์กิวเมนต์ใหม่ x=x 0 +Δx- ลองทดแทนข้อมูล: 4.01=4+Δx ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆x=4.01-4=0.01. การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันตามคำจำกัดความจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าใหม่และค่าก่อนหน้าของฟังก์ชัน เช่น Δy=f (x 0 +Δx) - ฉ (x 0) เนื่องจากเรามีฟังก์ชัน ย=x2, ที่ ∆คุณ=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · ∆x+(∆x) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

คำตอบ: อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ∆x=0.01; เพิ่มฟังก์ชัน ∆คุณ=0,0801.

การเพิ่มฟังก์ชันอาจแตกต่างออกไป: ∆y=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. หามุมเอียงของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ตรงจุด x 0, ถ้า ฉ "(x 0) = 1.

สารละลาย.

มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส x 0และเป็นค่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ (ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์) เรามี: ฉ "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,เพราะ tg45°=1.

คำตอบ: แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนี้ทำให้เกิดมุมโดยมีทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ 45°.

3. หาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=xn.

ความแตกต่างคือการกระทำในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ ให้ใช้สูตรที่ได้มาจากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เช่นเดียวกับที่เราได้รับสูตรสำหรับระดับอนุพันธ์: (x n)" = n x n-1.

เหล่านี้คือสูตร

ตารางอนุพันธ์การจดจำจะง่ายกว่าโดยการออกเสียงสูตรด้วยวาจา:

1. อนุพันธ์ของปริมาณคงที่คือศูนย์

2. X ไพรม์เท่ากับหนึ่ง

3. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้

4. อนุพันธ์ของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังของดีกรีนี้ด้วยดีกรีที่มีฐานเดียวกัน แต่เลขชี้กำลังน้อยกว่าหนึ่ง

5. อนุพันธ์ของรากเท่ากับ 1 หารด้วย 2 รากที่เท่ากัน

6. อนุพันธ์ของอันหนึ่งหารด้วย x เท่ากับ ลบ 1 หารด้วย x กำลังสอง

7. อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์

8. อนุพันธ์ของโคไซน์เท่ากับลบไซน์

9. อนุพันธ์ของแทนเจนต์เท่ากับ 1 หารด้วยกำลังสองของโคไซน์

10. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์เท่ากับลบ 1 หารด้วยกำลังสองของไซน์

เราสอน กฎความแตกต่าง.

1. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของเงื่อนไข

2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของตัวประกอบที่หนึ่งและตัวที่สอง บวกด้วยผลคูณของตัวประกอบที่หนึ่งและอนุพันธ์ของตัวที่สอง

3. อนุพันธ์ของ “y” หารด้วย “ve” เท่ากับเศษส่วนโดยที่ตัวเศษคือ “y ไพรม์คูณด้วย “ve” ลบ “y คูณด้วย ve ไพรม์” และตัวส่วนคือ “ve กำลังสอง”

4. กรณีพิเศษสูตร 3.

มาเรียนรู้ด้วยกัน!

หน้า 1 จาก 1 1

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่าองค์ประกอบพื้นฐานในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ องค์ประกอบนี้เป็นผลลัพธ์เฉพาะของการใช้การดำเนินการสร้างความแตกต่างเฉพาะบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันดั้งเดิม

คำจำกัดความของอนุพันธ์

เพื่อทำความเข้าใจว่าอนุพันธ์คืออะไร คุณจำเป็นต้องรู้ว่าชื่อของฟังก์ชันนั้นมาจากคำว่า "อนุพันธ์" โดยตรง ซึ่งก็คือเกิดจากปริมาณอื่น ในเวลาเดียวกันกระบวนการกำหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่างนั้นมีชื่อ - "ความแตกต่าง"

วิธีการแทนและนิยามที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดเมื่อใช้ทฤษฎีลิมิต แม้ว่าข้อเท็จจริงจะปรากฏช้ากว่าแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์มากก็ตาม ตามคำจำกัดความของทฤษฎีนี้ อนุพันธ์คือขีดจำกัดในอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ หากมีขีดจำกัดดังกล่าว และโดยมีเงื่อนไขว่าอาร์กิวเมนต์นี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์

ตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ด้านล่างนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจได้อย่างชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร

1. ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x เราจำเป็นต้องกำหนดค่าของฟังก์ชันนี้โดยตรงที่จุด x รวมถึงที่จุด x + Δx ยิ่งไปกว่านั้น Δx คือส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ x
2. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน y เท่ากับ f(x+Δx) – f(x)
3. เขียนอนุพันธ์โดยใช้ลิมิตของความสัมพันธ์ f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх คำนวณที่ Δх → 0

โดยปกติแล้วอนุพันธ์จะแสดงด้วยเครื่องหมายอะพอสทรอฟี่ - “’” เหนือฟังก์ชันที่สร้างความแตกต่างโดยตรง สัญกรณ์ในรูปแบบของเครื่องหมายอะพอสทรอฟี่หนึ่งหมายถึงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและในรูปแบบของสอง - ที่สอง อนุพันธ์ ลำดับสูงสุดเป็นเรื่องปกติที่จะต้องระบุหมายเลขที่เกี่ยวข้องเช่น f^(n) - อนุพันธ์ลำดับที่ n หมายถึงอะไรโดยที่ตัวอักษร "n" เป็นจำนวนเต็มซึ่ง? 0. อนุพันธ์ลำดับศูนย์คือฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของมันเอง

เพื่ออำนวยความสะดวกในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน จึงมีการพัฒนาและนำกฎบางประการสำหรับการแยกฟังก์ชันมาใช้:

• C' = 0 โดยที่ C คือการกำหนดค่าคงที่
• x' เท่ากับ 1;
• (f + g)’ เท่ากับ f’ + g’;
• (C*f)’ เท่ากับ C*f’ และอื่นๆ
• สำหรับการหาอนุพันธ์แบบ N-fold จะสะดวกกว่าถ้าใช้สูตร Leibniz ในรูปแบบ: (f*g) (n) = Σ C(n) k *f (n-k) *g k โดยที่ C(n) k คือ การกำหนดสัมประสิทธิ์ทวินาม

อนุพันธ์และเรขาคณิต

ความเข้าใจทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คือ หากฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์จำกัดที่จุด x ค่าของอนุพันธ์นี้จะเท่ากับค่าแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์ต่อฟังก์ชัน f ที่จุดนั้น

วันที่: 20/11/2557

อนุพันธ์คืออะไร?

ตารางอนุพันธ์

อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ในบทนี้เราจะแนะนำแนวคิดนี้ มาทำความรู้จักกันโดยไม่ต้องมีสูตรทางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์ที่เข้มงวด

ความคุ้นเคยนี้จะช่วยให้คุณ:

เข้าใจสาระสำคัญของงานง่ายๆ ด้วยอนุพันธ์

แก้ปัญหางานที่ง่ายที่สุดเหล่านี้ได้สำเร็จ

เตรียมบทเรียนที่จริงจังยิ่งขึ้นเกี่ยวกับอนุพันธ์

ประการแรก - เซอร์ไพรส์ที่น่ายินดี)

คำจำกัดความที่เข้มงวดของอนุพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีขีดจำกัดและสิ่งนี้ค่อนข้างซับซ้อน นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ตามกฎแล้วการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องมีความรู้ที่กว้างขวางและลึกซึ้งเช่นนี้!

แค่รู้ก็เพียงพอที่จะทำงานส่วนใหญ่ที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยให้สำเร็จ เพียงไม่กี่เงื่อนไข- เพื่อทำความเข้าใจงานและ กฎเพียงไม่กี่ข้อ- เพื่อแก้ไขมัน นั่นคือทั้งหมดที่ นี่ทำให้ฉันมีความสุข

มาเริ่มทำความรู้จักกันดีกว่า?)

ข้อกำหนดและการกำหนด

มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา การบวก ลบ การคูณ การยกกำลัง ลอการิทึม ฯลฯ หากคุณเพิ่มการดำเนินการอีกหนึ่งรายการให้กับการดำเนินการเหล่านี้ คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาก็จะสูงขึ้น การดำเนินการใหม่นี้เรียกว่า ความแตกต่างคำจำกัดความและความหมายของการดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทเรียนที่แยกจากกัน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจในที่นี้ว่าการสร้างความแตกต่างเป็นเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน เราใช้ฟังก์ชั่นใด ๆ และแปลงมันตามกฎเกณฑ์บางประการ ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันใหม่ ฟังก์ชันใหม่นี้เรียกว่า: อนุพันธ์

ความแตกต่าง- การกระทำบนฟังก์ชัน

อนุพันธ์- ผลของการกระทำนี้

เช่นเดียวกับตัวอย่างเช่น ผลรวม- ผลลัพธ์ของการบวก หรือ ส่วนตัว- ผลการแบ่งส่วน

เมื่อรู้เงื่อนไขแล้วอย่างน้อยคุณก็สามารถเข้าใจงานได้) สูตรมีดังนี้: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หาอนุพันธ์; แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน คำนวณอนุพันธ์ฯลฯ นี่คือทั้งหมด หนึ่งสิ่งเดียวกันแน่นอนว่ายังมีงานที่ซับซ้อนกว่าด้วย โดยการค้นหาอนุพันธ์ (ความแตกต่าง) จะเป็นเพียงขั้นตอนหนึ่งในการแก้ปัญหา

อนุพันธ์จะแสดงด้วยเครื่องหมายขีดกลางที่มุมขวาบนของฟังก์ชัน แบบนี้: คุณ"หรือ ฉ"(x)หรือ ส"(ที)และอื่น ๆ

การอ่าน igrek จังหวะ, ef จังหวะจาก x, es จังหวะจาก te,เข้าใจแล้ว...)

ไพรม์ยังสามารถระบุอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะได้ เช่น (2x+3)", (x 3 )" , (บาป)"ฯลฯ อนุพันธ์มักจะแสดงโดยใช้ส่วนต่าง แต่เราจะไม่พิจารณาสัญลักษณ์ดังกล่าวในบทเรียนนี้

สมมติว่าเราได้เรียนรู้ที่จะเข้าใจงานต่างๆ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา) ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: การค้นหาอนุพันธ์คือ การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันตามกฎเกณฑ์บางประการน่าแปลกที่มีกฎเหล่านี้น้อยมาก

หากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้เพียงสามสิ่งเท่านั้น สามเสาหลักที่ตั้งอยู่บนความแตกต่างทั้งหมด เหล่านี้คือสามเสาหลัก:

1. ตารางอนุพันธ์ (สูตรความแตกต่าง)

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

มาเริ่มกันตามลำดับ ในบทนี้เราจะดูตารางอนุพันธ์

ตารางอนุพันธ์

ในโลกนี้มีฟังก์ชันจำนวนอนันต์ ในบรรดาความหลากหลายนี้มีฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดสำหรับ การประยุกต์ใช้จริง- ฟังก์ชั่นเหล่านี้พบได้ในกฎธรรมชาติทั้งหมด จากฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับจากอิฐ คุณสามารถสร้างฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดได้ คลาสของฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชั่นเบื้องต้นเป็นฟังก์ชันเหล่านี้ที่ได้รับการศึกษาที่โรงเรียน - เชิงเส้น, สมการกำลังสอง, ไฮเปอร์โบลา ฯลฯ

ความแตกต่างของฟังก์ชัน "ตั้งแต่เริ่มต้น" เช่น จากคำจำกัดความของอนุพันธ์และทฤษฎีขีดจำกัด นี่เป็นสิ่งที่ต้องใช้แรงงานมาก และนักคณิตศาสตร์ก็เป็นคนเช่นกัน ใช่ ใช่!) ดังนั้น พวกเขาจึงทำให้ชีวิตของพวกเขา (และเรา) ง่ายขึ้น พวกเขาคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานที่อยู่ตรงหน้าเรา ผลลัพธ์ที่ได้คือตารางอนุพันธ์ซึ่งทุกอย่างพร้อมแล้ว)

นี่ครับ จานนี้ฟังก์ชั่นยอดนิยม ซ้าย - ฟังก์ชั่นเบื้องต้นทางด้านขวาคืออนุพันธ์ของมัน

	การทำงาน ย	อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y คุณ"
1	C (ค่าคงที่)	ค" = 0
2	x	x" = 1
3	xn (n - หมายเลขใด ๆ )	(x n)" = n x n-1
	x 2 (น = 2)	(x 2)" = 2x
4	บาป x	(บาป x)" = cosx
	เพราะ x	(cos x)" = - บาป x
	ทีจีเอ็กซ์
	ซีทีจี x
5	อาร์คซิน x
	อาร์คคอส x
	อาร์คแทน เอ็กซ์
	อาร์คซีจี x
4	ก x
	จ x
5	บันทึก ก x
	ใน x ( ก = อี)

ฉันแนะนำให้ใส่ใจกับฟังก์ชันกลุ่มที่สามในตารางอนุพันธ์นี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเป็นหนึ่งในสูตรที่ใช้บ่อยที่สุด หากไม่ใช่สูตรที่ธรรมดาที่สุด! คุณได้รับคำใบ้หรือไม่) ใช่ขอแนะนำให้รู้ตารางอนุพันธ์ด้วยใจ อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่เรื่องยากอย่างที่คิด ลองแก้ตัวอย่างเพิ่มเติมตารางจะจำได้!)

การค้นหาค่าตารางของอนุพันธ์ตามที่คุณเข้าใจไม่ใช่งานที่ยากที่สุด ดังนั้นบ่อยครั้งมากในงานดังกล่าวจึงมีชิปเพิ่มเติม ไม่ว่าจะในถ้อยคำของงานหรือในฟังก์ชั่นดั้งเดิมซึ่งดูเหมือนจะไม่มีอยู่ในตาราง...

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 3

ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตาราง แต่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังในรูปแบบทั่วไป (กลุ่มที่สาม) ในกรณีของเรา n=3 ดังนั้นเราจึงแทนที่สามแทน n และจดผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

แค่นั้นแหละ.

คำตอบ: ย" = 3x 2

2. ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = sinx ที่จุด x = 0

งานนี้หมายความว่าคุณต้องหาอนุพันธ์ของไซน์ก่อน แล้วจึงแทนค่า x = 0ให้เป็นอนุพันธ์เดียวกันนี้ ตามลำดับนั่นแหละ!มิฉะนั้นจะเกิดขึ้นว่าพวกเขาแทนที่ศูนย์ทันทีในฟังก์ชันดั้งเดิม... เราถูกขอให้ค้นหาไม่ใช่ค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่เป็นค่า อนุพันธ์ของมันผมขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์คือฟังก์ชันใหม่

การใช้แท็บเล็ตเราจะค้นหาไซน์และอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง:

y" = (บาป x)" = cosx

เราแทนที่ศูนย์เป็นอนุพันธ์:

y"(0) = cos 0 = 1

นี่จะเป็นคำตอบ

3. สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน:

มันเป็นแรงบันดาลใจอะไร?) ตารางอนุพันธ์ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าว

ผมขอเตือนคุณว่าการแยกแยะฟังก์ชันก็แค่หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ หากคุณลืมตรีโกณมิติเบื้องต้น การมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเราค่อนข้างยุ่งยาก โต๊ะไม่ได้ช่วยอะไร...

แต่ถ้าเราเห็นว่าหน้าที่ของเราคือ โคไซน์มุมคู่แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที!

ใช่ ใช่! จำไว้ว่าการแปลงฟังก์ชันดั้งเดิม ก่อนที่จะสร้างความแตกต่างค่อนข้างยอมรับได้! และมันก็ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก ใช้สูตรโคไซน์มุมคู่:

เหล่านั้น. ฟังก์ชั่นที่ยุ่งยากของเรานั้นไม่มีอะไรมากไปกว่า y = cosx- และนี่คือฟังก์ชันตาราง เราได้รับทันที:

คำตอบ: y" = - บาป x.

ตัวอย่างสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับสูงและนักศึกษา:

4. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

แน่นอนว่าไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตารางอนุพันธ์ แต่ถ้าคุณจำคณิตศาสตร์เบื้องต้น การดำเนินการด้วยกำลัง... ก็เป็นไปได้ที่จะทำให้ฟังก์ชันนี้ง่ายขึ้น แบบนี้:

และ x ยกกำลัง 1/10 ก็เป็นฟังก์ชันตารางอยู่แล้ว! กลุ่มที่สาม n=1/10 เราเขียนโดยตรงตามสูตร:

แค่นั้นแหละ. นี่จะเป็นคำตอบ

ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจนกับเสาหลักแรกของความแตกต่าง - ตารางอนุพันธ์ ยังคงต้องจัดการกับวาฬสองตัวที่เหลืออยู่ ในบทต่อไป เราจะเรียนรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

คำจำกัดความของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง สัมผัสกันเป็นเส้นโค้ง ย=ƒ(x)ตรงจุด มเรียกว่าตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดที่ลากผ่านจุด มและจุดที่อยู่ติดกัน ม.1เส้นโค้ง โดยมีเงื่อนไขว่าจุดนั้น ม.1เข้าใกล้ไปตามเส้นโค้งจนถึงจุดนั้นอย่างไม่มีกำหนด ม. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย=ƒ(x)ตรงจุด เอ็กซ์ 0 เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงกับแกน โอ้สัมผัสกับเส้นโค้ง ย=ƒ(x)ตรงจุด ม (x 0; ƒ(x 0))

การเปลี่ยนแปลง DOTIC โค้ง ประไปจนถึงเส้นโค้ง ย=ƒ(x)อย่างแน่นอน มเรียกว่าตำแหน่งขอบเขตของเส้นที่ลากผ่านจุดนั้น มและประเด็นต่อไปกับเธอ ม.1คดเคี้ยวสำหรับจิตใจ ประเด็นอะไร ม.1เส้นโค้งเข้าใกล้จุดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ม. เรขาคณิต ซีมิสท์ โภคีน้อย ฟังก์ชั่นที่คล้ายกัน ย=ƒ(x)อย่างแน่นอน x 0เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของความชันกับแกน โอ้ dotic ดำเนินการไปที่โค้ง ย=ƒ(x)อย่างแน่นอน ม (x 0; ƒ(x 0))

ความหมายเชิงปฏิบัติของอนุพันธ์

ลองพิจารณาว่าปริมาณที่เราพบเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่างมีความหมายในทางปฏิบัติอย่างไร

ก่อนอื่นเลย, อนุพันธ์- นี่คือแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

"อัตราการเปลี่ยนแปลง" คืออะไร? ลองจินตนาการถึงฟังก์ชันดู ฉ(x) = 5- ไม่ว่าค่าของอาร์กิวเมนต์ (x) จะเป็นเท่าใด ค่าของมันจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่อย่างใด นั่นคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นศูนย์

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชั่น ฉ(x) = x- อนุพันธ์ของ x เท่ากับ 1 จริงๆ แล้วสังเกตได้ง่ายว่าทุกๆ การเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ (x) ทีละค่า ค่าของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น 1 เช่นกัน

จากมุมมองของข้อมูลที่ได้รับ ตอนนี้เรามาดูตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่ายกันดีกว่า ด้วยเหตุนี้ ความหมายทางกายภาพของการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงชัดเจนในทันที ความเข้าใจนี้ควรช่วยให้แก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติได้ง่ายขึ้น

ดังนั้น ถ้าอนุพันธ์แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน อนุพันธ์สองเท่าจะแสดงความเร่ง

2080.1947