ตัวแปรสุ่มสามารถอธิบายได้ นอกเหนือจากกฎการกระจายแล้ว ลักษณะเชิงตัวเลข .

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เอ็ม(เอ็กซ์) ตัวแปรสุ่มเรียกว่าค่าเฉลี่ย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคำนวณโดยใช้สูตร

ที่ไหน – ค่าตัวแปรสุ่ม p ฉัน -ความน่าจะเป็นของพวกเขา

พิจารณาคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

1. ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเอง

2. หากตัวแปรสุ่มคูณด้วยตัวเลข k ตัวใดตัวหนึ่ง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะถูกคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ม (kx) = กิโลเมตร (x)

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

ม (x 1 + x 2 + … + x n) = ม (x 1) + ม (x 2) +…+ ม (x n)

4. ม (x 1 - x 2) = ม (x 1) - ม (x 2)

5. สำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ x 1, x 2, … x n ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์จะเท่ากับผลคูณของค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรเหล่านั้น

ม (x 1, x 2, … x n) = ม (x 1) ม (x 2) … ม (x n)

6. ม (x - ม (x)) = ม (x) - ม (ม (x)) = ม (x) - ม (x) = 0

ลองคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวแปรสุ่มจากตัวอย่างที่ 11

ม(x) = = .

ตัวอย่างที่ 12ให้ระบุตัวแปรสุ่ม x 1, x 2 ตามกฎการกระจาย:

x 1 ตารางที่ 2

x 2 ตารางที่ 3

ลองคำนวณ M (x 1) และ M (x 2)

ม (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

ม (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มทั้งสองมีค่าเท่ากัน - มีค่าเท่ากับศูนย์ อย่างไรก็ตามลักษณะของการกระจายจะแตกต่างกัน หากค่าของ x 1 แตกต่างเพียงเล็กน้อยจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าของ x 2 จะแตกต่างจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างมาก และความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนดังกล่าวมีไม่น้อย ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุจากค่าเฉลี่ยว่าค่าเบี่ยงเบนใดเกิดขึ้น ทั้งเล็กและใหญ่ ดังนั้นด้วยปริมาณฝนเฉลี่ยต่อปีที่เท่ากันในสองพื้นที่ จึงไม่อาจกล่าวได้ว่าพื้นที่เหล่านี้เอื้ออำนวยต่องานเกษตรพอๆ กัน คล้ายกับค่าเฉลี่ย ค่าจ้างไม่สามารถตัดสินสัดส่วนของคนงานที่ได้รับค่าตอบแทนสูงและต่ำได้ ดังนั้นจึงได้มีการแนะนำ ลักษณะเชิงตัวเลข – การกระจายตัวง(x) , ซึ่งแสดงลักษณะระดับความเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย:

ง (x) = ม (x - ม (x)) 2 . (2)

การกระจายตัวคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ความแปรปรวนจะคำนวณโดยใช้สูตร:

ง(x)= = (3)

จากคำจำกัดความของการกระจายตัวเป็นไปตามนั้น D (x) 0

คุณสมบัติการกระจายตัว:

1. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์

2. หากตัวแปรสุ่มคูณด้วยตัวเลข k ค่าความแปรปรวนจะถูกคูณด้วยกำลังสองของตัวเลขนี้

ง (kx) = k 2 D (x)

3. ง (x) = ม (x 2) – ม 2 (x)

4. สำหรับตัวแปรสุ่มอิสระแบบคู่ x 1 , x 2 , … xn ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

ลองคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มจากตัวอย่างที่ 11 กัน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M (x) = 1 ดังนั้นตามสูตร (3) เรามี:

ง (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

โปรดทราบว่าการคำนวณความแปรปรวนจะง่ายกว่าหากคุณใช้คุณสมบัติ 3:

ง (x) = ม (x 2) – ม 2 (x)

ลองคำนวณความแปรปรวนสำหรับตัวแปรสุ่ม x 1 , x 2 จากตัวอย่างที่ 12 โดยใช้สูตรนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มทั้งสองเป็นศูนย์

ง (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

ง (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

ยิ่งค่าความแปรปรวนเข้าใกล้ศูนย์ ค่าสเปรดของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยก็จะยิ่งน้อยลง

เรียกว่าปริมาณ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน. โหมดตัวแปรสุ่ม x MD แบบแยกส่วนเรียกว่าค่าของตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นสูงสุด

โหมดตัวแปรสุ่ม x นพ.ประเภทต่อเนื่องคือจำนวนจริงที่กำหนดให้เป็นจุดสูงสุดของความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x)

ค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม x ประเภทต่อเนื่อง Mnเป็นจำนวนจริงที่เป็นไปตามสมการ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ของตัวแปรสุ่ม X ที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องคือตัวเลข m =M[X]=∑x i p i หากอนุกรมมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์

วัตถุประสงค์ของการบริการ- การใช้บริการออนไลน์ คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(ดูตัวอย่าง) นอกจากนี้ กราฟของฟังก์ชันการกระจาย F(X) จะถูกลงจุดด้วย

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับตัวมันเอง: M[C]=C, C – ค่าคงที่;
2. ม=ค ม[X]
3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M=M[X]+M[Y]
4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M=M[X] M[Y] ถ้า X และ Y เป็นอิสระจากกัน

คุณสมบัติการกระจายตัว

1. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์: D(c)=0
2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง: D(k*X)= k 2 D(X)
3. ถ้าตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกัน ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน: D(X+Y)=D(X)+D(Y)
4. ถ้าตัวแปรสุ่ม X และ Y ขึ้นอยู่กับ: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. สูตรคำนวณต่อไปนี้ใช้ได้กับการกระจายตัว:
   ง(X)=ม(X 2)-(ม(X)) 2

ตัวอย่าง. ทราบค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว X และ Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6 ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Z=9X-8Y+7
สารละลาย. ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการกระจายตัว: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง: ค่าทั้งหมดสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ด้วยตัวเลขธรรมชาติ กำหนดค่าความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ให้กับแต่ละค่า

1. เราคูณคู่ทีละคู่: x i โดย p i .
2. บวกผลคูณของแต่ละคู่ x i p i
   ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องทีละขั้นจะเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหันที่จุดที่มีความน่าจะเป็นเป็นบวก

ตัวอย่างหมายเลข 1

x ฉัน	1	3	4	7	9
พี ฉัน	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

เราค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยใช้สูตร m = ∑x i p i
ความคาดหวัง M[X].
ม[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
เราค้นหาความแปรปรวนโดยใช้สูตร d = ∑x 2 i p i - M[x] 2
ความแปรปรวน D[X].
ด[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

ตัวอย่างหมายเลข 2 ตัวแปรสุ่มแบบแยกมีอนุกรมการแจกแจงต่อไปนี้:

เอ็กซ์	-10	-5	0	5	10
ร	ก	0,32	2ก	0,41	0,03

ค้นหาค่าของ a ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนี้

สารละลาย. ค่าของ a พบได้จากความสัมพันธ์: Σp i = 1
Σp i = ก + 0.32 + 2 ก + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 ก = 1
0.76 + 3 a = 1 หรือ 0.24=3 a จากที่ a = 0.08

ตัวอย่างหมายเลข 3 จงหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหากทราบความแปรปรวน และ x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 = x; x 4 = 15
หน้า 1 =0.3; หน้า 2 =0.3; หน้า 3 =0.1; หน้า 4 =0.3
ง(x)=12.96

สารละลาย.
ที่นี่คุณต้องสร้างสูตรสำหรับค้นหาความแปรปรวน d(x):
ง(x) = x 1 2 หน้า 1 +x 2 2 หน้า 2 +x 3 2 หน้า 3 +x 4 2 หน้า 4 -ม.(x) 2
โดยที่ความคาดหวัง m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
สำหรับข้อมูลของเรา
ม.(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
หรือ -9/100 (x 2 -20x+96)=0
ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องค้นหารากของสมการ และจะมีรากอยู่สองอัน
x 3 = 8, x 3 = 12
เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข x 1 x 3 = 12

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 = 15
หน้า 1 =0.3; หน้า 2 =0.3; หน้า 3 =0.1; หน้า 4 =0.3

ความคาดหวัง

การกระจายตัวตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นของแกน Ox ทั้งหมดถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

วัตถุประสงค์ของการบริการ- เครื่องคิดเลขออนไลน์ถูกออกแบบมาเพื่อแก้ปัญหาทั้ง ความหนาแน่นของการกระจาย f(x) หรือฟังก์ชันการกระจาย F(x) (ดูตัวอย่าง) โดยปกติแล้วคุณจะต้องค้นหางานดังกล่าว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน กราฟพล็อตของฟังก์ชัน f(x) และ F(x).

คำแนะนำ. เลือกประเภทของแหล่งข้อมูล: ความหนาแน่นของการแจกแจง f(x) หรือฟังก์ชันการแจกแจง F(x)

ความหนาแน่นของการกระจาย f(x) ได้รับ:

ฟังก์ชันการแจกแจง F(x) ได้รับ:

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถูกกำหนดโดยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
(กฎหมายการกระจายเรย์ลี - ใช้ในงานวิศวกรรมวิทยุ) หา M(x) , D(x) .

ตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า อย่างต่อเนื่อง ถ้าฟังก์ชันการกระจาย F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด:
ป(α< X < β)=F(β) - F(α)
นอกจากนี้ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ไม่สำคัญว่าขอบเขตของตัวแปรจะรวมอยู่ในช่วงนี้หรือไม่:
ป(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
ความหนาแน่นของการกระจาย ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเรียกว่าฟังก์ชัน
f(x)=F’(x) , อนุพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจง

คุณสมบัติของความหนาแน่นของการกระจาย

1. ความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มไม่เป็นลบ (f(x) ≥ 0) สำหรับค่าทั้งหมดของ x
2. เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน:

ความหมายทางเรขาคณิตของเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน: พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นของการแจกแจงเท่ากับความสามัคคี
3. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะอยู่ในช่วงเวลาตั้งแต่ α ถึง β สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

ในเชิงเรขาคณิต ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ที่ตกอยู่ในช่วง (α, β) เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งภายใต้เส้นโค้งความหนาแน่นของการแจกแจงตามช่วงเวลานี้
4. ฟังก์ชันการกระจายแสดงในรูปของความหนาแน่นดังนี้

ค่าความหนาแน่นของการแจกแจงที่จุด x ไม่เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะยอมรับค่านี้ สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เราสามารถพูดถึงความน่าจะเป็นที่จะตกอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น อนุญาต)