Jag ska fatta mig kort. Vinkel mellan två raka linjer lika med vinkel mellan deras riktningsvektorer. Alltså, om du lyckas hitta koordinaterna för riktningsvektorerna a = (x 1 ; y 1 ; z 1) och b = (x 2 ; y 2; z 2), kan du hitta vinkeln. Mer exakt, cosinus för vinkeln enligt formeln:
Låt oss se hur den här formeln fungerar med hjälp av specifika exempel:
Uppgift. I kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 är punkterna E och F markerade - mittpunkterna på kanterna A 1 B 1 respektive B 1 C 1. Hitta vinkeln mellan linjerna AE och BF.
Eftersom kanten på kuben inte är specificerad, låt oss sätta AB = 1. Vi introducerar ett standardkoordinatsystem: origo är vid punkten A, x-, y- och z-axlarna är riktade längs AB, AD respektive AA 1. Enhetssegmentet är lika med AB = 1. Låt oss nu hitta koordinaterna för riktningsvektorerna för våra linjer.
Låt oss hitta koordinaterna för vektorn AE. För detta behöver vi punkterna A = (0; 0; 0) och E = (0,5; 0; 1). Eftersom punkt E är mitten av segmentet A 1 B 1 är dess koordinater lika med det aritmetiska medelvärdet av ändarnas koordinater. Observera att ursprunget för vektorn AE sammanfaller med ursprunget för koordinaterna, så AE = (0,5; 0; 1).
Låt oss nu titta på BF-vektorn. På liknande sätt analyserar vi punkterna B = (1; 0; 0) och F = (1; 0,5; 1), eftersom F är mitten av segmentet B 1 C 1. Vi har:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Så, riktningsvektorerna är klara. Cosinus för vinkeln mellan räta linjer är cosinus för vinkeln mellan riktningsvektorerna, så vi har:
Uppgift. I ett regelbundet triangulärt prisma ABCA 1 B 1 C 1, vars alla kanter är lika med 1, är punkterna D och E markerade - mittpunkterna på kanterna A 1 B 1 respektive B 1 C 1. Hitta vinkeln mellan linjerna AD och BE.
Låt oss introducera ett standardkoordinatsystem: origo är vid punkt A, x-axeln är riktad längs AB, z - längs AA 1. Låt oss rikta y-axeln så att OXY-planet sammanfaller med ABC-planet. Enhetssegmentet är lika med AB = 1. Låt oss hitta koordinaterna för riktningsvektorerna för de erforderliga linjerna.
Låt oss först hitta koordinaterna för vektorn AD. Tänk på punkterna: A = (0; 0; 0) och D = (0,5; 0; 1), eftersom D - mitten av segmentet A 1 B 1. Eftersom början av vektorn AD sammanfaller med ursprunget för koordinater får vi AD = (0,5; 0; 1).
Låt oss nu hitta koordinaterna för vektor BE. Punkt B = (1; 0; 0) är lätt att beräkna. Med punkt E - mitten av segmentet C 1 B 1 - är det lite mer komplicerat. Vi har:
Det återstår att hitta cosinus för vinkeln:
Uppgift. I ett regelbundet hexagonalt prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, vars alla kanter är lika med 1, är punkterna K och L markerade - mittpunkterna på kanterna A 1 B 1 respektive B 1 C 1 . Hitta vinkeln mellan linjerna AK och BL.
Låt oss introducera ett standardkoordinatsystem för ett prisma: vi placerar origo för koordinater i mitten av den nedre basen, x-axeln är riktad längs FC, y-axeln är riktad genom mittpunkterna av segmenten AB och DE, och z axeln är riktad vertikalt uppåt. Enhetssegmentet är återigen lika med AB = 1. Låt oss skriva ner koordinaterna för de intressanta platserna för oss:
Punkterna K och L är mittpunkterna för segmenten A 1 B 1 respektive B 1 C 1, så deras koordinater hittas genom det aritmetiska medelvärdet. När vi känner till punkterna hittar vi koordinaterna för riktningsvektorerna AK och BL:
Låt oss nu hitta cosinus för vinkeln:
Uppgift. I en vanlig fyrkantig pyramid SABCD, vars alla kanter är lika med 1, är punkterna E och F markerade - mittpunkterna på sidorna SB respektive SC. Hitta vinkeln mellan linjerna AE och BF.
Låt oss introducera ett standardkoordinatsystem: origo är i punkt A, x- och y-axlarna är riktade längs AB respektive AD, och z-axeln är riktad vertikalt uppåt. Enhetssegmentet är lika med AB = 1.
Punkterna E och F är mittpunkterna för segmenten SB respektive SC, så deras koordinater återfinns som det aritmetiska medelvärdet av ändarna. Låt oss skriva ner koordinaterna för de intressanta platserna för oss:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Genom att känna till punkterna hittar vi koordinaterna för riktningsvektorerna AE och BF:
Koordinaterna för vektor AE sammanfaller med koordinaterna för punkt E, eftersom punkt A är origo. Det återstår att hitta cosinus för vinkeln:
Planet ВСE (Fig.) dras genom sidan ВС vinkelrätt mot kanten AS. Dihedriska vinklar mellan sidoytorna (alla är lika) mäts med vinkeln BEC = φ . Triangel VIKT är likbent.
För att bestämma tvärsnittsarean S och vinkeln φ , det räcker med att hitta DE (D är mitten av BC). För att göra detta hittar vi BS sekventiellt (från triangeln BSD, där BD = a / 2 och ∠BSD = α / 2 ).
Sedan BE (från triangeln BSE, där ∠BSE = α ) och slutligen DE=√BE 2 -BD 2 . Vi får
Anmärkning 1
. Summan av planvinklar vid spets S är alltid mindre än 360°. Därför 0<α
<120°. При этом условии 2cos α /
2
> 1, alltså ekvationen 
har alltid en lösning.
Anmärkning 2 . Om α >90°, d.v.s. vinkeln ASB vid spetsen på sidoytan är trubbig, då kommer höjden BE på triangeln ASB att skära fortsättningen av basen, och planet BEC kommer inte att ge någon sektion av pyramiden. Under tiden formeln
och i trubbig vinkel α (mindre än 120°, se not 1) ger ett visst värde på S.
Svar: φ = 2 bågssin (1/2 sek α / 2 );
Liknande exempel:
Vid basen av pyramiden ligger en rektangel. En av sidoytorna har formen av en likbent triangel och är vinkelrät mot basen; i den andra sidan, mitt emot den första, finns sidokanter lika med b , bildar en vinkel på 2 mellan sig α och lutande mot den första sidan i vinkel α . Bestäm volymen på pyramiden och vinkeln mellan de angivna två ytorna.
Notera. Detta är en lektion med lösningar på problem i geometri (sektion av stereometri, pyramid med en fyrkant vid basen). Om du behöver lösa ett geometriproblem som inte finns här, skriv om det i forumet. I problem, istället för "kvadratrot"-symbolen, används funktionen sqrt(), där sqrt är kvadratrotssymbolen, och det radikala uttrycket anges inom parentes. För enkla radikala uttryck kan tecknet användas"√".Uppgift
I en vanlig fyrkantig pyramid är sidan av basen a och höjden 3a.Hitta lutningsvinklarna för sidoribborna och sidoytorna mot basens plan .
Lösning.
Låt oss hitta lutningsvinkeln för revbenen mot basens plan.
Eftersom vid basen av en vanlig pyramid ligger en vanlig fyrkant, är det i det här fallet en kvadrat. Eftersom höjden av pyramiden projiceras till mitten av basen, är detta skärningspunkten för diagonalerna. Var kommer KN = a/2 ifrån?
Triangel OKN är rektangulär, OK är höjd lika med 3a.
Låt oss hitta tangenten till vinkeln KNO och beteckna den som α.
Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
a = arctan 6 ≈ 80,5377°
Låt oss hitta lutningsvinkeln för pyramidens kant.
Diagonalen för en kvadrat med sidan a är lika med a√2. Eftersom höjden projiceras till mitten av basen delas diagonalerna på mitten vid denna punkt.
Således, för en rätvinklig triangel OKC, är tangenten för vinkeln KCO (vi betecknar den som β) lika med
Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = arktan 6/√2 ≈ 76,7373°
Svar: lutningsvinkeln för ytorna arctg 6 ≈ 80,5377°; lutningsvinkeln för ribborna arctg 6/√2 ≈ 76,7373°
