z
x
ЛЕКЦ 4
Төрөл бүрийн координатын систем дэх дулаан дамжилтын асуудал.
Декартын координатын систем
Т
Т
Т
q
би
j
к
T T x, y, z, t
y
x
x
y
Т
Т Т Т
в
кВ
t x xy y z z
в
Т Т
кВ
t x x
(1)
(2)
(3)
Практикт тэгшитгэлийг бичих хэрэгцээнд хүргэдэг нөхцөлүүд ихэвчлэн тулгардаг
дулаан дамжилтын илтгэлцүүр нь өөр хэлбэрээр, уусмал болон түүний физикийг танилцуулахад илүү тохиромжтой
тайлбарууд.
Тэгшитгэлийн төрлөөс хамаарах хамаарал
ашигласан системээс хамаарна
координатыг хасч болно,
операторын тэмдэглэгээг ашиглан
1 Т
q
Т В
а т
2
x
2
2
y
2
2
z 2
а в
Т
в
div gradT qV
т
эсвэл
в
Т
T qV
т
(4)
Дулааны ялгаралт ба эрчим хүчний хуримтлалыг илэрхийлсэн нэр томъёо нь өөрчлөгддөггүй
координатын систем (өөрөөр хэлбэл өөрчлөгдөөгүй); харин үүссэн дамжуулагчийг илэрхийлэх нэр томьёо
дулааны урсгал нь геометр, тиймээс координатын системээс хамаардаг.

Цилиндр координатын систем
z
в
доктор
r
dz
r, z
z
x
Т
div q q
т
q Т
xrcos
y
r, z
(5)
нүгэл
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r r
z
г
y
доктор
г
dy
dx
z
qr
(7)
1 Т 1 Т 1 2Т 2Т кВ
r 2 2 2
a t r r r
z
x
1 Т 1 Т
r
кВ
a t r r r
Т
1 Т
Т
; q
; qz
r
r
z
а
(9)
Т Ц
в
(8)

r,
Бөмбөрцөг координатын систем
z
доктор
r,
r
г
x
1 Т
div q q
а т
q Т
y
1 2
1
1
2
2 р
2
нүгэл
2
нүгэл 2
r r r гэм
Т
1 Т
1 Т
; q
; q
r
r
н нүгэл
(10)
1 Т 1 2 Т
1
Т
1
2Ткв
2 р
2
нүгэл 2
2
a t r r r нүгэл
н нүгэл
(11)
г
qr
1 Т 1 2 Т кВ
2 р
a t r r r
x r sincos
нүгэл үйлдсэн
z
(12)
z r cos
y
x

Канон хэлбэрийн биеийн дулааны тэгшитгэл
Өөр өөр координатын системд тэгшитгэл бичих нь ялангуяа тохиромжтой.
каноникийн биед температурын хуваарилалтыг олох шаардлагатай үед
хэлбэр - цилиндр эсвэл бөмбөгөнд. Эдгээр тохиолдолд тэгшитгэл нь үндсэндээ байна
Температурын талбарт тусгай нөхцлийг зааж өгөхдөө хялбаршуулсан байдаг
зөвхөн нэг координатаас хамаарна.
параллелепипед
хавтан
цилиндр
бөмбөрцөг
в
Т Т Т Т
кВ
t x xy y z z
1Т 2Ткв
2
a t x
qe
1 Т 1 Т кВ
r
a t r r r
1 Т 1 2 Т кВ
r
2
a t r r r
Т Ц
z
y
x

1 T 1 n T qV
r
n
a t r r r
Сүүлийн гурав
тэгшитгэлүүд хамтдаа:
n 0
n 2
n 1 цилиндр
онгоц
T T0
T* T0
т
т*
(13)
бөмбөрцөг
r
r*
1 1 н
кВ
n
Фо
Ширээн дээр
Фурье тоо
үед*
Фо 2
r*
qV 1:
үед*
цагт
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
кВ
T* T0
q
T* T0 V r*2
1н
1
n
Фо

Төрөл бүрийн координатын систем дэх дулаан дамжуулалтын суурин асуудлууд
Цилиндр хана: дулаан дамжуулах хөдөлгөөнгүй процесс
r1 дотоод радиустай цилиндр хэлбэртэй хана (хоолой);
d 1 2r1
r1
1 Т 1 Т 1 2Т 2Т кВ
r
a t r r r 2 2 z 2
r2
Те1
2
1
T1
d1
T2
Та 2
дТ
у
доктор
ду 1
u 0
доктор Р
T C1 ln r C2
q
d2
(17)
дТ
C
1 (18)
доктор
r
г 2Т
1 дТ
0
2 r dr
доктор
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Тусгай дулааны урсгал нь тийм биш юм
зузаан нь тогтмол байх ба багасна
гаднах гадаргуу руу чиглэнэ
Хөдөлгөөнгүй нөхцөлд дамжин өнгөрөх нийт дулааны урсгал
l ба тэнцүү урттай цилиндр хоолойн огтлол
Q q F q 2 rl
Тусгай дулааны урсгал
радиустай хамт буурдаг
!!!
(19)
Гадаргуугийн талбай
радиустай хамт нэмэгддэг
Хоолойн зузаан дээрх температур тогтмол үед ч шугаман бус байдлаар өөрчлөгддөг
дулаан дамжилтын илтгэлцүүр
Интеграцийн тогтмолуудыг хилийн нөхцлөөс олж болно.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 ln r1 C2,
Шугаман систем
тэгшитгэл
T2 C1 ln r2 C2,
T ln r2 r T2 ln r r1
Т 1
;
ln r2 r1
q
Q
Нэгж уртын дулааны урсгал
qп
(20)
дТ
C
1
доктор
r
дТ
Т
л 2 р
2 л,
доктор
ln r2 r1
В
Q
2
T, T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)

(хананы температур тодорхойгүй)
T C1 ln r C2
Бид ижил зүйлийг хийж чадна:
r r1:
Үүнийг өөрөөр хийцгээе:
(23)
Т
Т
1e T Te1 ; r r2:
2e Тэ2 Т
r
r
Нэгж уртын конвектив дулааны урсгал
хоолой нь шугаман дулааны урсгалтай тэнцүү байх ёстой
дулаан дамжилтын улмаас:
qп 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qп
ln r2 r1
qп Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(MK)
1
1 р
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qп 2e T2 Te2 2 r2
Дулаан дамжуулалтын коэффициент
цилиндр хана
Rc
1
1
1 р
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
хавтгай хана
Р
1 л 1
1 2
1 л 1
К
1
2
1
В/(М2 К)
Тэгшитгэлийн системээс (23) бид олж болно
хананы температур ба орлуулах (20)
Бүрэн дулаан
хоолойн эсэргүүцэл
(24)
(25)
(26)
Хэмжээ
-аас ялгаатай
K хэмжээс
хавтгай хана!
T ln r2 r T2 ln r r1
Т 1
;
ln r2 r1
Чадах
Ширээн дээр

Хэмжээгүй хувьсагчдад
r1
г 2
г
r2
2
1 г
0
г
(27)
г
Би
г
(28)
r1 r2:
Те1
2
1
d1
d2
Дасгал хийх
байшин дээр:
1:
Т Тэ 2
r
; r* r2
Тэ1 Тэ 2
r2
г
Би 1
г
(29)
2er2 1e
Би
2e
C1 ln C2
Та 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Хэмжээгүй хувьсагч руу болгоомжтой шилжих
B) Системээс интеграцийн тогтмолуудыг ол (30)
B) барих өөр өөр утгатайпараметрүүд

10.

Зарчмууд
тууштай
Тэгээд
Зэрэгцээ
хэлхээн дэх дулааны эсэргүүцлийн холболт,
тэгш өнцөгт хэлбэртэй хавтгай хананд хүчинтэй
координатын системийг асуудалд мөн хэрэглэж болно
хөндий цилиндр дэх дулаан дамжилтын илтгэлцүүр.
Цахилгаан аналоги
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ц
RT
ln r2 r1
2 л
Хоолойд шингэн урсдаг, R 1 1
0
F 2 r1l
тусгаарлагчаар бүрхэгдсэн
материал
дТ
Т
л 2 р
2 л,
доктор
ln r2 r1
Т
Q
,
ln r2 r1 2 л
хэлбэрээр
Ом-ын хууль
Дулааны эсэргүүцэл
хөндий цилиндр
Конвектив дулаан
шингэний эсэргүүцэл
Бид шингэний конвектив эсэргүүцлийг хоёроор цувралаар холбодог
дамжуулагч дулааны эсэргүүцэл. Хэрэв шингэний температур ба температурыг тохируулсан бол
гадна гадаргуу:
Т0 Ц
Т
Q
A)
Р
дүүрэн
r
r
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 л 1 r1 2 л 2 r2
(31)
Эсэргүүцэл
тусгаарлалт
Хэрэв дотоод болон гадаад гадаргуугийн температурыг зааж өгсөн бол
B)
Т
Q
R дүүрэн
Т1 Ц
r
r
1
1
ln 2
ln 3
2 л 1 r1 2 л 2 r2
(32)

11.

Жишээ
1 185
Дулаан дамжуулалттай хөнгөн цагаан хоолойд
W / (m K), усны уурын урсгал
◦
110 С-ийн температурт хоолойн дотоод диаметр нь 10 см, гадна диаметр – 12
Тэ
см.. Хоолой нь температуртай өрөөнд байрладаг
30◦C; коэффициент
д
хоолойноос конвектив дулаан дамжуулалт
агаарт
15 Вт/(м2К)-тай тэнцүү байна. 1) Шаардлагатай
хэрэв хоолой нь дулаан тусгаарлагдаагүй бол хоолойн нэгж урт дахь дулааны урсгалыг ол.
2) Хоолойноос дулааны алдагдлыг багасгахын тулд дулаан тусгаарлагч давхаргаар хучсан
(2 0 .2 Вт/(м К)) 5 см зузаан.-аас нэгж уртад ногдох дулааны урсгалыг ол.
дулаан тусгаарлалттай хоолой. Конвектив дулаан гэж үзье
уурын эсэргүүцэл ач холбогдол багатай.
Шийдэл. Дулаан тусгаарлагчгүй хоолойн хувьд хамгийн чухал нь
хоолойн өөрөө дамжуулагч дулааны эсэргүүцэл ба конвектив дулааны
өрөөний агаарын эсэргүүцэл. Конвектив дулааны
уурын эсэргүүцлийг үл тоомсорлож болно, дотоод гадаргуугийн температур
хоолой нь уурын температуртай тэнцүү байна. Хоолойн нэгжийн уртад ногдох дулааны урсгал нь дараахаас хамаарна
харьцаа T T
110 30
80
q
0
д
ln r2 r1
1
2 1
2 r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 Вт/м.
Дулаан тусгаарлагчтай хоолойны хувьд та дулааны эсэргүүцлийг нэмэх хэрэгтэй
дулаан тусгаарлалт, дулааны урсгалын хамаарал нь хэлбэртэй болно
q
Т0 Тэ
80
138
ln r3 r2 1.57 10 4 0 .096 0 .482
ln r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
Вт/м.

12.

Олон давхаргат цилиндр хана
Qc
Tn T1 1
n
г
1
би 1
2 i
ди
, d i 2r1
Qc
би 1
Үзэл баримтлал хүчинтэй хэвээр байна
эквивалент коэффициент
дулаан дамжуулалтын
eq
ln dn 1 d1
n
би 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 өдөр би 1
ln
би ди
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Температур Ti 1
Ti 1 Ti
2 экв T1 Tn 1
ln dn 1 d1
i-р ба i+1-давхаргын хил дээр
qc 1 d 2 1 d3
1 г
ln ln ... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
би
ди
(35)
Дулаан дамжуулах коэффициент:
Kc
1
1
1d1
n
би 1
1 ди 1
1
ln
2 би 2 г 2
(36)

13.

r1
Хоолойн радиаль дулааны урсгал нь логарифмтай урвуу пропорциональ байна
гаднах радиус (радиаль дамжуулалтын эсэргүүцэл нэмэгддэг);
r2
Гаднах гадаргуугаас дулаан ялгарах нь үүнтэй шууд пропорциональ байна
радиус (хөргөх гадаргуугийн талбайг нэмэгдүүлдэг)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1 r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Тиймээс тодорхой радиус байдаг
хаана дулааны алдагдал хамгийн их байна!
Хэрэв тогтмол (жижиг) дотоод радиустай бол бид нэмэгддэг
хоолойн ханын зузаан (өөрөөр хэлбэл гаднах радиусыг нэмэгдүүлэх r2), дараа нь үйлдэл
дулааны эсэргүүцлийн томъёоны логарифм илүү их байх болно
илүү том дотоод радиустай харьцуулахад илүү хүчтэй

14.

Дулаан тусгаарлагчийн чухал диаметр
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1 r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Экстремум нөхцөл:
өгдөг
r2 * 1
2
Критик радиус
Дотоод эсэргүүцэл тэг байх онцгой тохиолдол, 1 1 0
y
q
2 Тэ1 Тэ 2
1
r
, x 2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Гадаад эсэргүүцэл нь мөн тэг байна
r1 r2
Ханын зузаан нь 0
1: x 2r2
Өгөгдсөн дотоод радиусын хувьд чухал утга
нэмэгдвэл гаднах радиус нэмэгдэнэ
хоолойн дулаан дамжилтын илтгэлцүүр буюу коэффициент буурч байвал
гаднах гадаргуу дээрх дулаан дамжуулалт
(37)
Би 1

15.

тусгаарлагч
Гадны эгзэгтэй радиус байгаа нь хэзээ вэ гэдэгт хүргэдэг
зарим бодит нөхцөл байдал, уламжлалт санаанаас үл хамааран
Тусгаарлагч хоолойн дулааны алдагдлыг үнэндээ бууруулж болно
тусгаарлагчийн зузааныг багасгах замаар
d1
d2
Хөндлөн огтлол нь хоёр давхар хоолойн дулааны нийт эсэргүүцэл
томъёогоор тодорхойлогдсон зурагт үзүүлэв
d3
Rc
1 2
хоолой
Нөхцөл байдал
туйлын:
d2 d3 *
d3 d2
(39)
- тусгаарлагчийн зузаан
Тусгаарлагчийн дулаан дамжуулалтын (I) дулааны эсэргүүцэл нэмэгдэх тусам нэмэгддэг
тусгаарлагч бүрхүүлийн зузаан; тусгаарлагчийн дулаан дамжуулах дулааны эсэргүүцэл
(II) - буурдаг (дулаан дамжуулах гадаргуу ихсэх тусам)
dRc
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3 *
1
1
1 d2
1 d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(би)
d 3 *
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
-аас хамаарахгүй
d2
(40)
(өөрөөр хэлбэл, дамжуулах хоолойн диаметрээс хамаардаггүй)
Чухал цэг дээр бүрэн дулааны
эсэргүүцэл хамгийн бага!
тусгаарлагчийн зузааныг нэмэгдүүлэх нь дулаан дамжуулалтыг бууруулдаг
сонгосон бүрээсийг түрхэх нь эхлээд нэмэгдэхэд хүргэнэ
дулаан дамжуулалт, зөвхөн чухал голч хүрэхэд дулааны урсгал болно
буурах; дараа нь дулаалгагүй байсан үнэ цэнэд хүрч, зөвхөн дараа нь л хүрнэ
хүссэн үр дүнд хүргэх болно

16.

Хөндий бөмбөгтэй холбоотой асуудал
(бөмбөгний хана)
г 2Т
доктор
2
2 дТ
0
r dr
(41)
Бид орон зайн нэг хэмжээст хөдөлгөөнгүй гэж үздэг
Өгөгдсөн бөмбөрцөг хэлбэртэй хананд дулаан дамжуулах асуудал
дотоод болон гадаад гадаргуугийн радиусууд. Нэг хэмжээст байдал
асуудал нь ханан дахь температурын хуваарилалт гэсэн үг юм
зөвхөн радиусаас хамаарна
Орлуулахыг ашиглах
хувьсагч
r1
дТ
у
доктор
ду
2u
Нийтлэг шийдвэр
доктор
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21; T r 1 C2;
2
r
доктор Р
r
r2
Эхний төрлийн хилийн нөхцөл
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Дулааны урсгалын нягт
Нийт дулааны урсгал
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
дТ
r2
T1 T2
q
2 C1
доктор
1 r1 1 r2
r
(45)
дТ
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
доктор
1 r1 1 r2
(46)

17.

Гурав дахь төрлийн хилийн нөхцөл
Т р
Нийтлэг шийдвэр
өөрчлөгддөггүй
C1
C2
r
Т
r r1: -
1 Т Те1
r
Т
r r2: -
2 Тэ2 Т
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2 r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Тэ 2 Тэ1
dT C1
2
доктор Р
C2
(48)
Нийт дулааны урсгал Q нь тийм биш юм
одоогийн радиусаас хамаарна
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
Хязгаарт, өгөгдсөн температуртай зөөвөрлөгчүүдийн хоорондох хамгийн тохиромжтой дулаан солилцоотой ба
бөмбөрцөг хана (жишээ нь, дулаан дамжуулах хязгааргүй коэффициентийн хувьд), асуудлыг шийдвэрлэх
Гурав дахь төрлийн хилийн нөхцлүүд нь хилийн нөхцлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ордог
Эхний төрлийн нөхцөл.
4
Q
Т Т
1 1 1 2
r1 r 2
=
дулааны урсгал,
4 r1 2 1 Тэ1 Т
ирж байна
дотоод хана
=
дулааны урсгал,
4 r 2 2 2 T Te 2
явах
гадна хана

18.

Бөмбөрцөг ханан дахь температурын хуваарилалт
Гурав дахь төрлийн хилийн нөхцлийн хувьд
Гэртээ:
бүгдийг тогло
шийдэл
1 1
1 1
T1 T 2
r r
r1 r
2
Т р
1 1
r1 r 2
Хананы температур:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2 Те1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
Бөмбөгний хананы дамжуулалт:
с
1 1
r1 r 2
r1r 2
r 2 r1

19.

Хэмжээгүй хэлбэрийн хамгийн энгийн асуудлын шийдэл
Канон хэлбэртэй биетүүдийн суурин асуудлын шийдлүүдийг цуглуулцгаая
Эхний төрлийн хилийн нөхцлүүд хамтдаа
T p T1 T1 T 2
r
r2
Гэртээ: тогло!
Tc
1 1
1 1
T1 T 2
r r
r1 r
2
Ц
1 1
r1 r 2
T1 ln r 2 r T 2 ln r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T 2
r
r2
0,8
х 1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
в
х
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
Хавтгай хананд, чанарын хуваарилалт
температур (шугаман) нь үүнээс хамаардаггүй
зузаан. Гэхдээ цилиндр ба бөмбөрцөг хэлбэрээр -
радиусаас хамаарч шугаман бус байдлаар өөрчлөгддөг;
зан чанар
хуваарилалт (муруйн муруйлт) хамаарна
гадаад ба дотоод радиусын харьцаа.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Температурын тэгш хуваарилалт
(1), цилиндр (2) ба бөмбөрцөг (3)
хана Хатуу шугамууд
;
10
тасархай шугам - . 5

20.

Гурав дахь төрлийн хилийн нөхцлийн хувьд хамгийн энгийн асуудлын шийдэл
дулаан дамжуулалтыг тодорхойлсон параметрүүдээс хамаарна.
Ижил дулаан дамжуулах коэффициентүүдийн хувьд.
Т Тэ 2
Тэ1 Тэ 2
r
r2
1 2
0,8
тавагны хувьд
1
х 1 1 2
1 1
2 Би
2
1
2 Би
цилиндрийн хувьд:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 лн 2 лн
ln
1 1
2
1 Би лн
1 Би лн
в
бөмбөрцгийн хувьд:
с
1
1 1 1 2
1
1 Би 1
1 1 Би
2
Би
r1
1
1 1 Би
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Температурын хуваарилалт
хавтгай координатын дагуу (1),
цилиндр (2) ба бөмбөрцөг хэлбэртэй
(3) нөхцөлд хана
конвектив дулаан дамжуулалт.
Хатуу шугамууд - Bi 2;
цэгтэй - Bi 1 0

21.

Жишээ нь: Дьюарын шил
Металл тоосонцор нь исэлдүүлсэн хальсаар бүрсэн
Гэрийн даалгавар:
1.Температурын хуваарилалтын асуудлыг хоёр давхаргаар томъёол
материалыг ашиглан конвектив хөргөлтийн үед бөмбөрцөг бүрхүүл
лекцүүд. Давхаргын хоорондох дулааны холбоо нь хамгийн тохиромжтой гэж тооцогддог. Тэргүүлэх
асуудлыг хэмжээсгүй хэлбэрт оруулах. Нарийн аналитик шийдлийг бий болгох
энэ даалгавар.
2.*Бөмбөлгийн дотор болон гадна гадаргуугийн температурыг тооцоол
1-р асуудал дахь бүрхүүлүүд, түүнчлэн контактын температур; бүрэн тодорхойлох
температур гэж үзвэл бөмбөгний гадаргуугаас гарах дулааны урсгал
бүрхүүл доторх орчин – 175 С, температур орчин- 25 хэм;
дулаан дамжуулах коэффициентүүд ижил ба тэнцүү - 28.8 ккал/(м2·цаг·град);
бүрхүүлийн дотоод ба гадаад радиус - 3 см ба 5 см, зузаан
дотоод бүрхүүл - 25 мм. Дотор бүрхүүл нь хийгдсэн
1.45 ккал/(м цаг градус) дулаан дамжилтын илтгэлцүүр бүхий материал; гадна
0.137 ккал/(м цаг градус) дулаан дамжилтын илтгэлцүүртэй материал. Хэрхэн
гаднах зузаантай үед дулааны урсгал өөрчлөгдөх болно
25 мм-ээс 300 мм хүртэлх бүрхүүлүүд?

22.

г 2Т
Та 2
2
T1
Те1
T2
1
xmax
кВ
0;
2
dx
Г.у. Эхний төрөл: r r1:
qV const
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
Г.у. Гурав дахь төрөл:
r r1:
-
Т
1 T Te1;
r
r r2:
-
Т
2 Тэ2 Т
r
Шийдлийн эхний "арга":
Асуудлыг энгийн интеграцчилалаар шийддэг.
qV x 2
Tx
C1x C2
2
дТ
q
V x C1;
dx
(4)
Ерөнхий шийдлийг g.e-д орлуулснаар бид интегралын тогтмолуудыг олно.
Дээд тал нь гадаргуугаас тодорхой зайд байрладаг.
Нөхцөлөөс (экстремум нөхцөл) максимумын байрлалыг олж болно.
дТ
q x
V C1 0
dx
(5)
дТ
0
dx
(3)

23.

Дотоод дулааны эх үүсвэртэй даалгавар
ЭЗЭЛХИЙН ДУЛААН ҮҮСГЭГЧТЭЙ ДУЛААН ДАМЖУУЛАХ ХАВТГАЛ ХАНА
Та 2
2
T1
Те1
1
2
1
Юмыг арай өөрөөр хийцгээе. (Хоёр дахь "зам"
шийдэл)
qV x 2
Tx
C1x C2
ерөнхий
шийдэл
2
(4)
Координатын гарал үүслийг цэг дээр байрлуулъя
хамгийн их температур
T2
1; 2
- хамгийн дээд хэмжээнээс хавтангийн ирмэг хүртэлх зай
0
C1 0
Бид баруун талд байгаа хилийн нөхцлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.
x2:
дТ
dx
2
2 Т Тэ 2
2
2
q
В
2
2 C2
Те 2 кВ 2
2
(6)
x=0 хавтгайг дулаан тусгаарлагдсан гэж үзэж болох тул бүх дулаан ялгардаг
нэгж хугацаанд баруун талд хавтан, байгаль орчинд цацагдах ёстой
баруун хананаас дулаан дамжуулах замаар. Үгүй бол нөхцөлийг зөрчих болно
хөдөлгөөнгүй байдал
qV 2 - зузаантай хавтангийн эзэлхүүн дэх дулааны хэмжээ = 1 нэгж хугацаанд
Зүүн талд нь хавтангийн гадаргуугийн нэгжийн дулаан дамжуулах урсгалын илэрхийлэл байна

24.

Зузаантай хавтангийн зүүн давхаргын ижил төстэй үндэслэл
1 2
илэрхийлэлд хүргэдэг
2
q
В
2
1 C2
Те1 кВ 2
2
(7)
(6), (7) тэгш байдлыг ашиглан бид байрлалыг олно
дээд тал нь
2
2 1 2 Тэ1 Тэ 2 кВ 2 1 2
2кВ 1 2 1 2
(8)
Тогтмол С2, (тэгш байдлын аль нэг нь тохиромжтой) -ийг тодорхойлсноор бид ерөнхий шийдлийг олдог.
Энэ нь хамгийн энгийн хэлбэрийг авдаг бол
1 2 ;Тэ1 Тэ2 Тэ
1 2 2
Дараа нь
qV qV 2
C2
Тэ
2
8
Тэгээд
2
q
кВ
2
Tx
х V Тэ
2 2
2
(9)
(10)
кВ 2 кВ
Бага байх тусам хавтангийн дулаан дамжуулалт өндөр байна
Tmax T x 0
Тэ
8
2
q
Дулаан дамжуулалт муудах тусам хананы температур Ts T1 T2 V Te нэмэгддэг
2

25.

Эхний төрлийн хилийн нөхцөл
T1
2
1
T2
0
qV 22
C2 T2
2
дТ
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
TxT2
x
1
2
2 2
кВ
Маш том утгуудын хувьд
x2:
qV x 2
Tx
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Гурав дахь төрлийн хилийн нөхцөл нь хилийн нөхцөл болж хувирдаг
Эхний төрлийн нөхцөл. Тиймээс бид ижил шийдвэр гаргаж байна
Бид өмнөх шийдлийг ашиглаж байна
2 Т Тэ 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Тиймээс гурав дахь төрлийн (10) хилийн нөхцлийн тэгш хэмийн бодлогоос бид олддог.
2
кВ
2
Tx
х Ц
2 2
Tmax T x 0
q
В Ц
8
2
Температур
хана
(14)
Хананы температур тэнцүү байх тохиолдолд өмнөх шийдлээс ижил тэгш байдал үүсдэг

26.

Нэг жигд халаалттай (эсвэл.) хязгааргүй хатуу цилиндрийг авч үзье
хөргөсөн) хажуугийн гадаргуугаас. Цилиндрийн эзэлхүүн нь дулааны эх үүсвэрийг агуулдаг
тогтмол эрч хүч. Температурын хуваарилалтыг олох шаардлагатай
тогтвортой байдал.
d 2T 1 dT q
доктор
u dT dr
2
r dr
q r
ду
r
u V 0
доктор
В
эсвэл
0
(1)
d ru qV r
0
доктор
qV r 2
ru
C1
2
q r C
дТ
V 1
доктор
2
r
Нийтлэг шийдвэр
Эхлээд
интеграл
(3)
qV r 2
Т
C1 ln r C2
4
Төвийн нөхцөл байдал
хатуу цилиндр
dT dr 0; r 0
(2)
(4)
C1 0

27.

Эзлэхүүн дулаан ялгаруулах цилиндр
дТ
Т Тэ
r Р
доктор
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
Т
Р
r
Тэ
C2
Тэ
4
2
2
4
q
q Р
q Р
Tmax V R 2 V Te
Ц В Тэ
4
2
2
Гадаад байдал:
цилиндрийн гадаргуу дээрх дулааны урсгалын нягт:
цилиндрийн гадаргуугаас гарах нийт дулааны урсгал:
q Ц Тэ
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Эзэлхүүний дулаан ялгаруулах цилиндрийг хөргөх асуудал нь, онд юм
ялангуяа катод дахь температурын тархалтыг олох сонирхол,
ионы урсгалыг үүсгэхийн тулд плазматронуудад ашигладаг. Практикт
програмын хувьд энэ асуудлыг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: хүчийг олох
шаардлагатай бол катодыг цацахад хангалттай эх үүсвэр
катодын материалын хайлах цэгт хүрнэ
Ерөнхий шийдлийг (4) ашиглан бид зузаан дахь температурын тархалтыг олж болно
хөндий цилиндрийн хана эсвэл хамгаалалтын давхаргаар хучсан цилиндрийн зузаанын дагуу
(бид цаашид авч үзэх болно). Эхний тохиолдолд та дотоод гадаргуу дээр нөхцөлийг тогтоох хэрэгтэй
цилиндр. Хоёр дахь тохиолдолд интерфэйс дээр нэмэлт нөхцөл шаардагдана
өөр өөр шинж чанартай хоёр материал, өөрөөр хэлбэл. дөрөв дэх төрлийн хилийн нөхцөл.

28.

Эзлэхүүний дулаан ялгаруулах бөмбөг
qV r 2 C1
Гэртээ: надад үзүүл
Т
C2 (2)
(1)
ерөнхий шийдэл нь юу вэ
6
r1
dr 2
(1) (2) хэлбэртэй байна
дТ
Нөхцөл:
dT dr 0; r 0 ба dr T Te; r Р
q
q
C1 0 өгөх ба
C2 Te V R V R 2
3
6
2
кВ
qV 2 r (3)
Т Тэ
Р
R 1
3
6
Р
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Хамгийн их температур
3
6
q
q
Гадаргуугийн температур
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R 2 дТ
1
Гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт дулааны урсгал
Q
R 3кВ
4 dr r R 3
бөмбөг
qV R
кВ 2 кВ R
Т
Тэ
Tmax
Р
Тэ
цилиндр
с
2
4
2
Харьцуулах
г 2Т
2 дТ кв
0
r dr
Хавтгай давхарга Tmax
qV qV 2
Тэ
2
8
q
Т с В Тэ
2
(4), (5)

29.

Жишээ 1. Хай хамгийн их хүч чадалдамжуулж болох гүйдэл
1 мм-ийн диаметртэй хөнгөн цагаан утас (λ=204 Вт/(м К)), ингэснээр
температур нь 200 С-ээс ихгүй байна.Утас нь агаарт дүүжлэгдсэн
температур 25 C. Утаснаас дулаан дамжуулах конвекцийн коэффициент
агаар 10 Вт/(м2 К). Цахилгаан эсэргүүцэл Re/l нэгж тутамд
утасны урт нь 0.037 Ом / м.
Шийдэл. Дараахь томъёог (66) ашиглацгаая
кВ
Re I 2
R2l
Тм сүх
qV R R
I 2 Re
Тэ
1
Тэ
2
2
2 R л
Р
1 2
Бид физик хэмжигдэхүүний өгөгдсөн утгыг орлуулна.
200 25
I
2
2 1 0 3
Эндээс бид одоогийн хүчийг олох болно:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
Би 12.2 А

30.

Тусгаарлагч утас
Асуудлын нарийн математик томъёолол:
d 2T1
доктор
2
d 2T2
Эхний нөхцөл нь тэгш хэмийн нөхцөл юм;
хоёр дахь нь дулааны
утас ба тусгаарлагчийн хоорондох холбоо -
хамгийн тохиромжтой, гурав дахь нь тохирно
бүхий утсан конвектив дулаан солилцоо
хүрээлэн буй орчноос тусгаарлах.
доктор
2
1 дТ2
0
r dr
r 0: dT dr 0
r R: 1
r Р
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
дТ
2 2 ; T1 T 2
доктор
доктор
r R: 2
Асуудлын ерөнхий шийдэл:
1 дТ1 кВ
0
r dr
1
dT2
Т2 Тэ
доктор
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Гэртээ: надад үзүүл
шударга ёс

31.

Тусгаарлагч утас
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Асуудлын ерөнхий шийдэл:
T2 C3 l n r C 4
(3) нөхцөлөөс бид:
C1 0
q Р
C
1 V 2 3
Р
2 1
Нөхцөл (4) нь:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
(5) нөхцөлөөс дараах байдалтай байна.
qV R 2
C3 2 кВ R 2
2
ln R C 4 Te
Р
R 2 2
2 2
Бид олдог:
qV R 2
q Р
C4Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C2Te
ln
1
4 1 R 2 2
Р

32.

Тиймээс тусгаарлагчтай утсан дахь температурын хуваарилалт
томъёогоор дүрсэлсэн
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
Т1 Тэ
ln
1
4 1 R 2 2
R 4 1
Тэгээд
qV R 2 2 qV R 2 R
T2Te
ln
2 2 Р
2 2
r
Бид эцсийн шийдлийг дараах байдлаар танилцуулж байна.
Т Тэ
би би
Т Тэ
qV R 2
Т Тэ
1
r
Р
1
Би К
2
1 1 2
ln 1
4
К2
4
2
К К 1
ln
2Bi
2
Гадаргуугаас дулааны урсгалыг тодорхойлъё
дамжуулагч
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Гэр рүүгээ яв
хэмжээсгүй хувьсагч
0 1
Би
1 1
К
Q
R2 2 л T* Te
1
2
Р
2
К
Би
- тусгаарлагч нь гүйдэл дамжуулагчаас дулааныг зайлуулахгүй
- дулаан алдалтын улмаас дамжуулагчийг хөргөх боломжтой
орчин
Р

33.

Жишээ 2. 1 см диаметртэй урт хөнгөн цагаан утсыг дагуулан явуул
урсдаг цахилгаангүйдлийн хүч 1000 A. Утас нь давхаргаар хучигдсан байдаг
3 мм зузаантай резинэн тусгаарлагч (λ2=0.15 Вт/(м К)). Температур
тусгаарлагчийн гаднах гадаргуу нь 30 С. дотор талын температурыг ол
тусгаарлагч гадаргуу. Нэг нэгжид ногдох утасны омк эсэргүүцэл
урт 3.7·10-4 Ом/м.
Шийдэл. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид T2-ийн хоёр дахь томьёог ашигладаг
коньюгат асуудал гэж үздэг. Температурыг тохируулсан гэж үзвэл
2
тусгаарлагчийн гаднах гадаргуу, i.e.
Re I 2
Re I 2
Р
T2 r R Te
ln
кВ
2
л
2
Р
Р л
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Хөнгөн цагаан утасны дулаан дамжилтын утгыг ашиглах
1,232 Вт/(м К) ба T-ийн томъёогоор бид төвийн температурыг тооцоолж болно
1
утаснууд. Бидний авч үзэж буй нөхцлийн дагуу
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
л 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Гэрийн даалгавар.
1. Зэвэрдэггүй ган утсаар I=200А хүчний гүйдэл дамжсан
2 мм диаметртэй, 1 м урттай.Утасны цахилгаан эсэргүүцэл –
0.125 Ом, дулаан дамжилтын илтгэлцүүр 17 Вт / (м К). Температур
утасны гадаргуу 150 C. Температурыг тэнхлэг дээр тооцоолох шаардлагатай
утас.
2. Ижил асуудалд утсыг тусгаарлагч давхаргаар хучсан гэж үзье
(тусгаарлагчийн дулаан дамжилтын илтгэлцүүр 0.15 Вт/(м К)), коэффициент
тусгаарлагч гадаргуу дээрх дулаан дамжуулалт 60 Вт/(м2К). Шаардлагатай бол
гүйдлийг өөрчлөх (өсгөх эсвэл багасгах) ингэснээр температур
утасны гадаргуу 150С-тай тэнцүү хэвээр байна.

35.

Үр дүнтэй (тэнцүү) термофизик шинж чанарууд
Механик инженерчлэлд болон бидний эргэн тойрон дахь хүмүүст хэрэглэгддэг материалууд
олон бүрэлдэхүүн хэсэг, олон үе шаттай. Энэ нь ганд хамаарна
хайлш, металл хоорондын нийлмэл материал, нийлмэл материал,
шилэн нийлмэл, полимер дээр суурилсан нийлмэл материал, хольц,
шийдэл гэх мэт.
Хэрэв эхлэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд (нийлмэл материалууд нийлэгждэг
өөр өөр технологи) эсвэл бүх шинж чанар бүхий ашигласан материалыг өгсөн
илүү бага тодорхой, дараа нь шинээр боловсруулсан материалын хувьд
шинж чанарыг тодорхойлох нь томоохон сорилт юм.
Туршилтын стандарт аргууд ажиллахгүй эсвэл болохгүй
үнэтэй эсвэл цаг хугацаа их шаарддаг
Тооцоолохын тулд та бүрэлдэхүүн хэсгүүд, бүтэц, харилцан хамаарлын шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй
физик үзэгдлийн бие биедээ үзүүлэх нөлөө.
тухай мэдээлэлгүйгээр физик шинж чанарАан, шинжлэх ухааны үндэслэлтэй зүйл байхгүй
эсвэл инженерийн тооцоо
Дулнев Г.Н., Заринчак Ю.П. Холимог ба нийлмэл материалын дулаан дамжилтын илтгэлцүүр
материал

36.

Шинж чанарыг тооцоолох загварууд:
корпускуляр (молекул), тасралтгүй ба хосолсон
Корпускуляр загварт шинж чанарыг байгалийн тухай мэдлэг дээр үндэслэн судалдаг.
бөөмийн харилцан үйлчлэлийн бүтэц, мөн чанар. Физик шинж чанарын тооцоо
Энэ тохиолдолд зөвхөн бусад шинж чанаруудын өгөгдлийг ашиглах боломжтой.
Нэг төрлийн бус бүтцийн ангилал:
Дулнев, 10-52-р тал (нээлттэй)
Нийлмэл материал: pp.106-130

37.

Үр дүнтэй коэффициентийг тооцоолох олон арга байдаг
гетероген ба сүвэрхэг материалын дулаан дамжуулалт
Тусдаа дулаан дамжуулах үйл явцын хамгийн энгийн ойролцоо байдлаар
бичил талбай (энэ нь төлөөллийн эзлэхүүн гэж тооцогддог)
физик тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Идеал бүхий бүс нутгийн хоорондын интерфейс дээрх хилийн нөхцөл
Дулааны контакт нь дараахь хэлбэртэй байна.
Т
Т
к к к 1 к 1 ; Tk Tk 1
n
n
Материалын үр дүнтэй дулаан дамжуулалтыг тодорхойлох (бүрдсэн
өөр өөр үе шатууд) үед физик талбайн тархалтыг тодорхойлох шаардлагатай
бүх бичил талбай, дараа нь бараг нэгэн төрлийн орчинд шилжих, төлөө
харилцааг хадгалж байдаг
JT*T
1
J k dV ;
В
1
Tk d
Т
В
В
Үүний төрлийг тогтоох
Үр дүнтэй коэффициент: f k, k;
хараат байдал ба байна
гол ажил
- фазын фракцууд
янз бүрийн онолууд.
Ж.Т
Т

38.

Хоёр фазын систем
1
Ж
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
В
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 В
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
к
T1 T1
2 T2
Tk T
Т
2
1 1 2 2 1
-аас дагадаг
өмнөх
, k 1.2
- дундаж эзлэхүүний градиент
Хоёр тэгшитгэлийн систем (1) нь гурван үл мэдэгдэхийг агуулна. Цахим хаалтын хувьд
нэмэлт мэдээлэл шаардлагатай, тухайлбал бүтцийн талаарх мэдээлэл
гетероген систем, тусгайлан зохион бүтээсэн туршилтын өгөгдөл.
Ийм системийг хаах асуудлыг шийдэх нь бүх зүйлийг бий болгоход хүргэсэн
Дамжуулах коэффициентийг тодорхойлох олон янзын аргууд (зөвхөн биш
дулаан дамжилтын илтгэлцүүр), уран зохиолд мэдэгддэг

39.

1. Систем болох хамгийн энгийн бүтцийн хувьд
урсгалтай параллель хязгааргүй ялтсууд J
1 2 1
Тэгээд
1 1 2 2
2. Давхаргууд нь урсгалтай перпендикуляр байвал
1 T1 2 T2;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Нэг төрлийн бус орчны бүтцийн төрлүүд маш олон янз байдаг. Тиймээс, тохиолдолд
хоёр фазын зөөвөрлөгч, аль фазууд (өөр өөр фаз агуулсан бичил бүсүүд)
орон зайд эмх замбараагүй, эмх цэгцтэй тархаж болно;
аль нэг үе шатыг агуулсан бүтцийг тусгаарлагдсан хэлбэрээр ялгах боломжтой
изомерик (1) эсвэл анизотроп чиглэлтэй (2) орцууд
тасралтгүй бусад үе шат, тасралтгүй хүрээтэй мөхлөгт систем (3) ба
нүх (4), утаснуудын утаслаг систем (5) ба нүх сүв (6), статистик
ижил хэмжээтэй нэг төрлийн бус (микрогетероген) систем
бүрэлдэхүүн хэсэг (7), зэрэгцээ (8) ба перпендикуляр давхаргат систем
(9) давхаргын урсгал. Хувь хүнээс бүрдэх системийг төсөөлж болно
тайлбарласан төрлийн янз бүрийн бүтэцтэй дэд системүүд. Нэмж хэлэхэд
бүтцэд багтсан үе шат бүр нь олон бүрэлдэхүүн хэсэгтэй эсвэл байж болно
ба нэг бүрэлдэхүүн хэсэг. Ямар ч тохиолдолд үе шат бүрийн шинж чанарыг тооцоолох шаардлагатай
эсвэл тэдгээрийн туршилтын тодорхойлолт.

40.

Кондорскийн тэгшитгэл
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Оделевский (арга
1
үр дүнтэй орчин)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 В
13
2 1
1 2
Интеграл арга
Хоёр талын тооцоолол (тооцоо
Хашин-Штрихман)
Шермергаард:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Индекс 1 нь матрицыг, "2" нь оруулгад хамаарна
Хялбаршуулсан хэвлэл мэдээллийн загваруудыг үл харгалзан зарим сайн мэддэг томъёонууд
томъёоны тоо хэдий ч нэлээд найдвартай тооцоолол хийх боломжийг бидэнд олгодог
хэвлэл мэдээллийн янз бүрийн онцгой тохиолдлуудын тоо үе шат нэмэгдэхийн хэрээр хурдацтай нэмэгддэг.

41.

Гэртээ:
Нийлмэл боломжтой. Матриц нь вольфрам дээр суурилсан хайлш юм (бид үүнийг авч үздэг
вольфрамын дулаан дамжилтын илтгэлцүүртэй тэнцүү дулаан дамжилтын илтгэлцүүр).
Титан карбидын тоосонцор (оролт).
Дээр бичсэн томьёог ашиглан хамаарлыг тооцоол
фракцаас нийлмэлийн үр дүнтэй дулаан дамжилтын илтгэлцүүр
оруулах (ξ= 0-ээс 0.75 хүртэл). Нэг график дээр зур.
Ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

42.

Мөхлөг ба сүвэрхэг материалын шинж чанар
Бусад бүх зүйл тэнцүү байх үед сүвэрхэг материалын үр дүнтэй дулаан дамжилтын илтгэлцүүр
нөхцөл нь хатуу фазын дулаан дамжилтын илтгэлцүүрээр нөлөөлдөг. Түүнээс гадна, төлөө
зарим сүвэрхэг материал (Al2O3, BeO, MgO гэх мэт) коэффициент
дулаан дамжилтын чанар нь температур нэмэгдэх тусам буурдаг бол
бусад нь SiO2, ZrO2 үндсэн дээр хийсэн - нэмэгддэг. Шийдвэртэй
сүвэрхэг чанар нь үр дүнтэй дулаан дамжилтын чанарт нөлөөлдөг
Нүх нь өөрөө хий дамжуулах чадвар багатай тул үр дүнтэй байдаг
дулааны тархалтад саад тотгор. Гэсэн хэдий ч бусад байдаг
дулаан дамжуулах механизм (конвекц, цацраг).
Хамгийн энгийн загваруудсүвэрхэг буюу сүвэрхэг гэсэн санаан дээр үндэслэсэн
бүрдсэн хавтгай ээлжлэн давхарга хэлбэрээр тархсан материал ба
хатуу хүрээ (хүрээ) ба агаар.
1
1
2
2
1
1 1 2
- нүх сүвний эзлэх хувь; сүвэрхэг байдал
- агаар эсвэл бусад бодисын дүүргэлтийн дулаан дамжуулалт
сүвэрхэг орон зай

43.

Төвд байгаа зурагт үзүүлсэн загварууд нь нэртэй холбоотой байдаг
Максвелл-Эукен. Үр дүн нь харагдаж байна
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
цул хүрээ тасралтгүй байна
тасралтгүй нь сүвэрхэг
орон зай
үр дүнтэй орчны онолын загвар

Аливаа физик процессыг судлах нь энэ үйл явцыг тодорхойлдог хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоохтой холбоотой юм. Учир нь нарийн төвөгтэй үйл явцДулаан дамжилтын дулаан дамжуулалтыг багтаасан хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоохдоо процессын процессыг судалж буй бүх орон зайд биш харин авч үздэг математик физикийн аргыг ашиглах нь тохиромжтой. Хязгааргүй бага хугацаанд материйн энгийн эзэлхүүнтэй. Дулаан дамжуулалтаар дулаан дамжуулахад хамаарах хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын холбоог энэ тохиолдолд гэж нэрлэгддэг дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн дифференциал тэгшитгэл. Сонгосон энгийн эзэлхүүн ба хязгааргүй бага хугацааны хүрээнд процессыг тодорхойлдог зарим хэмжигдэхүүнүүдийн өөрчлөлтийг үл тоомсорлож болно.

Дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн дифференциал тэгшитгэлийг гаргахдаа дараах таамаглалыг гаргана: физик хэмжигдэхүүнүүд λ, p-тэйТэгээд ρ байнгын; дотоод дулааны эх үүсвэр байхгүй; бие нь нэгэн төрлийн, изотроп шинж чанартай; Эрчим хүчний хэмнэлтийн хуулийг ашигладаг бөгөөд энэ тохиолдолд дараахь байдлаар томъёолсон болно: дулаан дамжилтын улмаас энгийн параллелепипед руу орох дулааны хэмжээ хоорондын зөрүү. dτмөн үүнийг ижил хугацаанд үлдээх нь авч үзэж буй энгийн эзэлхүүний дотоод энергийг өөрчлөхөд зарцуулагдана. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлд хүрнэ:

Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг Лаплас операторбөгөөд ихэвчлэн 2 гэж товчилдог т(тэмдэг нь "набла" гэж бичсэн); хэмжээ λ /cρдуудсан дулааны тархалтын коэффициентмөн үсгээр тэмдэглэнэ А.Заасан тэмдэглэгээний хамт дифференциал тэгшитгэлдулаан дамжилтын хэлбэрийг авдаг

Тэгшитгэл (1-10) гэж нэрлэгддэг дулаан дамжуулалтын дифференциал тэгшитгэл,эсвэл дотоод дулааны эх үүсвэр байхгүй үед гурван хэмжээст тогтворгүй температурын талбайн хувьд Фурье тэгшитгэл. Энэ нь дулаан дамжилтын илтгэлцүүрээр дулаан дамжуулах үйл явц дахь биеийг халаах, хөргөхийг судлах үндсэн тэгшитгэл бөгөөд талбайн аль ч цэг дэх температурын цаг хугацааны болон орон зайн өөрчлөлтүүдийн хоорондын холбоог тогтоодог.

Дулааны тархалтын коэффициент А= λ/cρнь бодисын физик үзүүлэлт бөгөөд хэмжилтийн нэгж м 2 / с байна. Тогтмол бус дулааны процесст утга Атемпературын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Хэрэв дулаан дамжилтын илтгэлцүүр нь биеийн дулаан дамжуулах чадварыг тодорхойлдог бол дулааны диффузийн коэффициент Ань биеийн дулааны инерцийн шинж чанарын хэмжүүр юм. (1-10) тэгшитгэлээс цаг хугацааны явцад температурын өөрчлөлт гарч байна ∂t / ∂τУчир нь биеийн аль ч цэг нь утгатай пропорциональ байна АТиймээс ижил нөхцөлд дулааны тархалт өндөртэй биеийн температур илүү хурдан өсөх болно. Хий нь жижиг, металлууд нь том, дулааны тархалтын коэффициенттэй байдаг.

Биеийн доторх дулааны эх үүсвэртэй дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Хаана кв- нэгж хугацаанд нэг бодисын эзлэхүүнээс ялгарах дулааны хэмжээ; -тай- биеийн массын дулаан багтаамж; ρ - биеийн нягтрал .

Дотоод дулааны эх үүсвэртэй цилиндр координат дахь дулаан дамжилтын дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана r-цилиндр координатын систем дэх радиус вектор; φ - булан.

Хуудас 4

. (2.24)

(2.24) тэгшитгэлийг дотоод дулааны эх үүсвэр байхгүй үед гурван хэмжээст тогтворгүй температурын талбайн дулааны дифференциал тэгшитгэл (эсвэл Фурьегийн дифференциал тэгшитгэл) гэж нэрлэдэг. Энэ нь дулаан дамжилтын илтгэлцүүрээр дулаан дамжуулах явцад биеийг халаах, хөргөхийг судлахад суурь бөгөөд талбайн аль ч цэг дэх температурын цаг хугацааны болон орон зайн өөрчлөлтийн хоорондын холбоог тогтоодог. Лазерын чих хамар хоолойн лазер хэрэглээ.

Дулааны тархалт нь бодисын физик үзүүлэлт бөгөөд м2/с нэгжтэй байна. Тогтворгүй дулааны процесст а нь температурын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог.

(2.24) тэгшитгэлээс харахад биеийн аль ч цэгийн цаг хугацааны температурын өөрчлөлт нь a-ийн утгатай пропорциональ байна. Тиймээс ижил нөхцөлд дулааны тархалт өндөртэй биеийн температур илүү хурдан нэмэгддэг.

Биеийн доторх дулааны эх үүсвэртэй дулаан дамжилтын дифференциал тэгшитгэл нь дараахь хэлбэртэй байна.

, (2.25)

Энд qV нь эх үүсвэрийн тодорхой хүч, өөрөөр хэлбэл нэгж хугацаанд бодисын нэгж эзлэхүүнээс ялгарах дулааны хэмжээ юм.

Энэ тэгшитгэлийг декарт координатаар бичнэ. Бусад координатуудад Лаплас оператор нь өөр хэлбэртэй байдаг тул тэгшитгэлийн хэлбэр мөн өөрчлөгддөг. Жишээлбэл, цилиндр координатуудад дотоод дулааны эх үүсвэртэй дулаан дамжуулах дифференциал тэгшитгэл нь:

, (2.26)

Энд r нь цилиндр координатын систем дэх радиус вектор;

Туйлт өнцөг.

2.5 Хилийн нөхцөл

Үүссэн Фурьегийн дифференциал тэгшитгэл нь дулаан дамжилтын илтгэлцүүрээр дулаан дамжуулах үзэгдлийг хамгийн ерөнхий хэлбэрээр дүрсэлдэг. Тодорхой тохиолдолд хэрэглэхийн тулд биеийн температурын хуваарилалт эсвэл анхны нөхцөл байдлыг мэдэх шаардлагатай. Үүнээс гадна та дараахь зүйлийг мэдэж байх ёстой.

· биеийн геометрийн хэлбэр, хэмжээс,

хүрээлэн буй орчин, биеийн физик үзүүлэлтүүд,

· Биеийн гадаргуу дээрх температурын тархалт, эсвэл судалж буй биеийн хүрээлэн буй орчинтой харьцах үйл ажиллагааг тодорхойлдог хилийн нөхцөл.

Эдгээр бүх онцлог шинж чанарууд нь дифференциал тэгшитгэлийн хамт өгдөг Бүрэн тайлбартусгай дулаан дамжуулах үйл явц бөгөөд өвөрмөц байдлын нөхцөл буюу хилийн нөхцөл гэж нэрлэдэг.

Ихэвчлэн температурын тархалтын анхны нөхцөлийг t = 0 цаг хугацааны хувьд зааж өгдөг.

Хилийн нөхцөлийг гурван аргаар тодорхойлж болно.

Эхний төрлийн хилийн нөхцөл нь биеийн гадаргуу дээрх температурын тархалтаар тодорхойлогддог.

Хоёрдахь төрлийн хилийн нөхцөл нь цаг хугацааны аль ч мөчид биеийн гадаргуу дээрх цэг бүрийн гадаргуугийн дулааны урсгалын нягтаар тодорхойлогддог.

Гурав дахь төрлийн хилийн нөхцөл нь биеийг хүрээлэн буй орчны температур ба биеийн гадаргуу ба хүрээлэн буй орчны хоорондох дулаан дамжуулах хуулиар өгөгддөг.

Өгөгдсөн тодорхой бус нөхцөлд дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх нь биеийн бүх эзэлхүүний температурын талбарыг цаг хугацааны аль ч мөчид тодорхойлох эсвэл функцийг олох боломжтой болгодог. .

2.6 Бөмбөлөгний ханаар дамжин өнгөрөх дулаан дамжуулалт

2.1 - 2.5-д заасан нэр томьёог харгалзан энэ даалгавар курсын ажилингэж томъёолж болно. Тогтмол дулааны урсгал нь бөмбөрцөг ханаар дамждаг бөгөөд дулааны эх үүсвэр нь R1 радиусын дотоод бөмбөрцөг юм. P эх үүсвэрийн хүч тогтмол байна. Хилийн бөмбөрцөг хоорондын орчин нь изотропик тул түүний дулаан дамжилтын илтгэлцүүр нь нэг хувьсагчийн функц юм - бөмбөрцгийн төвөөс (радиус) r хүртэлх зай. Асуудлын нөхцлийн дагуу . Үүний үр дүнд орчны температур нь энэ тохиолдолд нэг хувьсагчийн функц юм - радиус r: T = T (r), изотерм гадаргуу нь төвлөрсөн бөмбөрцөг юм. Тиймээс хүссэн температурын талбар нь хөдөлгөөнгүй, нэг хэмжээст бөгөөд хилийн нөхцөл нь эхний төрлийн нөхцөл юм: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Температурын талбайн нэг хэмжээст байдлаас харахад дулааны урсгалын нягт j, түүнчлэн дулаан дамжилтын илтгэлцүүр ба температур нь энэ тохиолдолд нэг хувьсагчийн функцууд - радиус r байна. Үл мэдэгдэх j(r) ба T(r) функцийг Фурьегийн дифференциал тэгшитгэлийг (2.25) шийдэх эсвэл Фурьегийн хуулийг (2.11) ашиглан хоёр аргын аль нэгээр тодорхойлж болно. Энэ ажилд хоёр дахь аргыг сонгосон. Судлагдсан нэг хэмжээст бөмбөрцөг тэгш хэмтэй температурын талбайн Фурьегийн хууль дараах хэлбэртэй байна: 1 4

TMO зорилтуудыг тодорхойлох

Бид дулааны ачаалалд нөлөөлдөг эзэлхүүнтэй тул тоон утгыг тодорхойлох шаардлагатай q Vэзлэхүүнээр нь хуваарилалт.

2-р зураг - Үрэлтийн гадаад ба дотоод эх үүсвэр

1. Сонгосон координатын системд судалж буй эзэлхүүний геометрийг тодорхойлно.

2. Судалж буй эзлэхүүний физик шинж чанарыг тодорхойлох.

3. TMT процессыг эхлүүлэх нөхцөлийг тодорхойлох.

4. Судалж буй эзэлхүүний дулаан дамжуулалтыг тодорхойлдог хуулиудыг тодруул.

5. Судалж буй эзэлхүүн дэх дулааны анхны төлөвийг тодорхойлно.

Хатуу хог хаягдлыг шинжлэхэд шийдвэрлэх асуудлууд:

1. ТМО-ын “шууд” даалгавар

Өгөгдсөн: 1,2,3,4,5

Тодорхойлох: орон зай, цаг хугацааны температурын хуваарилалт (цаашид 6).

2. "Урвуу" TMT бодлого (урвуу):

а) урвуу хил хязгаар даалгавар

Өгөгдсөн: 1,2,4,5,6

Тодорхойлох: 3;

б) урвуу магадлал даалгавар

Өгөгдсөн: 1,3,4,5,6

Тодорхойлох: 2;

в) урвуу эргэн харах даалгавар

Өгөгдсөн: 1,2,3,4,6

Тодорхойлох: 5.

3. ТМО-ын “Индуктив” даалгавар

Өгөгдсөн: 1,2,3,5,6

Тодорхойлох: 4.

ДУЛААН ДАМЖУУЛАХ ХЭЛБЭР, ДУЛААНЫ ПРОЦЕСС

Дулаан дамжуулалтын 3 хэлбэр байдаг.

1) хатуу биет дэх дулаан дамжилтын илтгэлцүүр (микро бөөмсөөр, метал дахь чөлөөт электроноор тодорхойлогддог);

2) конвекц (хөдөлгөөнт орчны макро хэсгүүдээр тодорхойлогддог);

3) дулааны цацраг (цахилгаан соронзон долгионоор тодорхойлогддог).

Хатуу бодисын дулаан дамжуулалт

Ерөнхий ойлголтууд

Температурын талбар Энэ нь судалж буй эзэлхүүн дэх температурын утгын багц бөгөөд тодорхой хугацаанд авсан.

t(x, y, z, τ)- температурын талбарыг тодорхойлдог функц.

Суурин болон суурин бус температурын талбарууд байдаг:

суурин - t(x,y,z);

суурин бус - t(x, y, z, τ).

Тогтвортой байх нөхцөл нь:

Тодорхой биеийг аваад ижил температуртай цэгүүдийг холбоно

Зураг 3-Температурын градиент ба дулааны урсгал

төгсөгч т- температурын градиент;

нөгөө талаар: .

Фурьегийн хууль - хатуу биет дэх дулааны урсгал нь температурын градиент, түүний өнгөрч буй гадаргуу болон авч үзэх хугацааны интервалтай пропорциональ байна.

Пропорциональ коэффициентийг дулаан дамжилтын илтгэлцүүр гэж нэрлэдэг λ , Вт/м·К.

температурын градиент векторын эсрэг чиглэлд дулаан тархаж байгааг харуулж байна.

;

Хязгааргүй жижиг гадаргуу ба хугацааны интервалын хувьд:

Дулааны тэгшитгэл (Фурье тэгшитгэл)

Хязгааргүй жижиг эзлэхүүнийг авч үзье: dv =dx dy dz

Зураг 4 - Хязгааргүй эзэлхүүний дулааны төлөв

Бидэнд Тейлорын цуврал байна:

Үүний нэгэн адил:

; ; .

Ерөнхийдөө бид шоо хэлбэртэй байдаг q V. Дүгнэлт нь энерги хэмнэлтийн ерөнхий хуульд үндэслэсэн болно.

.

Фурьегийн хуулийн дагуу:

; ; .

Өөрчлөлтийн дараа бидэнд:

.

Хөдөлгөөнгүй процессын хувьд:

Асуудлын орон зайн хэмжээсийг дулаан дамжуулах чиглэлүүдийн тоогоор тодорхойлно.

Нэг хэмжээст асуудал: ;

суурин процессын хувьд: ;

Учир нь:

Учир нь: ;

а- дулааны тархалтын коэффициент, .Картезийн систем;

k = 1, ξ = x -цилиндр систем;

k = 2, ξ = x -бөмбөрцөг систем.

Өвөрмөц байдлын нөхцөл

Өвөрмөц байдлын нөхцөл – Эдгээр нь боломжит шийдлүүдээс тухайн даалгаварт тохирсон нэгийг нь сонгох боломжийг олгодог нөхцөлүүд юм.

Асуулт 23 Мөс хайлах хувийн дулаан гэж юу вэ?

Хайлтын тусгай дулааныг дараах томъёогоор олно.

Энд Q нь m масстай биеийг хайлахад шаардагдах дулааны хэмжээ.

хатуурах үед бодисууд хайлуулахад шаардагдах ижил хэмжээний дулааныг ялгаруулдаг. Молекулууд энерги алдаж, бусад молекулуудын таталцлыг эсэргүүцэх чадваргүй талст үүсгэдэг. Дахин хэлэхэд, бүх бие хатуурч, хайлахад зарцуулсан бүх энерги гарах хүртэл биеийн температур буурахгүй. Өөрөөр хэлбэл, хайлуулах тусгай дулаан нь m масстай биеийг хайлуулахын тулд хичнээн их энерги зарцуулах шаардлагатайг, мөн тухайн бие хатуурах үед хэр их энерги ялгарахыг харуулдаг.

Жишээлбэл, хатуу төлөвт ус хайлах хувийн дулаан, өөрөөр хэлбэл мөсний хайлах хувийн дулаан 3.4*10^5 Ж/кг байна.

Мөс хайлах хувийн дулаан нь 10-аас 3.4 дахин их, 5-р хүч жоуль/кг.

Хайлтын хувийн дулааныг Грекийн λ (lambda) үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд хэмжих нэгж нь 1 Дж/кг байна.

Асуулт 24 L1-ийг ууршилтын хувийн дулаан, L2-ийг хайлалтын хувийн дулаан гэж тэмдэглэе. Үүнээс илүү юу?

Бие нь ууршилтын явцад энерги авдаг тул хийн төлөвт байгаа биеийн дотоод энерги нь шингэн төлөвт байгаа ижил масстай биеийн дотоод энергиээс их байна гэж дүгнэж болно. Тиймээс конденсацийн үед уур нь үүсэхэд шаардлагатай энергийн хэмжээг ялгаруулдаг

Ууршилтын тусгай дулаан– 1 кг бодисыг температурыг өөрчлөхгүйгээр уур болгон хувиргахад шаардагдах дулааны хэмжээг харуулсан физик хэмжигдэхүүн.Магадлал " r

Хайлуулах тусгай дулаан– 1 кг бодисыг температурыг өөрчлөхгүйгээр шингэн болгон хувиргахад шаардагдах дулааны хэмжээг харуулсан физик хэмжигдэхүүн.Магадлал " λ » өөр өөр бодисын хувьд дүрмээр бол өөр өөр байдаг. Тэдгээрийг эмпирик байдлаар хэмжиж, тусгай хүснэгтэд оруулна

Ууршилтын хувийн дулаан илүү их байдаг

Асуулт 25: Декарт координат дахь хоёр хэмжээст тогтворгүй температурын талбайн дулааны дифференциал тэгшитгэл?

x i = x, y, z – Декартын координатын систем;

Хэрэв координатын аль нэгний дагуу температур тогтмол байвал математикийн хувьд энэ нөхцөлийг (жишээлбэл, z координатын хувьд) дараах байдлаар бичнэ: dT/dz=0.

Энэ тохиолдолд талбарыг хоёр хэмжээст гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар бичнэ.

хөдөлгөөнгүй горимын хувьд T=T(x, y, t);

хөдөлгөөнгүй горимын хувьд T=T(x, y).

Горимд зориулсан хоёр хэмжээст температурын талбайн тэгшитгэл

суурин бус:

Асуулт 26: Цилиндр координат дахь суурин бус температурын талбайн дулааны дифференциал тэгшитгэл?

x i = r, φ, z – цилиндр координатын систем;

Температурын талбарЭнэ нь тухайн тооцооллын талбайн бүх цэгүүд болон цаг хугацааны температурын утгын багц юм.

Температурын талбарыг Цельсийн градус ба Кельвинээр хэмждэг бөгөөд ТТД-ийн нэгэн адил тэмдэглэнэ: , энд x i нь температур олдох орон зайн цэгийн координат, метр [м]; τ – дулаан солилцооны үйл явцын хугацаа секундээр, [с]. Тэр. Температурын талбар нь координатын тоо, цаг хугацааны явцад түүний зан төлөвөөр тодорхойлогддог.

Дулааны тооцоонд дараахь координатын системийг ашигладаг.

x i = r, φ, z – цилиндр координатын систем;

Температурын талбар, аль нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг, дуудсан суурин бустемпературын талбар. Мөн эсрэгээр, температурын талбар, аль нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөггүй, дуудсан сууринтемпературын талбар.

цилиндр хэлбэртэйкоординат (r – радиус; φ – туйлын өнцөг; z – хэрэглэх), дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

,