Caur malu ВС novilkta plakne ВСE (att.), kas ir perpendikulāra malai AS. Divšķautņu leņķus starp sānu virsmām (visas ir vienādas) mēra ar leņķi BEC = φ . Trijstūris SVARS ir vienādsānu.

Lai noteiktu šķērsgriezuma laukumu S un leņķi φ , pietiek atrast DE (D ir BC vidusdaļa). Lai to izdarītu, mēs secīgi atrodam BS (no trīsstūra BSD, kur BD = a / 2 un ∠BSD = α / 2 ).

Tad BE (no trijstūra GSE, kur ∠GSE = α ) un visbeidzot DE=√BE 2 -BD 2 . Mēs saņemam

1. piezīme . Plaknes leņķu summa virsotnē S vienmēr ir mazāka par 360°. Tāpēc 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, t.i., tātad vienādojums vienmēr ir risinājums.

2. piezīme . Ja α >90°, t.i., leņķis ASB sānu skaldnes virsotnē ir neass, tad trijstūra ASB augstums BE krustos ar pamatnes turpinājumu, un plakne BEC nedos nevienu piramīdas griezumu. Tikmēr formula

un strupā leņķī α (mazāks par 120°, skatīt 1. piezīmi) sniegs noteiktu S vērtību.

Atbilde: φ = 2 loka grēks (1/2 sek α / 2 );

Līdzīgi piemēri:

Piramīdas pamatnē atrodas taisnstūris. Vienai no sānu virsmām ir vienādsānu trīsstūra forma un tā ir perpendikulāra pamatnei; otrā sejā, pretī pirmajai, ir sānu malas, kas vienādas ar b , veido 2 leņķi savā starpā α un slīpi pret pirmo seju α . Nosakiet piramīdas tilpumu un leņķi starp norādītajām divām skaldnēm.

Es runāšu īsi. Leņķis starp divām taisnēm vienāds ar leņķi starp to virziena vektoriem. Tādējādi, ja jums izdodas atrast virziena vektoru koordinātas a = (x 1 ; y 1 ; z 1) un b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), jūs varat atrast leņķi. Precīzāk, leņķa kosinuss pēc formulas:

Apskatīsim, kā šī formula darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir atzīmēti punkti E un F - attiecīgi A 1 B 1 un B 1 C 1 malu viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AE un BF.

Tā kā kuba mala nav norādīta, iestatīsim AB = 1. Ieviešam standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, x, y, z asis ir vērstas attiecīgi pa AB, AD un AA 1. Vienības segments ir vienāds ar AB = 1. Tagad atradīsim mūsu līniju virziena vektoru koordinātas.

Atradīsim vektora AE koordinātas. Šim nolūkam mums ir nepieciešami punkti A = (0; 0; 0) un E = (0,5; 0; 1). Tā kā punkts E ir nogriežņa A 1 B 1 vidusdaļa, tā koordinātas ir vienādas ar galu koordinātu vidējo aritmētisko. Ņemiet vērā, ka vektora AE sākumpunkts sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, tāpēc AE = (0,5; 0; 1).

Tagad apskatīsim BF vektoru. Līdzīgi mēs analizējam punktus B = (1; 0; 0) un F = (1; 0,5; 1), jo F ir segmenta B 1 C 1 vidusdaļa. Mums ir:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Tātad virziena vektori ir gatavi. Leņķa kosinuss starp taisnēm ir leņķa kosinuss starp virziena vektoriem, tāpēc mums ir:

Uzdevums. Regulārā trīsstūra prizmā ABCA 1 B 1 C 1, kuras visas malas ir vienādas ar 1, ir atzīmēti punkti D un E - attiecīgi malu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AD un BE.

Ieviesīsim standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, x ass ir vērsta pa AB, z - pa AA 1. Novirzīsim y asi tā, lai OXY plakne sakristu ar ABC plakni. Vienības segments ir vienāds ar AB = 1. Atradīsim virziena vektoru koordinātas vajadzīgajām taisnēm.

Vispirms atradīsim vektora AD koordinātas. Apsveriet punktus: A = (0; 0; 0) un D = (0,5; 0; 1), jo D - segmenta A 1 B 1 vidusdaļa. Tā kā vektora AD sākums sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, iegūstam AD = (0,5; 0; 1).

Tagad noskaidrosim vektora BE koordinātas. Punktu B = (1; 0; 0) ir viegli aprēķināt. Ar punktu E - segmenta C 1 B 1 vidusdaļu - tas ir nedaudz sarežģītāk. Mums ir:

Atliek atrast leņķa kosinusu:

Uzdevums. Regulārā sešstūra prizmā ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , kuras visas malas ir vienādas ar 1, ir atzīmēti punkti K un L - attiecīgi A 1 B 1 un B 1 C 1 malu viduspunkti. . Atrodiet leņķi starp taisnēm AK un BL.

Ieviesīsim prizmas standarta koordinātu sistēmu: koordinātu sākumpunktu novietojam apakšējās bāzes centrā, x ass ir vērsta pa FC, y ass ir vērsta caur segmentu AB un DE viduspunktiem, un z ass ir vērsta vertikāli uz augšu. Vienības segments atkal ir vienāds ar AB = 1. Pierakstīsim mums interesējošo punktu koordinātas:

Punkti K un L ir attiecīgi nogriežņu A 1 B 1 un B 1 C 1 viduspunkti, tāpēc to koordinātes atrod caur vidējo aritmētisko. Zinot punktus, atrodam virziena vektoru AK un BL koordinātas:

Tagad atradīsim leņķa kosinusu:

Uzdevums. Regulārā četrstūra piramīdā SABCD, kuras visas malas ir vienādas ar 1, ir atzīmēti punkti E un F - attiecīgi malu SB un SC viduspunkti. Atrodiet leņķi starp taisnēm AE un BF.

Ieviesīsim standarta koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, x un y asis ir vērstas attiecīgi pa AB un AD, bet z ass ir vērsta vertikāli uz augšu. Vienības segments ir vienāds ar AB = 1.

Punkti E un F ir attiecīgi nogriežņu SB un SC viduspunkti, tāpēc to koordinātas tiek atrastas kā galu vidējais aritmētiskais. Pierakstīsim mums interesējošo punktu koordinātas:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Zinot punktus, atrodam virziena vektoru AE un BF koordinātas:

Vektora AE koordinātas sakrīt ar punkta E koordinātām, jo ​​punkts A ir sākuma punkts. Atliek atrast leņķa kosinusu:

Piezīme. Šī ir nodarbība ar ģeometrijas problēmu risinājumiem (stereometrijas sadaļa, piramīda ar četrstūri pie pamatnes). Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Problēmās simbola "kvadrātsaknes" vietā tiek izmantota funkcija sqrt(), kurā sqrt ir kvadrātsaknes simbols, bet iekavās norādīta radikālā izteiksme. Vienkāršām radikālām izteiksmēm var izmantot zīmi"√".

Uzdevums

Regulārā četrstūra piramīdā pamatnes mala ir a un augstums ir 3a.
Atrodiet sānu ribu un sānu virsmu slīpuma leņķus pret pamatnes plakni .

Risinājums.

Atradīsim ribu slīpuma leņķi pret pamatnes plakni.
Jo bāzē regulāra piramīda atrodas regulārs četrstūris, tad šajā gadījumā tas ir kvadrāts. Tā kā piramīdas augstums tiek projicēts līdz pamatnes centram, tas ir diagonāļu krustošanās punkts. No kurienes nāk KN = a/2?

Trijstūris OKN ir taisnstūrveida, OK ir augstums, kas vienāds ar 3a.
Atradīsim leņķa KNO tangensu, apzīmējot to kā α.

Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctāns 6 ≈ 80,5377°

Atradīsim piramīdas malas slīpuma leņķi.
Kvadrāta ar malu a diagonāle ir vienāda ar a√2. Tā kā augstums tiek projicēts līdz pamatnes centram, šajā vietā diagonāles tiek sadalītas uz pusēm.

Tādējādi taisnleņķa trijstūrim OKC leņķa KCO tangenss (mēs to apzīmējam kā β) ir vienāds ar

Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = arctan 6/√2 ≈ 76,7373°

Atbilde: seju slīpuma leņķis arctg 6 ≈ 80,5377°; ribu slīpuma leņķis arktg 6/√2 ≈ 76,7373°