Stingra ķermeņa statika:
Telpiskā spēku sistēma
§ 7. Spēku sistēmas reducēšana līdz tās vienkāršākajām formām

Problēmas par tēmu

7.1 Spēki tiek pielikti kuba virsotnēm malu virzienos, kā norādīts attēlā. Kādiem nosacījumiem jāatbilst spēka moduļiem F1, F2, F3, F4, F5 un F6, lai tie būtu līdzsvarā?
RISINĀJUMS

7.2. Trīs spēki P, kuru lielums ir vienāds, iedarbojas uz trim nekrustojas un neparalēlām taisnstūra paralēlskaldņa malām. Kādai saistībai jābūt starp malām a, b un c, lai šī sistēma tiktu reducēta uz vienu rezultējošu?
RISINĀJUMS

7.3. Četri vienāda lieluma spēki tiek pielikti četrām kuba virsotnēm A, H, B un D: P1=P2=P3=P4=P, ar spēku P1 pa AC, P2 pa HF, P3 pa BE un P4 gar. DG. Pārveidojiet šo sistēmu tās vienkāršākajā formā.
RISINĀJUMS

7.4. Regulāram tetraedram ABCD, kura malas ir vienādas ar a, tiek pielikti šādi spēki: F1 gar malu AB, F2 gar malu CD un F3 punktā E malas BD vidū. Spēku F1 un F2 lielumi ir patvaļīgi, un spēka F3 projekcijas uz x, y un z asīm ir vienādas ar +F25√3/6; -F2/2; -F2√(2/3). Vai šī spēku sistēma ir samazināta līdz vienam rezultējamam? Ja dots, tad atrod x un z koordinātas rezultāta darbības līnijas krustošanās punktam ar Oxz plakni.
RISINĀJUMS

7.5. Kuba virsotnēm, kuru malas ir 5 cm garas, tiek pielikti seši vienāda lieluma spēki, katrs 2 N, kā norādīts attēlā. Pārveidojiet šo sistēmu tās vienkāršākajā formā.
RISINĀJUMS

7.6. Spēku sistēma: P1=8 N, vērsta pa Oz, un P2=12 N, kas vērsta paralēli Oy, kā norādīts attēlā, kur OA=1.3 m, novest kanoniskā formā, nosakot galvenā vektora vērtību Visu šo spēku V un to galvenā momenta M lielums attiecībā pret patvaļīgu punktu, kas ņemts uz centrālās spirālveida ass. Atrodiet leņķus α, β un γ, ko veido centrālā spirālveida ass ar koordinātu asīm, kā arī punkta x un y koordinātas, kur tas saskaras ar Oxy plakni.
RISINĀJUMS

7.7 Trīs spēki P1, P2 un P3 atrodas koordinātu plaknēs un ir paralēli koordinātu asīm, bet var tikt vērsti jebkurā virzienā. To pielietošanas punkti A, B un C atrodas norādītajos attālumos a, b un c no sākuma. Kāds nosacījums ir jāizpilda šo spēku lielumiem, lai tos samazinātu līdz vienam rezultējamam? Kāds nosacījums ir jāizpilda šo spēku lielumiem, lai būtu centrālā spirālveida ass, kas iet caur koordinātu sākumpunktu?
RISINĀJUMS

7.8. Regulārs tetraedrs ABCD, kura malas ir vienādas ar a, ir pakļauts spēkam F1 gar malu AB un spēks F2 gar malu CD. Atrodiet centrālās spirālveida ass un Oxy plaknes krustošanās punkta x un y koordinātas.
RISINĀJUMS

7.9. Divpadsmit spēki P, kuru lielums ir vienāds, darbojas gar kuba malām, kas vienāds ar a, kā parādīts attēlā. Izveidojiet šo spēku sistēmu kanoniskā formā un nosakiet centrālās spirālveida ass krustošanās punkta x un y koordinātas ar Oxy plakni.
RISINĀJUMS

7.10. Gar taisnstūra paralēlskaldņa malām, kas ir attiecīgi vienādas ar 10 m, 4 m un 5 m, attēlā ir norādīti seši spēki: P1=4 N, P2=6 N, P3=3 N, P4=2 N, P5=6 N, P6=8 N. Izveidojiet šo spēku sistēmu kanoniskā formā un nosakiet centrālās spirālveida ass krustošanās punkta x un y koordinātas ar Oxy plakni.
RISINĀJUMS

7.11. Rezultējošie spēki P=8000 kN un F=5200 kN ūdens spiediena uz dambja tiek pielikti vidējā vertikālajā plaknē perpendikulāri attiecīgajām virsmām H=4 m un h=2.4 m attālumā no pamatnes. Dambja taisnstūra daļas svara spēks G1=12000 kN tiek pielikts tās centrā, bet trīsstūra daļas atsvara spēks G2=6000 kN tiek pielikts vienas trešdaļas attālumā no trīsstūra apakšējās pamatnes garuma. sadaļā no šīs sadaļas vertikālās malas. Aizsprosta platums pie pamatnes b=10 m, augšā a=5 m; iedegums α=5/12. Nosaka augsnes, uz kuras ir uzstādīts dambis, sadalīto reakcijas spēku rezultantu.
RISINĀJUMS

7.12 Radio masta svars ar betona pamatne G=140 kN. Antenas spriegojuma spēks F=20 kN un no tā izrietošais vēja spiediena spēks P=50 kN tiek pielikts mastam; abi spēki ir horizontāli un atrodas savstarpēji perpendikulārās plaknēs; H=15 m, h=6 m Nosakiet iegūto augsnes reakciju, kurā ielikts masta pamats.

Spēku sistēmas izvirzīšana centrā

Jautājumi

6. lekcija

3. Līdzsvara nosacījumi patvaļīgai spēku sistēmai

1. Apsveriet patvaļīgu spēku sistēmu. Izvēlēsimies patvaļīgu punktu PAR aiz samazinājuma centra un, izmantojot teorēmu par paralēlu spēka pārnešanu, visus sistēmas spēkus pārnesam uz doto punktu, neaizmirstot, pārliekot katru spēku, pievienot saistīto spēku pāri.

Aizstāsim iegūto saplūstošo spēku sistēmu ar vienu spēku, kas vienāds ar sākotnējās spēku sistēmas galveno vektoru. Pārneses laikā izveidotā spēku pāru sistēma tiks aizstāta ar vienu pāri, kura moments ir vienāds ar visu spēku pāru momentu ģeometrisko summu (t.i., sākotnējās spēku sistēmas momentu ģeometriskā summa attiecībā pret centru). PAR).

Šo brīdi sauc spēka sistēmas galvenais moments attiecībā pret centru O (1.30. att.).

Rīsi. 1.30. Spēku sistēmas izvirzīšana centrā

Tātad jebkuru spēku sistēmu vienmēr var aizstāt tikai ar diviem spēka faktoriem - galvenais vektors un galvenais moments attiecībā pret patvaļīgi izvēlētu samazinājuma centru . Acīmredzot spēku sistēmas galvenais vektors nav atkarīgs no reducēšanas centra izvēles (galvenais vektors ir nemainīgs attiecībā uz samazinājuma centra izvēli). Ir arī acīmredzams, ka galvenajam momentam nav šīs īpašības, tāpēc vienmēr ir jānorāda, attiecībā pret kuru centru tiek noteikts galvenais moments.

2. Spēku sistēmas ieviešana tās vienkāršākajā formā

Patvaļīgu spēku sistēmu tālākas vienkāršošanas iespēja ir atkarīga no to galvenā vektora un galvenā momenta vērtības, kā arī no veiksmīgas samazināšanas centra izvēles. Ir iespējami šādi gadījumi:

a) , . Šajā gadījumā sistēma tiek reducēta uz spēku pāri ar momentu , kura vērtība nav atkarīga no samazināšanas centra izvēles.

b) , . Sistēma tiek samazināta līdz rezultātam, kas vienāds ar , kura darbības līnija iet caur centru PAR.

c) un ir savstarpēji perpendikulāri. Sistēma tiek samazināta līdz rezultātam, kas vienāds ar centru, bet neiet cauri PAR(1.31. att.).

Rīsi. 1.31. Spēku sistēmas nodošana rezultātam

Aizstāsim galveno momentu ar spēku pāri, kā parādīts attēlā. 1.31. Definēsim R no nosacījuma, ka M 0 = R h. Pēc tam, pamatojoties uz otro statikas aksiomu, noraidīsim līdzsvarotu divu spēku sistēmu, kas tiek pielietota punktā PAR.

d) un paralēli. Sistēmu darbina dinamiska skrūve ar asi, kas iet caur centru PAR(1.32. att.).

Rīsi. 1.32. Dinamiskā skrūve

e) un nav vienādi ar nulli, un tajā pašā laikā galvenais vektors un galvenais moments nav paralēli un nav perpendikulāri viens otram. Sistēmu vada dinamiska skrūve, bet ass neiet cauri centram PAR(1.33. att.).

Rīsi. 1.33. Vispārīgākais spēku sistēmas samazināšanas gadījums

Spēku plaknes sistēma arī tiek reducēta līdz spēkam, kas vienāds gan ar pielikto patvaļīgi izvēlētā centrā O, gan pārī ar momentu

šajā gadījumā vektoru var noteikt vai nu ģeometriski, izveidojot spēka daudzstūri (sk. 4. punktu), vai arī analītiski. Tādējādi plaknei spēku sistēmai

R x = F kx , R y = F ky ,

kur visi momenti pēdējā vienādībā ir algebriski un summa arī ir algebriska.

Noskaidrosim, kādā vienkāršākajā formā to var samazināt plakana sistēma spēki, kas nav līdzsvarā. Rezultāts ir atkarīgs no R un M O vērtībām.

• 1. Ja dotajai spēku sistēmai R=0 a M O ?0, tad to reducē līdz vienam pārim ar momentu M O , kura vērtība nav atkarīga no centra O izvēles.
• 2. Ja dotajai spēku sistēmai R?0, tad to reducē līdz vienam spēkam, t.i., rezultētajam. Šajā gadījumā ir iespējami divi gadījumi:
  • a) R?0, M O =0. Šajā gadījumā sistēma, kā tas ir uzreiz acīmredzams, tiek reducēta līdz rezultētajam R, kas iet caur centru O;
  • b) R<0, M O<0. Šajā gadījumā pāri ar momentu M O var attēlot ar diviem spēkiem R" un R, ņemot R"=R, un R"= - R. Turklāt, ja d=OC ir pāra plecs, tad tur jābūt Rd=|M O |.

Noraidot spēkus R un R" kā līdzsvarotus, mēs atklājam, ka visa spēku sistēma ir aizstāta ar rezultēto R" = R, kas iet caur punktu C. Punkta C atrašanās vietu nosaka divi nosacījumi: 1) attālums OC. = d () jāizpilda vienādība Rd = |. 2) punktā C pieliktā spēka R" momenta zīmei attiecībā pret centru O, t.i., m O (R") zīmei jāsakrīt ar M O zīmi.

Statikas fundamentālā teorēma.Patvaļīgu spēku sistēmu, kas iedarbojas uz stingru ķermeni, var aizstāt ar līdzvērtīgu sistēmu, kas sastāv no spēka un spēku pāra. Spēks ir vienāds ar spēka sistēmas galveno vektoru un tiek pielietots patvaļīgi izvēlētā ķermeņa punktā (reducēšanas centrā), pāra moments ir vienāds ar spēka sistēmas galveno momentu attiecībā pret šo punktu.

Spēku sistēmas galvenais vektors:

.

Spēku sistēmas galvenais moments attiecībā pret centru O:

nosaka tā projekcijas uz koordinātu asīm:

, , ,

.

Ir iespējami šādi gadījumi, kad spēku sistēma tiek nogādāta centrā:

Spēku sistēma tiek reducēta līdz rezultātam. Rezultātā darbības līnija iet caur samazinājuma centru.

Spēku sistēma tiek reducēta uz spēku pāri.

3. , , - spēku sistēmai ir rezultants, kas neiet cauri samazinājuma centram. Tās darbības virzienu nosaka vienādojumi

4. , , - spēku sistēma reducēta līdz dinamiskai skrūvei (spēks un pāri, kas atrodas spēkam perpendikulārā plaknē).

Dinamiskā dzenskrūves pāris spēku moments

.

Dinamiskās skrūves asi nosaka vienādojumi

5. , - līdzsvarota spēku sistēma.

Piemērs 1.4.1. Novest spēku sistēmu (1.4.1. att.) tās vienkāršākajā formā, ja F 1 = 5 N, F 2 = 15 N, F 3 = 10 N, F 4 = 3 N, a= 2 m.

1. Samazinājuma centram izvēlieties koordinātu sākumpunktu - punktu O(1.4.2. att.) un norāda leņķus a un b, kas nosaka spēka pozīciju.

2. Atrodiet galvenā vektora projekcijas uz koordinātu asīm:

,

,

.

N.

3. Aprēķināt galvenā momenta projekcijas attiecībā pret punktu PAR uz koordinātu ass:

,

,

,

Nm, Nm, Nm,

4. Atrast galvenā vektora un galvenā momenta skalārā reizinājuma vērtību

Kopš , spēku sistēma tiek virzīta uz labo dinamisko skrūvi. Dinamiskā dzenskrūves pāra momenta vektors un galvenais vektors sakrīt virzienā.

5. Dinamiskās dzenskrūves ass vienādojumam ir šāda forma:

vai ņemot vērā atrastās vērtības:

Lai izveidotu dinamiska dzenskrūves asi, mēs atrodam punktus A Un B tās krustpunktos ar koordinātu plaknēm Oxy Un Oyz, attiecīgi

–0,203 m 1,063 m

6. Noteiksim dinamiskā dzenskrūves spēku pāra momentu

Nm.

7. Pēc punktu koordinātām A Un B Attēlosim dinamiskās skrūves asi (1.4.3. att.). Patvaļīgā punktā uz šīs ass mēs norādām spēku, kas vienāds ar pāra galveno vektoru un momenta vektoru.

Problēma 1.4.1. Vai rezultējošā spēku sistēma, kurai galvenais vektors un galvenais moments attiecībā pret centru PAR .

Atbilde: jā.

Problēma 1.4.2. Vai rezultējošā spēku sistēma, kurai galvenais vektors un galvenais moments attiecībā pret centru PAR .

Atbilde: nē.

Problēma 1.4.3. Nosakiet attālumu no samazināšanas centra PAR rezultējošās spēku sistēmas darbības ieleja (1.4.4. att.), ja tās galvenais vektors R= 15 N un galvenais moments M O= 30 Nm.

Atbilde: 2 m.

Problēma 1.4.4. Nosakiet leņķi starp galveno vektoru un spēku sistēmas galveno momentu, kas parādīts 1.4.5. attēlā, par samazinājuma centru ņemot atskaites punktu O, Ja F 1 = F 2 = 2 N, pāris spēku moments M 1 = 3 Nm, OA= 1,5 m.

Atbilde: α = 0º.

Problēma 1.4.5. Nosakiet leņķi starp galveno vektoru un spēku sistēmas galveno momentu, kas parādīts 1.4.6. attēlā, atskaites punktu ņemot par samazināšanas centru PAR, Ja F 1 = F 2 = F 3 = 10 N, a= 3 m.

Atbilde: α = 135º.

Problēma 1.4.6. Atrodiet 1.4.7. attēlā redzamās spēku sistēmas galveno vektoru un galveno momentu, ja F 1 = F 2 = F 3 = 7 N, a OA = OB = OS= 2 m Ņemiet punktu kā samazināšanas centru PAR.

Atbilde: R = 0, M O= 17,146 Nm.

Rīsi. 1.4.6	Rīsi. 1.4.7

Problēma 1.4.7. Paralēles virsotnēm pielikto spēku sistēmu (1.4.8. att.) nogādājiet tās vienkāršākajā formā, ja F 1 = 16 N, F 2 = 12 N, F 3 = 20 N, a = Ar= 2,4 m, b=1,8 m.

M= 48 Nm.

Problēma 1.4.8. Noved kuba virsotnēm pielikto spēku sistēmu (1.4.9. att.) tās vienkāršākajā formā, ja F 1 = 15 N, F 2 = 40 N, F 3 = 25 N,
F 4 = F 5 = 20 N, a= 1,5 m.

Atbilde: spēku sistēma ar momentu tiek reducēta līdz spēku pārim M= 63,65 Nm.

Problēma 1.4.9. Novietojiet spēku sistēmu, kas pielikta regulārai četrstūra piramīdai, kā parādīts attēlā. 1.4.10., uz vienkāršāko formu, ja F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = 1 N, F 5 = 2,83 N, AB = AS= 2 m.

Atbilde : spēku sistēma ir līdzsvarota.

Rīsi. 1.4.8	Rīsi. 1.4.9
Rīsi. 1.4.10	Rīsi. 1.4.11

Problēma 1.4.10. Taisnstūra paralēlskaldņa virsotnēm pielikto spēku sistēmu (1.4.11. att.) nogādājiet tās vienkāršākajā formā, ja F 1 = F 5 = 10 N, F 3 = 40 N, F 4 = 15 N, F 2 = 9 N, a= 2,4 m, b= 3,2 m, c= 1 m.

Atbilde: spēku sistēma tiek reducēta līdz rezultātam R= 32 N, kuras darbības līnija ir paralēla asij Oy un iet caur punktu A (0,9; 0; 0).

Problēma 1.4.11. Taisnstūra paralēlskaldņa virsotnēm pielikto spēku sistēmu (1.4.12. att.) nogādājiet tās vienkāršākajā formā, ja F 1 = F 3 = 3 N, F 2 = F 6 = 6 N, F 4 = F 5 = 9 N, a= 3 m, b= 2 m, c= 1 m.

Atbilde : spēku sistēma ir līdzsvarota.

Problēma 1.4.12. Taisnstūra paralēlskaldņa virsotnēm pielikto spēku sistēmu (1.4.13. att.) nogādājiet tās vienkāršākajā formā, ja F 1 = F 4 =F 5 = 50 N, F 2 = 120 N, F 3 = 30 N, a= 4 m, b= 3 m, c= 5 m.

R= 80 N, kuras darbības līnija ir paralēla asij Oy un iet caur punktu A (0,0,10).

Problēma 1.4.13. Noved kuba virsotnēm pielikto spēku sistēmu (1.4.14. att.) tās vienkāršākajā formā, ja a= 1 m, F 1 = 866 N, F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = 500 N. Pieņemot lēmumu pieņemt .

Atbilde: sistēma tiek samazināta līdz rezultētajam R= 7,07 N.

Rīsi. 1.4.12	Rīsi. 1.4.13
Rīsi. 1.4.14	Rīsi. 1.4.15

Problēma 1.4.14. Pieliek pareizo spēku sistēmu trīsstūrveida piramīda(1.4.15. att.), uz vienkāršāko formu, ja F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6 = 1 N, AB = AS= 2 m.

Atbilde: spēku sistēma tiek virzīta uz dinamisku skrūvi ar R= 1,41 N un M= 1,73 Nm, jaudas skrūves ass iet caur augšpusi S perpendikulāri piramīdas pamatnei.

Problēma 1.4.15. Radio masta svars ar pamatni G= 140 kN. Antenas spriegojuma spēks tiek pielikts mastam F= 20 kN un no tā izrietošie vēja spiediena spēki P= 50 kN; abi spēki ir horizontāli un atrodas savstarpēji perpendikulārās plaknēs (1.4.16. att.). Nosakiet iegūto augsnes reakciju, kurā ir novietota masta pamatne.

Atbilde: sadalīta zemes reakcijas spēku sistēma tiek virzīta uz kreiso dinamisko dzenskrūvi ar spēku, kas vienāds ar 150 kN, un pāris ar momentu 60 kN∙m. centrālās spirālveida ass vienādojumam ir forma

.

Smaguma centrs

Cieta ķermeņa smaguma centrs ir dotā ķermeņa daļiņu paralēlo smaguma spēku centrs.

,

Lai noteiktu viendabīgu ķermeņu smaguma centra stāvokli, tiek izmantota simetrijas metode, sadalīšanas metode vienkāršas formas ķermeņos ar zināma pozīcija smaguma centri, kā arī negatīvo masu metode (līnijas, laukumi, tilpumi).

Piemērs 1.5.1. Noteikt smaguma centra koordinātas plakanai kopnei (1.5.1. att.), kas sastāv no viendabīgiem stieņiem ar vienādu lineāro svaru.

1. Pielietosim sadalīšanas metodi, tas ir, iedomāsimies kopni kā septiņu stieņu komplektu.

2. Atrodiet kopnes smaguma centra koordinātas, izmantojot formulas:

; ,

kur , , ir stieņa ar numuru smaguma centra garums un koordinātas.

Stieņu smaguma centru garumi un koordinātas:

Tad ,

Piemērs 1.5.2. Angāra gala sienai (1.5.2. att.) ir pusloka forma 1 rādiuss ar taisnstūrveida durvīm 2 augstums un platums Nosakiet sienas smaguma centra koordinātas.

1. Pielietosim simetrijas un negatīvo laukumu metodes, ņemot vērā pusloku 1 un taisnstūrveida izgriezums 2 .

2. Atrodiet sienas smaguma centra koordinātas.

Jo ass Ak ir simetrijas ass, tad koordināte

Plāksnes smaguma centra koordinātu nosaka pēc formulas

kur , , , ir figūru smaguma centru laukumi un koordinātas 1 Un 2 .

Figūru smaguma centru laukumi un koordinātas:

1.5.1. – 1.5.4. uzdevums. Noteikt plakano kopņu smaguma centru koordinātas (1.5.3. - 1.5.6. att.), kas sastāv no viendabīgiem stieņiem ar vienādu lineāro svaru.

Atbildes uz 1.5.1.–1.5.4. problēmu:

Uzdevuma numurs	1.5.1	1.5.2	1.5.3	1.5.4
, m	1,52	3,88	3,0	1,59
, m	0,69	1,96	1,73	0,17

Rīsi. 1.5.3	Rīsi. 1.5.4
Rīsi. 1.5.5	Rīsi. 1.5.6
Rīsi. 1.5.7	Rīsi. 1.5.8

Uzdevumi 1.5.5 – 1.5.7. Noteikt viendabīgu saliktu līniju smaguma centru koordinātas (1.5.7. – 1.5.9. att.).

Atbildes uz 1.5.5.–1.5.7. problēmu:

Uzdevuma numurs	1.5.5	1.5.6	1.5.7
, cm			–4,76
, cm		14,16	3,31

Rīsi. 1.5.9	Rīsi. 1.5.10
Rīsi. 1.5.11	Rīsi. 1.5.12

Problēma 1.5.8. Taisnā leņķī saliekta viendabīga stieple tiek piekārta uz vītnes (1.5.10. att.). Atrodiet sakarību starp sekciju garumiem AD Un A.E., kurā apgabalā A.E. atrodas horizontālā stāvoklī. AB = 0,3 l 1 .

Problēma 1.5.9. Noteikt viendabīgas stieples smaguma centra koordinātas (1.5.11. att.), ja a= 3 m, b= 2 m, c= 1,5 m.

Atbilde: x C= 1,69 m, y C= 1,38 m, z C= 1,33 m.

Problēma 1.5.10. Viendabīga slēgta kontūra, kas ierobežo pusloku, tiek piekārta uz vītnes (1.5.12. att.). Nosakiet leņķi α starp horizontāli un pusloka diametru.

Atbilde: α = 68,74º.

Problēmas 1.5.11 – 1.5.14. Noteikt viendabīgu plakanu figūru smaguma centru koordinātas (1.5.13. – 1.5.16. att.).

Atbildes uz 1.5.11–1.5.14 problēmām:

Uzdevuma numurs	1.5.11	1.5.12	1.5.13	1.5.14
		37,07 cm	32,38 cm	2,31 m
	11,88 cm		24,83 cm	1,56 m

Rīsi. 1.5.13	Rīsi. 1.5.14
Rīsi. 1.5.15	Rīsi. 1.5.16
Rīsi. 1.5.17	Rīsi. 1.5.18

Problēma 1.5.15. Gultņa kakta balsts ir daļa, kas sastāv no balsta paralēlskaldņa formā un atslēgas kuba formā (1.5.17. att.). Noteikt stenda smaguma centra koordinātas. Izmēri ir norādīti milimetros.

Atbilde:

Problēma 1.5.16. Bīdošā gultņa kakliņa ir daļa, kas sastāv no paralēlskaldņa un cilindriska balsta (1.5.18. att.). Nosakiet ass smaguma centra koordinātas. Izmēri ir norādīti milimetros.

Atbilde: , ,

Problēma 1.5.17. Viendabīgs ķermenis, kura šķērsgriezums parādīts 1.5.19. attēlā, sastāv no puslodes, cilindriskas daļas un apļveida konusa. Nosakiet ķermeņa smaguma centra koordinātas. Izmēri ir norādīti milimetros.

Atbilde: , ,

Problēma 1.5.18. Tanka lielgabala stobram ir garuma nošķelta konusa forma (1.5.20. att.). Mucas ārējais diametrs stiprinājuma vietā pie pistoles aizslēga O.D. stobra urbuma uzpurnim atbilstošā iecirknī, ieroča kalibrs d=100 mm. Nosakiet stumbra smaguma centra koordinātu.

Atbilde:

Problēma 1.5.19. Noteikt viendabīga ķermeņa smaguma centra koordinātas, kas sastāv no diviem taisnstūra paralēlskaldņiem (1.5.21. att.). Apakšējā paralēlskaldnim ir izgriezums ceturtdaļcilindra formā ar pamatnes rādiusu R= 10 cm Izmēri attēlā norādīti cm.

Atbilde: x C= 17,1 cm, y C= 20,99 cm, z C= 7,84 cm.

1.5.20. uzdevums. Noteikt viendabīga ķermeņa smaguma centra koordinātas (1.5.22. att.), kas sastāv no trīsstūrveida prizmas un paralēlskaldņa ar izgriezumu. Izmēri attēlā norādīti cm.

Rīsi. 1.5.19	Rīsi. 1.5.20
Rīsi. 1.5.21	Rīsi. 1.5.22

Atbilde: x C= 20,14 cm, y C= 35,14 cm, z C= 5 cm.

2. daļa. Kinemātika

Punkta kinemātika

Ir trīs analītiskā metode precizējot punkta kustību: vektoru, koordinātu un naturālo.

Ar vektoru metodi kustīga punkta rādiusa vektoru norāda kā laika funkciju. Punkta ātruma un paātrinājuma vektori ir attiecīgi vienādi ar rādiusa vektora pirmā un otrā laika atvasinājumiem:

, .

Attiecību starp rādiusa vektoru un punkta Dekarta koordinātām izsaka ar vienādību: , kur , , ir koordinātu asu vienību vektori.

Ar koordinātu metodi punkta kustības likums Dekarta koordinātu sistēmā tiek dots, norādot trīs funkcijas: , , . Ātruma un paātrinājuma projekcijas uz koordinātu asīm, kā arī punkta ātruma un paātrinājuma moduļus nosaka pēc formulām:

, , , ,

Dabiskajā metodē tiek norādīta punkta trajektorija un punkta kustības likums pa trajektoriju, kur līknes koordinātu mēra pa loku no kāda fiksēta punkta trajektorijā. Ātruma algebrisko vērtību nosaka pēc formulas, un punkta paātrinājums ir vienāds ar tangenciālā un normālā paātrinājuma ģeometrisko summu, t.i. , , , , – trajektorijas izliekuma rādiuss dotajā punktā.

Piemērs 2.1.1. Lādiņš pārvietojas vertikālā plaknē saskaņā ar vienādojumiem, (x,y- m, t– c) apakšpunktā. Atrast:

– trajektorijas vienādojums;

– ātrums un paātrinājums sākuma brīdī;

– uguns augstums un diapazons;

– izliekuma rādiuss trajektorijas sākuma un augstākajā punktā.

1. Iegūsim šāviņa trajektorijas vienādojumus, neskaitot parametru t no kustības vienādojumiem

.

Šāviņa trajektorija ir parabolas posms (2.1.1. att.), kuram ir ierobežojošie punkti: sākuma punkts ar koordinātām. X = 0, plkst= 0 un galīgais, kuram X = L(lidojuma diapazons), plkst = 0.

2. Nosakiet šāviņa darbības rādiusu, aizstājot plkst= 0 trajektorijas vienādojumā. No kurienes mēs to atrodam? L= 24000 m.

3. Atrodam šāviņa ātrumu un paātrinājumu, izmantojot projekcijas uz koordinātu asīm:

Sākotnējā laika momentā v 0 = 500 m/s, A= 10 m/s 2.

4. Lai noteiktu šāviņa lidojuma augstumu, noskaidrosim laiku t 1 lidojums uz šo punktu. Augstākajā punktā ātruma projekcija uz asi y vienāds ar nulli (2.1.1. att.), , kur t 1 = 40 s. Aizstāšana t 1 koordinātu izteiksmē plkst, mēs iegūstam augstuma vērtību N= 8000 m.

5. Trajektorijas izliekuma rādiuss

, Kur .

m; m.

Piemērs 2.1.2. Kloķa-slīdņa mehānismā (2.1.2. att.) kloķis 1 griežas ar nemainīgu leņķisko ātrumu rad/s. Atrodiet viduspunkta kustības, trajektorijas un ātruma vienādojumus M savienojošais stienis 2 , Ja OA = AB= 80 cm.

1. Pierakstīsim punkta kustības vienādojumus M koordinātu formā (2.1.3. att.)

2. Trajektorijas vienādojumu iegūstam, izslēdzot laiku t no kustības vienādojuma:

Punkta trajektorija M– elipse ar centru sākuma punktā un pusasīm 120 cm un 40 cm.

3. Punkta ātrumu nosaka projekcijas uz koordinātu asīm

Uzdevums 2.1.1.Ņemot vērā punkta kustības vienādojumus, atrodiet tā trajektorijas vienādojumu koordinātu formā.

Kustības vienādojums	Atbilde

2.1.2.uzdevums. Atrast trajektorijas vienādojumu koordinātu formā un punkta kustības likumu pa trajektoriju, ja ir doti tā kustības vienādojumi Dekarta koordinātēs. Par loka koordinātas izcelsmi s pieņemt punkta sākotnējo pozīciju.

Kustības vienādojums	Atbilde
	, ;
	;
	;
	;

Uzdevums 2.1.3. Punkta kustību nosaka vienādojumi , ( – cm, – s). Atrodiet punkta trajektorijas vienādojumu koordinātu formā, ātrumu un paātrinājumu, punkta tangenciālo un normālo paātrinājumu, kā arī trajektorijas izliekuma rādiusu laikā s. Zīmējumā uzzīmē punkta trajektoriju un atrastos ātruma un paātrinājuma vektorus. , – cm, ja un kad leņķis ir vislielākais.

Atbilde: 1) ; 2) , , ; , , .

Kā parādīts 12. paragrāfā, jebkurš no tiem vispārējā gadījumā tiek reducēts līdz spēkam, kas vienāds ar galveno vektoru R un tiek pielikts patvaļīgā centrā O, un līdz pārim ar momentu, kas vienāds ar galveno momentu (sk. 40. att., b). ). Noskaidrosim, uz kādu vienkāršāko formu var reducēt telpisku spēku sistēmu, kas nav līdzsvarā. Rezultāts ir atkarīgs no vērtībām, kas šai sistēmai ir lielumiem R un

1. Ja dotajai spēku sistēmai , tad to reducē uz spēku pāri, kura moments ir vienāds un ko var aprēķināt, izmantojot formulas (50). Šajā gadījumā, kā parādīts 12. paragrāfā, vērtība nav atkarīga no centra O izvēles.

2. Ja dotajai spēku sistēmai, tad to samazina līdz rezultātam, kas vienāds ar R, kura darbības līnija iet caur centru O. R vērtību var atrast, izmantojot formulas (49).

3. Ja dotai spēku sistēmai bet tad arī šī sistēma tiek reducēta līdz rezultātam, kas vienāds ar R, bet neiet caur centru O.

Patiešām, kad pāris, ko attēlo vektors, un spēks R atrodas vienā plaknē (91. att.).

Pēc tam izvēloties pāra spēkus, kas vienādi ar moduli R, un sakārtojot tos, kā parādīts attēlā. 91, mēs atklājam, ka spēki tiks savstarpēji līdzsvaroti, un sistēma tiks aizstāta ar vienu rezultējošo darbības līniju, kas iet caur punktu O (sk. 15. §, 2. punkta b) apakšpunktu). Attālums ) tiek noteikts pēc formulas (28), kur

Ir viegli pārbaudīt, vai aplūkotais gadījums it īpaši vienmēr notiks jebkurai paralēlu spēku sistēmai vai spēku sistēmai, kas atrodas vienā plaknē, ja šīs sistēmas galvenais vektors Ja noteiktai spēku sistēmai un vektors ir paralēls R (92. att., a) , tas nozīmē, ka spēku sistēma ir reducēta līdz spēka R un pāra P, P kombinācijai, kas atrodas spēkam perpendikulārā plaknē (92. att., b). Šādu spēka un pāra kombināciju sauc par dinamisko skrūvi, un taisne, pa kuru virzīts vektors R, ir skrūves ass. Turpmāka šīs spēku sistēmas vienkāršošana nav iespējama. Faktiski, ja par samazināšanas centru ņemam jebkuru citu punktu C (92. att., a), tad vektoru var pārnest uz punktu C kā brīvu, un, kad spēks R tiek pārnests uz punktu C (sk. 11. §) , vēl viens pāris ar momentu, kas ir perpendikulārs vektoram R, un tāpēc . Rezultātā iegūtā pāra moments būs skaitliski lielāks, tādējādi iegūtā pāra momentam šajā gadījumā ir vismazākā vērtība, kad tas tiek novests uz centru O. Šo spēku sistēmu nevar reducēt uz vienu spēku (rezultātu) vai uz vienu pāri.

Ja spēkam R pievieno vienu no pāra spēkiem, piemēram, P, tad aplūkojamo spēku sistēmu var aizstāt arī ar diviem krustojošiem spēkiem, tas ir, spēkiem Q, kas neatrodas vienā plaknē (att. 93). Tā kā iegūtā spēku sistēma ir līdzvērtīga dinamiskai skrūvei, tai arī nav rezultāta.

5. Ja dotai spēku sistēmai un tajā pašā laikā vektori un R nav viens otram perpendikulāri un nav paralēli, tad arī šāda spēku sistēma tiek reducēta līdz dinamiskai skrūvei, bet skrūves ass nebūs. iet caur centru O.

Lai to pierādītu, sadalīsim vektoru komponentēs: vērsti pa R un perpendikulāri R (94. att.). Šajā gadījumā, kur ir vektori un R. Pāris, ko attēlo vektors un spēks R, var būt, kā attēlā parādītajā gadījumā. 91, aizstāt ar vienu spēku R, kas pielikts punktā O. Tad šī spēku sistēma tiks aizstāta ar spēku un paralēlu griezes momentu pāri, un vektoru kā brīvu var pielietot arī punktā O. Rezultāts faktiski būs jābūt dinamiskai skrūvei, bet ar asi, kas iet caur punktu