Jei esate kokiame nors nuliniame taške ir galvojate, kiek atstumo vienetų reikia eiti tiesiai į priekį ir tada tiesiai į dešinę, kad patektumėte į kitą tašką, vadinasi, plokštumoje jau naudojate stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą. Ir jei taškas yra virš plokštumos, kurioje stovite, ir prie savo skaičiavimų pridedate pakilimą į tašką laiptais griežtai aukštyn, taip pat tam tikru atstumo vienetų skaičiumi, tada jau naudojate stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą. erdvė.
Dviejų ar trijų susikertančių, viena kitai statmenų ašių, turinčių bendrą pradžią (koordinačių pradžią) ir bendrą ilgio vienetą, sistema vadinama stačiakampė Dekarto koordinačių sistema .
Prancūzų matematiko René Descarteso (1596-1662) vardas pirmiausia siejamas su koordinačių sistema, kurioje visose ašyse matuojamas bendras ilgio vienetas, o ašys yra tiesios. Be stačiakampio, yra bendroji Dekarto koordinačių sistema (afininė koordinačių sistema). Tai taip pat gali apimti ašis, kurios nebūtinai yra statmenos. Jei ašys yra statmenos, tada koordinačių sistema yra stačiakampė.
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje turi dvi ašis ir stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje - trys ašys. Kiekvienas taškas plokštumoje arba erdvėje apibrėžiamas sutvarkyta koordinačių rinkiniu – skaičiais, atitinkančiais koordinačių sistemos ilgio vienetą.
Atkreipkite dėmesį, kad, kaip matyti iš apibrėžimo, Dekarto koordinačių sistema yra tiesioje linijoje, ty vienoje dimensijoje. Dekarto koordinačių įvedimas tiesėje yra vienas iš būdų, kaip bet kuris linijos taškas susiejamas su tiksliai apibrėžtu realiuoju skaičiumi, tai yra koordinate.
Rene Descartes'o darbuose atsiradęs koordinačių metodas žymėjo revoliucinį visos matematikos pertvarkymą. Atsirado galimybė algebrines lygtis (arba nelygybes) interpretuoti geometrinių vaizdų (grafikų) pavidalu ir, atvirkščiai, ieškoti geometrinių uždavinių sprendimų naudojant analitines formules ir lygčių sistemas. Taip, nelygybė z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ir esantis virš šios plokštumos 3 vnt.
Naudojant Dekarto koordinačių sistemą, taško priklausomybė duotoje kreivėje atitinka tai, kad skaičiai x Ir y patenkinti kokią nors lygtį. Taigi apskritimo taško, kurio centras yra nurodytame taške, koordinatės ( a; b) tenkina lygtį (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje
Plokštumoje susidaro dvi statmenos ašys, turinčios bendrą pradžią ir tą patį mastelio vienetą Dekarto stačiakampio koordinačių sistema plokštumoje . Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis . Šios ašys taip pat vadinamos koordinačių ašimis. Pažymėkime pagal Mx Ir My atitinkamai savavališko taško projekcija M ant ašies Jautis Ir Oy. Kaip gauti prognozes? Eikime per esmę M Jautis. Ši tiesi linija kerta ašį Jautis taške Mx. Eikime per esmę M tiesi linija, statmena ašiai Oy. Ši tiesi linija kerta ašį Oy taške My. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.
x Ir y taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx Ir OMy. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 Ir y = y0 - 0 . Dekarto koordinatės x Ir y taškų M abscisė Ir ordinatės . Faktas, kad taškas M turi koordinates x Ir y, žymimas taip: M(x, y) .
Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias kvadrantas , kurių numeracija parodyta paveikslėlyje žemiau. Tai taip pat rodo taškų koordinačių ženklų išdėstymą, atsižvelgiant į jų vietą tam tikrame kvadrante.
Be Dekarto stačiakampių koordinačių plokštumoje, dažnai atsižvelgiama ir į polinių koordinačių sistemą. Apie perėjimo iš vienos koordinačių sistemos į kitą būdą – pamokoje poliarinė koordinačių sistema .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje
Dekarto koordinatės erdvėje įvedamos visiškai analogiškai su Dekarto koordinatėmis plokštumoje.
Trys viena kitai statmenos ašys erdvėje (koordinačių ašys), turinčios bendrą pradžią O ir su tuo pačiu mastelio vienetu jie sudaro Dekarto stačiakampė koordinačių sistema erdvėje .
Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis , trečioji – ašis Ozas, arba ašis taikyti . Leisti Mx, My Mz- savavališko taško projekcijos M erdvė ant ašies Jautis , Oy Ir Ozas atitinkamai.
Eikime per esmę M JautisJautis taške Mx. Eikime per esmę M plokštuma, statmena ašiai Oy. Ši plokštuma kerta ašį Oy taške My. Eikime per esmę M plokštuma, statmena ašiai Ozas. Ši plokštuma kerta ašį Ozas taške Mz.
Dekarto stačiakampės koordinatės x , y Ir z taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx, OMy Ir OMz. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Ir z = z0 - 0 .
Dekarto koordinatės x , y Ir z taškų M atitinkamai vadinami abscisė , ordinatės Ir kreiptis .
Koordinačių ašys, paimtos poromis, yra koordinačių plokštumose xOy , yOz Ir zOx .
Dekarto koordinačių sistemos taškų uždaviniai
1 pavyzdys.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Raskite šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates.
Sprendimas. Kaip matyti iš teorinės šios pamokos dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, ir ordinatę (ašies koordinatę Oy, kurį x ašis kerta taške 0), kuris yra lygus nuliui. Taigi gauname šias x ašies taškų koordinates:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
2 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį.
Sprendimas. Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, ir abscisę (ašies koordinatę Jautis, kurią ordinačių ašis kerta taške 0), kuris yra lygus nuliui. Taigi gauname šias koordinačių ašies taškų koordinates:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
3 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Jautis .
Jautis Jautis Jautis, turės tą pačią abscisę kaip ir duotasis taškas, o ordinatė absoliučia verte lygi duoto taško ordinatai ir priešinga pagal ženklą. Taigi mes gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Jautis :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Pats spręskite uždavinius naudodami Dekarto koordinačių sistemą, o tada peržiūrėkite sprendimus
4 pavyzdys. Nustatykite, kuriuose kvadrantuose (ketvirčiai, brėžinys su kvadrantais - pastraipos „Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje“ pabaigoje) gali būti taškas M(x; y) , Jei
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
5 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Ir toliau spręskime problemas kartu
6 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Sprendimas. Pasukite 180 laipsnių aplink ašį Oy kryptinis segmentas nuo ašies Oy iki šios vietos. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas yra simetriškas duotajam ašies atžvilgiu Oy, turės tą pačią ordinatę, kaip ir duotasis taškas, o abscisė absoliučia reikšme lygi nurodyto taško abscisei ir priešinga pagal ženklą. Taigi mes gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
7 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį.
Sprendimas. Nukreiptą segmentą, einantį nuo pradžios iki nurodyto taško, pasukame 180 laipsnių kampu aplink pradinę vietą. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas, simetriškas nurodytam taškui koordinačių pradžios atžvilgiu, turės abscisę ir ordinatę pagal absoliučią vertę duotojo taško abscisei ir ordinatėms, tačiau priešingas ženklu. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
8 pavyzdys.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates:
1) lėktuve Oxy ;
2) lėktuve Oxz ;
3) į lėktuvą Oyz ;
4) ant abscisių ašies;
5) ordinačių ašyje;
6) ant taikymo ašies.
1) Taško projekcija į plokštumą Oxy yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Taško projekcija į plokštumą Oxz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir aplikaciją, lygią tam tikro taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Taško projekcija į plokštumą Oyz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi ordinatę ir taikymą, lygią tam tikro taško ordinatėms ir taikymui, o abscisę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, o projekcijos ordinatė ir aplikacija yra lygios nuliui (kadangi ordinatės ir aplikacinės ašys kerta abscises taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates:
Ax(4;0;0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, o projekcijos abscisė ir aplikacija yra lygios nuliui (nes abscisės ir aplikacinės ašys kerta ordinačių ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) taško projekcija į taikymo ašį yra pačioje taikymo ašyje, ty ašyje Ozas, todėl turi aplikaciją, lygią paties taško aplikacijai, o projekcijos abscisė ir ordinatė yra lygios nuliui (kadangi abscisių ir ordinačių ašys kerta aplikacijos ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į taikomąją ašį koordinates:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
9 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami erdvėje
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į:
1) lėktuvas Oxy ;
2) lėktuvai Oxz ;
3) lėktuvai Oyz ;
4) abscisių ašys;
5) ordinačių ašys;
6) pritaikyti ašis;
7) koordinačių kilmė.
1) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxy Oxy, turės abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją, kurios dydis yra lygus duoto taško aplikacijai, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oxz, turės abscisę ir aplikaciją, lygią duoto taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę, kurios dydis yra lygus tam tikro taško ordinatėms, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Perkelti“ tašką kitoje ašies pusėje Oyzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oyz, turės ordinatę ir aplicatę, lygias duoto taško ordinatėms ir aplicatams, o abscisę savo reikšme lygi tam tikro taško abscisei, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analogiškai su simetriniais plokštumos taškais ir erdvės taškais, kurie yra simetriški duomenims, palyginti su plokštumais, pažymime, kad simetrijos kai kurios Dekarto koordinačių sistemos erdvėje ašies atžvilgiu koordinatė ašyje kuriai duota simetrija, išlaikys savo ženklą, o kitų dviejų ašių koordinatės absoliučia reikšme bus tokios pačios kaip nurodyto taško koordinatės, bet priešingos pagal ženklą.
4) Abscisė išsaugos savo ženklą, tačiau ordinatė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims abscisių ašies atžvilgiu:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su ordinačių ašimi:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikacija išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir ordinatė pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims taikomosios ašies atžvilgiu:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogiškai su simetrija, kai taškai yra plokštumoje, kai yra simetrija apie koordinačių pradžią, visos taško koordinatės, simetriškos tam tikram taškui, absoliučia verte bus lygios tam tikro taško koordinatėms, bet priešingai jiems ženkle. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su kilme.
Žodis „ordinatas“ kilęs iš lotyniško „ordinatus“ – „išdėstyta tvarka“. Ordinatė yra grynai matematinis terminas, naudojamas taško koordinatei stačiakampėje koordinačių sistemoje žymėti.
Pažiūrėkime šiek tiek atidžiau, kas yra ordinatė.
Abscisė, ordinate ir taikykite
Stačiakampėje dvimatėje koordinačių sistemoje abscisės ir ordinatės naudojamos tiksliai nustatyti konkretaus taško ar atkarpos koordinates. Abscisė yra taško koordinatė išilgai OX ašies, ordinatė yra koordinatė išilgai OY ašies. Norint nustatyti tiriamojo taško abscisių ir ordinačių reikšmę stačiakampėje koordinačių sistemoje, reikia iš šio taško nubrėžti statmenis atitinkamai OX ir OY ašims. Ašių ir reikšmės bus taško abscisės ir ordinatės.
Jei taškas yra trimatėje koordinačių sistemoje, taip pat pridedama sąvoka „taikyti“ - tai taško reikšmė išilgai OZ ašies.
Kaip pažymėti tašką ir nubraižyti grafiką naudojant abscises ir ordinates
Kaip ir turėdami tašką stačiakampėje koordinačių sistemoje, galite rasti jo abscisę ir ordinatę, o žinodami abscisės ir ordinatės reikšmes, galite pažymėti tašką koordinačių sistemoje. Taško koordinatės paprastai nurodomos tokiu formatu - A (2; 5), pirmiausia nurodoma abscisių reikšmė, tai yra taško reikšmė išilgai OX ašies, o tada ordinatės reikšmė - reikšmė išilgai OY ašis.
Abscisė ir ordinatė gali apibrėžti tašką, abscisių ir ordinačių pora gali apibrėžti tiesią atkarpą, o norėdami sukurti, pavyzdžiui, parabolę, turėsite žinoti tris abscises ir ordinates.
Norint sudaryti tam tikrą grafiką, naudojama ordinačių reikšmių priklausomybė nuo abscisės. Pavyzdžiui: y = 2x + 8. Norėdami sukurti grafiką, turite pereiti per skirtingas x reikšmes ir pažymėti atitinkamas y reikšmes koordinačių sistemoje.
Geodezijos dalykas ir uždaviniai
Geodezija -Žemės paviršiaus matavimų mokslas, atliekamas siekiant nustatyti Žemės formą ir dydį, rengiant planus ir žemėlapius, sprendžiant įvairias inžinerines žemės paviršiaus problemas.
Žemės formos ir dydžio nustatymas yra aukštosios geodezijos uždavinių dalis. Su planų ir žemėlapių rengimu bei inžinerinių problemų sprendimu susiję klausimai susiję su geodezija.
Geodeziniai darbai skirstomi į lauko ir stalo darbus.
Lauko darbai susideda iš horizontalių ir vertikalių kampų, taip pat horizontalių, vertikalių ir nuožulnių atstumų matavimų. Darbas biure susideda iš lauko matavimų rezultatų skaičiavimų ir grafinių konstrukcijų.
Geodezija glaudžiai susijusi su eile kitų mokslų – matematika, fizika, astronomija, geografija, geologija, geomorfologija ir kt.
Inžinerinė geodezija - sprendžia problemas, susijusias su:
· su atraminio geodezinio pagrindo įrengimu matavimo ir ženklinimo darbams atlikti;
· didelės apimties planų ir profilių rengimas inžinerinių statinių projektavimui;
· ženklinimo darbų planu ir aukščiu vykdymas statant pastatus ir statinius;
· statybos ir montavimo operacijų aptarnavimas;
· objektų brėžinių sudarymas;
· deformacijų stebėjimai statybos proceso metu.
Pagrindinė informacija apie Žemės formą ir dydį
Geodezijos tema – Žemės paviršiaus geometrinės savybės.
Fizinis paviršius Žemė susideda iš žemės ir vandens paviršių ir turi sudėtingą formą.
Apibendrintą Žemės formos idėją galima gauti naudojant „lygaus paviršiaus“ sąvoką.
Lygus paviršius vadinamas uždaru paviršiumi, kuris supa Žemę ir yra normalus bet kuriame taške esančioms svambalo linijoms.
Geodezijoje ypač svarbus yra lygus paviršius, kuris sutampa su vidutiniu vandenynų lygiu ramybėje. Toks uždaras paviršius, pratęstas po žemynais statmenai svambalo linijos krypčiai kiekviename taške, vadinamas pagrindinis lygus paviršius.
Kūnas, apribotas pagrindinio lygio paviršiaus, vadinamas geoidas .
Geoidas nesutampa su jokia matematine figūra ir yra netaisyklingos formos.
Matematinė Žemės forma atitinka elipsoido, vadinamo, paviršių nuoroda yra Krasovskio elipsoidas.
Koordinačių sistemos
Taškų padėtis žemės paviršiuje nustatoma įvairiose koordinačių sistemose:
· Sistema geografines koordinates– atskaitos tašku imamas Grinvičo dienovidinis ir pusiaujo plokštuma.
· Geodezinė koordinačių sistema nustato taškų padėtį sukimosi elipsoido paviršiuje.
· Stačiakampių Gauso koordinačių zoninė sistema (1 pav.).
Norint nustatyti ryšį tarp geografinių ir stačiakampių koordinačių, naudojamas metodas, kuriuo Žemės rutulio paviršius projektuojamas į plokštumą dalimis, kurios vadinamos. zonos (1 pav.). Zonos skaičiuojamos į rytus nuo Grinvičo dienovidinio.
Prieš projektuojant tokią zoną į plokštumą, ji projektuojama ant cilindro paviršiaus. Po to cilindras išdėstomas plokštumoje ir ant jo gaunamas šios zonos projekcijos vaizdas. Tokia projekcija vadinama projekcija Gaussas-Krugeris.
Tokioje sistemoje visų zonų koordinačių pradžia imama tam tikros zonos ašinio dienovidinio susikirtimo su pusiauju taške. Koordinačių ašys yra abscisių ašis – X ir ordinačių ašis – Y (2 pav.).
Ryžiai. 1 Padalijimas į zonas
Abscisės, išmatuotos nuo pusiaujo iki šiaurės ašigalio, laikomos teigiamomis, o į pietus – neigiamomis. Ordinačių reikšmės nuo ašinio dienovidinio į rytus yra teigiamos, į vakarus – neigiamos.
2 pav. Zoninė koordinačių sistema
· Stačiakampė koordinačių sistema (3 pav.).
Geodezijoje abscisių ašimi imama zonos vidutinio ašinio dienovidinio kryptis, o ordinačių ašimi – pusiaujo kryptis.
Ryžiai. 3 Stačiakampė koordinačių sistema
Koordinačių ašys padalija piešimo plokštumą į keturias dalis, kurios vadinamos koordinačių kvartalai: I – ŠV, II – V, III – P, IV – ŠV (3 pav.).
· Polinė koordinačių sistema.
Bet kurio taško padėtį plokštumoje lemia spindulio vektorius – r ir kampas – β, skaičiuojant pagal laikrodžio rodyklę nuo tiesės – OX (polinė ašis) iki spindulio vektoriaus (4 pav.).
4 pav. Polinių koordinačių sistema
Taškų aukščiai
Taškų aukštis gali būti absoliutus arba sąlyginis. Jei taško aukštis nustatomas nuo lygaus paviršiaus, tada jis laikomas absoliutus. Nuo bet kokio kito paviršiaus - sąlyginis.
Perteklius (h) – taškų aukščių skirtumas.
h A = H A – H B
Vadinamos skaitinės taškų aukščių reikšmės ženklų.
Rusijoje taškų aukščiai matuojami nuo Baltijos jūros lygio.
IN Kasdienybė Dažnai galite išgirsti frazę: „Palik man savo koordinates“. Atsakydamas žmogus dažniausiai palieka savo adresą arba telefono numerį, tai yra duomenis, pagal kuriuos jį galima rasti.
Koordinatės gali būti nurodytos įvairiais skaičių ar raidžių rinkiniais.
Pavyzdžiui, automobilio numeris yra koordinatės, nes pagal automobilio numerį galima nustatyti, iš kokio miesto jis yra ir kas jo savininkas.
Svarbu!
Koordinatės yra duomenų rinkinys, pagal kurį nustatoma objekto padėtis.
Koordinačių pavyzdžiai: automobilio ir sėdynės numeris traukinyje, platuma ir ilguma geografiniame žemėlapyje, figūrėlės padėties įrašymas šachmatų lentoje, taško padėtis skaičių tiesėje ir kt.
Kai pagal tam tikras taisykles vienareikšmiškai pažymime objektą raidžių, skaičių ar kitų simbolių rinkiniu, nurodome objekto koordinates.
Dekarto koordinačių sistema
Prancūzų matematikas Rene Descartes (1596-1650) pasiūlė taško padėtį plokštumoje nurodyti naudojant dvi koordinates.
Norint rasti koordinates, reikia orientyrų, nuo kurių skaičiuoti.
- Plokštumoje dvi skaitinės ašys bus tokie atskaitos taškai. Brėžinyje pirmoji ašis dažniausiai brėžiama horizontaliai, ji vadinama ABSCISS ašimi ir žymima raide „X“, ašis rašoma „Jautis“. Teigiama kryptis x ašyje parenkama iš kairės į dešinę ir rodoma rodykle.
- Antroji ašis nubrėžta vertikaliai, ji vadinama ORDINATE ašimi ir žymima raide „Y“, ašis parašyta „Oy“. Teigiama kryptis ordinačių ašyje parenkama iš apačios į viršų ir rodoma rodykle.
Ašys yra viena kitai statmenos (ty kampas tarp jų yra 90°) ir susikerta taške, pažymėtame „O“. Taškas „O“ yra kiekvienos ašies pradžia.
Prisiminti!
Koordinačių sistema- tai dvi viena kitai statmenos koordinačių linijos, susikertančios taške, kuris yra kiekvienos iš jų atskaitos pradžia.
Koordinačių ašys yra tiesios linijos, kurios sudaro koordinačių sistemą.
Abscisių ašis"Jautis" - horizontali ašis.
Y ašis"Oy" - vertikali ašis.
Koordinačių plokštuma yra plokštuma, kurioje yra sudaryta koordinačių sistema. Lėktuvas žymimas „x0y“.
Atkreipiame jūsų dėmesį į atskirų segmentų ilgio pasirinkimą išilgai ašių.
Skaičiai, nurodantys skaitines reikšmes ant ašių, gali būti dedami į dešinę arba į kairę nuo „Oy“ ašies. „Jaučio“ ašies skaičiai paprastai rašomi žemiau ašies.
Paprastai vieneto segmentas „0y“ ašyje yra lygus vieneto segmentui „0x“ ašyje. Tačiau būna atvejų, kai jie nėra lygūs vienas kitam.
Koordinačių ašys padalija plokštumą į 4 kampus, kurie vadinami koordinuoti ketvirčius. Pirmuoju I laikomas ketvirtis, sudarytas iš teigiamų pusašių (viršutiniame dešiniajame kampe).
Skaičiuojame ketvirčius (arba koordinačių kampus) prieš laikrodžio rodyklę.
VIII SKYRIUS
KOORDINATES IR PAPRASTA GRAFIKA
§ 41. Koordinačių ašys. Plokštumos taško abscisė ir ordinatė.
1258. Sukurkite stačiakampę koordinačių sistemą ir pažymėkite taškus, turinčius šias koordinates:
1) X = 5, adresu = 3; 2) X = - 4, adresu = 6;
3) X = - 3, adresu =- 4; 4) X = 5, y = -2.
1259. Sukurkite taškus su šiomis koordinatėmis:
1) X = 8 1 / 2 , adresu = - 5 1 / 2 2) X = - 6,5, adresu = 4,5;
3) X = -2,8, adresu =-3,2; 4) X = 7,3, adresu =8,4;
5) A (-3 3/4; 5 1/2); "6) V (-0,8; - l,4). ,
1260. 1) Naudodamiesi šiomis koordinatėmis, sukonstruokite taškus ir nurodykite, kokiomis sąlygomis taškai yra ašyje X -ov arba ant ašies Y -s.
1) X = 4, adresu = 0;
2) X =- 2, adresu = 0\
3) X = 0, adresu = 3;
4) X = 0, adresu =-4;
5) X = 0, adresu = 0.
2) Nustatykite ir užrašykite kiekvieno 35 brėžinyje nurodyto taško koordinates.
1261. Sukurkite tiesę, jungiančią du taškus su koordinatėmis:
1) A (5; 4) ir B (-3; -2); 2) C (-4; 2) ir D (5; - 3).
1262. 1) Sukurkite trikampį naudodami jo viršūnių A, B ir C koordinates:
A (4; 5); B (8; 2); C (-6; 3).
2) Sukurkite keturkampį pagal jo viršūnių A, B, C ir D koordinates:
A (- 3; 8); B (10; 6); C (5; -5); D (-7; -4).
1263. 1) Duotas taškas A (4; 6). Sukurkite tašką B simetriškai taškui A x ašies atžvilgiu OI , ir raskite šio taško koordinates.
2) Sukurkite dar kelis taškus, išsidėsčiusius simetriškai x ašies atžvilgiu.
3) Parodykite, kad jei taškai A ir B yra simetriški abscisių ašiai, tai jų abscisės yra lygios, o ordinatės skiriasi tik ženklais.
1264. 1) Sukurkite tašką A(4; 6) ir tašką B, simetriškus taškui A ordinačių ašies atžvilgiu. Kuo skiriasi šių taškų abscisės ir ordinatės?
2) Sukurkite kelias taškų poras, simetriškas ordinačių ašiai OY , suraskite jų koordinates ir parodykite, kad jei taškai A ir B yra simetriški ordinačių ašiai, tai jų ordinatės yra lygios, o abscisės skiriasi tik ženklais.
1265. 1) Sukurkite tašką A (3; 7) ir tašką B, simetriškus taškui A nuo pradžios. Kuo skiriasi šių taškų abscisės ir ordinatės?
2) Sukonstruoti kelias taškų poras, kurios yra simetriškos koordinačių pradžios atžvilgiu ir parodyti, kad kiekvienos tokių taškų poros koordinatės skiriasi tik ženklu.
1266. Taškai lėktuve yra šie:
A(1; 3); B(2; 5); C(1; -3); D(-2; -5); E(-1; 3).
Nustatykite, kurios šių taškų poros yra simetriškos: 1) abscisių ašies atžvilgiu; 2) ordinačių ašys; 3) koordinačių kilmė.
1267. 1) Sukurkite keturkampį naudodami šias jo viršūnių koordinates:
A(0; 0); B(1; 3); C (8; 5); D(9; 1).
Pastaba. Paimkite 1 cm kaip mastelio vienetą.
2) Iš viršūnės A nubrėžkite keturkampio įstrižainę ir pagal tiesioginis matavimas gautų trikampių pagrindus ir aukščius (0,1 cm tikslumu), apskaičiuokite jų plotą ir viso keturkampio plotą.
3) Nubrėžkite nuo viršūnės iki antrosios įstrižainės ir dar kartą suraskite keturkampio plotą, atlikdami atitinkamus matavimus ir skaičiavimus.
4) Apskaičiuokite dviejų gautų rezultatų aritmetinį vidurkį ir suapvalinkite atsakymą iki dviejų reikšminių skaičių.
5) Raskite gauto atsakymo absoliučiąsias ir santykines paklaidas, žinant, kad šio keturkampio plotas yra 28 cm 2 .
1268. Oro temperatūros matavimų rezultatai per dieną užfiksuoti šioje lentelėje:
1) Naudodamiesi lentelės duomenimis sudarykite oro temperatūros pokyčių per dieną grafiką.
2) Nustatykite oro temperatūrą pagal grafiką: 3 val.; 9 val.; 13 val.; 21 val
3) Iš grafiko raskite, kuriuo metu oro temperatūra buvo lygi: -1°; -4°; + 2°; +5°.
4) Pagal grafiką nustatykite, kokiu laikotarpiu temperatūra pakilo ir krito.
5) Iš grafiko raskite, kada per dieną temperatūra buvo aukščiausia ir žemiausia.
1269. Kai kūnas yra laisvo kritimo metu, greitis bet kuriuo metu nustatomas pagal formulę v = gt , Kur v - greitis metrais per sekundę, g ≈ 9,81 m/sek 2 , t - laikas sekundėmis.
Nubraižykite krintančio kūno greičio pokyčių, priklausomai nuo kritimo laiko, grafiką.
1270. Stebint vandens temperatūros pokyčius didėjant gyliui Ramiojo vandenyno pusiaujo dalyje, buvo gauti šie duomenys:
1) Nubraižykite vandens temperatūros pokyčių grafiką keičiantis gyliui.
2) Nustatykite, kokiame gylyje vandens temperatūra krenta greičiausiai? lėčiausias?
1271. Pradėjus šildyti, vandens katile temperatūra buvo 8°. Kaitinant, vandens temperatūra kas minutę pakilo 2°.
1).Parašykite formulę, išreiškiančią vandens temperatūros kitimą priklausomai nuo laiko t jį pašildyti.
2) Sudarykite verčių lentelę adresu nuo 1 minutės iki 10 minučių.
3) Nubraižykite vandens temperatūros pokyčių priklausomai nuo šildymo laiko pokyčių grafiką.i
4) Iš grafiko 1 tikslumu raskite: vandens temperatūrą 14 minučių po pakaitinimo; Po kiek minučių nuo šildymo pradžios vandens temperatūra pasieks 20°? 35°? Patikrinkite apskaičiuodami pagal formulę.
