Kiekvienas kūnas, darantis judesį, gali būti apibūdintas darbu. Kitaip tariant, jis apibūdina jėgų veikimą.

Darbas apibrėžiamas taip:
Jėgos modulio ir kūno nuvažiuoto kelio sandauga, padauginta iš kampo tarp jėgos krypties ir judėjimo kosinuso.

Darbas matuojamas džauliais:
1 [J] = = [kg* m2/s2]

Pavyzdžiui, kūnas A, veikiamas 5 N jėgos, nukeliavo 10 m. Nustatykite kūno atliktą darbą.

Kadangi judėjimo kryptis ir jėgos veikimas sutampa, kampas tarp jėgos vektoriaus ir poslinkio vektoriaus bus lygus 0°. Formulė bus supaprastinta, nes 0° kampo kosinusas yra lygus 1.

Pakeitę pradinius parametrus į formulę, randame:
A = 15 J.

Panagrinėkime kitą pavyzdį: 2 kg sveriantis kūnas, judantis 6 m/s2 pagreičiu, nuvažiavo 10 m. Nustatykite kūno atliktą darbą, jei jis pajudėjo aukštyn pasvirusia plokštuma 60° kampu.

Pirmiausia apskaičiuokime, kiek jėgos reikia, kad kūnas būtų pagreitintas 6 m/s2.

F = 2 kg * 6 m/s2 = 12 H.
Veikiant 12N jėgai, kūnas pajudėjo 10 m. Darbą galima apskaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Kur a yra lygus 30°. Pakeitę pradinius duomenis į formulę, gauname:
A = 103,2 J.

Galia

Daugelis mašinų ir mechanizmų atlieka tą patį darbą skirtingu laikotarpiu. Norint juos palyginti, įvedama galios sąvoka.
Galia – tai dydis, parodantis per laiko vienetą atlikto darbo kiekį.

Galia matuojama vatais pagal škotų inžinierių Jamesą Wattą.
1 [vatas] = 1 [J/s].

Pavyzdžiui, didelis kranas 10 tonų sveriantį krovinį į 30 m aukštį pakėlė per 1 minutę. Mažas kranas per 1 minutę į tą patį aukštį pakėlė 2 tonas plytų. Palyginkite krano galias.
Apibrėžkime kranų atliekamus darbus. Krovinys pakyla 30m, įveikdamas gravitacijos jėgą, todėl jėga, eikvojama keliant krovinį, bus lygi Žemės ir apkrovos sąveikos jėgai (F = m * g). O darbas yra jėgų sandauga pagal krovinių nuvažiuotą atstumą, tai yra pagal aukštį.

Toliau aptariami pavyzdžiai pateikia rezultatus, kuriuos galima tiesiogiai panaudoti sprendžiant problemas.

1. Gravitacijos darbas. Tegu taškas M, kurį veikia sunkio jėga P, juda iš padėties į padėtį Parinkime tokias koordinačių ašis, kad ašis būtų nukreipta vertikaliai aukštyn (231 pav.). Tada . Pakeitę šias reikšmes į (44) formulę, gauname, atsižvelgdami į tai, kad integravimo kintamasis yra:

Jei taškas yra aukščiau , tada kur h yra vertikalus judėjimas taškai; jei taškas yra žemiau taško, tada .

Pagaliau gauname

Vadinasi, gravitacijos atliktas darbas yra lygus jėgos, paimtos su pliuso arba minuso ženklu, ir jos taikymo taško vertikalaus poslinkio sandaugai. Darbas teigiamas, jei pradžios taškas yra aukštesnis už pabaigos tašką, ir neigiamas, jei pradžios taškas yra žemesnis už pabaigos tašką.

Iš gauto rezultato matyti, kad gravitacijos darbas nepriklauso nuo trajektorijos, kuria juda jo taikymo taškas, tipo. Jėgos, turinčios šią savybę, vadinamos potencialiomis (žr. § 126).

2. Tamprumo jėgos darbas. Panagrinėkime apkrovą M, gulinčią horizontalioje plokštumoje ir pritvirtintą prie laisvojo spyruoklės galo (232 pav., a). Plokštumoje tašku O pažymėkite padėtį, kurią užima spyruoklės pabaiga, kai ji neįtempta – neįtemptos spyruoklės ilgį) ir šį tašką paimkite kaip koordinačių pradžią. Jei dabar ištrauksime apkrovą iš pusiausvyros padėties O, ištempdami spyruoklę iki vertės I, tada spyruoklė gaus pailgėjimą ir tamprumo jėga F, nukreipta į tašką O, veiks apkrovą į (6) formulę iš 76 str

Paskutinė lygybė taip pat galioja (apkrova yra į kairę nuo taško O); tada jėga F nukreipiama į dešinę ir rezultatas bus toks, koks turėtų būti,

Raskime darbą, kurį atlieka tamprumo jėga, perkeliant krovinį iš padėties į padėtį

Kadangi šiuo atveju, pakeisdami šias reikšmes į (44) formulę, randame

(Tą patį rezultatą galima gauti iš F priklausomybės nuo grafiko (232 pav., b), apskaičiuojant brėžinyje nuspalvintos trapecijos plotą a ir atsižvelgiant į darbo ženklą.) Gautoje formulėje , reiškia pradinį spyruoklės pailgėjimą – galutinį spyruoklės pailgėjimą.

tai yra, tamprumo jėgos darbas yra lygus pusei standumo koeficiento ir skirtumo tarp spyruoklės pradinio ir galutinio pailgėjimo (arba gniuždymo) kvadratų.

Darbas bus teigiamas, kai spyruoklės galas pasislenka link pusiausvyros padėties, ir neigiamas, kai spyruoklės galas pasislenka iš pusiausvyros padėties.

Galima įrodyti, kad (48) formulė galioja tuo atveju, kai taško M judėjimas nėra tiesus. Taigi, pasirodo, kad jėgos F darbas priklauso tik nuo taško M reikšmių ir nepriklauso nuo taško trajektorijos tipo. Vadinasi, tamprumo jėga taip pat yra potenciali.

3. Trinties jėgos darbas. Panagrinėkime tašką, judantį išilgai grubaus paviršiaus (233 pav.) arba kreivės. Tašką veikianti trinties jėga yra lygi čia f yra trinties koeficientas, o N yra normali paviršiaus reakcija. Trinties jėga nukreipta priešingai nei taško judėjimas. Vadinasi, ir pagal (44) formulę

Jei trinties jėga yra skaitinė pastovi, tada kur s yra kreivės lanko, kuriuo juda taškas, ilgis.

Taigi darbas, kurį atlieka trinties jėga slystant, visada yra neigiamas. Kadangi šis darbas priklauso nuo lanko ilgio, todėl trinties jėga yra nepotenciali jėga.

4. Gravitacijos veikimas Jei Žemė (planeta) laikoma vienalyčiu rutuliu (arba rutuliu, susidedančiu iš vienalyčių koncentrinių sluoksnių), tai taške M, kurio masė yra rutulio išorėje, atstumu nuo jo centro O (arba rutulio paviršius), bus gravitacinės jėgos F veiksmas, nukreiptas į centrą O (234 pav.), kurio reikšmė nustatoma pagal (5) formulę iš § 76. Pateikime šią formulę forma

n koeficientą k nustatome iš sąlygos, kad kai taškas yra Žemės paviršiuje (r = R, kur R yra Žemės spindulys), gravitacijos jėga lygi mg, kur g yra žemės paviršiaus pagreitis. gravitacija (tiksliau gravitacijos jėga) žemės paviršiuje. Tada turi būti

Ši paskaita apima šiuos klausimus:

1. Jėgos darbas.

2. Konservatyvios jėgos.

2. Galia.

3. Darbo skaičiavimų pavyzdžiai.

4. Potenciali energija

5. Kinetinė energija

6. Taško kinetinės energijos kitimo teorema.

7. Momentų teorema.

Šių klausimų tyrimas reikalingas mechaninės sistemos masės centro judėjimo dinamikai, standaus kūno sukimosi judėjimo dinamikai, mechaninės sistemos kinetiniam momentui, disciplinų „Teorija“ uždaviniams spręsti. mašinų ir mechanizmų“ ir „Mašinų dalys“.

Jėgos darbas. Galia.

Norint apibūdinti veiksmą, kurį kūnui daro jėga tam tikro judesio metu, įvedama jėgos darbo sąvoka.

1 pav

Šiuo atveju darbas apibūdina jėgos, lemiančios pokytį, veikimą modulis judančio taško greitis.

Pirmiausia supažindinkime su elementaraus jėgos darbo su be galo mažu poslinkiu samprata ds. Elementarus jėgos darbas(1 pav.) vadinamas skaliariniu dydžiu:

,

kur yra jėgos projekcija ant trajektorijos liestinės, nukreiptos taško judėjimo kryptimi, ir ds - be galo mažas taško poslinkis, nukreiptas išilgai šios liestinės.

Šis apibrėžimas atitinka darbo sąvoką kaip jėgos veikimo charakteristiką, dėl kurios keičiasi taško greičio modulis. Tiesą sakant, jei išskaidysime jėgąį komponentus ir , tada tik komponentas pakeis taško greičio modulį, suteikdamas taškui tangentinį pagreitį. Komponentasarba keičia greičio vektoriaus kryptį v(informuoja normalaus pagreičio tašką), arba, kai nėra laisvas, judesys pakeičia slėgį jungtyje. Pagal greičio modulio komponentą nepadarys įtakos, t.y., kaip sakoma, priversti"negamins darbo".

Tai pastebėję gauname:

.(1)

Taigi elementarus jėgos darbas yra lygus jėgos projekcijai į taško judėjimo kryptį, padaugintai iš elementariojo poslinkio ds arba elementarusis jėgos darbas lygus jėgos modulio ir elementariojo poslinkio sandaugai ds ir kampo tarp jėgos krypties ir poslinkio krypties kosinusą.

Jei kampas aštrus, tada darbas teigiamas. Visų pirma, kaipagrindinis darbasdA= Fds.

Jei kampas kvaila, tada darbas neigiamas. Visų pirma, kaipagrindinis darbasdA=- Fds.

Jei kampas , t.y. jei jėga nukreipta statmenai poslinkiui, tai elementarus jėgos darbas lygus nuliui.

Teigiama jėgaF(α > 90° ) yra vadinami vairuojant, ir neigiamas (α > 90° ) – jėga pasipriešinimas.

Mes rasime analitinė išraiška elementarus darbas. Norėdami tai padaryti, suskaidykime jėgąį komponentus pagal koordinačių ašių kryptis (2 pav.; pati jėgabrėžinyje nepavaizduota).

2 pav

Elementarus judėjimassusideda iš judesiųdx, dy , dz išilgai koordinačių ašių, kur x, y, z- taško koordinates M. Tada jėgos darbas ant judančių ds gali būti apskaičiuojamas kaip jo komponentų darbo suma ant judesių dx, dy , dz .

Bet judant dx veikia tik komponentas, ir jo darbas yra lygusF x dx. Dirbkite su judesiaisdy Ir dz skaičiuojamas panašiai.

Galiausiai randame:dA= F x dx+ Fydy+ F z dz.

Formulė pateikia analitinę elementaraus jėgos darbo išraišką.

Darbas, kurį atlieka jėga esant bet kokiam baigtiniam poslinkiui M 0 M 1 apskaičiuojamas kaip integrali atitinkamų elementarių darbų suma ir bus lygi:

Vadinasi, darbas, atliktas jėga, esant bet kokiam poslinkiui M 0 M 1 yra lygus šio poslinkio pradinio darbo integralui. Integralo ribos atitinka integravimo kintamųjų reikšmes taškuose M 0 Ir M 1. M 0 Ir M Grafiškai – plotas po visa kreive

1 bus jūsų ieškomas darbas.

3 pav Jei kiekis yra pastovus ( M 0 M, tada reiškia judėjimą 1 per

Toks atvejis gali atsirasti, kai veikiančios jėgos dydis ir kryptis yra pastovūs (F= konst), o taškas, kuriam veikia jėga, juda tiesia linija (3 pav.). Šiuo atveju ir jėgos darbas.

SI darbo vienetas yra džaulis (1 J = 1 N∙m).

1 J yra darbas, kurį atlieka 1 N jėga 1 m kelio. .

Konservatyvios jėgos Jėgos, veikiančios kūną, gali būti konservatyvios arba nekonservatyvios. Jėga vadinama konservatyvus arba potencialą , jei darbas, kurį ši jėga atlieka perkeliant materialųjį tašką iš vienos padėties į kitą, nepriklauso pagal trajektorijos tipą (kelio formą) ir lemia tik pradinė ir galutinė kūno padėtis (3.1 pav.): A pagal trajektorijos tipą (kelio formą) ir lemia tik pradinė ir galutinė kūno padėtis (3.1 pav.): 1B2 = pagal trajektorijos tipą (kelio formą) ir lemia tik pradinė ir galutinė kūno padėtis (3.1 pav.): 12 .

1С2 =

3.1 pav Tuo atveju , jei kūnas juda pagal trajektorijos tipą (kelio formą) ir lemia tik pradinė ir galutinė kūno padėtis (3.1 pav.): 12 = –pagal trajektorijos tipą (kelio formą) ir lemia tik pradinė ir galutinė kūno padėtis (3.1 pav.): atvirkštinė kryptis

21, t.y. judėjimo krypties trajektorija pakeitimas į priešingą sukelia kūrinio ženklo pasikeitimą. Vadinasi, kai materialus taškas juda uždara trajektorija, konservatyvios jėgos atliktas darbas yra lygus nuliui (pavyzdžiui, krovinio pakėlimas ir nuleidimas): Konservatyvios jėgos – tai gravitacinės sąveikos jėgos, tamprumo jėgos ir elektrostatinės jėgos. Jėgos, kurios neatitinka (1) sąlygos, yra vadinamos nekonservatyvus

. Nekonservatyvios jėgos apima trinties ir pasipriešinimo jėgas. Laukas, kuriame veikia konservatyvios jėgos, vadinamas potencialu.

Galia. Galia

yra dydis, kuris lemia jėgos atliktą darbą per laiko vienetą. Jei darbas atliekamas vienodai, tada galia Kur - t laikas, per kurį buvo atliktas darbas A

. Apskritai

Todėl galia yra lygi tangentinės jėgos komponento ir judėjimo greičio sandaugai. Sistemos galios matavimo vienetas SI yra (1 vatų = 1 antradienis j/sek). Technologijoje galios vienetas dažnai laikomas 1 arklio galia, lygia 75 kgm/sek arba 736

antradienis Mašinos atliktas darbas gali būti matuojamas jos galios ir veikimo laiko sandauga. Čia atsirado technologijoje naudojamas kilovatvalandės darbo vienetas (1 3,6 ∙ 10 6 kWh = ≈ 367100 j

kgm). Iš lygybėsmatyti, kad tam tikros galios variklis, W traukos jėgabus didesnis, tuo mažesnis judėjimo greitis. V

Todėl, pavyzdžiui, įkalnėje ar blogoje kelio atkarpoje automobilis perjungia žemesnes pavaras, o tai leidžia visa jėga judėti mažesniu greičiu ir išvystyti didesnę traukos jėgą.

Darbo skaičiavimų pavyzdžiai.

1) Toliau aptariami pavyzdžiai pateikia rezultatus, kuriuos galima tiesiogiai panaudoti sprendžiant problemas. Gravitacijos darbas. Tegul taškas veikia gravitacija, juda iš padėties M 0 ( x­ 0 , y 0,z 0 ) į poziciją M 1 (x 1, y 1,z 1 ). Parinkime koordinačių ašis taip, kad ašisOzasbuvo nukreipta vertikaliai aukštyn (4 pav.).

4 pav

Tada R x=0, R y = 0,P z= -R. Pakeičiant šias reikšmes ir atsižvelgiant į integravimo kintamąjįz:

Jei taškas M 0 aukščiau M 1 , Tai, Kur h-taško vertikalaus judėjimo dydis;

E jei taškas M 0 žemiau taško M 1 Tai .

Galiausiai gauname:.

Vadinasi, gravitacijos atliktas darbas yra lygus jėgos, paimtos su pliuso arba minuso ženklu, ir jos taikymo taško vertikalaus poslinkio sandaugai. Darbas teigiamas, jei pradžios taškas yra aukštesnis už pabaigos tašką, ir neigiamas, jei pradžios taškas yra žemesnis už pabaigos tašką. Iš gauto rezultato matyti, kad gravitacijos darbas nepriklauso nuo trajektorijos, kuria juda jo taikymo taškas, tipo.

Jėgos, turinčios šią savybę, vadinamos potencialiomis.

2) Tamprumo jėgos darbas . Apsvarstykite krovinį M, gulinčią horizontalioje plokštumoje ir pritvirtintą prie laisvo spyruoklės galo (5,a pav.). Pažymėkime plokštumoje tašką APIE padėtis, kurią užima spyruoklės pabaiga, kai ji neįtempta (- neįtemptos spyruoklės ilgis) ir naudokite šį tašką kaip koordinačių pradžią. Jei dabar atitrauktume krovinį iš jo pusiausvyros padėties APIE, pailginant spyruoklę iki vertėsl, tada apkrovą veiks spyruoklės tamprumo jėga F, nukreiptas į tašką APIE.

5 pav

Pagal Huko dėsnį šios jėgos dydis yra proporcingas spyruoklės pailgėjimui. Kadangi mūsų atveju, tada modulo

Koeficientas Su paskambino kietumo koeficientas spyruoklės. Technologijoje mes paprastai matuojame kiekį Su V H/cm, darant prielaidą, kad koeficientas Su skaičiais lygi jėgai, kuri turi būti taikoma spyruoklei, kad ji ištemptų 1 cm .

Raskime darbą, kurį atlieka tamprumo jėga, judant krovinį iš padėtiesį poziciją Kadangi šiuo atvejuF x=- F =- cx, Fy= F z=0, tada gauname:

(Tą patį rezultatą galima gauti iš priklausomybės grafiko F iš X(20 pav., b), skaičiuojant plotąbrėžinyje nuspalvinta trapecija ir atsižvelgiant į darbo ženklą.) Gautoje formulėjereiškia pradinį spyruoklės pailgėjimą, A galutinis spyruoklinis pailgėjimas. Vadinasi,

tie. tamprumo jėgos darbas lygus pusei standumo koeficiento ir skirtumo tarp spyruoklės pradinio ir galutinio pailgėjimo (arba gniuždymo) kvadratų.

Darbas bus teigiamas, kai, ty kai spyruoklės galas pasislenka į pusiausvyros padėtį, o neigiamas, kai, t.y. spyruoklės galas pasislenka iš savo pusiausvyros padėties. Galima įrodyti, kad formulė lieka galioti tuo atveju, kai taško judėjimas M nėra paprasta.

Taigi paaiškėja, kad darbas atliekamas jėga F priklauso tik nuo vertybių Ir ir nepriklauso nuo taško trajektorijos tipo M.

Todėl tamprumo jėga taip pat yra potenciali.

3) 6 pav Trinties jėgos darbas. Panagrinėkime tašką, judantį palei grubų paviršių (6 pav.) arba kreivę. Tašką veikianti trinties jėga yra vienodo dydžio fN, Kur f- - trinties koeficientas irF normali paviršiaus reakcija. Trinties jėga nukreipta priešingai nei taško judėjimas. Vadinasi, =- tr fN

ir pagal formulę, Jei trinties jėgos dydis yra pastovus, tada Kur s M 0 M- kreivės lanko ilgis

1, išilgai kurio taškas juda. Taigi, . trinties jėgos atliktas darbas slystant visada yra neigiamas M 0 M 1 . Šio darbo kiekis priklauso nuo lanko ilgio Todėl trinties jėga yra jėga .

4) nepotencialus

Jėgos, veikiančios kūną, besisukantį aplink fiksuotą ašį, darbas.Šiuo atveju (7 pav.) jėgos taikymo taškasjuda spindulio apskritimur. Pradinis darbas pagal (1),

, Kur.

7 pav

Štai kodėl.

Bet . Ir Tai lengva nustatyti išskaidžius jėgą į tris komponentus (7 pav.). (Jėgos akimirkos

(2)

yra lygūs nuliui). Reiškia,Visų pirma, jei jėgos momentas apie ašį, darbas, kurį atlieka jėga, sukant kūną kampu

.(3)

lygus

Darbo ženklas nustatomas pagal jėgos momento ir sukimosi kampo ženklus. Jei jie vienodi, darbas teigiamas.Iš (3) formulės seka jėgų poros darbo nustatymo taisyklė. Jei pora turi akimirkąm

.(4)

yra plokštumoje, statmenoje kūno sukimosi ašiai, tada jos darbas, kai kūnas sukasi kampuJei jėgų pora veikia plokštumoje, kuri nėra statmena sukimosi ašiai, tada ji turi būti pakeista dviem poromis. Vieną pastatykite į ašiai statmeną plokštumą, kitą - į ašiai lygiagrečią plokštumą. Jų momentus lemia momento vektoriaus plėtimasisatitinkamose srityse:, Kur . Žinoma, darbą atliks tik pirmoji akimirkos pora– kampas tarp vektoriaus z,

.(5)

ir sukimosi ašį .

Energija Transliacinio judėjimo matas yra kūno impulsas, tačiau ši charakteristika nėra universali. Visuotinis kiekybinis visų rūšių medžiagų judėjimo ir sąveikos matas yra energijos . Energijos formos: mechaninė, šiluminė, elektrinė, branduolinė, vidinė ir kt. Energija gali būti perduodama iš vienos formos į kitą. kiekybiškai charakterizuoja jį galimų kiekybinių ir kokybinių judėjimo transformacijų požiūriu. Šiuos virsmus sukelia sistemos kūnų sąveika tarpusavyje ir su išoriniais kūnais. Taigi judėjimas ir energija yra neatsiejamai susiję, ir nuo to Kadangi judėjimas yra neatskiriama materijos dalis, kiekvienas kūnas turi tam tikros energijos.

Kinetinė energija kūnas vadinamas energija, kuri yra jo mechaninio judėjimo matas ir nulemta darbo, kurį reikia atlikti norint sukelti šį judėjimą.

Jei veikiamas jėgoskūnas greitai juda iš ramybės būsenos, tada bus atliktas darbas, o kūno energija padidės sunaudoto darbo kiekiu:

kur yra judėjimas; dA – pagrindinis darbas.

Atsižvelgiant į antrojo Niutono dėsnio skaliarinį žymėjimą:

Mes gauname

O kadangi atliktas darbas lygus energijos padidėjimui, tai

Suminė energija randama integruojant, kai greitis keičiasi nuo 0 iki tam tikros vertėsbus didesnis, tuo mažesnis judėjimo greitis:

Kinetinė energija visada teigiama . Materialių taškų sistemos kinetinė energija lygi visų materialių sistemos taškų kinetinių energijų algebrinei sumai.

Sistemos kinetinė energija yra jos judėjimo būsenos funkcija.

Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos rėmo pasirinkimo, nes skirtingose ​​inercinėse atskaitos sistemose greitis nėra vienodas.

Potenciali energija - visos sistemos mechaninės energijos dalis, kurią lemia santykinė vienas kitą veikiančių kūnų padėtis.

Vadinama erdvės dalis, kurioje jėga, kuri priklauso nuo taško vietos, veikia ten esantį materialųjį tašką jėgos laukas.

Be to, ši jėga nustatoma naudojant jėgos funkciją u = u(x, y, z). Jei tai nepriklauso nuo laiko, tada toks laukas vadinamas stacionarus. Jei jis yra vienodas visuose taškuose, tada laukas yra vienalytis.

Jei jėgos projekcijos į yra Dekarto ašys jėgos funkcijos dalinės išvestinės atitinkamų koordinačių atžvilgiu

tada toks laukas vadinamas potencialą.

Jeigu darbas priklauso nuo trajektorijos, vadinasi jėgos išsklaidymo(trinties jėga).

Apskaičiuokime potencialaus lauko jėgos atliekamą darbą judant taškui iš padėties M 1 į padėtį M 2. (8 pav.).

8 pav

Elementarus darbas,

Tai ten pilnas diferencialas galios funkcija.

Atlikite galutinį judesį

yra dydis, kuris lemia jėgos atliktą darbą per laiko vienetą. Jei darbas atliekamas vienodai, tada galia u 2 ir u 1 – jėgos funkcijos reikšmės taškuose M 2 ir M 1 .

Vadinasi, potencialaus lauko jėgos atliktas darbas nepriklauso nuo taško trajektorijos, o yra nulemtas tik jėgos funkcijos reikšmės pradinėje ir galutinėje taško padėtyse.

Natūralu, kad jei taškas grįžta į pradinę padėtį, jėgos atliktas darbasbus lygus nuliui. Darbas bus lygus nuliui net persikėlus į kitą tašką M 3, jei ten jėgos funkcijos reikšmė yra tokia pati kaip pradinėje padėtyje.

Nesunku atspėti, kad taškai su identiškomis jėgos funkcijos reikšmėmis sudarys visą paviršių. Ir kad jėgos laukas yra sluoksniuota erdvė, susidedanti iš tokių paviršių (8 pav.). Šie paviršiai vadinami lygius paviršius arba ekvipotencialūs paviršiai . Jų lygtys:u( x, y, z)= C(C– konstanta, lygi reikšmeiu šio paviršiaus taškuose). Ir jėgos funkcija vadinama atitinkamai potencialąlaukus.

Žinoma, ekvipotencialūs paviršiai nesikerta. Priešingu atveju būtų lauko taškai su neapibrėžtu potencialu.

Kadangi, judant tašką išilgai išlyginto potencialo paviršiaus, jėgos atliekamas darbasyra lygus nuliui, tada jėgos vektorius yra statmenas paviršiui.

Pasirinkime vieną iš šių paviršių ir pavadinkime jį nuliniu paviršiumi (jį nustatomeu= u 0 ).

Darbas, atliktas jėga Kai taškas juda iš tam tikros vietos M į nulinį paviršių, tai vadinama potencialia taško energija šioje tam tikroje vietoje M:

Jei kūnas yra potencialiame jėgų lauke, tada jis turės potencialią energiją. Kūno potenciali energija, susijusi su atskaitos sistemos nuliniu lygiu, laikoma nuliu, o kitų padėčių energija matuojama nulinio lygio atžvilgiu.

Pagal (8) galios funkciją. Todėl jėgos projekcijos į Dekarto ašis, pagal (6), nes,

ir jėgos vektorius.

Pažvelkime į keletą galimų sričių.

1) Gravitacijos laukas.

Netoli Žemės paviršiaus gravitacijos jėga visuose taškuose yra vienoda, yra lygus kūno svoriui. Tai reiškia, kad šis jėgos laukas yra vienalytis. Kadangi taškui judant horizontalioje plokštumoje jėgos atliktas darbas lygus nuliui, tai ekvipotencialūs paviršiai bus horizontalios plokštumos (9 pav.), o jų lygtys:u = z = C.

9 pav

Jei plokštumai priskiriamas nulinis paviršius xOy , tada padėtyje esančio taško potencinė energija M bus lygus gravitacijos darbui:

W P = A = Ph= mgh.

tai kūno, pakelto virš Žemės į aukštį, energijah.

Kadangi kilmė pasirenkama savavališkai, tadamatyti, kad tam tikros galios variklis P paprastai gali turėti neigiamas reikšmes (pvz.matyti, kad tam tikros galios variklis P veleno apačioje).

2) Elastinis jėgos laukas.

Kai deformuojamas elastingas kūnas, pavyzdžiui, spyruoklė, atsiranda jėga. Tai yra, šalia šio kūno atsiranda jėgos laukas, kurio jėgos yra proporcingos kūno deformacijai ir nukreiptos į nedeformuotą būseną. Prie pavasario – iki taško M 0, kur yra nedeformuotos spyruoklės galas (10 pav.).

10 pav

Jei perkeliate spyruoklės galą taip, kad jo ilgis nesikeistų, tada darbas atliekamas elastingumo jėgabus lygus nuliui. Tai reiškia, kad ekvipotencialūs paviršiai yra sferiniai paviršiai, kurių centras yra taške O.

Per tašką einančiai sferai priskirkime nulinį paviršių M 0, iki nedeformuotos spyruoklės galo. Tada spyruoklės potenciali energija padėtyje M: matyti, kad tam tikros galios variklis P = A = 0,5 kx 2 .

Pasirinkus nulinį paviršių, potenciali energija visada bus teigiama (matyti, kad tam tikros galios variklis P > 0), tiek ištemptoje, tiek suspaustoje būsenoje.

Bendra sistemos mechaninė energija lygi mechaninio judėjimo energijai ir sąveikos energijai:

Bendra kūno mechaninė energija, kai jis juda bet kokia trajektorija potencialiame lauke, išlieka pastovi.

1 pavyzdys.Masinis automobilisMgreičiu juda tiesiai horizontaliu keliuv. Riedėjimo trinties koeficientas tarp automobilio ratų ir kelio yra lygusfk , rato spindulys – juda spindulio apskritimu, aerodinaminio oro pasipriešinimo jėga yra proporcinga greičio kvadratui:, kur μ – koeficientas, priklausantis nuo automobilio formos. Nustatykite variklio galią, perduodamą į varomųjų ratų ašis, esant pastoviai būsenai.

Sprendimas.

Pagal kinetinės energijos kitimo teoremą turėsime

yra dydis, kuris lemia jėgos atliktą darbą per laiko vienetą. Jei darbas atliekamas vienodai, tada galia - elementarus varomosios jėgos darbas,- elementarus pasipriešinimo judėjimui jėgų darbas. Pastovios būsenos greitisvautomobilio yra pastovus, todėl jo kinetinė energija nekinta, t.y.dT =0. Tai reiškia, kad. Išplėskime gautos lygybės dešinę pusę:

Čia dS – pagrindinis automobilio judėjimas. Tada variklio perduodama galia varomųjų ratų ašims bus lygi

Taigi, važiuojant pastoviu greičiu horizontaliu keliu, automobilio variklis išvysto pastovią galią; Atitinkamai, degalai bake sunaudojami tolygiai.

2 pavyzdys.Plieninis rutulys nukrito iš aukščioH = 15 m be pradinio greičio. Raskite rutulio greitįbus didesnis, tuo mažesnis judėjimo greitistą akimirką, kai jis atsitrenkia į žemę. Nepaisykite oro pasipriešinimo.

Sprendimas.

Kamuoliuką veikia tik gravitacija, kuri yra potencialas ir jo potencialas aiškiai nepriklauso nuo laiko. Todėl pagal (10) bendra rutulio mechaninė energija jo judėjimo metu bus pastovi

Kadangi pradiniu laiko momentu rutulys buvo ramybėje ir turėjo tik potencialią energiją, tai tuo momentu, kai jis atsitrenkia į žemę, visa jo pradinė potenciali energija virsta kinetine energija.

Iš to išplaukiaŠios problemos sprendimo rezultatas suteikia mums teisę teigti, kad kūnų laisvojo kritimo greitis nepriklauso nuo jų masės.

Pavyzdys3 . Apsvarstykite laisvą akmens su mase kritimąIš (3) formulės seka jėgų poros darbo nustatymo taisyklė. Jei pora turi akimirką, įmestas į Žemės gravitacinį lauką iš taško 1 į tašką 2 (11 pav.).

11 pav

Elementarus darbas, atliekamas gravitacijos judant akmenį, yra lygus:

Visas darbas 1–2 skyriuje yra kaip

yra dydis, kuris lemia jėgos atliktą darbą per laiko vienetą. Jei darbas atliekamas vienodai, tada galia F gr = mg– gravitacija; tada gauname:

Iš paskutinės išraiškos aišku, kad darbą lemia tik pradinės ir padėties pabaigos taškai kūno trajektorijos.

Pavyzdys4 . Raskime tampriai deformuoto kūno (spyruoklės) potencinę energiją. Yra žinoma, kad tamprumo jėga yra proporcinga deformacijaix:

yra dydis, kuris lemia jėgos atliktą darbą per laiko vienetą. Jei darbas atliekamas vienodai, tada galia k– elastingumo koeficientas;x– deformacijos vertė; (–) ženklas tai rodo F kontroliuoti nukreipta priešinga deformacijai kryptimi.

Norint įveikti elastinę jėgą, reikia taikyti tokią jėgą:

Elementarus darbas yra darbas, atliekamas esant be galo mažai deformacijai:

Visą darbą galima rasti kaip

Šiame pavyzdyje siekiama padidinti potencialią spyruoklės energiją. Jei pasx = 0 W ant = 0, tada c = 0. Tampriai deformuoto kūno potencinė energija lygi

Pavyzdys5 . Medžiagos taškas su maseIš (3) formulės seka jėgų poros darbo nustatymo taisyklė. Jei pora turi akimirką juda išilgai ašies APIE X potencialiame jėgos lauke, kurio energija priklauso nuo koordinatėsxįstatyme: matyti, kad tam tikros galios variklis p = - α x 4, kur α - teigiama konstanta. Raskite taško pagreičio priklausomybę nuo koordinatėsx.

Sprendimas.Naudojant jėgos ir potencialios energijos ryšį:

raskime jėgos priklausomybę nuo koordinatėsx:

Naudodami antrąjį Niutono dėsnį, gauname pagreičio išraišką:

Jei potencinės energijos priklausomybė nuo sukimosi kampo sukimosi judesio metu nurodoma analitiškai arba grafiškai, tai naudojant ryšį, galite išreikšti jėgos momentą, taip pat rasti kampinį pagreitį

Pavyzdys6 . Automobilio svoris Iš (3) formulės seka jėgų poros darbo nustatymo taisyklė. Jei pora turi akimirką= 20 t, juda vienodai lėtai su pradiniu greičiuv 0 = 54 km/h, veikiamas trinties Fmp = 6 kN po kurio laiko sustoja. Susirask darbąA trinties jėgos ir atstumasS, kurį automobilis pravažiuos prieš sustodamas.

Sprendimas.

1) Darbas pagal trajektorijos tipą (kelio formą) ir lemia tik pradinė ir galutinė kūno padėtis (3.1 pav.):, kurią atlieka gaunama jėga, galima apibrėžti kaip materialaus taško kinetinės energijos pokyčio matą:

kur W k = mv 2 /2=0.

Taigi A =- sav 0 ;

laikas, per kurį buvo atliktas darbas=-2,25 MJ

2) Atstumas

Atsakymas: Trinties jėgų atliktas darbas lygus -2,25 MJ, atstumas, kurį automobilis nuvažiuos iki stotelės – 375 m.

Pavyzdys 7 . Paveikslėlyje parodyta projekcijos priklausomybėF xjėga, veikianti materialųjį tašką iš x koordinatės. Nustatykite darbą, atliktą perkeliant tašką 5 m atstumu.

12 pav

Sprendimas. Pagal sąlygą jėga priklauso nuo koordinatėsx. Kintamos jėgos darbas srityje nuox 1 įx 2 lygus

Geometriškai integralas gali būti interpretuojamas kaip figūros plotas, apribotas atitinkama grafiko atkarpa, ašies segmentu.xo statmenys nukrito iš grafiko galinių taškų į x ašį. Pirmoje grafiko dalyje – jėgos projekcijaF xneigiamas ir darbas taip pat yra neigiamas. Skaitmeniškai jis lygus trikampio plotui. Antroje ir trečioje dalyseF x> 0, darbas šiose srityse yra teigiamas ir apskaičiuojamas kaip atitinkami stačiakampio ir trikampio plotai. Dėl to turime:

A = -(1∙ 2)/2 + 1 ∙ 2 + (1 ∙ 1) ∙ 2 = 1,5 J.

Jeigu pateikta jėgos momento priklausomybė nuo kampinės koordinatėsφ , tada darbas apskaičiuojamas pagal panašią formulę analitiškai arba grafiškai.

Pavyzdys 8 . Prie disko ratlankio su masem = taikoma 5 kg tangentinė jėgaF = 19,6 N. Kokia kinetinė energijaW Į po kurio laiko turės diskąt = 5 cpo jėgos pradžios?

Sprendimas.

1) - disko kinetinė energija;

2) ω = ε t- kampinis greitis;

3)

4) disko inercijos momentas ;

6) Pakeitę duomenis, gauname:

Atsakymas: Kinetinė energija, po 5 s. po jėgos pradžios bus lygi 1,9 kJ.

Taško kinetinės energijos kitimo teorema.

Apsvarstykite tašką su mase T, juda veikiamas jai iš padėties veikiančių jėgų M 0, kur jis turi greitį , į poziciją M 1 , kur jo greitis yra lygus .

Norėdami gauti reikiamą priklausomybę, pereikime prie lygtis išreiškiantis pagrindinį dinamikos dėsnį. Abiejų šios lygybės pusių projektavimas į liestinę iki taško trajektorijos Tegul taškas nukreipti judėjimo kryptimi, gauname:

Tangentinio pagreičio reikšmė kairėje gali būti pavaizduota kaip

Dėl to turėsime:

Abi šios lygybės puses padauginus išds , mes prisidėsime T po diferencialiniu ženklu. Tada tai pastebėjęs yra dydis, kuris lemia jėgos atliktą darbą per laiko vienetą. Jei darbas atliekamas vienodai, tada galia - elementarus jėgos darbasFk gauname teoremos apie kinetinės energijos kitimą diferencine forma išraišką:

Dabar integravus abi šios lygybės puses per ribas, atitinkančias kintamųjų reikšmes taškuoseM 0 IrM 1 , pagaliau randame:

Lygtis išreiškia teoremą apie taško kinetinės energijos pasikeitimą galutinėje formoje: taško kinetinės energijos pokytis tam tikro judėjimo metu yra lygus visų jėgų, veikiančių tašką tuo pačiu judesiu, darbo algebrinei sumai.

Pavyzdys 9 . Pagal greičio ir laiko grafiką v (t) nustatyti, ar jėgos, veikiančios materialųjį tašką, darbas laiko intervale nuo 0 įτ teigiamas, neigiamas, lygus nuliui (13 pav.). Atminkite, kad AO = OB.

13 pav

Sprendimas. Jėgos, veikiančios dalelę, darbas yra lygus dalelės kinetinės energijos prieaugiui.

Materialaus taško kinetinė energija yra susijusi su greičiu pagal ryšį Kadangi dalelės greitis tam tikru momentut=0 irt= τ pagal uždavinio sąlygas yra vienodos reikšmės (grafike AO = OB), tai kinetinės energijos šiose būsenose yra vienodos, t.y. Todėl per nurodytą laikotarpį veikiamos jėgos atliktas darbas yra lygus nuliui.

Pavyzdys 10 . Taškas juda išilgai ašiesJautisveikiant jėgai, nukreiptai išilgai ašiesx(14 pav.). Palyginkite taško kinetinės energijos vertes pradinėje ir galutinėje būsenose tais atvejais, kai jėgos projekcija koordinačių ašyje pasikeičia pagal grafikus „a“ ir „b“ ?

14 pav

Sprendimas. Pagal teoremą dalelės kinetinės energijos prieaugis yra lygus dalelę veikiančios jėgos atliekamam darbui.

Kintamos jėgos darbą lemia santykis Atsižvelgiant į integralo geometrinę reikšmę (kreivinės trapecijos plotą), nesunku pastebėti, kad „a“ atveju darbas lygus nuliui, o pradinės ir galutinės būsenos kinetinės energijos sutampa. „b“ atveju darbas yra teigiamas, o galutinės būsenos kinetinė energija yra didesnė už pradinę.

Pavyzdys 11 . Du diskai su vienodos masės, įjungta skirtingi dydžiai (R laikas, per kurį buvo atliktas darbas = 2 R B ) sukasi tokiais pat kampiniais greičiais. Raskite ryšį tarp atliktų darbų.

Sprendimas. Disko sukimosi darbas lygus kinetinės energijos prieaugiui, t.y.laikas, per kurį buvo atliktas darbas= ∆ sav. Kiekvieno disko pradinė kinetinė energija yra lygi nuliui, galutinė yra susieta su kampiniu greičiu pagal formulę

Atsižvelgiant į tai, kad kieto vienalyčio disko inercijos momentas lygus z , kurią galima patikrinti projektuojant abi lygybės pusesprie šios ašies. Momento teoremos apie ašį matematinė išraiška pateikiama formule.

Savęs patikrinimo klausimai

– Kokie yra du mechaninio judesio matai ir juos atitinkantys jėgos matuokliai?

– Kokios jėgos vadinamos varomosiomis jėgomis?

– Kokios jėgos vadinamos pasipriešinimo jėgomis?

- Užsirašykite formules, pagal kurias nustatomas darbas atliekant slenkamuosius ir sukamuosius judesius?

– Kokia yra apskritimo jėga? Kas yra sukimo momentas?

- Suformuluokite teoremą apie gautą darbą.

- Kaip tiesinio judėjimo metu nustatomas pastovios jėgos darbas pagal dydį ir kryptį?

- Kokį darbą atlieka slydimo trinties jėga, jei šios jėgos dydis ir kryptis yra pastovūs?

- Ką paprastu būdu Ar įmanoma apskaičiuoti darbą, kurio jėgos dydis ir kryptis yra pastovūs kreivinio judėjimo metu?

– Kokį darbą atlieka rezultatyvioji jėga?

- Kaip išreikšti elementarų jėgos darbą per jėgos taikymo taško elementarųjį kelią ir kaip - per šio taško lanko koordinatės prieaugį?

– Kokia yra elementaraus darbo vektorinė išraiška?

- Kokia yra elementaraus jėgos darbo per jėgos projekciją koordinačių ašyse išraiška?

- Rašyk įvairių tipų kreivinis integralas, nustatantis kintamos jėgos darbą baigtiniame kreiviniame poslinkyje.

– Iš ko jis susideda? grafinis metodas nustatant kintamos jėgos darbą kreiviniam judėjimui?

– Kaip apskaičiuojamas gravitacijos ir tamprumo jėgos darbas?

- Kokiuose poslinkiuose gravitacijos darbas yra: a) teigiamas, b) neigiamas, c) lygus nuliui.

– Kokiu atveju tamprumo jėgos darbas yra teigiamas, o kokiu – neigiamas?

- Kokia jėga vadinama: a) konservatyvioji; b) nekonservatyvus; c) išsklaidymo?

– Kas vadinamas konservatyvių jėgų potencialu?

– Kokia sritis vadinama potencialu?

– Kas vadinama galios funkcija?

– Kas vadinama jėgos lauku? Pateikite jėgos laukų pavyzdžių.

– Kokie matematiniai ryšiai susiję tarp lauko potencialo ir jėgos funkcijos?

- Kaip nustatyti elementarų potencialaus lauko jėgų darbą ir šių jėgų darbą galutiniam sistemos poslinkiui, jei žinoma lauko jėgos funkcija?

– Kokį darbą atlieka jėgos, veikiančios sistemos taškus potencialiame lauke esant uždaram poslinkiui?

– Kokia yra sistemos potenciali energija bet kurioje padėtyje?

– Koks mechaninės sistemos potencinės energijos pokytis jai pereinant iš vienos padėties į kitą?

- Koks ryšys egzistuoja tarp potencialaus lauko jėgos funkcijos ir šiame lauke esančios sistemos potencialios energijos?

- Apskaičiuokite 20 kg sveriančio taško kinetinės energijos pokytį, jei jo greitis padidėtų nuo 10 iki 20 m/s?

- Kaip nustatomos jėgos, veikiančios potencialų lauką bet kuriame sistemos taške, projekcijos į koordinačių ašis?

– Kokie paviršiai vadinami ekvipotencialiais ir kokios jų lygtys?

- Kaip jėga, veikianti materialųjį potencialo lauko tašką, nukreipta per šį tašką einančio ekvipotencialaus paviršiaus atžvilgiu?

– Kokia yra materialaus taško ir mechaninės sistemos potencinė energija veikiant gravitacijai?

- Kokio tipo gravitacijos lauko ekvipotencialūs paviršiai ir Niutono gravitacija?

– Koks yra mechaninės energijos tvermės ir virsmo dėsnis?

– Kodėl materialus taškas apibūdina plokščią kreivę, veikiant centrinei jėgai?

– Kas vadinamas sektoriaus greičiu ir kaip jo dydį išreikšti poliarinėmis koordinatėmis?

– Kas yra plotų dėsnis?

- Kokio tipo jis turi? diferencialinė lygtis formoje Binet, apibrėžiantis taško, judančio veikiant centrinei jėgai, trajektoriją?

– Kokia formule nustatomas modulis? Niutono gravitacija?

- Kokia yra kūgio pjūvio lygties kanoninė forma ir kokiomis ekscentriškumo reikšmėmis yra kūno, judančio lauke, trajektorija Niutono gravitacinė jėga, ar tai apskritimas, elipsė, parabolė, hiperbolė?

- Suformuluokite Keplerio atrastus planetų judėjimo dėsnius.

– Kokiomis pradinėmis sąlygomis kūnas tampa Žemės palydovu ir kokiomis sąlygomis jis sugeba įveikti gravitaciją?

– Koks pirmasis ir antrasis pabėgimo greitis?

- Užsirašykite darbo skaičiavimo formules atliekant slenkamuosius ir sukamuosius judesius?

- 1000 kg sveriantis automobilis horizontalia trasa judinamas 5 m, trinties koeficientas 0,15. Nustatyti gravitacijos atliekamą darbą?

- Užsirašykite slenkamųjų ir sukamųjų judesių galios skaičiavimo formules?

- Nustatyti galią, reikalingą 0,5 kN sveriančiam kroviniui pakelti į 10 m aukštį per 1 minutę?

- Kokį darbą atlieka jėga, veikiama tiesiai judančio 100 kg sveriančio kūno, jei kūno greitis padidėja nuo 5 iki 25 m/s?

- Nustatykite bendrą mechanizmo efektyvumą, jei, kai variklio galia 12,5 kW ir bendra pasipriešinimo judėjimui jėga 2 kN, judėjimo greitis yra 5 m/s.

– Jei automobilis važiuoja į kalną su tokia pačia variklio galia, jis sumažina greitį. Kodėl?

- Pastovios jėgos darbas tiesinio judėjimo metu W=10 J. Kokį kampą sudaro jėgos kryptis su poslinkio kryptimi?

1) smailusis kampas;

2) stačiu kampu;

3) bukas kampas.

- Kaip pasikeis tiesia linija judančio taško kinetinė energija, jei jo greitis padvigubės?

1) padvigubės;

2) padidės keturis kartus.

– Kokį darbą atlieka gravitacija horizontaliai judant kūną?

1) sunkio jėgos ir poslinkio sandauga;

2) gravitacijos atliktas darbas lygus nuliui.

- Mechaninės energijos tvermės dėsnis tenkinamas, jei

1) visų vidinių jėgų suma lygi nuliui;

2) visų greičių suma lygi nuliui;

3) visų suma išorinės jėgos;

4) visų išorinių jėgų momentų suma lygi nuliui;

5) veikiant konservatyvioms jėgoms.

– Darbas mechanikoje prilygsta

1)

1 ) jėgos, kurių darbas nepriklauso nuo tako formos;

2 ) jėgos, kurių darbas priklauso nuo tako formos;

3 ) trinties jėgos;

4 ) gravitacija;

5 ) elektrostatinės jėgos.

- Kokį darbą atlieka gaunama jėga:

1 ) kūno kinetinės energijos pokytis;

2 ) kinetinė energija

Apibrėžimas

Tuo atveju, jei, veikiant jėgai, pasikeičia kūno judėjimo greičio modulis, jie sako, kad jėga daro dirbti. Manoma, kad jei greitis didėja, tai darbas yra teigiamas, jei greitis mažėja, tai jėgos atliekamas darbas yra neigiamas. Materialaus taško kinetinės energijos pokytis jam judant tarp dviejų padėčių yra lygus jėgos atliekamam darbui:

Jėgos veikimą materialiame taške galima apibūdinti ne tik keičiant kūno judėjimo greitį, bet ir pagal judesio kiekį, kurį atitinkamas kūnas atlieka veikiamas jėgos ().

Elementarus darbas

Elementarus tam tikros jėgos darbas apibrėžiamas kaip skaliarinė sandauga:

Spindulys yra taško, kuriam taikoma jėga, vektorius, yra elementarus taško poslinkis išilgai trajektorijos, yra kampas tarp vektorių ir . Jei buku kampu darbas yra mažesnis už nulį, jei kampas smailus, tada darbas yra teigiamas, esant

Dekarto koordinatėse formulė (2) yra tokia:

kur F x , F y , F z – vektoriaus projekcijos į Dekarto ašis.

Svarstydami jėgos, veikiančios materialųjį tašką, darbą, galite naudoti formulę:

kur yra materialaus taško greitis, yra materialaus taško impulsas.

Jei kūną (mechaninę sistemą) vienu metu veikia kelios jėgos, tada elementarus darbas, kurį šios jėgos atlieka sistemoje, yra lygus:

kur atliekamas visų jėgų elementarių darbų sumavimas, dt yra mažas laiko tarpas, per kurį sistemoje atliekamas elementarus darbas.

Vidinių jėgų atliktas darbas, net jei standus kūnas juda, yra lygus nuliui.

Tegul standus kūnas sukasi aplink fiksuotą tašką – pradinę vietą (arba fiksuotą ašį, kuri eina per šį tašką). Šiuo atveju visų kūną veikiančių išorinių jėgų (tarkime, kad jų skaičius yra n) elementarus darbas yra lygus:

kur yra gautas sukimo momentas, palyginti su sukimosi tašku, yra elementariojo sukimosi vektorius ir yra momentinis kampinis greitis.

Darbas, atliktas jėga paskutinėje trajektorijos atkarpoje

Jei jėga judina kūną paskutinėje jo trajektorijos atkarpoje, tada darbą galima rasti taip:

Jei jėgos vektorius yra pastovi reikšmė visame judėjimo segmente, tada:

kur yra jėgos projekcija į trajektorijos liestinę.

Darbo vienetai

Pagrindinis sukimo momento matavimo vienetas SI sistemoje yra: [A]=J=N m

GHS: [A]=erg=dyne cm

1J=10 7 erg

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pavyzdys

Pratimai. Materialusis taškas juda tiesia linija (1 pav.), veikiamas jėgos, kuri pateikiama pagal lygtį: . Jėga nukreipta išilgai materialaus taško judėjimo.

Sprendimas. Kokį darbą ši jėga atlieka kelio atkarpoje nuo s=0 iki s=s 0?

Norėdami išspręsti problemą, mes paimsime formulę, skirtą šios formos darbo apskaičiavimui:

kur , kad kaip pagal problemos sąlygas. Sąlygomis pateiktą jėgos modulį pakeiskime išraiška, imkime integralą:

Pavyzdys

Pratimai. Atsakymas.

Materialus taškas juda aplink apskritimą. Jo greitis keičiasi pagal posakį: . Šiuo atveju tašką veikiančios jėgos darbas proporcingas laikui: . Kokia yra n reikšmė? Fizikoje sąvoka „darbas“ turi kitokį apibrėžimą nei vartojama kasdienybė . Tiksliau sakant, terminas „darbas“ vartojamas, kai fizinė jėga sukelia objekto judėjimą. Apskritai, jei dėl stiprios jėgos objektas nukeliauja labai toli, tada daroma daug darbo. O jei jėga maža arba objektas labai toli nejuda, tuomet dirbama tik nedaug. Jėga gali būti apskaičiuojama pagal formulę: Darbas = F × D × kosinusas (θ)

, kur F = jėga (niutonais), D = poslinkis (metrais) ir θ = kampas tarp jėgos vektoriaus ir judėjimo krypties.

Žingsniai

1 dalis

1. Darbo vertės radimas vienoje dimensijoje Raskite jėgos vektoriaus kryptį ir judėjimo kryptį. Norėdami pradėti, pirmiausia svarbu nustatyti, kuria kryptimi juda objektas, taip pat kur veikia jėga. Nepamirškite, kad objektai ne visada juda pagal jiems taikomą jėgą – pavyzdžiui, jei traukiate nedidelį vežimėlį už rankenos, taikysite įstrižainę jėgą (jei esate aukštesnis už vežimėlį), kad judėtumėte į priekį. . Tačiau šiame skyriuje nagrinėsime situacijas, kuriose objekto jėga (pastangos) ir judėjimas turėti ta pati kryptis. Norėdami gauti informacijos apie tai, kaip susirasti darbą, kai šie elementai Ne

   • turi tą pačią kryptį, skaitykite toliau. Kad šis procesas būtų lengvai suprantamas, panagrinėkime problemos pavyzdį. Tarkime, žaislinį vežimą tiesiai į priekį traukia priešais važiuojantis traukinys. Šiuo atveju jėgos vektorius ir traukinio judėjimo kryptis nurodo tą patį kelią - pirmyn

2. . Tolesniuose žingsniuose šią informaciją naudosime, kad padėtume surasti objekto atliekamus darbus. Pirmąjį kintamąjį D arba poslinkį, kurio mums reikia darbo formulei, paprastai rasti lengva. Poslinkis yra tiesiog atstumas, kurį jėga paskatino objektą pajudėti iš pradinės padėties. Švietimo problemose ši informacija paprastai pateikiama (žinoma) arba gali būti numanoma (rasta) iš kitos problemos informacijos. IN tikras gyvenimas Viskas, ką jums reikia padaryti, norint rasti poslinkį, yra išmatuoti atstumą, kurį objektai juda.

   • Atkreipkite dėmesį, kad atstumo vienetai formulėje turi būti metrais, norint apskaičiuoti darbą.
   • Žaislinio traukinio pavyzdyje, tarkime, randame darbą, kurį atliko traukinys važiuojant bėgiu. Jei jis prasideda tam tikrame taške ir sustoja maždaug 2 metrų atstumu palei trasą, tada galime naudoti 2 metrai mūsų „D“ vertei formulėje.

3. Raskite objektą veikiančią jėgą. Tada suraskite jėgos kiekį, naudojamą objektui perkelti. Tai yra jėgos „jėgos“ matas – kuo didesnis jos dydis, tuo labiau jis stumia objektą ir tuo greičiau įsibėgėja. Jei jėgos dydis nenurodytas, jį galima išvesti iš poslinkio masės ir pagreičio (darant prielaidą, kad jai neveikia kitos prieštaringos jėgos), naudojant formulę F = M × A.

   • Atkreipkite dėmesį, kad jėgos vienetai turi būti niutonais, norint apskaičiuoti darbo formulę.
   • Mūsų pavyzdyje tarkime, kad mes nežinome jėgos dydžio. Tačiau tarkime, kad mes žinome kad žaislinio traukinio masė yra 0,5 kg ir kad jėga verčia jį įsibėgėti 0,7 metro per sekundę greičiu 2 . Šiuo atveju reikšmę galime rasti padauginę iš M × A = 0,5 × 0,7 = 0,35 Niutonas.

4. Padauginkite jėgą x atstumą. Kai žinote objektą veikiančios jėgos dydį ir atstumą, kuriuo jis buvo perkeltas, visa kita bus lengva. Tiesiog padauginkite šias dvi reikšmes viena iš kitos, kad gautumėte darbo vertę.

   • Atėjo laikas išspręsti mūsų pavyzdinę problemą. Atsižvelgiant į 0,35 niutono jėgos vertę ir 2 metrų poslinkio vertę, mūsų atsakymas yra paprastas daugybos dalykas: 0,35 × 2 = 0,7 džaulio.
   • Galbūt pastebėjote, kad įžangoje pateiktoje formulėje yra papildoma formulės dalis: kosinusas (θ). Kaip aptarta aukščiau, šiame pavyzdyje jėga ir judėjimo kryptis taikomos ta pačia kryptimi. Tai reiškia, kad kampas tarp jų yra 0 o. Kadangi kosinusas(0) = 1, jo įtraukti nereikia – tiesiog padauginame iš 1.

5. Išreikškite savo atsakymą džauliais. Fizikoje darbo vertės (ir keletas kitų dydžių) beveik visada pateikiamos vienetu, vadinamu Džauliu. Vienas džaulis apibrėžiamas kaip 1 niutonas vienam metrui taikomos jėgos arba, kitaip tariant, 1 niutonas × metras. Tai logiška – kadangi atstumą dauginate iš jėgos, prasminga, kad gautas atsakymas turės matavimo vienetą, lygų jūsų jėgos dydžio vienetui, padaugintam iš atstumo.

   2 dalis

   Darbo skaičiavimas naudojant kampinę jėgą

   1. Raskite jėgą ir poslinkį kaip įprasta. Aukščiau nagrinėjome problemą, kai objektas juda ta pačia kryptimi, kaip ir jam taikoma jėga. Realybėje taip būna ne visada. Tais atvejais, kai objekto jėga ir judėjimas yra dviem skirtingomis kryptimis, norint gauti tikslų rezultatą, į lygtį taip pat turi būti įtrauktas skirtumas tarp dviejų krypčių. Pirmiausia suraskite objekto jėgos ir poslinkio dydį, kaip tai darytumėte įprastai.

      • Pažvelkime į kitą problemos pavyzdį. Tarkime, kad šiuo atveju žaislinį traukinį traukiame į priekį, kaip aprašyta aukščiau pateiktoje problemos pavyzdyje, tačiau šį kartą iš tikrųjų traukiame aukštyn įstrižainiu kampu. Į tai atsižvelgsime kitame žingsnyje, bet kol kas laikysimės pagrindinių dalykų: traukinio judėjimo ir jį veikiančios jėgos. Mūsų tikslams, tarkime, jėga turi didumą 10 Niutonas ir kad jis vairavo tą patį 2 metrai pirmyn kaip ir anksčiau.

   2. Raskite kampą tarp jėgos vektoriaus ir poslinkio. Skirtingai nuo aukščiau pateiktų pavyzdžių, kai jėga yra kita nei objekto judėjimo kryptis, reikia rasti skirtumą tarp dviejų krypčių pagal kampą tarp jų. Jei ši informacija jums nepateikta, gali tekti patiems išmatuoti kampą arba padaryti išvadą iš kitos problemos informacijos.

      • Mūsų užduoties pavyzdyje tarkime, kad veikiama jėga yra maždaug 60 o virš horizontalios plokštumos. Jei traukinys vis dar juda tiesiai (ty horizontaliai), tada kampas tarp jėgos vektoriaus ir traukinio judėjimo bus 60 o.

   3. Padauginkite jėgą × atstumą × kosinusą (θ). Kai žinote objekto poslinkį, jį veikiančios jėgos dydį ir kampą tarp jėgos vektoriaus ir jo judėjimo, sprendimas yra beveik toks pat paprastas, kaip neatsižvelgiant į kampą. Tiesiog paimkite kampo kosinusą (tam jums gali prireikti mokslinio skaičiuotuvo) ir padauginkite jį iš jėgos ir poslinkio, kad rastumėte atsakymą į savo problemą džauliais.

      • Išspręskime savo problemos pavyzdį. Naudodami skaičiuotuvą nustatome, kad 60 o kosinusas yra lygus 1/2. Įtraukę tai į formulę, problemą galime išspręsti taip: 10 niutonų × 2 metrų × 1/2 = 10 džaulių.

   3 dalis

   Darbo vertės naudojimas

   1. Pakeiskite formulę, kad rastumėte atstumą, jėgą arba kampą. Aukščiau pateikta darbo formulė nėra Tiesiog naudinga ieškant darbo – taip pat naudinga ieškant bet kokių kintamųjų lygtyje, kai jau žinote darbo vertę. Tokiais atvejais tiesiog išskirkite ieškomą kintamąjį ir išspręskite lygtį pagal pagrindines algebros taisykles.

      • Pavyzdžiui, tarkime, kad žinome, kad mūsų traukinys traukiamas 20 niutonų jėga įstrižainės kampu virš 5 metrų bėgių kelio, kad atliktų 86,6 džaulių darbo. Tačiau mes nežinome jėgos vektoriaus kampo. Norėdami rasti kampą, tiesiog išskiriame šį kintamąjį ir išsprendžiame lygtį taip: 86,6 = 20 × 5 × kosinusas (θ) 86,6/100 = kosinusas (θ) Arccos (0,866) = θ = 30 val

   2. Padalinkite iš laiko, praleisto judant, kad rastumėte galią. Fizikoje darbas yra glaudžiai susijęs su kitu matavimo tipu, vadinamu galia. Galia yra tiesiog būdas apibrėžti greitį, kuriuo tam tikroje sistemoje atliekamas darbas ilgą laiką. Taigi, norint rasti galios, tereikia padalyti objekto perkėlimui skirtą darbą iš laiko, kurio reikia perkėlimui atlikti. Galios matavimai išreiškiami W vienetais (kas yra lygus džauliui/sekundei).

      • Pavyzdžiui, pavyzdinei problemai aukščiau pateiktame žingsnyje tarkime, kad traukiniui pajudėti 5 metrus prireikė 12 sekundžių. Tokiu atveju tereikia padalyti atliktą darbą 5 metrus (86,6 J) iš 12 sekundžių, kad rastumėte atsakymą, kaip apskaičiuoti galią: 86,6/12 = " 7,22 W.

   3. Norėdami rasti sistemos mechaninę energiją, naudokite formulę TME i + W nc = TME f. Darbas taip pat gali būti naudojamas sistemoje esančios energijos kiekiui nustatyti. Aukščiau pateiktoje formulėje TME i = pradinė bendroji mechaninė energija TME sistemoje f = galutinis bendra mechaninė energija sistemoje ir W nc = darbas, atliktas ryšių sistemose dėl nekonservatyvių jėgų. . Šioje formulėje, jei jėga veikia judėjimo kryptimi, tada ji yra teigiama, o jei ji spaudžia (prieš) – neigiama. Atkreipkite dėmesį, kad abu energijos kintamuosius galima rasti naudojant formulę (½)mv 2, kur m = masė ir V = tūris.

      • Pavyzdžiui, atliekant du veiksmus aukščiau pateiktos pavyzdinės problemos atveju, tarkime, kad traukinio bendra mechaninė energija iš pradžių buvo 100 J. Kadangi problemos jėga traukia traukinį ta kryptimi, kuria jis jau važiavo, tai teigiama. Šiuo atveju galutinė traukinio energija yra TME i + W nc = 100 + 86,6 = 186,6 J.
      • Atkreipkite dėmesį, kad nekonservatyvios jėgos yra jėgos, kurių galia paveikti objekto pagreitį priklauso nuo objekto nuvažiuojamo kelio. Trintis yra geras pavyzdys- objektas, stumiamas trumpu, tiesiu keliu, trinties poveikį pajus trumpai, o objektas, stumiamas ilgu, vingiuotu keliu į tą pačią galutinę vietą, bendrai jaus didesnę trintį.
   • Jei pavyksta išspręsti problemą, šypsokis ir džiaukis savimi!
   • Praktikuokite spręsdami kuo daugiau problemų, kad užtikrintumėte visišką supratimą.
   • Tęskite pratimus ir bandykite dar kartą, jei nepavyks iš pirmo karto.
   • Naršyti sekančius punktus susiję su darbu:
     • Jėgos atliktas darbas gali būti teigiamas arba neigiamas. (Šia prasme terminai „teigiamas arba neigiamas“ turi matematinę, bet įprastą reikšmę).
     • Atliktas darbas yra neigiamas, kai jėga veikia priešinga poslinkiui kryptimi.
     • Atliktas darbas yra teigiamas, kai jėga nukreipta poslinkio kryptimi.