Nagrinėsime įprastą pirmosios eilės diferencialinę lygtį (ODE).
su pradine būkle
y(x 0) = y 0, (2)
kur f(x) yra tam tikra duota, bendruoju atveju, netiesinė dviejų kintamųjų funkcija. Darysime prielaidą, kad šiai problemai (1)-(2), vadinamai pradine problema arba Koši problema, tenkinami reikalavimai, užtikrinantys jos sprendimo y=y(x) egzistavimą ir unikalumą intervale [x 0 , b].
Nepaisant akivaizdaus (1) lygties paprastumo, išspręskite ją analitiškai, t.y. Galima rasti bendrą sprendinį y = y (x, C), kad iš jo būtų atskirta integralinė kreivė y = y (x), einanti per tam tikrą tašką (x 0 ; y 0), tik kai kurių specialių tipų tokias lygtis. Todėl, kaip ir susijusioje (1)-(2) integralų skaičiavimo užduotyje, turime pasikliauti apytiksliais ODE pradinių problemų sprendimo metodais, kuriuos galima suskirstyti į tris grupes:
1) apytiksliai analizės metodai;
2) grafiniai arba mašininės grafikos metodai;
3)skaitiniai metodai.
Pirmosios grupės metodai apima tuos, kurie leidžia iš karto rasti y(x) sprendinio aproksimaciją kokios nors „geros“ funkcijos pavidalu. φ (X). Pavyzdžiui, jis yra plačiai žinomas galios serijos metodas, kurio vienas iš įgyvendinimų apima norimos funkcijos y(x) atvaizdavimą Teiloro eilutės segmentu, kur Teiloro koeficientai, kuriuose yra aukštesnės eilės išvestinių, randami nuosekliai diferencijuojant pačią (1) lygtį. Kitas šios metodų grupės atstovas yra nuoseklių aproksimacijų metodas, kurio esmė pateikiama žemiau.
Vardas grafiniai metodai kalba apie apytikslį norimo sprendinio y(x) atvaizdavimą intervale grafiko pavidalu, kuris gali būti sudarytas pagal tam tikras taisykles, susijusias su grafiniu tam tikros problemos aiškinimu. Tam tikrų tipų lygčių pradinių problemų fizinė arba, galbūt, elektrinė interpretacija yra apytikslių sprendimų mašininių grafinių metodų pagrindas. Diegiant nurodytus elektrinius procesus fiziniu ir techniniu lygmeniu, tirpalų elgsena stebima osciloskopo ekrane diferencialines lygtis, aprašantys šiuos procesus. Lygties parametrų keitimas lemia adekvatų sprendimų elgsenos pasikeitimą, kuris yra specializuotų analoginių kompiuterių (AVM) pagrindas.
Galiausiai, šiuo metu reikšmingiausi, kuriam būdingas spartus skaitmeninės skaičiavimo technologijos vystymasis ir skverbimasis į visas žmogaus veiklos sritis, yra skaitiniai diferencialinių lygčių sprendimo metodai, kurių metu gaunama apytikslių y i verčių skaitinė lentelė. norimas sprendimas y(x) tam tikrame tinkle 
argumento x reikšmės. Šie metodai bus tolesnių diskusijų objektas. Ką daryti su gautomis skaitinėmis sprendimo reikšmėmis, priklauso nuo taikomos problemos formuluotės. Jeigu mes kalbame apie apie radus tik reikšmę y(b), tada taškas b įtraukiamas kaip galutinis į apskaičiuotų taškų x i sistemą, o visos apytikslės reikšmės y i ≈y(x i), išskyrus paskutinę, dalyvauja tik kaip tarpinės. , t.y. nereikia nei įsiminti, nei apdoroti. Jei bet kuriame taške x reikia turėti apytikslį y(x) sprendimą, tai galite pritaikyti vieną iš anksčiau aptartų lentelės funkcijų aproksimavimo metodų gautai skaitinei verčių yi lentelei, pavyzdžiui, interpoliacijai. arba splaino interpoliacija. Galimi ir kiti skaitinių sprendimų duomenų panaudojimai.
Palieskime vieną apytikslį analitinį pradinės problemos (1)-(2) sprendimo būdą, kuriame norimas sprendimas y=y(x) kurioje nors dešinėje taško x 0 kaimynystėje yra funkcijų sekos y n riba. (x) gautas tam tikru būdu.
Integruokime kairę ir dešinę (1) lygties puses į ribas nuo x 0 iki x:
Iš čia, atsižvelgiant į tai, kad vienas iš y"(x) antidarinių yra y(x), gauname
arba, naudojant pradinę sąlygą (2),
(3)
Taigi ši diferencialinė lygtis (1) su pradine sąlyga (2) buvo transformuota į integralinę lygtį (nežinoma funkcija čia įtraukta į integralo ženklą).
Gauta integralinė lygtis (3) turi fiksuoto taško uždavinio formą 
operatoriui 
Formaliai šiai problemai galima pritaikyti paprastų iteracijų metodą
gana nuodugniai išnagrinėtas tiesinių ir netiesinių algebrinių ir transcendentinių lygčių sistemų atžvilgiu. Priėmę (2) nurodytą konstantą y 0 kaip pradinę funkciją y 0 (x), naudodami (4) formulę, kai n = 0, randame pirmąjį aproksimaciją
Jo pakeitimas (4) n=1 duoda antrą aproksimaciją
ir tt Taigi šis apytikslis analitinis metodas, vadinamas nuosekliųjų aproksimacijų metodu arba Pikardo metodu, apibrėžiamas formule
(5)
kur n = 0, 1, 2,... ir y 0 (x) = y 0.
Atkreipkime dėmesį į dvi Picardo nuosekliųjų aproksimacijų metodo charakteristikas, kurias galima priskirti prie neigiamų. Pirma, dėl žinomų problemų, susijusių su veiksmingu antidarinių radimu, (5) metodas retai įgyvendinamas gryna forma. Antra, kaip matyti iš aukščiau pateikto teiginio, šis metodas turėtų būti laikomas lokaliu, tinkamu sprendiniui aproksimuoti mažoje dešinėje pradinio taško kaimynystėje. Pikaro metodas yra svarbesnis įrodant Koši problemos sprendimo egzistavimą ir unikalumą, nei norint jį rasti praktiškai.
Pamoka Nr. 17. Eilerio metodai.
Tikslas – supažindinti studentus su Eulerio metodais, skirtais Koši uždaviniui spręsti įprastoms diferencialinėms lygtims.
Pikaro metodas Picardas Charlesas Emile'as (1856-1941) – prancūzų matematikas.
Šis metodas leidžia gauti apytikslį diferencialinės lygties (1) sprendimą analitiškai pateiktos funkcijos pavidalu.
Tegu egzistavimo teoremos sąlygos reikalauja rasti (1) lygties sprendimą su pradine sąlyga (2). Integruokime kairę ir dešinę (1) lygties puses nuo iki:
Integralinės lygties (9) sprendimas tenkins diferencialinę lygtį (1) ir pradinę sąlygą (2). Iš tiesų, kai gauname:
Tuo pačiu integralinė lygtis (9) leidžia taikyti nuoseklių aproksimacijų metodą. Dešinę (9) formulės pusę laikysime operatoriumi, susiejančiu bet kurią funkciją (iš funkcijų klasės, kuriai egzistuoja į (9) įtrauktas integralas) į kitą tos pačios klasės funkciją:
Jei šis operatorius yra susitraukiantis (tai išplaukia iš Pikaro teoremos sąlygų), tada galima sudaryti aproksimacijų seką, kuri konverguoja į tikslų sprendimą. Kaip pradinis aproksimacija priimama ir randama pirmoji aproksimacija
Dešinės pusės integralas turi tik kintamąjį x; radę šį integralą gausime analitinė išraiška aproksimacijos kaip kintamojo x funkcija. Tada dešinėje (9) lygties pusėje pakeičiame y rastąja reikšme ir gauname antrą aproksimaciją
ir tt Bendruoju atveju iteracijos formulė turi formą
(n = 1, 2…) (10)
Cikliškai taikant formulę (10) gaunama funkcijų seka
konverguojant į integralinės lygties (9) sprendinį (ir atitinkamai diferencialinės lygties (1) su pradinėmis sąlygomis (2)). Tai taip pat reiškia, kad k-tas terminas seka (11) yra tikslaus (1) lygties sprendimo priartėjimas su tam tikru kontroliuojamu tikslumo laipsniu.
Atkreipkite dėmesį, kad taikant nuosekliųjų aproksimacijų metodą, diferencialinės lygties dešinės pusės analitiškumas nereikalingas, todėl šis metodas gali būti naudojamas ir tais atvejais, kai neįmanoma diferencialinės lygties sprendinio išplėtimas į laipsnių eilutę. .
Picard metodo klaida
K-osios aproksimacijos paklaidos įvertis pateikiamas formule
kur y(x) yra tikslus sprendimas ir Lipšico konstanta iš nelygybės (4).
Praktikoje Picard metodas naudojamas labai retai. Viena iš priežasčių yra ta, kad integralai, kuriuos reikia skaičiuoti konstruojant nuoseklias aproksimacijas, dažniausiai nerandami analitiškai, o jų naudojimas skaičiuojant skaitinius metodus taip apsunkina sprendimą, kad tampa daug patogiau tiesiogiai taikyti kitus iš pradžių skaitinis.
„Maple“ problemos sprendimo pavyzdžiai
1 užduotis: Naudodamiesi nuosekliųjų aproksimacijų metodu, raskite reikšmę, kur yra diferencialinės lygties sprendinys: tenkinant pradinę sąlygą, atkarpoje, žengiant žingsnį (skaičiuojama iki antrojo aproksimavimo).
Duota: - diferencialinė lygtis
Pradinė būklė
Intervalas
Rasti: prasmė
Sprendimas:
> y1:=supaprastinti (1+int (x+1, x=0…x));
> y2:= supaprastinti (1+int (x+supaprastinti (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));
Raskime reikšmę, kai x=0,5:
2 užduotis: Naudodamiesi nuosekliųjų aproksimacijų metodu, raskite apytikslį diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą.
Duota: - diferencialinė lygtis
Pradinė būklė
Rasti: prasmė
Sprendimas:
Atkarpoje su žingsniu (pasirinktas savavališkai) rasime apytikslį duoto DE sprendimą.
Parašykime šiuo atveju (10) formos formulę
> y1:=supaprastinti (1+int (x*1, x=0…x));
>y2:=supaprastinti (1+int (x*supaprastinti (1+int (x*1, x=0...x)), x=0...x));
Panašiai randame trečią aproksimaciją:
>y3:=supaprastinti (1+int (x*supaprastinti (1+int (x*supaprastinti (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… x));
Suraskime apytikslį duotosios diferencialinės lygties sprendinį ties šiuo tikslu trečioje aproksimacijoje vietoj x, pakeiskime ir gaukime:
Palyginkime gautą apytikslį rezultatą su tiksliu diferencialinės lygties sprendimu:
Remiantis lentelės rezultatais, aišku, kad skaičiavimo paklaida yra labai maža.
Šis metodas yra apytikslių metodų klasės atstovas
Metodo idėja yra labai paprasta ir susiveda į nuoseklią procedūrą
specifinės aproksimacijos integralinei lygčiai, į kurią
pateikta pradinė diferencialinė lygtis.
Leiskite iškelti Koši problemą
,
Integruokime parašytą lygtį
.
(5.2)
Pikardo metodo nuoseklių aproksimacijų procedūra įgyvendinama pagal šią schemą
,
(5.3)
Pavyzdys . Išspręskite lygtį Picard metodu
,
Šios lygties sprendimas nėra išreikštas elementariomis funkcijomis.
,
Matyti, kad serijos greitai susilieja. Metodas patogus, jei integralus galima imti analitiškai.
Įrodykime Picardo metodo konvergenciją. Įleisk kai kuriuos ribotus
regione, dešinė pusė yra ištisinė ir, be to, tenkina Lipšico sąlygą kintamojo atžvilgiu, t.y.
kur yra kažkokia konstanta.
Dėl riboto ploto atsiranda nelygybės
Iš (5.3) atėmus formulę (5.2), gauname dešiniojo ir kairiojo modulius
,
.
Galiausiai, naudodami Lipschitz tęstinumo sąlygą, gauname
,
(5.4)
kur yra apytikslio sprendimo paklaida.
Nuoseklus formulės (5.4) taikymas at suteikia tokią ryšių grandinę, atsižvelgiant į tai, kad
,
,
.
Nes , tada mes turime
.
Pakeisdami naudodami Stirlingo formulę, galiausiai gauname apytikslio sprendimo paklaidos įvertį
.
(5.5)
Iš (5.4) seka, kad kai klaidų modulis, t.y.
apytikslis sprendimas tolygiai suartėja su tikslu.
5.2.2. Runge-Kutta metodai
Šie metodai yra skaitiniai.
Praktikoje naudojami Runge-Kutta metodai, suteikiantys po
įvairaus tikslumo eilės skirtumų schemų (metodų) kūrimas. Dauguma
naudojamos antros ir ketvirtos eilės schemos (metodai). Juos mes ir
Pažiūrėkime į tai žemiau.
Pirmiausia pristatykime kai kurias sąvokas ir apibrėžimus.
Tinklelis įjungtas
atkarpa yra fiksuota taškų rinkinys toje atkarpoje.
Šiuose taškuose apibrėžta funkcija vadinama tinklelio funkcija.
Taškų koordinatės atitinka sąlygas
,
,
Taškai yra tinklelio mazgai. Vienoda tinklelis yra taškų rinkinys
kur yra tinklelio žingsnis. 
Sprendžiant diferencialines lygtis apytiksliu metodu, pagrindinė problema yra konvergencija. Kalbant apie skirtumus, tradiciškai labiau paplitusi konvergencijos sąvoka. Tinklelio funkcijos reikšmes pažymėkime kaip tikslaus diferencialinės lygties (5.1) sprendimo reikšmes mazge - (tai apytikslės reikšmės). Konvergencija reiškia štai ką. Fiksuojame tašką ir sukonstruojame tinklelių rinkinį taip, kad 
(tuo pačiu metu). Tada laikoma, kad skaitinis metodas susilieja taške, jei 
adresu ,. Metodas susilieja į atkarpą, jei konverguoja kiekviename taške. Sakoma, kad metodas turi eilę tikslumo, jei jis gali rasti tokį skaičių
Toliau pristatykime skirtumo lygties neatitikimo arba aproksimacijos paklaidos sąvoką, kuri pakeičia duotą diferencialinę lygtį pradinės lygties sprendinyje, t.y. liekana yra tikslaus (5.1) lygties sprendinio pakeitimo į skirtumo lygtį rezultatas. Pavyzdžiui, (5.1) galima pakeisti tokia paprasčiausia skirtumo lygtimi
,
.
Tada neatitikimas bus nustatytas pagal šią išraišką
.
Apytikslis sprendimas paprastai nesutampa su , todėl neatitikimas taške nėra lygus nuliui. Įvedamas toks apibrėžimas: skaitinis metodas aproksimuoja pradinę diferencialinę lygtį, jei ir yra tikslumo laipsnis, jei 
.
Įrodyta, kad skaitinio diferencialinės lygties sprendimo metodo tikslumo tvarka sutampa su aproksimacijos tvarka, esant gana bendrosioms prielaidoms.
Dabar pereikime prie Runge-Kutta schemų analizės. Pirmiausia atsigręžkime į
antros eilės tikslumo schemos.
Naudojant Taylor formulę, sprendžiant diferencialinę lygtį
(5.1) gali būti pavaizduotas kaip
, (5.6)
kur nurodyta, 
,
.
Atminkite, kad pagal (5.1) 
,.
išvestinė taip
,
kur šiuo metu nežinomi kiekiai. Leiskite
Pažymime apytikslę sprendinio reikšmę mazge sunumeruotame (tai sprendimas, kuris bus gautas apribojus eilutę iki terminų, kurių eilės tvarka ne didesnė nei sekundė).
Čia įvesti parametrai priklauso nuo apibrėžties.
Išplėsdami dešinę Taylor serijos pusę ir įvesdami panašius terminus, gauname
nuosekliai
Parametrų i pasirinkimo sąlyga bus išraiškos artumas
iš (5.7) į seriją (5.6), tada
,
,
.
Vienas parametras lieka laisvas. Tebūnie tada
,
,
ir galiausiai iš (5.7) atsižvelgiant į rastus ryšius ir
Sąryšis (5.8) aprašo vieno parametro dvejetainių Runge-Kutta formulių šeimą.
Specializuotoje literatūroje įrodyta, kad jei ištisinis ir apribotas kartu su jos antrosiomis išvestinėmis, tai schemos (5.8) apytikslis sprendinys tolygiai konverguoja į tikslų sprendinį su paklaida. 
, t.y. schema (5.8) turi antros eilės tikslumą.
Skaičiavimo praktikoje parametrų reikšmėms naudojamos formulės (5.8).
Iš (5.8) darome išvadą
(5.9) formulės taikymas sumažinamas iki tokios veiksmų sekos:
1. Apytiksliai apskaičiuokite funkcijos reikšmę (pagal polilinijos diagramą)
2. Nustatykite integralinės kreivės nuolydį taške ()
3. Raskite vidutinę funkcijos išvestinės reikšmę žingsnyje
4. Apskaičiuojama funkcijos reikšmė ()-ajame mazge
Ši schema turi specialų pavadinimą „numatytojas - korektorius“.
Pagal (5.8) gauname
Problema išspręsta šiais veiksmais:
1. Apskaičiuojama funkcijos reikšmė pusmazge
.
2. Nustatoma išvestinės vertė mazge
.
3. Funkcijos reikšmė randama ()-ajame mazge
Be aukščiau aptartų dvinarių schemų, skaičiavimo praktikoje plačiai naudojamos ketvirtos eilės tikslumo Runge-Kutta schemos. Atitinkamos formulės pateiktos toliau be išvedimo
(5.10)
Schemos su dideliu narių skaičiumi praktiškai nenaudojamos.
penki-
terminų formulės suteikia ketvirtą tikslumo eilę, šešių terminų formulės – šeštąją, tačiau jų forma yra labai sudėtinga.
Pateiktų Runge-Kutta schemų paklaidos nustatomos pagal maksimumą
atitinkamų išvestinių priemonių ny reikšmės.
Klaidų įvertinimus galima lengvai gauti specialiu teisės atveju
.
diferencialinės lygties dalys
Tokiu atveju lygties sprendinys gali būti sumažintas iki kvadratūros ir
visos skirtumų sprendimo schemos virsta skaitinėmis integravimo formulėmis
,
kraustymasis. Pavyzdžiui, schema (5.9) įgauna formą
tai yra, ji turi trapecijos formos formulę, o schema (5.10) patenka į schemą
kuri yra Simpsono formulė su žingsniu.
Yra žinomi didelių trapecijos ir Simpsono formulių klaidų įverčiai (žr. 3.2 skyrių). Iš (3.4) ir (3.5) aišku, kad Runge-Kutta schemų tikslumas yra gana didelis.
Vienos ar kitos iš pateiktų schemų pasirinkimas konkrečiai problemai išspręsti
dacha nustatoma atsižvelgiant į šiuos dalykus. Jei funkcija yra
dešinioji lygties pusė yra ištisinė ir ribojama, taip pat tolydinė ir
jo ketvirti dariniai yra riboti, tada pasiekiamas geriausias rezultatas -
naudojant schemą (5.10). Tuo atveju, kai funkcija
neturi minėtų išvestinių, ribinės (ketvirtos) eilės
schemos (5.10) nepavyksta pasiekti, ir tai yra patartina
paprastesnių schemų naudojimas.
Be Runge-Kutta schemų, praktinio susidomėjimo kelia kelių žingsnių metodai, kuriuos galima apibūdinti tokia lygčių sistema 
Kur 
,.
, a – skaitiniai koeficientai,
Pagal šią lygtį skaičiavimas prasideda nuo . Šiuo atveju gauname formos santykį
tie. Norėdami pradėti skaičiuoti, turite turėti pradines vertes. Šios vertės turi būti apskaičiuojamos kitu metodu, pavyzdžiui, Runge-Kutta metodu. 
Tarp kelių žingsnių metodų labiausiai paplitęs yra Adamso metodas, kurio įgyvendinimo schema išplaukia iš (5.11) su 
:
.
už
Kai Adamso metodas pasirodo esąs aiškus, bet numanomas. Darbo tikslas: formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui" = adresu(f,x y ) segmente [, a b formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui 0 = adresu(f 0) Picard, Euler, Runge – Kutta, Adams metodai; ugdyti gautų rezultatų tikrinimo naudojant taikomąsias programas įgūdžius.
Pikaro metodas
5.1 pavyzdys.
: formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui h= 0,1 pagal Picard metodą su žingsniais h.
Ataskaitoje pateikite: darbo eigą, programą - funkciją, klaidą, grafinę sprendimo iliustraciją.
Sprendimas.
1. Įveskite duomenis (5.1 pav.)
) segmente [= 1,7 b = 2,7
h = 0,1
y 0 = 5,3 i = 0..n
5.1 pav. Pradinių duomenų nustatymas
2. Apibrėžkite funkciją, kuri grąžina pirmosios išvestinės reikšmes kintamojo atžvilgiu formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(5.2 pav.).
adresu išvesti( y) = 
5.2 pav. Funkcija, kuri grąžina pirmosios funkcijos išvestinės reikšmę
3. Sukurkime funkciją, kuri grąžina sprendimą DE naudojant metodą
Picara. Čia: f – originali funkcija; f deriv –
Funkcijos išvestinė atžvilgiu formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui; ) segmente [,a– segmento galai; h– žingsnis; formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui 0 –
pradinė kintamojo reikšmė formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui.
4. Raskime diferencialinės lygties sprendimą Picard metodu (5.3 pav.).
fnPikan(fn, fn išvestis, a, b, h, y0)=
Ryžiai. 5.3. Nurodykite funkciją, kuri grąžina sprendimą į nuotolinio valdymo pultą
Picard metodas (failas fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f išvestis, a, b, 0,1, y0) =
| 7.78457519486 10 -11 | |
| 5,3 | |
| 5,46340155616 | |
| 5,62650688007 | |
| 5,78947945853 | |
| 5,95251650231 | |
| 6,11584391144 | |
| 6,27971330675 | |
| 6,44440084325 | |
| 6,61020759752 | |
| 6,77746140952 | |
| 6,94652015221 |
Ryžiai. 5.4. Diferencialinės lygties skaitinio sprendinio radimas Picard metodu
Eilerio metodas ir jo modifikacijos
5.2 pavyzdys.
formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,7) = 5,3 ir integravimo žingsnis h= 0,1 Eulerio metodas ir patobulintas Eulerio metodas su žingsniais h Ir h/2.
Sprendimas.
Problemos sprendimo eiga naudojant Eilerio metodą parodyta fig. 5,5 – 5,7.
a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3
y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05
5.5 pav. Mathcad darbalapio fragmentas su sprendimu
lygtys Eulerio metodu su žingsniu h Ir h/2 ir grafinis
Eilerio metodo vizualizacija.
1. Sukurkime programą, kuri įgyvendina Eulerio metodą (pav.
5.6 pav. Eulerio metodą įgyvendinančios programos sąrašas
2. Eulerio metodu gaukime DE sprendimą (5.7 pav.).
ES h = Eileris(f, a, b, h, y0)
ES h2 = Eileris(f, a, b, , y0)
Ryžiai. 5.7. Skaitinio diferencialinės lygties sprendinio suradimas naudojant Eulerio metodą
Pastaba
Galite patys sukurti funkciją, kuri grąžina sprendimą į DE, naudodami patobulintą Eulerio metodą.
Ryžiai. 5.8. DE sprendimas naudojant patobulintą metodą
Euleris su žingsneliais h Ir h/2
5.3. Runge-Kutta metodas
Praktikoje dažniausiai naudojamas ketvirtos eilės Runge–Kutta metodas.
5.3 pavyzdys.
Išspręskite nuotolinio valdymo pulto Koši problemą tam tikroje operacinės sistemos segmente formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,7) = 5,3 ir integravimo žingsnis h= 0,1 ketvirtos eilės Runge-Kutta metodu su žingsniais h ir 2 h.
Ataskaitoje pateikite: darbo eigą, programos funkciją, klaidą, grafinę sprendimo iliustraciją ir aproksimacinės klaidos įvertinimą.
Sprendimas.
1. Įveskite užduoties duomenis (5.9 pav.).
) segmente [ = 1,7 a = 2,7
h = 0,1
y 0 = 5,3
i= 0..n
5.9 pav. Pradinių duomenų nustatymas
2. Sukurkime funkciją, kuri grąžina pirmosios eilės DE sprendimą naudojant Runge–Kutta metodą. Čia: fn– nurodyta funkcija; ) segmente [, a– segmento galai; h– žingsnis; y 0 – pradinė funkcijos reikšmė.
3. Raskime pirmosios eilės DE sprendimą naudodami Mathcad integruotas funkcijas (5.10 pav.).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Ryžiai. 5.10. Funkcijos, kuri grąžina skaitinį skaičių, sąrašas
DE sprendimas naudojant Runge-Kutta metodą
Adamso metodas
5.4 pavyzdys.
Išspręskite nuotolinio valdymo pulto Koši problemą tam tikroje operacinės sistemos segmente formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,7) = 5,3 ir integravimo žingsnis h= 0,1 pagal Adamso metodą žingsniais h.
Ataskaitoje pateikti: rankinis skaičiavimas, programa - funkcija, klaida, grafinė sprendimo iliustracija ir aproksimacinės paklaidos įvertinimas.
Sprendimas.
1. Raskite pirmuosius keturis skaičius naudodami Runge–Kutta formulę (5.11 pav.).
y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i
Ryžiai. 5.11. Pirmųjų keturių skaitinio sprendimo verčių apskaičiavimas naudojant Runge-Kutta formulę
2. Sukurkime funkciją, kuri realizuoja Adamso metodą (2.10.3 pav.). Čia ) segmente [, a– segmento galai; y 1 – pradinė funkcijos reikšmė; h– žingsnis.
Ryžiai. 5.12. Funkcija, grąžinanti skaitinį sprendimą
DE Adamso metodu
3. Grafinė DE sprendimo įvairiais metodais iliustracija pateikta pav. 5.13.
Ryžiai. 5.13. DE sprendimo vizualizacija naudojant skirtingus metodus
Klausimai tema
1. Ką reiškia išspręsti Koši uždavinį pirmos eilės diferencialinėms lygtims?
2. Grafinis DE skaitinio sprendimo aiškinimas.
3. Kokie DE sprendimo būdai egzistuoja priklausomai nuo
sprendimo pateikimo formos?
4. Kokia yra suspaudimo principo esmė
ekranus?
5. Pasikartojanti Pikaro metodo formulė.
6. Kokia Eulerio trūkinės linijos metodo esmė?
7. Kokių formulių taikymas leidžia gauti reikšmes
norima funkcija naudojant Eulerio metodą?
8. Eulerio metodo grafinis aiškinimas ir
patobulintas Eulerio metodas. Kuo jie skiriasi?
9. Kokia yra Runge–Kutta metodo esmė?
10. Kaip nustatyti teisingų skaitmenų skaičių skaičiuje
kuris yra diferencialinės lygties sprendimas Eulerio metodu,
patobulintas Eulerio, Picardo, Runge metodas
Laboratorinė užduotis Nr.5
5.1 užduotis.
Išspręskite nuotolinio valdymo pulto „Cauchy“ problemą y’ = adresu(f, y) segmente [ ) segmente [, a] tam tikram NU formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(A) = Su ir integracijos žingsnis h(pradiniai parametrai pateikti 2.10.1 lentelėje):
1) Eulerio metodas ir patobulintas Eulerio metodas su žingsniu h Ir h/2;
2) Runge–Kutta metodas su žingsniu h ir 2 h;
3) Adamso metodas;
4) Pikaro metodas.
Sprendime turi būti: darbo eiga, metodo programa, grafinis lygties sprendimas ir aproksimacinės paklaidos įvertis. Skaičiuose po kablelio palikite 5 skaitmenis.
5.1 lentelė. Užduočių atlikimo parinktys savarankiškas darbas
| № | f( f, y) | [) segmente [, a] | y 0 | h |
| 3X 2 + 0,1xy | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0,2 | 0,1 | ||
| 0,185(f 2 + cos (0,7 f)) + 1,843y | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0,2) = 1,1 | 0,1 | ||
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,7) = 5,3 | 0,1 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(2,6) = 3,5 | 0,2 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(2) = 2,3 | 0,1 | ||
| 1,6 + 0,5 m 2 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0,3 | 0,1 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,8) = 2,6 | 0,1 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(2,1) = 2,5 | 0,1 | ||
| e 2f + 0,25y 2 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 2,6 | 0,05 | ||
| [- 2; -1] | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(-2) = 3 | 0,1 | ||
| 0,133·( x 2+ nuodėmė (2 f)) + 0,872y | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| nuodėmė ( f + y) +1,5 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,5) = 4,5 | 0,1 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0,4) = 0,8 | 0,1 | ||
| 2,5f+cos( y + 0,6) | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1) = 1,5 | 0,2 | ||
| cos (1.5 y +f) 2 + 1,4 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1) = 1,5 | 0,1 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,5) = 2,1 | 0,05 | ||
| cos y + 3f | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 1,3 | 0,1 | ||
| cos (1.5 f – y 2) – 1,3 | [-1; 1] | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(-1) = 0,2 | 0,2 | |
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
| e -(y – 1) + 2f | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0,3 | 0,05 | ||
| 1 + 2y nuodėmė f – y 2 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1) = 0 | 0,1 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,166(f 2 + nuodėmė(1,1 f)) + 0,883y | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,7) = 5,6 | 0,1 | |||
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0,6) = 0,8 | 0,1 | |||
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1) = 5,9 | 0,1 | |||
| 1 + 0,8y nuodėmė f - 2y 2 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0 | 0,1 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0,5) = 1,8 | 0,1 | ||
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(1,2) = 1,8 | 0,1 | |||
| 1 + 2,2 nuodėmė f + 1,5y 2 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0 | 0,1 | ||
| formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0 | 0,1 | |||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0 | 0,1 | ||
 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,2f 2 + y 2 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0,8 | 0,1 | ||
| f 2 + y | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0,4 | 0,1 | ||
| xy + 0,1y 2 | formuoti studentams idėją apie nuotolinio valdymo pulto pritaikymą įvairiose srityse; įskiepyti galimybę išspręsti Koši problemą nuotoliniam valdymui(0) = 0,5 | 0,1 |
Literatūra
Pagrindinė literatūra:
Aleksejevas G.V., Voronenko B.A., Lukinas N.I. Matematiniai metodai in
maisto inžinerija: vadovėlis. – Sankt Peterburgas: „Lan“, 2012. – 212 p.
Aleksejevas G.V. Matematiniai metodai inžinerijoje: Ugdymo metodas. pašalpa. – Sankt Peterburgas: NRU ITMO; IHBT. 2012. – 39 p.
Aleksejevas G.V., Kholyavin I.I. Skaitinis ekonominis-matematinis modeliavimas ir optimizavimas: vadovėlis universitetams, Valstybinis ekonomikos ir technologijos institutas, 2011, 211 p.
Makarovas E.G. Mathcad: mokymo kursas. – Sankt Peterburgas: Petras, 2009. - 384 p.
tolesnis skaitymas:
Porshnev S.V., Belenkova I.V. Skaitiniai metodai, pagrįsti Mathcad. –
Sankt Peterburgas: BHV-Petersburg, 2005. – 464 p.
Agapevas B.D., Belovas V.N., Kesamanly F.P., Kozlovskis V.V., Markovas S.I. Eksperimentinių duomenų apdorojimas: Vadovėlis. pašalpa / Sankt Peterburgo valstybinis technikos universitetas. Sankt Peterburgas, 2001 m.
GorelovaG.V. Tikimybių teorija ir matematinė statistika pavyzdžiuose ir uždaviniuose naudojant Excel. – M.: Feniksas, 2005. – 476 p.
Adler Yu.P., Markova E.V., Granovskis Yu.V. Eksperimento planavimas ieškant optimalių sąlygų - M.: Nauka, 1976 m
Asaturjanas V.I. Eksperimento planavimo teorija.-M.: Radijas ir ryšys, 1983 m
Brodskis V.Z. Įvadas į faktorinį eksperimentų projektavimą.-M.: Nauka, 1976 m
Demidenko E.Z. Tiesinė ir netiesinė regresija.-M.: Finansai ir statistika, 1981 m
Krasovskis G.I., Filaretovas G.F. Eksperimento planavimas.-Minskas: BSU, 1982 m
Markova E.V., Lisenkovas A.N. Kombinatoriniai planai daugiafaktorinio eksperimento problemose.-M.: Nauka, 1979
Frolkis V.A. Tiesinis ir netiesinis optimizavimas.-SPb. 2001. 306 p.
Kuritsky B.Ya. Optimalių sprendimų paieška naudojant Excel 7.0.-SPb.: BHV, 1997, 384с
programinė įranga ir interneto ištekliai:
http://www.open-mechanics.com/journals – Maisto gamybos procesai ir aparatai
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm – Skysčių ir dujų mechanika, hidraulika ir hidraulinės mašinos
http://elibrary.ru/defaultx.asp - mokslinis elektroninė biblioteka"Biblioteka"
Įvadas
1.Laboratoriniai darbai 1: apytikslė skaičiavimo teorija
1.1. Absoliučios ir santykinės klaidos
1.2. Suapvalinto skaičiaus klaida
1.3. Klaidos aritmetines operacijas
1.4. Elementariųjų funkcijų klaidos
1.5. Krašto metodas
1.6. Atvirkštinė klaidų teorijos problema
1.7. Klausimai tema
1.8. Laboratorinio darbo užduotys Nr.1
2. Laboratorinis darbas Nr. 2: Skaitiniai sprendimo metodai
skaliarines lygtis
1.1. Akordo metodas
1.2. Tangentinis metodas
1.3. Paprastas iteracijos metodas
1.4. Klausimai tema
1.5. Laboratorinio darbo užduotys Nr.2
3. Laboratorinis darbas Nr. 3: Skaitmeniniai sistemų sprendimo metodai
3.1. Niutono metodas
3.2. Klausimai tema
3.3. Laboratorinė užduotis Nr.3
4. Laboratorinis darbas Nr. 4: Skaitinis integravimas
4.1. Stačiakampio metodas
4.2. Simpsono metodas
4.3. Trapecijos metodas
4 .4. Monte Karlo metodas
4.5. Klausimai tema
4.6. Laboratorinė užduotis Nr.4
5. Laboratorinis darbas Nr. 5: Paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimas
5.1. Pikaro metodas
5.2. Eilerio metodas ir jo modifikacijos
5.3. Runge-Kutta metodas
Tai apytikslis sprendimo metodas, kuris yra nuoseklių aproksimacijų metodo apibendrinimas (žr. V skyrių, § 2). Apsvarstykite pirmosios eilės lygties Koši problemą
Integruodami diferencialinę lygtį, šią problemą pakeičiame lygiaverte Volterra tipo integralia lygtimi
Išspręsdami šią integralinę lygtį nuoseklių aproksimacijų metodu, gauname Picard iteracinį procesą
(apytikslį sprendimą, priešingai nei tikslus, pažymėsime y). Kiekvienoje šio proceso iteracijoje integravimas atliekamas arba tiksliai, arba naudojant skaitinius metodus, aprašytus IV skyriuje.
Įrodykime metodo konvergenciją, darydami prielaidą, kad tam tikrame ribotame regione dešinė pusė yra ištisinė ir tenkina kintamąjį ir Lipšico sąlygą
Kadangi plotas yra ribotas, apytikslio sprendimo paklaidą pažymėkime iš (9) atėmę (8) ir naudodamiesi Lipšico sąlyga.
Išspręsdami šį pasikartojimo ryšį ir atsižvelgdami į tai, kad randame nuosekliai
Tai reiškia klaidų įvertinimą
Galima pastebėti, kad , ty apytikslis sprendimas tolygiai suartėja su tikslu visame regione.
Pavyzdys. Taikykime Pikaro metodą Koši uždaviniui (3) lygčiai, kurios sprendimas neišreiškiamas elementariomis funkcijomis
Šiuo atveju kvadratūros (9) apskaičiuojamos tiksliai, ir mes lengvai gauname
Ir tt Akivaizdu, kad šie aproksimacijos greitai susilieja ir leidžia labai tiksliai apskaičiuoti sprendimą,
Iš šio pavyzdžio aišku, kad Picard metodą naudinga naudoti, jei integralus (9) galima apskaičiuoti naudojant elementarias funkcijas. Jei dešinioji (7) lygties pusė yra sudėtingesnė, todėl šiuos integralus reikia rasti skaitiniais metodais, Pikaro metodas tampa ne itin patogus.
Picardo metodas yra lengvai apibendrintas lygčių sistemoms taip, kaip aprašyta 2 dalyje. Tačiau praktiškai kuo aukštesnė sistemos eilė, tuo rečiau įmanoma tiksliai apskaičiuoti (9) integralus, o tai riboja naudojimą. metodo šiuo atveju.
Yra daug kitų apytikslių metodų. Pavyzdžiui, S.A. Chaplygin pasiūlė metodą, kuris yra Niutono algebrinio metodo apibendrinimas diferencialinių lygčių atveju. Kitą Niutono metodo apibendrinimo būdą pasiūlė L. V. Kantorovičius 1948. Abiejuose šiuose metoduose, kaip ir Picardo metodu, iteracijos atliekamos naudojant kvadratūras. Tačiau kvadratūros juose turi daug daugiau sudėtinga išvaizda, nei (9), ir į juos retai atsižvelgiama elementarios funkcijos. Todėl šie metodai beveik nenaudojami.
