Aš pasakysiu trumpai. Kampas tarp dviejų tiesių lygus kampui tarp jų krypties vektorių. Taigi, jei pavyksta rasti krypties vektorių a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ir b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) koordinates, galite rasti kampą. Tiksliau, kampo kosinusas pagal formulę:

Pažiūrėkime, kaip ši formulė veikia, naudodami konkrečius pavyzdžius:

Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pažymėti taškai E ir F - atitinkamai briaunų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AE ir BF.

Kadangi kubo kraštas nenurodytas, nustatykime AB = 1. Įvedame standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x, y, z ašys nukreiptos atitinkamai išilgai AB, AD ir AA 1. Vieneto atkarpa lygi AB = 1. Dabar suraskime mūsų tiesių krypties vektorių koordinates.

Raskime vektoriaus AE koordinates. Tam mums reikia taškų A = (0; 0; 0) ir E = (0,5; 0; 1). Kadangi taškas E yra atkarpos A 1 B 1 vidurys, tai jo koordinatės lygios galų koordinačių aritmetiniam vidurkiui. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriaus AE pradžia sutampa su koordinačių pradžia, todėl AE = (0,5; 0; 1).

Dabar pažiūrėkime į BF vektorių. Panašiai analizuojame taškus B = (1; 0; 0) ir F = (1; 0,5; 1), nes F yra atkarpos B 1 C 1 vidurys. Turime:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Taigi, krypties vektoriai yra paruošti. Kampo tarp tiesių kosinusas yra kampo tarp krypties vektorių kosinusas, todėl turime:

Užduotis. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai D ir E - atitinkamai briaunų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AD ir BE.

Įveskime standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ašis nukreipta išilgai AB, z - išilgai AA 1. Nukreipkime y ašį taip, kad OXY plokštuma sutaptų su ABC plokštuma. Vieneto atkarpa lygi AB = 1. Raskime reikiamų tiesių krypties vektorių koordinates.

Pirmiausia suraskime vektoriaus AD koordinates. Apsvarstykite taškus: A = (0; 0; 0) ir D = (0,5; 0; 1), nes D - atkarpos A 1 B 1 vidurys. Kadangi vektoriaus AD pradžia sutampa su koordinačių pradžia, gauname AD = (0,5; 0; 1).

Dabar suraskime vektoriaus BE koordinates. Tašką B = (1; 0; 0) lengva apskaičiuoti. Su tašku E - segmento C 1 B 1 viduriu - viskas yra šiek tiek sudėtingesnė. Turime:

Belieka rasti kampo kosinusą:

Užduotis. Taisyklingoje šešiakampėje prizmėje ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai K ir L - atitinkamai briaunų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. . Raskite kampą tarp tiesių AK ir BL.

Įveskime standartinę prizmės koordinačių sistemą: koordinačių pradžią išdėstome apatinio pagrindo centre, x ašis nukreipta išilgai FC, y ašis nukreipta per atkarpų AB ir DE vidurio taškus, o z ašis nukreipta vertikaliai į viršų. Vieneto atkarpa vėl lygi AB = 1. Užrašykime mus dominančių taškų koordinates:

Taškai K ir L yra atitinkamai atkarpų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai, todėl jų koordinatės randamos per aritmetinį vidurkį. Žinodami taškus, randame krypties vektorių AK ir BL koordinates:

Dabar suraskime kampo kosinusą:

Užduotis. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD, kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai E ir F – atitinkamai kraštinių SB ir SC vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AE ir BF.

Įveskime standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ir y ašys nukreiptos atitinkamai išilgai AB ir AD, o ašis z nukreipta vertikaliai aukštyn. Vieneto segmentas yra lygus AB = 1.

Taškai E ir F yra atitinkamai atkarpų SB ir SC vidurio taškai, todėl jų koordinatės randamos kaip galų aritmetinis vidurkis. Užsirašykime mus dominančių taškų koordinates:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Žinodami taškus, randame krypties vektorių AE ir BF koordinates:

Vektoriaus AE koordinatės sutampa su taško E koordinatėmis, nes taškas A yra pradžia. Belieka rasti kampo kosinusą:

Plokštuma ВСE (pav.) brėžiama per kraštinę ВС, statmeną briaunai AS. Dvikampiai kampai tarp šoninių paviršių (visi jie lygūs) matuojami kampu BEC = φ . Trikampis WEIGHT yra lygiašonis.

Norėdami nustatyti pjūvio plotą S ir kampą φ , pakanka rasti DE (D yra BC vidurys). Norėdami tai padaryti, nuosekliai randame BS (iš trikampio BSD, kur BD = a / 2 ir ∠BSD = α / 2 ).

Tada BE (iš trikampio GSE, kur ∠GSE = α ) ir galiausiai DE=√BE 2 -BD 2 . Mes gauname

1 pastaba . Plokštumos kampų suma viršūnėje S visada yra mažesnė nei 360°. Todėl 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, t.y., taigi lygtis visada turi sprendimą.

2 pastaba . Jeigu α >90°, t.y., kampas ASB šoninio paviršiaus viršūnėje yra bukas, tada trikampio ASB aukštis BE kirs pagrindo tęsinį, o plokštuma BEC neduos jokios piramidės pjūvio. Tuo tarpu formulė

ir buku kampu α (mažiau nei 120°, žr. 1 pastabą) duos tam tikrą S reikšmę.

Atsakymas: φ = 2 lanko nuodėmė (1/2 sek α / 2 );

Panašūs pavyzdžiai:

Piramidės apačioje yra stačiakampis. Vienas iš šoninių paviršių yra lygiašonio trikampio formos ir yra statmenas pagrindui; kitame paviršiuje, priešingame pirmajam, yra šoniniai kraštai, lygūs b , sudaro 2 kampą tarpusavyje α ir pasviręs į pirmąjį veidą kampu α . Nustatykite piramidės tūrį ir kampą tarp nurodytų dviejų paviršių.

Pastaba. Tai pamoka su geometrijos uždavinių sprendimais (stereometrijos atkarpa, piramidė su keturkampiu prie pagrindo). Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra, parašykite apie tai forume. Užduotyse vietoj simbolio „kvadratinė šaknis“ naudojama funkcija sqrt(), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radikali išraiška nurodoma skliausteliuose. Paprastoms radikalioms išraiškoms galima naudoti ženklą"√".

Užduotis

Taisyklingoje keturkampėje piramidėje pagrindo kraštinė yra a, o aukštis 3a.
Raskite šoninių briaunų ir šoninių paviršių pasvirimo kampus į pagrindo plokštumą .

Sprendimas.

Raskime briaunų pasvirimo kampą į pagrindo plokštumą.
Kadangi taisyklingos piramidės pagrinde yra taisyklingas keturkampis, tai šiuo atveju tai yra kvadratas. Kadangi piramidės aukštis projektuojamas į pagrindo centrą, tai yra įstrižainių susikirtimo taškas. Iš kur kilęs KN = a/2?

Trikampis OKN yra stačiakampis, OK yra aukštis, lygus 3a.
Raskime kampo KNO liestinę, žymėdami ją α.

Tg α = gerai / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctan 6 ≈ 80,5377°

Raskime piramidės briaunos pasvirimo kampą.
Kvadrato su kraštine a įstrižainė lygi a√2. Kadangi aukštis projektuojamas į pagrindo centrą, įstrižainės šioje vietoje dalijamos per pusę.

Taigi stačiajam trikampiui OKC kampo KCO liestinė (žymime kaip β) yra lygi

Tg β = gerai / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = arctan 6/√2 ≈ 76,7373°

Atsakymas: paviršių pasvirimo kampas arctg 6 ≈ 80,5377°; briaunų pasvirimo kampas arctg 6/√2 ≈ 76,7373°