Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №87»

Тема реферата:

Правильные многогранники.

Выполнила: Бушуева М. А.

ученица 10 класса Б.

Руководители:

Кулеш Людмила Егоровна,

учитель математики;

Троегубова Татьяна Сергеевна,

учитель информатики.

Северск -2009.

Введение……………………………………………………………………..…3

Определение правильного многогранника…………………………….…4

Платоновы тела………………………………………………………….….5

Виды правильных многогранников………………………………….……6

Пять правильных многогранников……...……………………...……….…9

Свойства правильных многогранников…………………….……….……11

Полуправильные многогранники…………………………………………16

Заключение………………………………………………………………….…20

Список источников……………...…………………………………………......21

Приложение 1. Картина Сальвадора Дали «Тайная вечеря»………………..23

Приложение 2. Симметрия в архитектуре…………………………………....24

Введение

Я выбрала тему «Правильные многогранники» потому, что в нашей жизни многогранники встречаются повсюду, почти в каждом предмете можно увидеть многогранник.

Мне было очень интересно узнать эти удивительные фигуры получше, ведь в школе с ними знакомятся совсем мало.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от маленького ребенка, который играет с кубиками, до взрослого человека. Некоторые многогранники встречаются в природе – в виде кристаллов или вирусов, пчелы строят соты в форме шестиугольников.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Для того чтобы больше узнать о правильных многогранниках, я поставила перед собой такие задачи:

Найти и проанализировать материал о правильных многогранниках.

Обобщить обработанный материал.

Оформить реферат.

Подготовить презентацию.

Представить презентацию в PowerPoint.

Моя работа состоит из шести глав. Мной были изучены и обработаны материалы 14 литературных источников, среди которых учебная, справочная, научная литература, периодические издания и Интернет-сайты, а также подготовлена презентация, сделанная в редакторе Power Point.

Правильные многогранники.

Многогранник - часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части - внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник - выпуклый.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и к каждой вершине примыкает одно и то же число граней.

Если все грани – правильные р -угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p , q }. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814–1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе.

Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются «правильными звездчатыми многогранниками». Так как мы условились такие многогранники не рассматривать, то под правильными многогранниками мы будем понимать исключительно выпуклые правильные многогранники.

2.Платоновы тела

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) ";Тимаус";. Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя ";земными"; элементами (стихиями): земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с ";неземным"; элементом - небом (додекаэдр). Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

На рисунках ниже изображены правильные многогранники. Простейшим из них является правильный тетраэдр, гранями которого служат четыре равносторонних треугольника и к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это не что иное, как частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром) – прямая квадратная призма, все шесть граней которой – квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и, следовательно, ему соответствует запись {3, 4}. Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треугольной антипризмы. Рассмотрим теперь прямую правильную пятиугольную антипризму, грани которой имеют форму равносторонних треугольников, и две правильные пятиугольные пирамиды, основания которых конгруэнтны основанию антипризмы, а грани имеют форму равносторонних треугольников. Если эти пирамиды присоединить к антипризме, совместив их основания, то получится еще один правильный многогранник. Двадцать его граней имеют форму равносторонних треугольников, к каждой вершине примыкают по пять граней. Такой многогранник называется правильным икосаэдром и обозначается {3, 5}. Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один – правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями; к каждой его вершине примыкают по три грани, поэтому додекаэдр обозначается как {5, 3}.

Тетраэдр

Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Элементы симметрии:

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии:

Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии:

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Элементы симметрии:

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Элементы симметрии: Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также «телами Платона», захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами – огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной. Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует картина испанского художника Сальвадора Дали Тайная вечеря .

Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал Евклида. Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

4.Пять правильных многогранников

Естественно спросить, существуют ли кроме платоновых тел другие правильные многогранники. Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть {p , q } – произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р -угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 – 360/р ) или 180 (1 – 2/р ) градусам. Так как многогранник {p , q } выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство

где символ

Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.

Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны N 0 – число вершин, N 1 – число ребер и N 2 – число граней каждого многогранника.

К сожалению, приводимое во многих учебниках геометрии определение правильного многогранника неполно. Распространенная ошибка состоит в том, что в определении требуется лишь выполнение приведенного выше условия (а), но упускается из виду условие (б). Между тем условие (б) совершенно необходимо, в чем проще всего убедиться, рассмотрев выпуклый многогранник, удовлетворяющий условию (б), но не удовлетворяющий условию (б). Простейший пример такого рода можно построить, отождествив грань правильного тетраэдра с гранью еще одного тетраэдра, конгруэнтного первому. В результате мы получим выпуклый многогранник, шестью гранями которого являются конгруэнтные равносторонние треугольники. Однако к одним вершинам примыкают три грани, а к другим – четыре, что нарушает условие (б).

ПЯТЬ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ
Название	Запись Шлефли	N 0 (число вершин)	N 1 (число ребер)	N 2 (число граней)
Тетраэдр
Икосаэдр
Додекаэдр

5.Свойства правильных многогранников

Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Двойственные многогранники. Рассмотрим правильный многогранник {p , q } и его срединную сферу S . Средняя точка каждого ребра касается сферы. Заменяя каждое ребро отрезком перпендикулярной прямой, касательной к S в той же точке, мы получим N 1 ребер многогранника, двойственного многограннику {p , q }. Нетрудно показать, что гранями двойственного многогранника служат правильные q -угольники и что к каждой вершине примыкают р граней. Следовательно, многограннику {p , q } двойствен правильный многогранник {q , p }. Многограннику {3, 3} двойствен другой многогранник {3, 3}, конгруэнтный исходному (поэтому {3, 3} называется самодвойственным многогранником), многограннику {4, 3} двойствен многогранник {3, 4}, а многограннику {5, 3} – многогранник {3, 5}. На рис. 3 многогранники {4, 3} и {3, 4} показаны в положении двойственности друг другу. Кроме того, каждой вершине, каждому ребру и каждой грани многогранника {p , q } соответствует единственная грань, единственное ребро и единственная вершина двойственного многогранника {q , p }. Следовательно, если {p , q } имеет N 0 вершин, N 1 ребер и N 2 граней, то {q , p } имеет N 2 вершин, N 1 ребер и N 0 граней.

Так как каждая из N 2 граней правильного многогранника {p , q } ограничена р ребрами и каждое ребро является общим ровно для двух граней, то всего имеется pN 2 /2 ребер, поэтому N 1 = pN 2 /2. У двойственного многогранника {q , p } ребер также N 1 и N 0 граней, поэтому N 1 = qN 0 /2. Таким образом, числа N 0 , N 1 и N 2 для любого правильного многогранника {p , q } связаны соотношением

Симметрия. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.

Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р -угольной призмы. Пусть l – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг l на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией. Пусть, далее, π – плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости π (движение, переводящее любую точку P в точку P" , такую, что p пересекает отрезок PP" под прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости π с поворотом вокруг прямой l , мы получим еще одну симметрию.

Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой l есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих l и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов. Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.

Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет. Докажем это.

Обозначим через p число сторон у грани правильного многогранника. Так как двугранные углы равны, то все пространственные углы в правильном многограннике также равны. Поэтому в каждой вершине правильного многогранника сходится одно и тоже число граней, которое мы обозначим через q .

Используя правильность граней и равенство двугранных углов, древние греки легко получили, что для правильных многогранников пары целых чисел (p , q ) могут быть лишь такими (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3). Однако благодаря теореме Эйлера можно получить те же пять пар чисел не только для правильных многоугольников, но и вообще для произвольных выпуклых многогранников, у которых каждая грань имеет одинаковое число p сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число q граней.

Действительно, так как каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а каждая грань имеет ровно p ребер, то p · Г равно удвоенному числу ребер в многограннике: p · Г = 2Р. Поскольку каждое ребро имеет ровно два конца, а в каждой вершине сходится ровно q ребер, то q · В = 2Р. Итак,

Г = 2Р/ p и В = 2Р/ q (4)

Подставим отношение (4) в формулу Эйлера:

2P/ q + 2P/ p = P + 2 (5)

Найдем Р из (5):

P = 2 pq /(2 · (p + q ) - pq ) (6)

Знаменатель дроби в (6) равен 4 - (p - 2)(q - 2). а так как знаменатель положителен, то (p - 2)(q - 2) p сторон у грани, так и число q граней, сходящихся в вершине, не меньше 3. Поэтому уравнение (5) при условии p ≥3, q ≥3 имеет пять и только пять целочисленных решений (p , q ): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3).

Отсюда следует, что комбинаторно различных многогранников, у которых все грани одноименные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней, не более пяти.

Вернемся теперь к правильным многогранникам. Соответствующая правильному многограннику пара чисел (p , q ) называется его символом Шлефли. У правильного многогранника может быть один из пяти символов Шлефли. Теперь покажем, что для каждого из символов Шлефли существует правильный многогранник.

Легко убедиться, что символу Шлефли (3, 3) соответствует правильный тетраэдр, а символу (4, 3) - куб. К многограннику с символом Шлефли (3, 4) - октаэдру - легко прийти от куба. Нужно взять центры квадратных граней куба - их шесть. На каждой тройке центров граней, прилегающих к каждой из 8 вершин куба, построим по правильному треугольнику (рис.16). Легко проверить, что все двугранные углы между гранями равны. Этот многогранник правильный. Он имеет восемь граней и называется октаэдром.

Несколько сложнее убедиться в существование правильного многогранника, соответствующего символу (3, 5), т. е. многогранника с треугольными гранями, сходящимися по пять в каждой вершине. Возьмем три равных золотых прямоугольника, т.е. прямоугольника с соотношением сторон (+1)/2. Расположим их во взаимно перпендикулярных плоскостях, как показано на рисунке 17. Пусть стороны золотых прямоугольников для определенности равны + 1 и 2. Возьмем произвольную вершину А 1 одного из прямоугольников. Существуют в точности пять вершин этих прямоугольников, а именно вершины В1, А2, В3, D3, D2 находящиеся от А 1 на одинаковом расстоянии 2. По теореме Пифагора можно установить, что треугольники А 1 В 1 А 2 , А 1 А 2 В 3 , А 1 В 3 D 3 , А 1 D 3 D 2 , А 1 D 2 В 1 правильные. Кроме того, любые два смежных треугольника образуют равные двугранные углы. Точно такие правильные треугольники появляются во всех 12 вершинах прямоугольников, по пять в каждой. Таким образом, существует правильный многогранник, соответствующий символу (3, 5). Этот многогранник называется икосаэдром , что в переводе с греческого означает двадцатигранник. У икосаэдра 12 вершин.

Чтобы построить правильный многогранник с символом (5, 3), возьмем в качестве вершин этого многогранника центры всех двадцати треугольных граней икосаэдра. Центры пяти треугольников, сходящихся в той или иной вершине икосаэдра, образуют вершины плоского правильного пятиугольника. Всего таких пятиугольников столько же, сколько вершин у икосаэдра - двенадцать. Эти правильные пятиугольники, сходящиеся по три в каждой вершине (в центре треугольной грани икосаэдра), образуют двенадцатигранник - додекаэдр . Все двугранные углы у этого додекаэдра равны. Поэтому этот многогранник является правильным.

Два правильных многогранника - октаэдр и додекаэдр - строились при помощи других многогранников - куба и икосаэдра. Причем каждая вершина, скажем, октаэдра соответствовала некоторой вершине куба. То же самое можно сказать и о паре многогранников икосаэдр - додекаэдр.

Два многогранника называются дуальными , если между множеством граней одного из них и множеством вершин другого существует взаимно однозначное соответствие, причем такое, что если две грани первого из них смежные ребру, то соответствующие этим граням вершины второго многогранника соединяются с ребром. Следует отметить, что у пары дуальных многогранников число вершин одного равно числу граней другого, а ребер у них поровну.

Дуальные многогранники состоят лишь из пяти- и шестиугольников, причем в каждой вершине сходятся по три грани. Такие многогранники называются фуллеренами. Изучение фуллеренов очень важно для приложений в химии, медицине, архитектуре. Теорема Грюнбаума в переводе на язык фуллеренов означает, что во всяком фуллерене имеется в точности двенадцать пятиугольников, а шестиугольников может быть какое угодно число, не меньше двух.

Чрезвычайно важная задача - как перечислить всевозможные структуры фуллеренов с наперед заданным числом n шестиугольников и сколько их в зависимости от n - остается актуальной и по сей день.

6.Полуправильные многогранники

Полуправильные многогранники являются естественным расширением правильных многогранников. Это выпуклые многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники, - возможно, с разным числом сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Большинство из них были открыты еще Архимедом. Но открывались они и в ХХ веке.

Самые простые из многогранников Архимеда получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Так, если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр , имеющий восемь граней (рис.1). Из них четыре – правильные шестиугольники и четыре – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходится три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис.2) и усеченный икосаэдр (рис.3). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис.4) и усеченный додекаэдр (рис.5).

Для того, чтобы получить еще один правильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис.6). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и название – кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис.7). У него двадцать граней – правильные треугольники и двенадцать граней – правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

Еще два многогранника называются усеченный кубооктаэдр (рис.8) и усеченный икосододекаэдр (рис.9), хотя их нельзя получить усечением кубооктаэдра и икосододекаэдра. Отсечение углов этих многогранников дает не квадраты, а прямоугольники.

Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся – многогранники более сложного типа.

На рисунке 10 мы видим ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.

На рисунке 11 изображен ромбоикосододекаэдр, поверхность которого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. На рисунках 12, 13 представлены так называемые плосконосый (курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Кроме этих тринадцати тел Архимеда в число полуправильных многогранников включается 14-й многогранник, называемый псевдоархимедовым (рис.14). Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом нижней чаши на 45º.

Конечно, еcли в определении полуправильного многогранника ослабить второе условие, то можно найти и другие многогранники удовлетворяющие этому определению. По крайней мере, есть еще пять многогранников, получаемых поворотом их частей.

Так, если повернуть нижнюю или верхнюю чашу икосододекаэдра на 36°, то получим новый многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и треугольники и в каждой вершине сходится четыре ребра.

Поворачивая чаши ромбоикосододекаэдра можно получить еще четыре многогранника, гранями которых являются квадраты и правильные пятиугольники и треугольники, а в каждой вершине сходится четыре ребра.

Какое же определение полуправильного многогранника правильное? Какое определение имел в виду Архидем, описавший тринадцать полуправильных многогранников? Знал ли он о псевдоархимедовом теле или не догадался, что можно повернуть чашу кубооктаэдра? К сожалению, определение полуправильного многогранника, которым пользовался Архимед, не дошло до нас. По-видимому, Архимед не считал псевдоархимедов многогранник полуправильным многогранником.

Действительно, по внешнему виду псевдоархимедов многогранник не такой «правильный», как многогранники Архимеда. Но чем же определяется «правильность»?

Представим полуправильный многогранник, сделанный из прозрачного материала, и посмотрим сквозь одну n-угольную грань. Мы увидим остальные грани, расположенные в определенном порядке. Точно такую же картину мы увидим, если посмотрим сквозь другую n-угольную грань этого многогранника. Этим свойством обладают все полуправильные многогранники, а псевдоархимедов многогранник – нет. Если посмотреть сквозь верхнюю квадратную грань и сквозь боковую квадратную грань, то мы увидим разные расположения остальных граней.

С математической точки зрения правильность определяется наличием симметрий, то есть движений, переводящих многогранник сам в себя.

Для тел Архимеда выполняется следующее свойство: для любых двух вершин существует симметрия, при которой одна вершина переходит в другую. Это означает, что не только все многогранные углы равно, но что для любых двух многогранных углов существует движение многогранника, переводящее один из них в другой. Конечно, это более сильное условие, чем просто равенство многогранных углов. Этому условию не удовлетворяет псевдоархимедов многогранник.

Таким образом, имеется три варианта определения полуправильного многогранника.

Определение 1. Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из правильных многоугольников, - возможно, с разным числом сторон – и в каждой вершине одинаковое число ребер. В этом случае, помимо двух бесконечных серий призм и антипризм, имеется по крайней мере 19 таких многогранников.

Определение 2. полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из правильных многоугольников, - возможно, с разным числом сторон, - и все эти многогранные углы равны. В этом случае, помимо двух бесконечных серий призм и антипризм, имеется 14 таких многогранников – 13 тел Архимеда и псевдоархимедов многогранник.

Определение 3. Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из правильных многоугольников, - возможно с разным числом сторон, - и для любых двух вершин существует симметрия многогранника, переводящая одну из них в другую. В этом случае, помимо двух бесконечных серий, имеется 13 таких многогранников – многогранников Архимеда.

Можно предположить, что Архимед пользовался именно третьим определением.

Заключение

Итак, выполнив эту работу, я узнала много нового и интересного о правильных многогранниках, оказывается, что еще есть и полуправильные многогранники.

Изучая весь этот материал, я открыла удивительные вещи для себя: первыми правильные полуправильные многогранники изучали Платон и Архимед, а ведь они жили еще до нашей эры, и в наши дни многие ученые занимаются изучением многогранников. Значит, интерес к многогранникам не пропадет никогда, это такие необыкновенные фигуры, а главное, какие они красивые! Одно из самых главных свойств многогранников – это симметрия. Благодаря ей они и выглядят так необычно.

Свойства многогранников используются в различных сферах деятельности человека. Например, в архитектуре: почти все здания строятся с соблюдением симметрии. Многие знаменитые художники пишут свои картины, используя симметрию. За счет этого картины смотрятся более эффектно.

Таким образов вся наша жизнь наполнена многогранниками, с ними сталкивается каждый человек: и маленькие дети и зрелые люди.

В своей работе я обобщила собранный по теме реферата материал и подготовила для его защиты презентацию, сделанную в редакторе Power Point. Мне было интересно работать над выбранной темой реферата.

Список источников:

/encicl/articles/15/1001550/1001550A.htm

/sch758/2003/geomet/new!!/prav.html

/dict/bse/article/00048/75500.htm

/dict/krugosvet/article/9/9b/1001550.htm

http :// ru . wikipedia . org / wiki /% D 0%9 F % D 1%80% D 0% B 0% D 0% B 2% D 0% B 8% D 0% BB % D 1%8 C % D 0% BD % D 1%8 B % D 0% B 9_% D 0% BC % D 0% BD % D 0% BE % D 0% B 3% D 0% BE % D 0% B 3% D 1%80% D 0% B 0% D 0% BD % D 0% BD % D 0% B 8% D 0% BA

/referat-20446.html

Смирнова И., Смирнов В. Что такое «Полуправильный многогранник» //Учебно-методическая газета «Математика».- 2007 .-№16-с.23-26

http :// pravmn . narod . ru / tetr . htm

http :// pravmn . narod . ru / kub . htm

http :// pravmn . narod . ru / okto . htm

http :// pravmn . narod . ru / icos . htm

http :// pravmn . narod . ru / dod . htm

Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. Для учащихся.- М.: Просвещение, 1995.

Литвиненко В.Н. Многогранники. Задачи и решения:- М.: Вита-Пресс, 1995.

Приложение 1

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Тема реферата : Правильные многоугольники Выполнила : Бушуева М. А. ученица 10 класса Б. Руководители: Кулеш Людмила Егоровна...

Автореферат диссертации

Школа №11 Выполнили ученицы 10 класса “Б": Алёхина... среди 9-х классов на тему правильных многогранников ), а с другой стороны - ... рефератом 10 ...

Выполнили ученицы 10 класса “Б" Алёхина Марина

Автореферат диссертации

Школа №11 Выполнили ученицы 10 класса “Б": Алёхина... среди 9-х классов на тему : « ... платоновых тел, т. е. пяти правильных многогранников ), а с другой стороны - ... рефератом Атанасян П.М., Бутузов М.В., Кадомцев А.В., Киселёва А.И..«Геометрия 10 ...

Реферат по геометрии «Стереометрия» Северск 2009г Оглавление стр

Автореферат диссертации

83» Реферат по геометрии «Стереометрия» Выполнила Давлетшина Р.А. ученица 10 класса Северск... 6). Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса... совершенством и красотой, как правильные многогранники . "Правильных многогранников вызывающе мало, - ...

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
2. имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
3. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

• Конгруэнтные основания.
• Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
• Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

1. имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

• В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
• Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

1. Тетраэдр.
2. Гексаэдр.
3. Октаэдр.
4. Додекаэдр.
5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
2. Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
3. Все межгранные углы равны 90.
4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
5. Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

1. Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Тела Платона, выпуклые многогранники, все грани к рых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (рис. 1a 1д). В евклидовом пространстве Е 3 существуют пять П. м., данные о к рых приведены в … Математическая энциклопедия

Правильный n мерный многогранник многогранники n мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами. Содержание 1 Определение 2 … Википедия

Многогранник поверхность составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью. Содержание 1 Три варианта определения 2 Вариации и обобщения 3 Использование … Википедия

Многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники нескольких разных наименований, а многогранные углы при вершинах конгруэнтны. Существует 13 определённых типов П. м. и две бесконечные серии. См. Многогранник …

Или Архимедовы тела выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани правильные многоугольники одного типа, это правильный многогранник); Для любой пары… … Википедия

Тела Архимеда, выпуклые многогранники, все грани к рых суть правильные многоугольники, а многогранные углы конгруэнтны или симметричны. Данные о П. м. приведены в таблице, где В число вершин, Р число ребер, Г число граней, Г k. число nk угольных… … Математическая энциклопедия

Многогранник - Многогранники (правильные выпуклые): 1 тетраэдр; 2 куб; 3 октаэдр; 4 додекаэдр; 5 икосаэдр. МНОГОГРАННИК, поверхность, состоящая из многоугольников (граней) таких, что каждая сторона любого из них есть одновременно сторона другого многоугольника… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера

В трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от… … Большая советская энциклопедия

Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия

Книги

• Волшебные грани № 12. Многогранник. Правильные многогранники , . Создание моделей многогранников из картона очень увлекательное и доступное занятие, это "магия превращения" листа бумаги в объемную фигуру. Специальный выпуск позволяет собрать 5 правильных…
• Группы отражений и правильные многогранники , Смирнов Е.Ю.. Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором участникам Летней школы "Современная математика" в Дубне 20-26 июля 2008 г. В ней излагается классификация правильных…

Правильные многогранники.
Правильный многогранник, или так же известный как «Платоново тело» - это вид многогранника, гранями которого являются правильнее многоугольники (треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник и т д) В зависимости от конкретного вида многоугольника, который является гранью многогранника, многогранники носят свои наименования:
1. Тетраэдр – гранью является правильный треугольник, количество вершин – 4, количество ребер – 6, количество граней – 4.

2. Гексаэдр (или всем известный куб) – грань-квадрат, количество вершин - 8 , количество ребер - 12 , количество граней – 6.

3. Додекаэдр – грань-пятиугольник, количество вершин - 20 , количество ребер - 30 , количество граней – 12.

Помимо тетраэдра, есть и другие многогранники, гранью которых является треугольник:
4. Октаэдр – количество вершин - 6 , количество ребер – 12, количество граней – 8.

5. Икосаэдр - количество вершин - 12 , количество ребер - 30, количество граней – 20.


Существует специальная формула, которая была придумана ученым Эйлером. Данная формула связывает число рёбер, граней и сторон многогранника простым соотношением:
В+Г=Р+2, где В – количество вершин; Г – количество граней; Р – количество ребер.

Некоторые факты из истории многогранников:

1. Многогранники известны еще задолго до Платона. Историками, археологами были найдены фигурки созданный древними, в которых четко прослеживаются формы правильных многогранников. Кроме того подобные фигуры часто выступали элементами древних архитектурных строениях.
2. Считается, что многогранники (уже с точки зрения геометрии) были открыты Пифагором. Однако по другим источникам ему принадлежит заслуга открытия лишь трех многогранников, а именно тетраэдра, гексаэдра и додекаэдра. Что же касается октаэдра и икосаэдра, их открытие приписывают древнегреческому математику Теэтету Афинскому.
3. Многогранники так же называются «Платоновыми телами» потому, что в свое время Платон в одной из своих работ сопоставил многогранники с ч етырьмя природными стихиями. Каждому многограннику соответствовала своя стихия: тетраэдру – огонь, гексаэдру (кубу) – земля, октаэдру – воздух, икосаэдру – вода.
4. Полное описание многогранников с точки зрения математики и геометрии дал в одном из своих трудов Евклид.
5. Во времена известного математика Иоганна Кеплера было известно лишь пять планет Солнечной системы. Так как это число совпадала с числом существующих многогранников, которых так же 5, он пытался найти соответствие между ними и планетами.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

РЕФЕРАТ

ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

ИСПОЛНИТЕЛИ: .

СТУДЕНТКИ 3-ГО КУРСА 1 ГРУППЫ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА

ПАНКОВА АНАСТАСИЯ ОЛЕГОВНА

АНТОНОВА ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА

Г. ОРЕХОВО-ЗУЕВО

Правильных многогранников

вызывающе мало, но этот весьма

скромный по численности отряд

сумел пробиться в самые глубины

различных наук.

Л. Кэрролла.

1. Введение.

Человек проявляет интерес к правильным многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков.

Наш реферат посвящен теме правильных и полуправильных многогранников. Их изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп. Также и нас эти удивительные тела не оставили равнодушной. Ведь их форма – образец совершенства!

Сколько всего правильных многогранников? Какими особенностями они обладают? Как изготовить модель какого-либо правильного многогранника? Где можно встретить эти тела? Ответить на эти и многие другие вопросы и является целью нашей работы.

2. Правильные многогранники.

Многогранник называется правильным , если: во-первых, он выпуклый; во-вторых, все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; в-третьих, в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; и, в-четвертых, все его двугранные углы равны.

Возникает вопрос: сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников - ни больше ни меньше, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны или правильные пятиугольники (тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр).

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого «тетраэдр», «октаэдр», «гексаэдр», «додекаэдр», «икосаэдр» означают: «четырехгранник», «восьмигранник», «шестигранник», «двенадцатигранник», «двадцатигранник». Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.

Все правильные многогранники получили название Платоновых тел , так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Платон (427-347 годы до н.э.)

Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал огонь, так как его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, так как он самый «обтекаемый»; куб - землю, как самый «устойчивый»; октаэдр - воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее или» «Вселенский разум», символизировал все мироздание, считался главным.

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода=воздух/огонь.

Тетраэдр – эточетырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников (рис. 1-а). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Куб или правильный гексаэдр - это правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами (рис 1-б). Куб, получается, если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три.

Октаэдр - этовосьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников(рис.1-в). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием.

Икосаэдр - этодвадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками ( рис 1-г).

Додекаэдр - этодвенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник ( рис 1-д). Оноснован на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона .

Рисунок 1. Платоновы тела: (а) октаэдр («Огонь»), (б) гексаэдр или куб («Земля»),
(в) октаэдр («Воздух»), (г) икосаэдр («Вода»), (д) додекаэдр («Вселенский разум»)

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник . Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Развертки правильных многогранников:

3. Доказательство существования пяти правильных многогранников.

Мы знаем, что правильных многогранников существует только пять. Теперь попробуем это доказать.

Предположим, что правильный многогранник имеет Г граней, из которых каждая есть правильный n-угольник, у каждой вершины сходятся k ребер, всего в многограннике В вершин и Р ребер, причем n3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех сторон, и k3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех ребер.

Считая ребра по граням, получим: n Г = 2Р.

Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, в произведении

nГ число Р удвоено.

Считая ребра по вершинам, получим: kВ = 2Р, поскольку каждое ребро упирается в 2 вершины. Тогда равенство Эйлера дает:

или . (*)

По условию , тогда , т.е. n и k не могут быть более трех. Например, если бы было n = 4 и k = 4, то тогда и Прикидкой можно проверить, что и другие значения n и k, большие 3, не удовлетворяют равенству (*). Значит, либо k = 3, либо n = 3.

Пусть n = 3 , тогда равенство (*) примет вид:

или

Поскольку может принимать значения , ,

т.е. k = 3, 4, 5.

Если k = 3, n = 3 , то P = 6, Г = В = - это тетраэдр (см. табл. 1).

Если k = 4, n = 3 , то Р = 12, Г = , В = - это октаэдр.

Если k = 5, n = 3 , то Р = 30, Г = В = - это икосаэдр.

Пусть теперь k = 3, тогда равенство (*) примет вид:

Отсюда следует, что n может принимать значения 3, 4, 5.

Случай n = 3 разобран.

Остаются два случая:

n = 4 при k = 3, тогда , т.е. Р = 12, Г = , В = - это куб.

n = 5 при k = 3, тогда , Р = 30, Г = 12, В = 30 - это додекаэдр.

Вот мы и доказали, что существует, пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Эвклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии.

4. Числовые характеристики Платоновых тел .

Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней n, сходящихся в каждой вершине, число граней Г , число вершин В, число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника (табл. 1).

Многогран-ник	Число сторон грани, m	Число граней, сходящихся в вершине, n	Число граней	Число вершин	Число ребер	Число плоских углов на поверхности
Тетраэдр	3	3	4	4	6	12
Гексаэдр (куб)	4	3	6	8	12	24
Октаэдр	3	4	8	6	12	24
Икосаэдр	3	5	20	12	30	60
Додекаэдр	5	3	12	20	30	60

Таблица 1. Числовые характеристики Платоновых тел.

Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбцах граней, вершин и ребер?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2 ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).

Таблица 2

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2 .

Формула Эйлера

Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Элементы симметрии:

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем тетраэдра:

Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности куба:

Объемкуба:

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем октаэдра:

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

,

Радиус вписанной сферы:

,

Площадь поверхности:

Объем икосаэдра:

.

Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

,

Радиус вписанной сферы:

,

Площадь поверхности:

,

Объем додекаэдра:

.

5. Теория Кеплера.

В Европе в XYI – XYII вв. жил и творил замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер Иоганн Кеплер (1571-1630).

Кеплер действительно выступал в науке как астроном, математик и фантазер. Если бы в нем не было хотя бы одного из названных качеств, то он не смог бы достичь таких высот в науке.

На основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца.

Первый закон : каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон : каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиус-вектором, изменяется пропорционально времени.

Третий закон : квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.

Но это были только гипотезы, пока их не объяснил и уточнил на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643-1727), создавший теорию движения небесных тел, которая доказала свою жизнеспособность тем, что с ее помощью люди научились предсказывать многие небесные явления.

Но представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы–столбики цифр. Это результаты наблюдений – как его собственных, так и великих предшественников-астрономов. В этом море вычислительной работы человек хочет найти некоторую закономерность. Что поддерживает его в таком грандиозном замысле? Во-первых, вера в гармонию, уверенность в том, что мироздание устроено закономерно, а значит, законы его устройства можно обнаружить. А во-вторых, фантазия в сочетании с терпением и честностью. В самом деле, ну надо же от чего-то оттолкнуться! Искомые законы надо сначала придумать в собственной голове, а потом проверять их наблюдениями.

Сначала Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего, пять правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония мира и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.

Кеплер выполнил огромную вычислительную работу, чтобы подтвердить свои предположения. В 1596 году он выпустил книгу, в которой они были изложены. Согласно этим предположениям, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера.

6. Задача о проверке космической теории Платоновых тел.

Можно проверить самим космическую теорию Платоновых тел. Рассмотрим задачу:

«Средние радиусы орбиты Сатурна и Юпитера равны соответственно Rс= 1, 427·10 9 км и Rю = 0,788 · 10 9 км. Найдите отношение радиусов орбит указанных планет и сравните найденное отношение с отношением радиусов описанной около куба и вписанной в него сфер».

Согласно гипотезе Кеплера эти отношения должны быть равны. Итак, из наблюдений имеем:

.

Согласно гипотезе в сферу орбиты Сатурна вписан куб, пусть его ребро равно а. Тогда радиус вписанной окружности равен половине диагонали вписанного куба, т.е. но и тогда . В этот куб вписана сфера (орбита Юпитера). Обозначим ее радиус через r. Он равен половине ребра куба, т.е. . Тогда .

Как видим, расхождение между теоретическим отношением R: r и наблюдаемым Rс: Rю не так уж и велико, менее 0,1. А для космических масштабов оно вроде бы и допустимо. Эти «почти совпадения» и заставляли Кеплера долго держаться за теорию платоновых тел, поскольку легко было заподозрить ошибку в наблюдениях.

Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашел в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако ее следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говорится о кубах средних расстояний от Солнца.

Каким образом они могли появиться в сознании человека, если бы он не рассуждал об объеме пространственных тел? Ведь именно объем, как мы знаем, выражается кубами линейных размеров тел. Но это тоже гипотеза, гипотеза о том, как были найдены законы Кеплера. У нас нет возможности ее проверить, но мы твердо знаем одно: без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

7. Архимедовы тела

Полуправильные многогранники

Известно еще множество совершенных тел, получивших название полуправильных многогранников или Архимедовых тел. У них также все многогранные углы равны и все грани – правильные многоугольники, но несколько разных типов. Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду.

Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э)

Множество Архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составляют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело – это тело с отрезанной верхушкой. Для Платоновых тел усечение может быть сделано таким образом, что и получающиеся новые грани и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. Таким путем могут быть получены пять Архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный гексаэдр (куб), усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр (Рис. 2).

(а)	(б)	(в)

(г)	(д)

Рисунок 2. Архимедовы тела: (а) усеченный тетраэдр, (б) усеченный куб, (в) усеченный октаэдр, (г) усеченный додекаэдр, (д) усеченный икосаэдр

В своей Нобелевской лекции американский ученый Смолли, один из авторов экспериментального открытия фуллеренов, говорит об Архимеде (287-212 гг. до н.э.) как о первом исследователе усеченных многогранников, в частности, усеченного икосаэдра , правда, оговариваясь, что возможно Архимед присваивает себе эту заслугу и, возможно, икосаэдры усекали задолго до него. Достаточно упомянуть найденные в Шотландии и датированные около 2000 г. до н.э. сотни каменных предметов (по всей видимости, ритуального назначения) в форме сфер и различных многогранников (тел, ограниченных со всех сторон плоскими гранями), включая икосаэдры и додекаэдры. Оригинальная работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до нас, что называется, «из вторых рук». Во времена Возрождения все Архимедовы тела одно за другим были «открыты» заново. В конце концов, Кеплер в 1619 г. в своей книге «Мировая гармония» («Harmonice Mundi») дал исчерпывающее описание всего набора архимедовых тел - многогранников, каждая грань которых представляет собой правильный многоугольник, а все вершины находятся в эквивалентном положении (как атомы углерода в молекуле С 60). Архимедовы тела состоят не менее, чем из двух различных типов многоугольников, в отличие от 5 Платоновых тел , все грани которых одинаковы (как в молекуле С 20 , например).

Рисунок 3. Конструирование Архимедового усеченного икосаэдра
из Платонового икосаэдра

Итак, как же сконструировать Архимедов усеченный икосаэдр из Платонова икосаэдра ? Ответ иллюстрируется с помощью рис. 3. Действительно, как видно из Табл. 1, в любой из 12 вершин икосаэдра сходятся 5 граней. Если у каждой вершины отрезать (отсечь) 12 частей икосаэдра плоскостью, то образуется 12 новых пятиугольных граней. Вместе с уже имеющимися 20 гранями, превратившимися после такого отсечения из треугольных в шестиугольные, они составят 32 грани усеченного икосаэдра. При этом ребер будет 90, а вершин 60.

8. Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре.

Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр занимают особое место среди Платоновых тел . Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией . Действительно, гранями додекаэдра (Рис.1-д) являются пентагоны , т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр (Рис.1-г), то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон . Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел .

Но существуют более глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре . Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R i . Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через R m . Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R c . В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра , имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию t (Табл. 3).

R c	R m	R i
Икосаэдр
Додекаэдр

Таблица 3. Золотая пропорция в сферах додекаэдра и икосаэдра

Заметим, что отношение радиусов = одинаково, как для икосаэдра , так и для додекаэдра . Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в Началах Евклида.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра , подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через золотую пропорцию (Табл.4).

Таблица 4. Золотая пропорция во внешней площади и объеме

додекаэдра и икосаэдра.

Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра , и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины», которую мы рассмотрим ниже.

9. Что такое календарь?

Русская пословица гласит: «Время – око истории». Все, что существует во Вселенной: Солнце, Земля, звезды, планеты, известные и неизвестные миры, и все, что есть в природе живого и неживого, все имеет пространственно-временное измерение. Время измеряется путем наблюдения периодически повторяющихся процессов определенной длительности.

В основу измерения времени астрономия положила движение небесных тел, которое отражает три фактора: вращение Земли вокруг своей оси, обращение Луны вокруг Земли и движение Земли вокруг Солнца. От того, на каком из этих явлений основывается измерение времени, зависят и разные понятия времени. Астрономия знает звездное время, солнечное время, местное время, поясное время, декретное время, атомное время и т.д.

Солнце, как и все остальные светила, участвует в движении по небосводу. Кроме суточного движения, Солнце обладает так называемым годичным движением, а весь путь годичного движения Солнца по небосводу называется эклиптикой. Если, например, заметить расположение созвездий в какой-нибудь определенный вечерний час, а затем повторять это наблюдение через каждый месяц, то перед нами предстанет иная картина неба. Вид звездного неба изменяется непрерывно: каждому времени года свойственна своя картина вечерних созвездий и каждая такая картина через год повторяется. Следовательно, по истечении года Солнце относительно звезд возвращается на прежнее место.

Для удобства ориентировки в звездном мире астрономы разделили весь небосвод на 88 созвездий. Каждое из них имеет свое наименование. Из 88 созвездий особое место в астрономии занимают те, через которые проходит эклиптика. Эти созвездия, кроме собственных имен, имеют еще обобщенное название – зодиакальные (от греческого слова «zoop» - животное). Они представляют собой широко известные во всем мире символы (знаки) и аллегорические изображения, вошедшие в календарные системы.

Известно, что в процессе перемещения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий. Однако астрономы сочли нужным разделить путь Солнца не на 13, а на 12 частей, объединив созвездия Скорпион и Змееносец в единое - под общим названием Скорпион (почему?).

Проблемами измерения времени занимается специальная наука, называемая хронологией. Она лежит в основе всех календарных систем, созданных человечеством. Создание календарей в древности являлось одной из важнейших задач астрономии.

Что же такое «календарь» и какие существуют системы календарей? Слово календарь происходит от латинского слова calendarium, что буквально означает «долговая книга»; в таких книгах указывались первые дни каждого месяца –календы, в которые в Древнем Риме должники платили проценты.

С древнейших времен в странах Восточной и Юго-Восточной Азии при составлении календарей большое значение придавали периодичности движения Солнца, Луны, а также Юпитера и Сатурна, двух гигантских планет Солнечной системы. Есть основание предполагать, что идея создания юпитерианского календаря с небесной символикой 12-летнего животного цикла связана с вращением Юпитера вокруг Солнца, который делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 12 лет (11,862 года). С другой стороны вторая гигантская планета Солнечной системы – Сатурн делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 30 лет (29, 458 года). Желая согласовать циклы движения гигантских планет, древние китайцы пришли к идее введения 60-летнего цикла Солнечной системы. В течение этого цикла Сатурн делает 2 полных обороты вокруг Солнца, а Юпитер - 5 оборотов.

При создании годичных календарей используются астрономические явления: смена дня и ночи, изменение лунных фаз и смена времен года. Использование различных астрономических явлений привело к созданию у различных народов трех типов календарей: лунные, основанные на движении Луны, солнечные, основанные на движении Солнца, и лунно-солнечные.

10. Структура египетского календаря

Одним из первых солнечных календарей был египетский, созданный в 4-м тысячелетии до н.э. Первоначально египетский календарный год состоял из 360 дней. Год делился на 12 месяцев ровно по 30 дней в каждом. Однако позже было обнаружено, что такая длительность календарного года не соответствует астрономическому. И тогда египтяне добавили к календарному году «хвостик» из 5 дней, которые однако не входили в состав месяцев. Это были 5 праздничных дней, соединявших соседние календарные годы. Таким образом, египетский календарный год имел следующую числовую структуру: 365 = 12ґ 30 + 5. Заметим, что именно египетский календарь является прообразом современного календаря.

Возникает вопрос: почему египтяне разделили календарный год на 12 месяцев? Ведь существовали календари с другим количеством месяцев в году. Например, в календаре майя год состоял из 18 месяцев по 20 дней в месяце. Следующий вопрос, касающийся египетского календаря: почему каждый месяц имел ровно 30 дней (точнее суток)? Можно поставить некоторые вопросы и по поводу египетской системы измерения времени, в частности по поводу выбора таких единиц времени, как час, минута, секунда. В частности, возникает вопрос: почему единица часа была выбрана таким образом, чтобы она ровно 24 раза укладывалась в сутки, то есть, почему 1 сутки = 24 (2ґ 12) часа? Далее: почему 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд? Эти же вопросы относятся и к выбору единиц угловых величин, в частности: почему окружность разбита на 360°, то есть, почему 2p =360° =12ґ 30° ? К этим вопросам добавляются и другие, в частности: почему астрономы признали целесообразным считать, что существует 12 зодиакальных знаков, хотя на самом деле в процессе своего движения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий? И еще один «странный» вопрос: почему вавилонская система счисления имела весьма необычное основание – число 60?

11. Связь египетского календаря с числовыми характеристиками додекаэдра.

Анализируя египетский календарь, а также египетские системы измерения времени и угловых величин, мы обнаруживаем, что в них с удивительным постоянством повторяются четыре числа: 12, 30, 60 и производное от них число 360 = 12ґ 30. Возникает вопрос: не существует ли какой-то фундаментальной научной идеи, которая могла бы дать простое и логичное объяснение использованию этих чисел в египетских системах?

Для ответа на это вопрос еще раз обратимся к додекаэдру, изображенному на Рис. 3.1-д. Напомним, что все геометрические соотношения додекаэдра основаны на золотой пропорции.

Знали ли египтяне додекаэдр? Историки математики признают, что древние египтяне обладали сведениями о правильных многогранниках. Но знали ли они все пять правильных многогранников, в частности додекаэдр и икосаэдр, как наиболее сложные из них? Древнегреческий математик Прокл приписывает построение правильных многогранников Пифагору. Но ведь многие математические теоремы и результаты (в частности Теорему Пифагора) Пифагор позаимствовал у древних египтян в период своей весьма длительной «командировки» в Египет (по некоторым сведениям Пифагор прожил в Египте в течение 22 лет!). Поэтому мы можем предположить, что знание о правильных многогранниках Пифагор, возможно, также позаимствовал у древних египтян (а возможно, у древних вавилонян, потому что согласно легенде Пифагор прожил в древнем Вавилоне 12 лет). Но существуют и другие, более веские доказательства того, что египтяне владели информацией о всех пяти правильных многогранниках. В частности, в Британском Музее хранится игральная кость эпохи Птоломеев, имеющая форму икосаэдра, то есть «Платонового тела», дуального додекаэдру. Все эти факты дают нам право выдвинуть гипотезу о том, что египтянам был известен додекаэдр. И если это так, то из этой гипотезы вытекает весьма стройная система, позволяющая дать объяснение происхождению египетского календаря, а заодно и происхождению египетской системы измерения временных интервалов и геометрических углов.

12. Гармония циклов Солнечной Системы.

Ранее мы установили, что додекаэдр имеет 12 граней (пентагонов), 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности (Табл. 3.1). Если исходить из гипотезы, что египтяне знали додекаэдр и его числовые характеристики 5, 12, 30. 60, то каково же было их удивление, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы, а именно, 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. При этом главный цикл Солнечной системы и цикл Юпитера связаны следующим числовым соотношением: 60 = 12ґ 5 (которое, кстати, совпадает с числовой структурой масштабной иерархии Вселенной!). Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр, и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь! Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был принят в качестве «главной фигуры», которая символизировала Гармонию Мироздания. И тогда египтяне решили, что все их главные системы (календарная система, система измерения времени, система измерения углов) должны соответствовать числовым параметрам додекаэдра! Поскольку по представлению древних движение Солнца по эклиптике имело строго круговой характер, то, выбрав 12 знаков Зодиака, дуговое расстояние между которыми равнялось ровно 30°, египтяне удивительно красиво согласовали годичное движение Солнца по эклиптике со структурой своего календарного года: один месяц соответствовал перемещению Солнца по эклиптике между двумя соседними знаками Зодиака! Более того, перемещение Солнца на один градус соответствовало одному дню в египетском календарном году! При этом эклиптика автоматически получалась разделенной на 360°. Разделив каждые сутки на две части, следуя додекаэдру, египтяне затем каждую половину суток разделили на 12 частей (12 граней додекаэдра) и тем самым ввели час – важнейшую единицу времени. Разделив один час на 60 минут (60 плоских углов на поверхности додекаэдра), египтяне таким путем ввели минуту – следующую важную единицу времени. Точно также они ввели секунду – наиболее мелкую на тот период единицу времени.

Таким образом, выбрав додекаэдр в качестве главной «гармонической» фигуры мироздания, и строго следуя числовым характеристикам додекаэдра 12, 30, 60, египтянам удалось построить чрезвычайно стройный календарь, а также системы измерения времени и угловых величин, которые существуют до настоящего времени! Эти системы полностью согласовывалась с их «Теорией Гармонии», которая, по некоторым сведениям, существовала у древних египтян. Эта теория была основана на золотой пропорции и возникла задолго до возникновения греческой науки и математики.

Вот такие удивительные выводы вытекают из сопоставления додекаэдра с Солнечной системой. И если наша гипотеза правильна (пусть кто-нибудь попытается ее опровергнуть), то отсюда следует, что вот уже много тысячелетий человечество живет под знаком золотого сечения! И каждый раз, когда мы смотрим на циферблат наших часов, который также построен на использовании числовых характеристик додекаэдра 5,12, 30 и 60, мы прикасаемся к главной «Тайне Мироздания» - золотому сечению, сами того не подозревая!

13. О календаре и системе счисления майя.

Известно, что календарный год в календаре майя имел следующую числовую структуру: 1 год = 360 + 5 = 20ґ 18 + 5 дней, откуда вытекает, что год майя разделили на 18 месяцев по 20 дней в каждом. Числа 20 и 360 были использованы майя в качестве «узловых» чисел своей системы счисления. Однако по своей структуре календарный год майя был подобен структуре египетского календарного года: 1 год = 360 + 5 = 12ґ 30 + 5 дней, в котором числа 12 и 30 были числами додекаэдра. Но что такое число 20 в календаре майя? Обратимся снова к икосаэдру и додекаэдру. В этих «сакральных» фигурах имеется еще одна «священная» числовая характеристика – число вершин, которое одно и то же для додекаэдра и икосаэдра и равно числу 20! Таким образом, древние майя, несомненно, использовали эту числовую характеристику додекаэдра и икосаэдра в своем календаре (разделив год на 20 месяцев) и в своей системе счисления (выбрав числа 20 и 360 в качестве «узловых» чисел своей системы счисления).

Согласно замечанию комментатора последнего издания сочинений Платона, у него «вся космическая пропорциональность покоится на принципе золотого деления, или гармонической пропорции». Как упоминалось, космология Платона основывается на правильных многогранниках, называемых телами Платона. Представление о «сквозной» гармонии мироздания неизменно ассоциировалось с ее воплощением в этих пяти правильных многогранниках, выражавших идею повсеместного совершенства мира. И то, что главная «космическая» фигура - додекаэдр, символизировавший тело мира и вселенской души, был основан на золотом сечении, придавало последнему особый смысл, смысл главной пропорции мироздания.

Космология Платона стала основой, так называемой икосаэдро-додекаэдрической доктрины, которая с тех пор красной нитью проходит через всю человеческую науку. Суть этой доктрины состоит в том, что додекаэдр и икосаэдр есть типичные формы природы во всех ее проявлениях, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Вопрос о форме Земли постоянно занимал умы ученых античных времен. И когда гипотеза о шарообразной форме Земли получила подтверждение, возникла идея о том, что по своей форме Земля представляет собой додекаэдр. Так, уже Сократ писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи».

Эта гипотеза Сократа нашла дальнейшее научное развитие в трудах физиков, математиков и геологов. Так, французский геолог де Бимон и известный математик Пуанкаре считали, что форма Земли представляет собой деформированный додекаэдр.

Российский геолог С. Кислицин, также разделял мнение о додекаэдрической форме Земли. Он высказал гипотезу о том, что 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в гео-икосаэдр. Однако такой переход оказался неполным и незавершенным, в результате чего гео-додекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра.

Недавно московские инженеры В. Макаров и В. Морозов выдвинули еще одну интересную гипотезу, касающуюся формы Земли. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

В последние годы гипотеза об икосаэдро-додекаэдрической форме Земли была подвергнута проверке. Для этого ученые совместили ось додекаэдра с осью глобуса и, вращая вокруг нее этот многогранник, обратили внимание на то, что его ребра совпадают с гигантскими нарушениями земной коры (например, с Срединно-Атлантическим подводным хребтом). Взяв затем икосаэдр в качестве многогранника, они установили, что его ребра совпадают с более мелкими членениями земной коры (хребты, разломы и т.д.). Эти наблюдения подтверждают гипотезу о близости тектонического строения земной коры с формами додекаэдра и икосаэдра.Узлы гипотетического гео-кристалла являются как бы центрами определенных аномалий на планете: в них расположены все мировые центры экстремального атмосферного давления, районы зарождения ураганов; в одном из узлов икосаэдра (в Габоне) обнаружен «природный атомный реактор», еще работавший 1,7 млрд. лет назад. Ко многим узлам многогранников приурочены гигантские месторождения полезных ископаемых (например, Тюменское месторождение нефти), аномалии животного мира (оз. Байкал), центры развития культур человечества (Древний Египет, протоиндийская цивилизация Мохенджо-Даро, Северная Монгольская и т.п.). Все эти примеры подтверждают удивительную прозорливость интуиции Сократа.

Квинтэссенцией геометрических представлений о всем сущем стали работы американского исследователя Д. Винтера, возглавляющего группу «Планетарные сердцебиения». Он является проповедником идеала формы, унитарного «золотого сечения», которое подобно «золотой цепи» соединяют ген и Вселенную. Принимая концепцию икосаэдрически-додекаэдрической формы Земли, Винтер развивает ее дальше. Он обращает внимание на то, что угол, описываемый осью вращения Земли в ходе ее прецессии за 26 000 лет, составляет 32°. Это в точности равно тому углу, под которым можно наклонить куб, чтобы, вращая его затем вокруг оси (с пятью остановками), получить додекаэдр. По мнению Винтера, энергетический каркас Земли представляет собой додекаэдр, вставленный в икосаэдр, который, в свою очередь, вставлен во второй додекаэдр. Геометрические отношения между указанными многогранниками представляет собой золотое сечение.

Додекаэдрическая структура, по мнению Винтера, присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. И самое, пожалуй, главное, что структура ДНК генетического кода жизни представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!

А вот еще одно подтверждение плодотворности додекаэдро-икосаэдрической доктрины в астрономии, приведенное в статье Валерия Шихирина «Перспективы развития торовых технологий, эластической механики и «чудеса», сотворяемые ими в природе». Согласно утверждению Шихирина, «все «жидкие» звезды и планеты, типа Солнца, Юпитера, Сатурна и т.п., формировались в сверххолодной зоне/очаге деформации звездопрокатного стана галактики в правильные многогранники, будучи замерзшими. При поступательном перемещении выворачиванием природного эластичного тороида-галактики в теплую зону, эти звезды и планеты оттаивали, то есть становились жидкими, по крайней мере, на поверхности, и заливали грани многогранника вместе с его ребрами. Япет - спутник Сатурна, не имеет атмосферы, не растаял, ввиду недостаточности температуры для его оттаивания (химический состав). То есть он имеет твердую глазуревую поверхность-лысину, с которой всю пыль, если она была, просто сдуло в космическое пространство и Япет остался «в чем мать-Галактика родила», то есть правильным многогранником - додекаэдром. Более того, на поверхности Япета (Рис. 3, внизу в середине) хорошо видна так называемая «линия Мажино», точно по экватору опоясывающий планету горный хребет, как бы делящий ее на две равные части. Это ничто иное как заусенец (грат, облой, рубчик, залив, выступ) – избыточный материал, выдавленный при поперечно-винтовой прокатке через зазор между ребордами валков».

Рис. 3. Спутник Юпитера Япет имеет форму додекаэдра

15. Роль икосаэдра в развитии математики.

Имя выдающегося геометра Феликса Клейна широко известно в науке. Основные работы Клейна посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии Клейн изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872), известной под названием Эрлангенская программа. Кроме Эрлангенской программы и других выдающихся математических достижений, гениальность Феликса Клейна проявилась также в том, что 100 лет назад он сумел предсказать выдающуюся роль Платоновых тел, в частности, икосаэдра, в будущем развитии науки, в частности, математики. В 1884 г. (запомним этот год) Феликс Клейн опубликовал еще одну книгу «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени», посвященную геометрической теории икосаэдра.

Как известно, икосаэдр (а вместе с ним двойственный к нему додекаэдр) занимают особое место в «живой» природе; форму икосаэдра имеют некоторые вирусы и радиолярии, то есть, икосаэдральная форма и пентагональная симметрия являются фундаментальными в организации живого вещества.

В первой части книги определено и объяснено место икосаэдра в математике. Согласно Ф. Клейну, ткань математики широко и свободно разбегается листами отдельных теорий. Но есть объекты, в которых сходятся несколько листов, - своеобразные точки ветвления. Их геометрия связывает листы и позволяет охватить общематематический смысл разных теорий. Именно таким математическим объектом, по мнению Клейна, является икосаэдр. Клейн трактует икосаэдр как математический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: геометрия, теория Галуа, теория групп, теория инвариантов и дифференциальные уравнения.

Таким образом, главная идея Клейна чрезвычайно проста: «каждый уникальный геометрический объект, так или иначе, связан со свойствами икосаэдра».

В чем же состоит значение идей выдающегося математика с точки зрения теории гармонии? Прежде всего, в качестве объекта, объединяющего «главные листы» математики выбрано «тело Платона» - икосаэдр, основанный на золотом сечении. Отсюда естественным образом вытекает мысль, что именно Золотое Сечение и является той главной геометрической идеей, которая, согласно Клейну, может объединить всю математику.

Современники Клейна не сумели по достоинству понять и оценить революционный характер «икосаэдрической» идеи Клейна. Ее значение было понято ровно через 100 лет, то есть только в 1984 г., когда израильский физик Дан Шехтман опубликовал заметку, подтверждающую существование специальных сплавов (названных квазикристаллами), обладающих так называемой «икосаэдрической» симметрией, то есть симметрией 5-го порядка, что строго запрещено классической кристаллографией.

Таким образом, еще в 19-м веке гениальная интуиция Феликса Клейна привела его к мысли о том, что одна из древнейших геометрических фигур – икосаэдр – является главной геометрической фигурой математики. Тем самым Клейн в 19 в. вдохнул новую жизнь в развитие «додекаэдро-икосаэдрического представления» о структуре Вселенной, последователями которого были великие ученые и философы: Платон, построивший свою космологию на основе правильных многогранников, Евклид, посвятивший свои «Начала» изложению теории Платоновых тел, Иоганн Кеплер, использовавший Платоновы тела при создании своего Космического кубка, весьма оригинальной геометрической модели Солнечной системы.

16. Правильные многогранники вокруг нас.

Рассуждая об устройстве мира, нельзя оставить без внимания живую природу. Встречаются ли в живой природе правильные многогранники?

1. Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogoniaicosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

2. Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр. Его геометрические свойства позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра.

3. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль , без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

4. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K·12H 2 O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

5. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

6. В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий (Na 5 (SbO 4 (SO 4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

7. Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познанияприродной гармонии.

Инте ресная научная гипотеза, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Заключение.

В ходе работы над рефератом мы изучили правильные многогранники, рассмотрели их модели, выделили и систематизировали свойства каждого из многогранников. Кроме этого мы узнали, что правильные многогранники с древних времен привлекали внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга знаменитых «Начал» Евклида. К многогранникам обращались и в более позднее время. Это видно из научных трудов Иоганна Кеплера.

Стахов А.П. Додекаэдр, тайна Египетского календаря, циклы Солнечной Системы и «Арифметика Вселенной» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13065, 10.03.2006