ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შედგება 1, 2, 3, 4, ... რიცხვებისგან, რომლებიც გამოიყენება ობიექტების დასათვლელად. ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით ნ :

ნ = {1, 2, 3, 4, ..., ნ, ...} .

ნატურალური რიცხვების შეკრების კანონები

1. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის ადა ბთანასწორობა მართალია ა + ბ = ბ + ა . ამ თვისებას მიმატების კომუტაციური კანონი ეწოდება.

2. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის ა, ბ, გ თანასწორობა მართალია (ა + ბ) + გ = ა + (ბ + გ) . ამ თვისებას მიმატების გაერთიანებული (ასოციაციური) კანონი ეწოდება.

ნატურალური რიცხვების გამრავლების კანონები

3. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის ადა ბთანასწორობა მართალია აბ = ბა. ამ თვისებას გამრავლების კომუტაციური კანონი ეწოდება.

4. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის ა, ბ, გ თანასწორობა მართალია (აბ)გ = ა(ბგ) . ამ თვისებას გამრავლების გაერთიანებული (ასოციაციური) კანონი ეწოდება.

5. ნებისმიერი ღირებულებისთვის ა, ბ, გ თანასწორობა მართალია (ა + ბ)გ = აწ + ძვ.წ . ამ თვისებას უწოდებენ გამრავლების გამანაწილებელ კანონს (შელაგების მიმართ).

6. ნებისმიერი ღირებულებისთვის ათანასწორობა მართალია ა*1 = ა. ამ თვისებას ერთზე გამრავლების კანონი ეწოდება.

ორი ნატურალური რიცხვის დამატების ან გამრავლების შედეგი ყოველთვის ნატურალური რიცხვია. ან, სხვაგვარად რომ ვთქვათ, ეს ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს ნატურალური რიცხვების სიმრავლეში დარჩენის დროს. ეს არ შეიძლება ითქვას გამოკლებასა და გაყოფაზე: ამრიგად, რიცხვი 3-დან შეუძლებელია, ნატურალური რიცხვების სიმრავლეში დარჩენით, გამოვაკლოთ რიცხვი 7; რიცხვი 15 არ შეიძლება დაიყოს 4-ზე მთლიანად.

ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები

ჯამის გაყოფა.თუ თითოეული წევრი იყოფა რიცხვზე, მაშინ ჯამი იყოფა ამ რიცხვზე.

პროდუქტის გაყოფა.თუ პროდუქტში ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც იყოფა გარკვეულ რიცხვზე, მაშინ ნამრავლი ასევე იყოფა ამ რიცხვზე.

ეს პირობები, როგორც ჯამისთვის, ასევე პროდუქტისთვის, საკმარისია, მაგრამ არა აუცილებელი. მაგალითად, ნამრავლი 12*18 იყოფა 36-ზე, თუმცა არც 12 და არც 18 არ იყოფა 36-ზე.

2-ზე გაყოფის ტესტი.იმისათვის, რომ ნატურალური რიცხვი გაიყოს 2-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი ბოლო ციფრი იყოს ლუწი.

5-ზე გაყოფის ტესტი.იმისათვის, რომ ნატურალური რიცხვი გაიყოს 5-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი ბოლო ციფრი იყოს 0 ან 5.

10-ზე გაყოფის ტესტი.იმისათვის, რომ ნატურალური რიცხვი გაიყოს 10-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ერთეულების ციფრი იყოს 0.

4-ზე გაყოფის ტესტი.იმისათვის, რომ ნატურალური რიცხვი, რომელიც შეიცავს სულ მცირე სამ ციფრს, იყოფა 4-ზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ბოლო ციფრები იყოს 00, 04, 08 ან ამ რიცხვის ბოლო ორი ციფრისგან წარმოქმნილი ორნიშნა რიცხვი იყოფა. 4.

2-ზე (9-ზე) გაყოფის ტესტი.იმისათვის, რომ ნატურალური რიცხვი გაიყოს 3-ზე (9-ზე), აუცილებელია და საკმარისია, რომ მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე (9-ზე).

მთელი რიცხვების ნაკრები

განვიხილოთ რიცხვითი წრფე, რომლის საწყისი წერტილია ო. მასზე ნულის რიცხვის კოორდინატი იქნება წერტილი ო. მოცემული მიმართულებით რიცხვით წრფეზე მდებარე რიცხვებს დადებითი რიცხვები ეწოდება. ნება მიეცეს წერტილი რიცხვით წრფეზე აკოორდინატით 3. იგი შეესაბამება დადებით რიცხვს 3. ახლა მოდით გამოვსახოთ ერთეული სეგმენტი წერტილიდან სამჯერ. ო, მოცემულის საპირისპირო მიმართულებით. მაშინ მივიღებთ აზრს A", წერტილის სიმეტრიული აწარმოშობასთან შედარებით ო. წერტილის კოორდინატი A"იქნება რიცხვი - 3. ეს რიცხვი 3-ის საპირისპიროა. რიცხვთა წრფეზე მოცემული საპირისპირო მიმართულებით მდებარე რიცხვებს უარყოფითი რიცხვები ეწოდება.

ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვები ქმნიან რიცხვთა სიმრავლეს N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

ნაკრებებს თუ გავაერთიანებთ ნ , N" და სინგლის ნაკრები {0} , შემდეგ ჩვენ ვიღებთ კომპლექტს ზ ყველა მთელი რიცხვი:

ზ = {0} ∪ ნ ∪ N" .

მთელი რიცხვებისთვის ჭეშმარიტია შეკრებისა და გამრავლების ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი კანონი, რაც ჭეშმარიტია ნატურალური რიცხვებისთვის. გარდა ამისა, ემატება შემდეგი გამოკლების კანონები:

ა - ბ = ა + (- ბ) ;

ა + (- ა) = 0 .

რაციონალური რიცხვების ნაკრები

იმისათვის, რომ მთელი რიცხვების გაყოფა ნებისმიერ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, შესაძლებელი იყოს, შემოყვანილია წილადები:

სად ადა ბ- მთელი რიცხვები და ბარ არის ნულის ტოლი.

თუ ყველა დადებითი და უარყოფითი წილადის სიმრავლეს დავუმატებთ მთელი რიცხვების სიმრავლეს, მივიღებთ რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს. ქ :

.

უფრო მეტიც, თითოეული მთელი რიცხვი ასევე რაციონალური რიცხვია, რადგან, მაგალითად, რიცხვი 5 შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმით, სადაც მრიცხველი და მნიშვნელი არის მთელი რიცხვები. ეს მნიშვნელოვანია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულებისას, რომელთაგან ერთ-ერთი შეიძლება იყოს მთელი რიცხვი.

რაციონალურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების კანონები

წილადის მთავარი თვისება.თუ მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე ნატურალურ რიცხვზე, მიიღებთ მოცემულის ტოლ წილადს:

ეს თვისება გამოიყენება წილადების შემცირებისას.

წილადების დამატება.ჩვეულებრივი წილადების დამატება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

.

ანუ სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელამდე. პრაქტიკაში სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას (გამოკლებისას) წილადები მცირდება ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე. მაგალითად, ასე:

იმავე მრიცხველების მქონე წილადების დასამატებლად, უბრალოდ დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი იგივე.

წილადების გამრავლება.ჩვეულებრივი წილადების გამრავლება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ანუ წილადის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე და დაწეროთ ნამრავლი ახალი წილადის მრიცხველში, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გაამრავლოთ წილადზე. მეორე წილადის მნიშვნელი და ჩაწერეთ ნამრავლი ახალი წილადის მნიშვნელში.

წილადების გაყოფა.ჩვეულებრივი წილადების დაყოფა განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ანუ წილადის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მნიშვნელზე და დაწეროთ ნამრავლი ახალი წილადის მრიცხველში, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გაამრავლოთ წილადზე. მეორე წილადის მრიცხველი და ნამრავლი ჩაწერეთ ახალი წილადის მნიშვნელში.

წილადის აწევა ხარისხამდე ბუნებრივი მაჩვენებლით.ეს ოპერაცია განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ანუ წილადის ხარისხამდე ასაყვანად მრიცხველი ამაღლებულია ამ ხარისხზე და მნიშვნელი ამ ხარისხზე.

პერიოდული ათწილადები

თეორემა.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სასრული ან უსასრულო პერიოდული წილადი.

მაგალითად,

.

რიცხვის ათწილადის შემდეგ რიცხვის ათწილადის შემდეგ მეორადი რიცხვების ჯგუფს ეწოდება წერტილი, ხოლო სასრულ ან უსასრულო ათობითი წილადს, რომელსაც აქვს ასეთი წერტილი მის აღნიშვნში, ეწოდება პერიოდული.

ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი სასრული ათობითი წილადი ითვლება უსასრულო პერიოდულ წილადად, რომელსაც აქვს ნული პერიოდში, მაგალითად:

ორი რაციონალური რიცხვის შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის (გარდა ნულზე გაყოფისა) შედეგიც რაციონალური რიცხვია.

რეალური რიცხვების ნაკრები

რიცხვთა წრფეზე, რომელიც განვიხილეთ მთელი რიცხვების სიმრავლესთან დაკავშირებით, შეიძლება იყოს წერტილები, რომლებსაც არ აქვთ კოორდინატები რაციონალური რიცხვის სახით. ამრიგად, არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი არის 2. შესაბამისად, რიცხვი არ არის რაციონალური რიცხვი. ასევე არ არსებობს რაციონალური რიცხვები, რომელთა კვადრატებია 5, 7, 9. შესაბამისად, რიცხვები , , ირაციონალურია. რიცხვიც ირაციონალურია.

არც ერთი ირაციონალური რიცხვი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი პერიოდული წილადის სახით. ისინი წარმოდგენილია არაპერიოდული წილადების სახით.

რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლეების გაერთიანება არის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე რ .

თვლადი სიმრავლე არის უსასრულო სიმრავლე, რომლის ელემენტების დანომრვა შესაძლებელია ნატურალური რიცხვებით, ან ეს არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ექვივალენტური სიმრავლე.

ზოგჯერ ნატურალური რიცხვების სიმრავლის რომელიმე ქვესიმრავლეს თანაბარი კარდინალურობის სიმრავლეებს უწოდებენ თვლადს, ანუ ყველა სასრულ სიმრავლეს ასევე ითვლება თვლად.

თვლადი სიმრავლე არის "ყველაზე პატარა" უსასრულო სიმრავლე, ანუ ნებისმიერ უსასრულო სიმრავლეში არის თვლადი ქვესიმრავლე.

თვისებები:

1. თვლადი სიმრავლის ნებისმიერი ქვესიმრავლე მაქსიმუმ თვლადია.

2. თვლადი სიმრავლეების სასრული ან თვლადი რაოდენობის გაერთიანება თვლადია.

3. თვლადი სიმრავლეების სასრული რაოდენობის პირდაპირი ნამრავლი თვლადია.

4. თვლადი სიმრავლის ყველა სასრულ ქვესიმრავლეების სიმრავლე თვლადია.

5. თვლადი სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლეების სიმრავლე უწყვეტია და, კერძოდ, არ არის თვლადი.

თვლადი კომპლექტების მაგალითები:

მარტივი რიცხვებინატურალური რიცხვები, მთელი რიცხვები, რაციონალური რიცხვები, ალგებრული რიცხვები, წერტილების ბეჭედი, გამოთვლითი რიცხვები, არითმეტიკული რიცხვები.

რეალური რიცხვების თეორია.

(რეალური = რეალური - შეხსენება ჩვენთვის ბიჭებო.)

R სიმრავლე შეიცავს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს.

ნამდვილ რიცხვებს, რომლებიც არ არის რაციონალური, ირაციონალურ რიცხვებს უწოდებენ

თეორემა: არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის რიცხვს 2-ს

რაციონალური რიცხვები: ½, 1/3, 0.5, 0.333.

ირაციონალური რიცხვები: ფესვი 2=1,4142356…, π=3,1415926…

რეალური რიცხვების R სიმრავლეს აქვს შემდეგი თვისებები:

1. წესრიგდება: ნებისმიერი ორი განსხვავებული რიცხვისთვის ა და ბორიდან ერთი ურთიერთობა მოქმედებს ა ან ა>ბ

2. R სიმრავლე მკვრივია: ორ განსხვავებულ რიცხვს შორის ა და ბშეიცავს უსასრულო რაოდენობის ნამდვილ რიცხვებს X,ანუ რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას ა

ასევე არის მე-3 ქონება, მაგრამ ის უზარმაზარია, ბოდიში

შემოსაზღვრული კომპლექტები. ზედა და ქვედა საზღვრების თვისებები.

შეზღუდული კომპლექტი- ნაკრები, რომელსაც გარკვეული გაგებით აქვს სასრული ზომა.

ზემოთ შემოსაზღვრულითუ არის ისეთი რიცხვი, რომ ყველა ელემენტი არ აღემატებოდეს:

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ეწოდება ქვევით შემოსაზღვრულითუ არის ნომერი,

ისეთი, რომ ყველა ელემენტი იყოს მინიმუმ:

ზემოდან და ქვევით შემოსაზღვრული სიმრავლე ეწოდება შეზღუდული.

ნაკრები, რომელიც არ არის შემოსაზღვრული, ეწოდება შეუზღუდავი. როგორც განმარტებიდან ირკვევა, სიმრავლე შეუზღუდავია თუ და მხოლოდ მაშინ არ შემოიფარგლება ზემოდანან არ შემოიფარგლება ქვემოთ.

რიცხვების თანმიმდევრობა. თანმიმდევრულობის ლიმიტი. ლემა ორი პოლიციელის შესახებ.

რიცხვების თანმიმდევრობაარის რიცხვითი სივრცის ელემენტების თანმიმდევრობა.

მოდით იყოს ან ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ან რთული რიცხვების სიმრავლე. მაშინ სიმრავლის ელემენტების თანმიმდევრობა ეწოდება რიცხვითი თანმიმდევრობა.

მაგალითი.

ფუნქცია არის რაციონალური რიცხვების უსასრულო მიმდევრობა. ამ თანმიმდევრობის ელემენტებს, პირველიდან დაწყებული, აქვთ ფორმა .

თანმიმდევრობის ლიმიტი- ეს არის ობიექტი, რომელსაც მიმდევრობის წევრები უახლოვდებიან რიცხვის მატებასთან ერთად. კერძოდ, რიცხვების მიმდევრებისთვის, ლიმიტი არის რიცხვი ნებისმიერ სამეზობლოში, რომლის ყველა ტერმინი, რომელიც იწყება გარკვეული წერტილიდან, დევს.

თეორემა ორი პოლიციელის შესახებ...

თუ ფუნქცია ისეთია, რომ ყველასთვის წერტილის რომელიმე სამეზობლოში , და ფუნქციებს აქვთ ერთი და იგივე ლიმიტი ზე, მაშინ არსებობს ფუნქციის ზღვარი ერთი და იგივე მნიშვნელობის ტოლი, ე.ი.

ინგლისური:ვიკიპედია საიტს უფრო უსაფრთხოს ხდის. თქვენ იყენებთ ძველ ვებ ბრაუზერს, რომელიც მომავალში ვერ დაუკავშირდება ვიკიპედიას. გთხოვთ, განაახლოთ თქვენი მოწყობილობა ან დაუკავშირდეთ თქვენს IT ადმინისტრატორს.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.

ესპანური:ვიკიპედია ეს არის ის ადგილი, სადაც ის არის. გამოყენებულია ის, რაც გამოიყენება და ნავიგაცია ვებ-გვერდზე, რომელიც არ არის შემუშავებული ვიკიპედიაში და მომავალში. Actualice su dispositivo o დაუკავშირდით ადმინისტრატორს ინფორმაციას. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ფრანგული:ვიკიპედია bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipedia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. დამატებითი ინფორმაცია და ტექნიკები და ინგლისური ხელმისაწვდომია.

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。

გერმანული: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator ან. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

იტალიური: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. დარჩით ბრაუზერის ვებ-გვერდზე და არ შეინახოთ ვიკიპედია მომავალში. ფავორიტი, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo aministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico innglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

სვენსკა:ვიკიპედია გორ სიდან mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i Framtiden. განახლებულია IT-ადმინისტრატორის კონტაქტი. Det finns en längre och mer Teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ჩვენ ვხსნით TLS პროტოკოლის დაუცველი ვერსიების მხარდაჭერას, კონკრეტულად TLSv1.0 და TLSv1.1, რომლებსაც თქვენი ბრაუზერის პროგრამული უზრუნველყოფა ეყრდნობა ჩვენს საიტებთან დასაკავშირებლად. ეს ჩვეულებრივ გამოწვეულია მოძველებული ბრაუზერების ან ძველი Android სმარტფონებით. ან ეს შეიძლება იყოს კორპორატიული ან პირადი "ვებ უსაფრთხოების" პროგრამული უზრუნველყოფის ჩარევა, რომელიც რეალურად ამცირებს კავშირის უსაფრთხოებას.

თქვენ უნდა განაახლოთ თქვენი ბრაუზერი ან სხვაგვარად მოაგვაროთ ეს პრობლემა ჩვენს საიტებზე წვდომისთვის. ეს შეტყობინება დარჩება 2020 წლის 1 იანვრამდე. ამ თარიღის შემდეგ თქვენი ბრაუზერი ვერ შეძლებს ჩვენს სერვერებთან კავშირის დამყარებას.

განმარტება:ბევრი ადაურეკა დახურული ოპერაციასთან შედარებით *, თუ ამ ოპერაციის გამოყენების შედეგია ნაკრების რომელიმე ელემენტზე აასევე ნაკრების ელემენტია ა. (თუ რომელიმე ა, ბÎ ა, ა*ბÎ ა, შემდეგ კომპლექტი ადახურულია ოპერაციის დროს *)

იმისათვის, რომ დავამტკიცოთ, რომ კომპლექტი დახურულია ოპერაციებთან მიმართებაში, აუცილებელია ან ამის გადამოწმება უშუალოდ ყველა შემთხვევის ჩამოთვლით (მაგალითი 1b), ან მსჯელობის განხორციელება ზოგადი ფორმით (მაგალითი 2). დახურულობის უარსაყოფად საკმარისია ერთი მაგალითის მოყვანა, რომელიც ადასტურებს დახურულობის დარღვევას (მაგალითი 1a).

მაგალითი 1.

დაე ა = {0;1}.

ა) მოქმედებისთვის * ვიღებთ შეკრების არითმეტიკულ მოქმედებას (+). მოდით გამოვიკვლიოთ ნაკრები ადახურვისთვის დამატების ოპერაციასთან დაკავშირებით (+):

0 + 1 = 1 О ა; 0 + 0 = 0 О ა; 1 + 0 = 1О ა; 1 + 1 = 2 Ï ა.

გვაქვს, რომ ერთ შემთხვევაში (1+1) სიმრავლის ელემენტებზე მოქმედების (+) გამოყენების შედეგი აკომპლექტს არ ეკუთვნის ა. ამის საფუძველზე ვასკვნით, რომ კომპლექტი აარ არის დახურული დანამატის მოქმედებით.

ბ) ახლა, როგორც ოპერაცია *, ავიღოთ გამრავლების ოპერაცია (×).

0×1 = 0 О ა; 0×0 = 0 О ა; 1×0 = 0 О ა; 1×1 = 1 О ა.

ნაკრების ნებისმიერი ელემენტისთვის ასიმრავლის ელემენტია ასევე გამრავლების ოპერაციის გამოყენების შედეგი ა. აქედან გამომდინარე, ადახურულია გამრავლების ოპერაციის ქვეშ.

მაგალითი 2.

გამოიკვლიეთ მთელი რიცხვების სიმრავლის დახურულობა, რომლებიც 7-ის ჯერადი არიან ოთხი არითმეტიკული მოქმედების მიმართ.

ზ 7 = {7ნ, ნÎ ზ ) – რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც შვიდის ჯერადია.

აშკარაა რომ ზ 7 - არ არის დახურული სამმართველოს ოპერაციასთან დაკავშირებით, რადგან, მაგალითად,

7 Î ზ 7, 14 О ზ 7 მაგრამ 7: 14 = ½ Ï ზ 7 .

მოდით დავამტკიცოთ ნაკრების დახურულობა ზ 7 დამატების ოპერაციასთან დაკავშირებით. დაე მ, კ- თვითნებური მთელი რიცხვები, შემდეგ 7 მÎ ზ 7 და 7 კÎ ზ 7. განვიხილოთ ჯამი 7 მ+ 7 კ= 7∙(მ+ კ).

გვაქვს მÎ ზ , კÎ ზ . ზ – დახურულია დამატებით Þ მ+ კ = ლ -მთელი რიცხვი, ანუ ლÎ ზ Þ 7 ლÎ ზ 7 .

ამრიგად, თვითნებური მთელი რიცხვებისთვის მდა კდაამტკიცა, რომ (7 მ+ 7 ლ) Î ზ 7. ამიტომ კომპლექტი ზ 7 დახურულია დამატებით. დახურულობა გამოკლებისა და გამრავლების ოპერაციებთან მიმართებაში ანალოგიურად მტკიცდება (ეს თავად გააკეთეთ).

1.

ა) ლუწი რიცხვების სიმრავლე (წინააღმდეგ შემთხვევაში: მთელი რიცხვების სიმრავლე იყოფა 2-ზე( ზ 2));

ბ) უარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლე ( ზ –);

V) ა = {0;1};

გ) C= {–1;0;1}.

2. შეისწავლეთ დახურულობის შემდეგი სიმრავლეები შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის არითმეტიკული მოქმედებების მიმართ:

ა) კენტი რიცხვების სიმრავლე;

ბ) ნატურალური რიცხვების სიმრავლე, რომელთა ბოლო ციფრი არის ნული;

V) ბ = {1};

გ) დ = {–1;1}.

3.

ა) ბევრი ნ ნატურალური რიცხვები;

ბ) ბევრი ქ რაციონალური რიცხვები;

V) დ = {–1;1};

დ) კენტი რიცხვების სიმრავლე.

4. შეისწავლეთ შემდეგი კომპლექტები დახურულობისთვის სიმძლავრის მოქმედების მიმართ:

ა) ბევრი ზ მთელი რიცხვები;

ბ) ბევრი რ რეალური რიცხვები;

გ) ლუწი რიცხვების სიმრავლე;

გ) C = {–1; 0; 1}.

5. ნება კომპლექტი გ, რომელიც შედგება მხოლოდ რაციონალური რიცხვებისგან, დახურულია შეკრების ქვეშ.

ა) მიუთითეთ ნებისმიერი სამი რიცხვი, რომელიც შეიცავს G სიმრავლეს, თუ ცნობილია, რომ ის შეიცავს რიცხვს 4.

ბ) დაამტკიცეთ, რომ კომპლექტი გშეიცავს 2 რიცხვს, თუ შეიცავს 5 და 12 რიცხვებს.

6. ნება კომპლექტი კ, რომელიც შედგება მხოლოდ მთელი რიცხვებისგან, დახურულია გამოკლებით.

ა) მიუთითეთ ნაკრების ნებისმიერი სამი რიცხვი კთუ ცნობილია, რომ ის შეიცავს რიცხვს 5.

ბ) დაამტკიცეთ, რომ კომპლექტი კშეიცავს რიცხვ 6-ს, თუ შეიცავს 7 და 3 რიცხვებს.

7. მიეცით ნატურალური რიცხვებისგან შემდგარი სიმრავლის მაგალითი და არ არის დახურული მოქმედების ქვეშ:

ა) დამატება;

ბ) გამრავლება.

8. მიეცით მაგალითი სიმრავლისა, რომელიც შეიცავს 4 რიცხვს და დახურულია მოქმედებების ქვეშ:

ა) შეკრება და გამოკლება;