המאפיינים של זוגות כוחות נקבעים על ידי מספר משפטים, הניתנים ללא הוכחה:

· שני זוגות שווים אם המומנטים הווקטוריים שלהם שווים בגודלם ובעלי אותו כיוון.

· פעולת הזוג על הגוף לא תשתנה אם יועבר למקום כלשהו במישור הפעולה.

· פעולת הזוג על הגוף לא תשתנה אם יועבר ממישור הפעולה למישור מקביל לו.

· השפעת הזוגיות על הגוף לא תשתנה אם תגדיל (תפחית) את עוצמת הכוח של הזוג, ובמקביל תקטין (תגדיל) את הכתף של בני הזוג באותה כמות.

מסקנה: המומנט הווקטורי של זוג כוחות הפועל על גוף קשיח הוא וקטור חופשי, כלומר ניתן להפעיל אותו בכל נקודה של הגוף הקשיח.

הבה נבחן תוספת של זוגות הממוקמים באופן שרירותי בחלל. בואו נוכיח את המשפט:

מערכת זוגות הממוקמת באופן שרירותי במרחב שווה ערך לזוג אחד עם מומנט השווה לסכום הגיאומטרי של המומנטים של איברי הזוגות.

ניקח שני זוגות () ו-(), הממוקמים על מישורים המצטלבים בזווית שרירותית. נניח שהכתפיים של הזוגות שוות ל- ובהתאמה. על קו החיתוך של המישורים, סמן קטע שרירותי AB והביא כל אחד מצמדי הסיכום לזרוע AB. על ידי הוספת הכוחות התואמים (ראה איור) c ו-c, נקבל זוג חדש (), שהמומנט שלו יהיה שווה ל

איור 2.18 צמד כוחות שנוצר

מערכת זוגות כוחות הפועלים על גוף יכולה, בהתאם למשפט שהוכח זה עתה, להיות מוחלפת בזוג אחד השווה לסכום וקטורי המומנטים של זוגות הסיכום. כתוצאה מכך, שיווי משקל של מערכת זוגות אפשרי רק אם התנאי מתקיים

השלכת מצב הווקטור המופחת עבור שיווי המשקל של זוגות על כל שלושה צירים שאינם נמצאים באותו מישור ואינם מקבילים זה לזה, נקבל משוואות סקלריות עבור שיווי המשקל של מערכת זוגות

ניתן להוכיח ישירות את תקפותן של המסקנות שהוסקו בסוף סעיף 9.

הבה ניקח בחשבון זוג כוחות F, F הפועלים על גוף מוצק הבה נצייר שני קווים ישרים מקבילים דרך נקודות שרירותיות D ו-E במישור הפעולה של זוג זה עד שהם מצטלבים עם קווי הפעולה של הכוחות F, F. בנקודות A ו-B (איור 34) ולהפעיל כוחות F, F בנקודות אלו (במקור F ו-F יכלו להיות מיושמים בכל נקודה אחרת בקווי הפעולה שלהם). הבה נפרק כעת את הכוח F בכיוונים AB ו-EB לכוחות - בכיוונים BA A ו-AD לכוחות Q ו-P. ברור שניתן להשליך את הכוחות Q ו-Q, כפי שהם מאוזנים. כתוצאה מכך, צמד הכוחות F, F יוחלפו בזוג P, P עם זרוע נוספת וכוחות אחרים שניתן כמובן להפעיל בנקודות D, E בקווי הפעולה שלהם. יתרה מכך, בשל השרירותיות בבחירת הנקודות D, E וכיווני הקווים AD ו-BE, ניתן למקם את הזוג P, P במישור פעולתו בכל מקום f? במצב שבו הכוחות P ו-P מקבילים ל-F, ניתן להביא את הזוג על ידי ביצוע הטרנספורמציה המצוינת פעמיים).

הבה נראה לסיכום שלזוגות יש רגעים זהים. הבה נסמן את הרגעים הללו בהתאמה לפי היכן לפי הנוסחה מאז אבל (ראה הערת שוליים בעמ' 32) ולכן,

ממה שהוכח, המאפיינים הבאים של זוג כוחות הבאים:

1) את הזוג, מבלי לשנות את ההשפעה שהוא מפעיל על גוף מוצק, ניתן להעביר לכל מקום במישור הפעולה של הזוג;

2) עבור זוג נתון, מבלי לשנות את הפעולה שהוא מפעיל על גוף קשיח, אתה יכול לשנות באופן שרירותי את מודולי הכוח או את אורך הזרוע, ולהשאיר את הרגע שלה ללא שינוי.

ניתן להוכיח שלזוג כוחות יש עוד תכונה ברורה למדי (אנחנו משמיטים את ההוכחה):

3) ניתן להעביר זוג, מבלי לשנות את הפעולה שהוא מפעיל על גוף מוצק, ממישור נתון לכל מישור אחר המקביל לזה.

מכאן נובע ששני זוגות כוחות בעלי אותם מומנטים שווים זה לזה (המשפט על שקילות הזוגות). זה נובע מהעובדה שעל ידי הפעולות המצוינות, כלומר על ידי החלפת הזרוע והנעת הזוג במישור הפעולה או העברתו למישור מקביל, ניתן להפוך זוגות עם אותם רגעים זה לזה.

כעת נוכיח את המשפט על חיבור הזוגות: מערכת זוגות הפועלת על גוף קשיח לחלוטין שווה ערך לזוג אחד עם מומנט השווה לסכום הגיאומטרי של המומנטים של הזוגות המסוכמים.

הבה נבחן תחילה שני זוגות עם רגעים מונחים במישורים (איור 35). בואו ניקח קטע על קו החיתוך של המטוסים ונצייר זוג עם רגע לפי כוחות וזוג עם רגע לפי כוחות (במקרה הזה, כמובן, ).

על ידי חיבור הכוחות המופעלים בנקודות A ו-B, אנו משוכנעים שהזוגות אכן שווים לזוג אחד, ונמצא את הרגע M של זוג זה. מאז או לפי הנוסחה

עבור שני זוגות המשפט מוכח; יתרה מכך, ברור שההוכחה תהיה תקפה גם במקרה בו המטוסים וה-II יתמזגו (תנאי הצמד נמצאים באותו מישור).

אם מערכת זוגות עם מומנטים פועלת על גוף, אזי יישום התוצאה המתקבלת עבור שני זוגות ברצף, אנו מוצאים שמערכת זוגות זו תהיה למעשה שוות ערך לזוג אחד עם רגע

אקסיומה על תנאי השקילות של זוגות כוחות במרחב. במקום וקטור הרגע של כל זוג כוחות בניצב למישור הציור, מצוין רק הכיוון שבו זוג הכוחות נוטה לסובב מישור זה.

זוגות כוחות במרחב שווים אם המומנטים שלהם שווים מבחינה גיאומטרית. מבלי לשנות את פעולת צמד הכוחות על גוף קשיח, ניתן להעביר זוג כוחות לכל מישור המקביל למישור הפעולה של הזוג, וגם לשנות את הכוחות והמינוף שלו, תוך שמירה על המודולוס והכיוון של הרגע שלו. קָבוּעַ. לפיכך, ניתן להעביר את וקטור הרגע של זוג כוחות לכל נקודה, כלומר, הרגע של זוג כוחות הוא וקטור חופשי. וקטור הרגע של זוג כוחות מתאר את כל שלושת היסודות שלו: מיקום מישור הפעולה של הזוג, כיוון הסיבוב והערך המספרי של הרגע. נתבונן בחיבור של שני זוגות כוחות הממוקמים במישורים מצטלבים ונוכיח את האקסיומה הבאה: הסכום הגיאומטרי של המומנטים של זוגות הכוחות המרכיבים שווה למומנט הזוג המקביל להם. יידרש להוסיף שני זוגות כוחות הממוקמים במישורים מצטלבים I ו-II בעלי מומנטים

אוֹרֶז. 34 לאחר שבחרת את הכוחות של זוגות אלה להיות שווים בגודלם

בואו נגדיר את הכתפיים של הזוגות האלה:

הבה נסדר את צמדי הכוחות הללו בצורה כזו שהכוחות מכוונים לאורך רצועת החיתוך של מישורי KL בכיוונים מנוגדים ומאוזנים. הכוחות הנותרים יוצרים זוג כוחות שווה ערך לשני זוגות הכוחות הנתונים. לזוג כוחות זה כתף BC = d ומומנט מאונך למישור הפעולה של צמד הכוחות, השווה בגודלו ל-M = Pd.

הסכום הגיאומטרי של המומנטים של צמדי הכוחות המרכיבים שווה למומנט של הזוג השקול. מכיוון שהמומנט של זוג כוחות הוא וקטור חופשי, הבה נעביר את המומנטים של צמדי הכוחות המרכיבים לנקודה B ונוסיף אותם, ונבנה מקבילית על המומנטים הללו. האלכסון של מקבילית זו

מייצג את המומנט של זוג שווה ערך מכאן נובע שהווקטור, כלומר, הסכום הגיאומטרי של המומנטים של צמדי הכוחות המרכיבים שווה למומנט של זוג הכוחות המקביל:

שיטה זו להוספת מומנטים של זוגות כוחות נקראת כלל הרגעים המקבילים. ניתן להחליף את בניית מקבילית מומנטים בבניית משולש מומנטים.

באמצעות בנייה של מקבילית או משולש של רגעים, אתה יכול גם לפתור את הבעיה ההפוכה, כלומר, לפרק כל זוג כוחות לשני מרכיבים. יהיה צורך להוסיף כמה זוגות של כוחות הממוקמים באופן שרירותי בחלל (איור 35). לאחר קביעת הרגעים של הזוגות הללו, ניתן להעביר אותם לכל נקודה O של המקום. על ידי הוספת המומנטים של צמדי הכוחות הללו בזה אחר זה, ניתן לבנות מצולע של מומנטי הזוגות, שצדו הסוגר יקבע את מומנט צמד הכוחות המקביל. (איור 35) מציג את הבנייה של מצולע רגע כאשר מוסיפים 3 זוגות.

המומנט של זוג כוחות, כוחות השווים למערכת נתונה של זוגות כוחות במרחב, שווה לסכום הגיאומטרי של המומנטים של צמדי הכוחות המרכיבים:
אוֹ

מישור I של פעולת זוג כוחות נתון מאונך לכיוון המומנט שלו

אם המומנט של זוג כוחות שווה ערך הוא אפס, אז צמדי הכוחות מאוזנים זה בזה:

לפיכך, תנאי שיווי המשקל של זוגות כוחות הממוקמים באופן שרירותי במרחב יכול להיבנות באופן הבא: זוגות כוחות הממוקמים באופן שרירותי במרחב מאוזנים הדדיים במקרה זה אם הסכום הגיאומטרי של המומנטים שלהם הוא אפס. אם זוגות כוחות ממוקמים באותו מישור (איור 36), אז המומנטים של זוגות הכוחות הללו, המכוונים לאורך קו ישר אחד, מסתכמים באופן אלגברי.

משפט: מערכת של זוגות כוחות הפועלים על גוף קשיח לחלוטין במישור אחד שווה ערך לזוג כוחות עם מומנט השווה לסכום האלגברי של המומנטים של זוגות המערכת.

זוג כתוצאה הוא זוג כוחות המחליף את פעולתם של צמדי כוחות אלו המופעלים על גוף מוצק במישור אחד.

תנאי לשיווי משקל של מערכת זוגות כוחות: לשיווי משקל של מערכת מישורית של זוגות כוחות, יש צורך ומספיק שסכום המומנטים שלהם יהיה שווה ל-0.

רגע כוח בערך נקודה.

מומנט הכוח ביחס לנקודה הוא מכפלה של מודול הכוח והכתף שלו ביחס לנקודה נתונה, נלקח עם סימן פלוס או מינוס. זרועו של כוח ביחס לנקודה היא אורך האנך הנמשך מנקודה נתונה לקו הפעולה של הכוח. מקובל כלל הסימנים הבא: מומנט הכוח על נקודה נתונה הוא חיובי אם הכוח נוטה לסובב את הגוף סביב נקודה זו נגד כיוון השעון, ושלילי במקרה ההפוך. אם קו הפעולה של כוח עובר דרך נקודה מסוימת, אז יחסית לנקודה זו המינוף של הכוח והמומנט שלו שווים לאפס. מומנט הכוח ביחס לנקודה נקבע על ידי הנוסחה.

תכונות של רגע הכוח ביחס לנקודה:

1. מומנט הכוח ביחס לנקודה נתונה אינו משתנה כאשר הכוח מועבר לאורך קו הפעולה שלו, משום במקרה זה, לא מודול הכוח ולא המינוף שלו משתנים.

2. מומנט הכוח ביחס לנקודה נתונה שווה לאפס אם קו הפעולה של הכוח עובר בנקודה זו, מכיוון במקרה זה זרוע הכוח היא אפס: a=0

משפט פוינסו על הבאת כוח לנקודה.

ניתן להעביר כוח במקביל לקו פעולתו במקרה זה, יש צורך להוסיף זוג כוחות עם מומנט השווה למכפלת מודול הכוח והמרחק עליו מועבר הכוח.

הפעולה של העברה מקבילה של כוח נקראת הבאת הכוח לנקודה, והזוג שנוצר נקרא זוג מחובר.

תיתכן גם השפעה הפוכה: כוח וזוג כוחות השוכנים באותו מישור יכולים תמיד להיות מוחלפים בכוח אחד השווה לכוח נתון המועבר במקביל לכיוון ההתחלתי שלו לנקודה אחרת.

נתון: כוח בנקודה א(איור 5.1).

הוסף בנקודה INמערכת כוחות מאוזנת (F"; F").נוצרים כמה כוחות (ו; ו'").בואו ניקח את הכוח בנקודה INוהרגע של הזוג מ.

הבאת מערכת מישורית של כוחות הממוקמים באופן שרירותי למרכז אחד. הווקטור הראשי והמומנט העיקרי של מערכת הכוחות.

קווי הפעולה של מערכת כוחות שרירותית אינם מצטלבים בנקודה אחת, לכן, כדי להעריך את מצב הגוף, יש לפשט מערכת כזו. לשם כך, כל הכוחות של המערכת מועברים לנקודה אחת שנבחרה באופן שרירותי - נקודת ההפחתה (PO). יישם את משפט פוינסו. בכל פעם שכוח מועבר לנקודה שאינה מונחת על קו הפעולה שלו, מתווספים כמה כוחות.

הזוגות המופיעים במהלך ההעברה נקראים זוגות מחוברים.

ה-SSS המתקבל בנקודה O מקופל לפי שיטת מצולע הכוח ונקבל כוח אחד בנקודה O - זהו הווקטור הראשי.

ניתן להוסיף גם את המערכת המתקבלת של צמדי כוחות מחוברים כדי לקבל זוג כוחות אחד, שהמומנט שלו נקרא המומנט הראשי.

הווקטור הראשי שווה לסכום הגיאומטרי של הכוחות. המומנט העיקרי שווה לסכום האלגברי של המומנטים של צמדי הכוחות המחוברים או המומנטים של הכוחות המקוריים ביחס לנקודת ההפחתה.

הגדרה ומאפיינים של הווקטור הראשי והמומנט העיקרי של מערכת כוחות מישוריים.

מאפייני הווקטור הראשי והמומנט הראשי

1 הגודל והכיוון של הווקטור הראשי אינם תלויים בבחירת מרכז ההפחתה, מכיוון במרכז ההפחתה, מצולע הכוח שנבנה מכוחות אלו יהיה זהה)

2. הגודל והסימן של הרגע העיקרי תלויים בבחירת מרכז ההפחתה, כי כאשר מרכז האדוקציה משתנה, כתפי הכוחות משתנות, אך המודולים שלהם נשארים ללא שינוי.

3. הווקטור הראשי והתוצאה של מערכת הכוחות שווים וקטורית, אבל במקרה הכללי הם לא שווים, כי עדיין יש רגע

4. הווקטור הראשי והתוצאה שווים רק במקרה המיוחד כאשר המומנט העיקרי של המערכת שווה לאפס, וזה במקרה שמרכז ההפחתה נמצא על קו הפעולה של התוצאה.

שקול מערכת שטוחה של כוחות ( ו 1 ,ו 2 , ...,ו n), הפועל על גוף מוצק במישור הקואורדינטות אוקסי.

הווקטור הראשי של מערכת הכוחותנקרא וקטור ר, שווה לסכום הווקטור של הכוחות האלה:

ר = ו 1 + ו 2 + ... + ו n= ואֲנִי.

עבור מערכת מישורית של כוחות, הווקטור העיקרי שלה נמצא במישור הפעולה של כוחות אלה.

עיקר מערכת הכוחותיחסית למרכז O נקרא וקטור ל O, שווה לסכום המומנטים הווקטוריים של הכוחות הללו ביחס לנקודה O:

ל O= מ O( ו 1) +מ O( ו 2) + ... +מ O( ונ) = מ O( ואֲנִי).

וֶקטוֹר ראינו תלוי בבחירת מרכז O, והווקטור לכאשר המיקום של המרכז משתנה, O יכול להשתנות בדרך כלל.

עבור מערכת מישורית של כוחות, במקום מומנט ראשי וקטורי, נעשה שימוש במושג מומנט ראשי אלגברי. נקודה עיקרית אלגברית L O של מערכת מישור של כוחות ביחס למרכז O השוכב במישור הפעולה של הכוחות נקרא סכום המומנטים האלגבריים אהכוחות שקטים ביחס למרכז O.

הווקטור הראשי והמומנט העיקרי של מערכת כוחות מישור מחושבים בדרך כלל בשיטות אנליטיות.

משפט של שלושה כוחות לא מקבילים

קווי הפעולה של שלושה כוחות מאזנים הדדיים שאינם מקבילים השוכנים באותו מישור מצטלבים בנקודה אחת. תן שלושה כוחות לא מקבילים מאוזנים הדדית P 1 P 2 P 3 (כולם P עם וקטורים) השוכנים באותו מישור להיות מופעל על גוף מוצק בנקודות A 1, A 2, A 3 (איור 5). הבה נעביר את הכוחות P 1 P 2 לנקודה O של חיתוך קווי הפעולה שלהם ונמצא את ה-R המתקבלת, שתחול באותה נקודה. הכוח P 3, בהיותו כוח מאזן של מערכת הכוחות P 1 P 2, שווה בגודלו ל-R הנוצר שלהם והוא מכוון לאורך קו פעולתו בכיוון ההפוך. כתוצאה מכך, קו הפעולה של הכוח P 3 עובר דרך נקודה O, וזה מה שהיה צריך להוכיח.

כמה כוחות. תכונות של זוג כוחות

מערכת של שני כוחות מקבילים בגודל שווה, המכוונים לכיוונים מנוגדים ולא שוכבים על אותו קו ישר, נקראת צמד כוחות. המישור שבו נמצא קו הפעולה של צמד הכוחות נקרא מישור הפעולה של צמד הכוחות. כל שני כוחות, מלבד הכוחות היוצרים זוג, יכולים להיות מוחלפים בתוצאה. לזוג כוחות אין תוצאה ובשום אופן לא ניתן להמיר זוג כוחות לכוח שווה ערך אחד. זוג כוחות נוטה לייצר סיבוב של הגוף הנוקשה עליו הוא מופעל. פארה הוא אותו אלמנט מכני פשוט עצמאי כמו כוח. המרחק הקצר ביותר בין קווי הכוחות היוצרים זוג נקרא זרוע צמד ד. פעולת בני הזוג על הגוף מאופיינת ברגע שנוטה לסובב את הגוף. מכפלת המודולוס של אחד הכוחות של זוג וכתפו נקרא מומנט הזוג והוא מסומן M = P d.

הרגע של זוג כוחות מיוצג על ידי וקטור (איור 6). וקטור הרגע של זוג כוחות מכוון בניצב למישור הפעולה של צמד הכוחות בכיוון כזה, שבמבט לכיוון וקטור זה, ניתן לראות זוג כוחות הנוטה לסובב את מישור הפעולה שלו בכיוון מנוגד לסיבוב בכיוון השעון.

יתרה מכך, אם זוג כוחות מסובב את הגוף נגד כיוון השעון, אז הרגע של זוג כזה נחשב חיובי, אם בכיוון השעון, אז הרגע נחשב שלילי.

מאפיינים של זוגות

מבלי לשנות את הפעולה על הגוף, כמה כוחות יכולים להיות:

1. לנוע במישור שלו כרצונך;

2. העברה לכל מישור המקביל למישור הפעולה של זוג זה;

3. שנה את מודול הכוחות ואת הזרוע של הזוג, אבל כך שהמומנט שלו (כלומר, מכפלת מודול הכוח והזרוע) וכיוון הסיבוב יישארו ללא שינוי;

4. הסכום האלגברי של תחזיות הכוחות היוצרים זוג על כל ציר שווה לאפס;

5. הסכום האלגברי של מומנטי הכוחות היוצרים זוג ביחס לכל נקודה הוא קבוע ושווה למומנט הזוג.

תנאי לשקילות של צמדי כוחות. הוספת זוגות כוחות.

זוגות כוחות במרחב שווים אם המומנטים שלהם שווים מבחינה גיאומטרית. מהמשפטים לעיל עולה כי מבלי לשנות את פעולת צמד הכוחות על גוף מוצק, ניתן להעביר זוג כוחות לכל מישור המקביל למישור פעולתו, וכן לשנות את כוחותיו ומינוף, שמירה על המודולוס והכיוון של הרגע שלו ללא שינוי. לפיכך, ניתן להעביר את וקטור הרגע של זוג כוחות לכל נקודה, כלומר. הרגע של כמה כוחות הוא וקטור חופשי. וקטור הרגע של זוג כוחות קובע את כל שלושת היסודות שלו: מיקום מישור הפעולה של הזוג, כיוון הסיבוב והערך המספרי של הרגע.

הוספת זוגות כוחות:

הסכום הגיאומטרי של המומנטים של צמדי הכוחות המרכיבים שווה למומנט הזוג המקביל שלהם.

הכלל שנקבע לחיבור המומנטים של זוגות הכוחות נקרא כלל הרגעים המקבילים. ניתן להחליף את בניית מקבילית מומנטים בבניית משולש מומנטים. באמצעות בניית מקבילית או משולש של רגעים, ניתן לפתור גם את הבעיה ההפוכה, כלומר. לפרק כל זוג כוחות לשני מרכיבים.

נניח שעלינו להוסיף מספר זוגות של כוחות הממוקמים באופן שרירותי במרחב. לאחר קביעת הרגעים של הזוגות הללו, ניתן להעביר אותם לכל נקודה O במרחב. על ידי הוספת המומנטים של צמדי הכוחות הללו ברצף, ניתן לבנות מצולע של מומנטי הזוגות, שצדו הסוגר יקבע את מומנט צמד הכוחות המקביל (איור 7).