z
X
LEZIONE 4
Problemi di conducibilità termica in vari sistemi di coordinate.
Sistema di coordinate cartesiano
T
T
T
Q
io
J
K
T T x, y , z , t
sì
X
X
sì
T
T T T
C
qV
t x x y zz
C
T T
qV
txx
(1)
(2)
(3)
Nella pratica si incontrano spesso condizioni che portano alla necessità di scrivere l'equazione
conduttività termica in una forma diversa, più conveniente per presentare la soluzione e la sua fisica
interpretazioni.
Dipendenza del tipo di equazione
a seconda del sistema utilizzato
le coordinate possono essere escluse,
utilizzando la notazione dell'operatore
1 t
Q
TV
A
2
X
2
2
sì
2
2
z2
AC
T
C
div gradT qV
T
O
C
T
TqV
T
(4)
I termini che esprimono rilascio di calore e accumulo di energia sono invarianti rispetto a
sistemi di coordinate (cioè invariati); ma i termini esprimono la risultante conduttiva
il flusso di calore dipende dalla geometria e, quindi, dal sistema di coordinate.

Sistema di coordinate cilindriche
z
C
dottor
R
dz
r, z
z
X
T
divqq
T
qT
xrcos
sì
r, z
(5)
il tuo peccato
(6)
1 1 2
2
r2 2 2
r r r r
z
D
sì
dottor
D
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2 T 2 T qV
r2 2 2
a t rr r
z
X
1 T 1 T
R
qV
a t rr r
T
1 t
T
; Q
; qz
R
R
z
UN
(9)
T Ts
C
(8)

R,
Sistema di coordinate sferiche
z
dottor
R,
R
D
X
1 t
divqq
A
qT
sì
1 2
1
1
2
2r
2
peccato
2
peccato 2
r r r r peccato
T
1 t
1 t
; Q
; Q
R
R
peccato
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2TqV
2r
2
peccato 2
2
a t r r r peccato
peccato
(11)
D
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t rr r
xr sincos
il tuo peccato è peccato
z
(12)
zr cos
sì
X

Equazioni del calore per corpi di forma canonica
Scrivere equazioni in diversi sistemi di coordinate è particolarmente conveniente,
quando è necessario trovare la distribuzione della temperatura nei corpi dei canonici
forma: in un cilindro o una palla. In questi casi, le equazioni sono essenzialmente
sono semplificati quando si specificano condizioni speciali nel campo della temperatura
dipende da una sola coordinata.
parallelepipedo
piatto
cilindro
sfera
C
T T T T
qV
t x x y zz
1T 2TqV
2
una tx
qe
1 T 1 T qV
R
a t rr r
1 T 1 2 T qV
R
2
a t rr r
T Ts
z
sì
X

1 T 1 n T qV
R
N
a t rr r
Gli ultimi tre
equazioni insieme:
n0
n2
n.1 cilindro
aereo
T T0
T*T0
T
T*
(13)
sfera
R
R*
1 1 n
qV
N
Fo
Sulla scrivania
Numero di Fourier
A*
Fo 2
R*
qV1:
A*
A
1: 2
2
R*
R*
(14)
qVr*2
qV
T*T0
Q
T* T0 Vr*2
1n
1
N
Fo

Problemi stazionari di conduzione del calore in vari sistemi di coordinate
Parete cilindrica: processo stazionario di conduzione termica in
parete cilindrica (tubo) con raggio interno r1;
d12r1
r1
1 T 1 T 1 2 T 2 T qV
R
a t rr r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
tu
dottor
du 1
tu 0
dottor R
T C1 lnr C2
Q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dottor
R
d2T
1 dT
0
2r dott
dottor
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Il flusso di calore specifico no
è costante in spessore e diminuisce con
verso la superficie esterna
In condizioni stazionarie, il flusso di calore totale che passa attraverso
sezione di un tubo cilindrico di lunghezza l e pari a
Q q F q 2 rl
Flusso di calore specifico
diminuisce con il raggio
!!!
(19)
Superficie
aumenta con il raggio
La temperatura attraverso lo spessore del tubo varia in modo non lineare anche a livello costante
coefficiente di conducibilità termica
Le costanti di integrazione possono essere trovate dalle condizioni al contorno.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 ln r1 C2 ,
Sistema lineare
equazioni
T2 C1 ln r2 C2 ,
T ln r2 r T2 ln r r1
T1
;
lnr2 r1
Q
Q
Flusso di calore per unità di lunghezza
qп
(20)
dT
C
1
dottor
R
dT
T
l 2 r
2 litri,
dottor
lnr2 r1
W
Q
2
T , T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)

(le temperature delle pareti non sono note)
T C1 lnr C2
Possiamo fare lo stesso:
r r1:
Facciamolo diversamente:
(23)
T
T
1e T Te1 ; r r2:
2e Te2T
R
R
Flusso di calore convettivo per unità di lunghezza
i tubi devono essere uguali al flusso di calore lineare
a causa della conduttività termica:
qï 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qп
lnr2 r1
qп Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(MK)
1
1r
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qп 2e T2 Te2 2 r2
Coefficiente di scambio termico per
parete cilindrica
RC
1
1
1r
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
parete piana
R
1 litro1
1 2
1 litro1
K
1
2
1
W/(M2K)
Dal sistema di equazioni (23) possiamo trovare
e temperature delle pareti e sostituire in (20)
Termico completo
resistenza del tubo
(24)
(25)
(26)
Dimensione
si differenzia da
dimensione K per
muro piatto!
T ln r2 r T2 ln r r1
T1
;
lnr2 r1
Potere
Sulla scrivania

In variabili adimensionali
r1
d2
D
r2
2
1 giorno
0
D
(27)
D
Bi
D
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Esercizio
a casa:
1:
TTe2
R
; r*r2
Te1 Te2
r2
D
Bi 1
D
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 ln C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Passare con attenzione alle variabili adimensionali
B) Trovare le costanti di integrazione del sistema (30)
B) Costruisci per significati diversi parametri

10.

I principi
coerente
E
parallelo
collegamenti di resistenze termiche in un circuito,
valido per una parete piana in una rettangolare
sistema di coordinate, può essere applicato anche al problema di
conducibilità termica in un cilindro cavo.
Analogia elettrica
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
lnr2 r1
2 l
Il liquido scorre in un tubo, R 1 1
0
Fa 2r1l
rivestito con isolante
Materiale
dT
T
l 2 r
2 litri,
dottor
lnr2 r1
T
Q
,
ln r2 r1 2 l
A forma di
Legge di Ohm
Resistenza termica
cilindro cavo
Termico convettivo
resistenza ai fluidi
Abbiamo un collegamento in serie della resistenza convettiva del liquido con due
resistenze termiche conduttive. Se la temperatura del liquido e la temperatura sono impostate
superficie esterna:
T0 Ts
T
Q
UN)
R
pieno
R
R
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Resistenza
isolamento
Se vengono specificate le temperature delle superfici interne ed esterne
B)
T
Q
R pieno
T1 Ts
R
R
1
1
ln 2
ln 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Esempio
1 185
In un tubo di alluminio avente conduttività termica
W/(m K), flussi di vapore acqueo
◦
ad una temperatura di 110 C. Il diametro interno del tubo è di 10 cm, diametro esterno – 12
Te
cm.Il tubo si trova in una stanza con una temperatura
30◦C; coefficiente
e
trasferimento di calore per convezione dal tubo
all'aria
pari a 15 W/(m2K). 1) Obbligatorio
trovare il flusso di calore per unità di lunghezza del tubo se il tubo non è isolato termicamente.
2) Per ridurre la perdita di calore dal tubo, è stato ricoperto con uno strato di isolamento termico
(2 0 .2 W/(m K)) 5 cm di spessore Trovare il flusso di calore per unità di lunghezza da
tubo termicamente isolato. Supponiamo che termico convettivo
la resistenza al vapore è trascurabile.
Soluzione. Per un tubo senza isolamento termico, i più significativi sono
resistenza termica conduttiva del tubo stesso e termica convettiva
resistenza dell'aria ambiente. Dal termico convettivo
si può trascurare la resistenza al vapore, la temperatura della superficie interna
tubo è uguale alla temperatura del vapore. Il flusso di calore per unità di lunghezza del tubo segue da
rapporti T T
110 30
80
Q
0
e
lnr2 r1
1
2 1
2r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Per un tubo con isolamento termico, è necessario aggiungere resistenza termica
isolamento termico e la relazione per il flusso di calore assumerà la forma
Q
T0Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0 ,096 0 ,482
lnr2 r1
1
2 1
2r3 e
2 2
W/m.

12.

Parete cilindrica multistrato
qc
Tn T1 1
N
D
1
ln 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
io 1
Il concetto resta valido
coefficiente equivalente
conduttività termica
eq
ln dn 1 d1
N
io 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d io 1
ln
lo dico
r1 d1 2
... ...
Tn1
n1
Tn
N
Tn1
r2 d2 2
Temperatura Ti1
Ti1Ti
2eq T1 Tn 1
ln dn 1 d1
al confine tra gli strati i-esimo e i+1
qc 1 d 2 1 d3
1 giorno
ln ln... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
io
di
(35)
Coefficiente di scambio termico:
Kc
1
1
1d1
N
io 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)

13.

r1
Il flusso di calore radiale in un tubo è inversamente proporzionale al logaritmo
raggio esterno (la resistenza di conduzione radiale aumenta);
r2
La dissipazione del calore dalla superficie esterna è direttamente proporzionale a questo
raggio (aumenta la superficie di raffreddamento)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Pertanto, c'è un certo raggio a
dove la perdita di calore è massima!
Se, con un raggio interno fisso (piccolo), aumentiamo
spessore della parete del tubo (ovvero, aumentare il raggio esterno r2), quindi l'azione
il logaritmo nella formula per la resistenza termica sarà maggiore
più forte che con un raggio interno più grande

14.

Diametro critico dell'isolamento termico
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Condizione estrema:
dà
r2*1
2
Raggio critico
Un caso speciale di resistenza interna zero, 1 1 0
sì
Q
2 Te1 Te2
1
R
,x2,
lnxx
r1
2r1
(38)
0 Anche la resistenza esterna è zero
r1r2
Lo spessore della parete è 0
1:x2r2
Per un dato raggio interno, il valore critico
il raggio esterno aumenta se aumenta
conduttività termica del tubo o se il coefficiente diminuisce
trasferimento di calore sulla superficie esterna
(37)
Bi 1

15.

isolamento
L'esistenza di un raggio esterno critico porta al fatto che quando
alcune condizioni reali, contrariamente alle idee convenzionali,
La perdita di calore da un tubo isolato può effettivamente essere ridotta
riducendo lo spessore dell'isolamento
d1
d2
Resistenza termica totale per un tubo a due strati la cui sezione trasversale è
mostrato in figura, determinato dalla formula
d3
RC
1 2
tubo
Condizione
estremo:
d2 d3 *
d3d2
(39)
- spessore dell'isolamento
La resistenza termica della conduttività termica dell'isolamento (I) aumenta con l'aumentare
spessore del rivestimento isolante; resistenza termica del trasferimento di calore dell'isolamento
(II) – diminuisce (all’aumentare della superficie di scambio termico)
Repubblica Democratica del Congo
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
RC
d2 d3 *
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(IO)
d3*
22
8 32
0
d3*22
2
non dipende da
d2
(40)
(cioè non dipende dal diametro della tubazione stessa)
Nel punto critico, termica completa
la resistenza è minima!
l'aumento dello spessore dell'isolamento riduce il trasferimento di calore
l'applicazione del rivestimento selezionato porterà inizialmente ad un aumento
trasferimento di calore, e solo quando viene raggiunto il diametro critico il flusso di calore sarà
diminuire; poi raggiungerà il valore che si trovava senza isolamento e solo allora
porterà all'effetto desiderato

16.

Problema per una palla cava
(muro di palla)
d2T
dottor
2
2dT
0
signor dottor
(41)
Consideriamo un sistema stazionario spazialmente unidimensionale
problema della conduzione del calore in una parete sferica con dati
raggi delle superfici interna ed esterna. Unidimensionalità
problema significa che la distribuzione della temperatura nel muro
dipende solo dal raggio
Utilizzando la sostituzione
variabili
r1
dT
tu
dottor
du
2u
Decisione comune
dottor
R
C
C
dT C1
ln u2 ln r ln C1; u21; Tr1C2;
2
R
dottor R
R
r2
Condizioni al contorno del primo tipo
r r1: T T1
C1
C2
r1
T1r1r2 T21r11r
Tr1
1r1 1r2
r r2: T T2
(42)
Densità del flusso di calore
Flusso termico totale
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
Q
2C1
dottor
1r1 1r2
R
(45)
dT
4
T1 T2
4r24C1
dottor
1r1 1r2
(46)

17.

Condizioni al contorno del terzo tipo
Tr
Decisione comune
non cambia
C1
C2
R
T
r r1: -
1T Te1
R
T
r r2: -
2Te2T
R
(47)
2r2C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2r22
2r2
r1
r2
1r1C1 1r12C2 1r12Te1
1r12Te2Te1
dT C1
2
dottor R
C2
(48)
Il flusso di calore totale Q non lo è
dipende dal raggio attuale
1r1 T 1r12 T
2r2e222r22e1
1r1 1r12
2r2 2r22
(49)
Nel limite, con scambio termico ideale tra mezzi con determinate temperature e
parete sferica (cioè per coefficienti di scambio termico infiniti), risolvendo il problema con
le condizioni al contorno del terzo tipo contribuiscono alla risoluzione di un problema con condizioni al contorno
condizioni del primo tipo.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
flusso di calore,
4 r1 2 1 Te1 T
venendo a
muro interno
=
flusso di calore,
4 r 2 2 2 T Te 2
in partenza
muro esterno

18.

Distribuzione della temperatura in una parete sferica
per condizioni al contorno di terza specie
A casa:
giocare tutto
soluzione
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1r
2
Tr
1 1
r1 r2
Temperature della parete:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r22
r121
s12r121
R
2 2
r121
r121
sTe222Te1
r22
2
r1 1 2
s12r11
R
2 2
r121Te2
T2
Conduttività della parete sferica:
S
1 1
r1 r2
r1r 2
r2r1

19.

Soluzioni dei problemi più semplici in forma adimensionale
Raccogliamo soluzioni a problemi stazionari per corpi di forma canonica con
condizioni al contorno della prima specie insieme
T p T1 T1 T 2
R
r2
A casa: gioca!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 ln r2 r T2 ln r r1
lnr2r1
T T2
T1 T2
R
r2
0,8
pag 1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
C
P
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
In una parete piana, distribuzione di qualità
la temperatura (lineare) non dipende dalla sua
spessore. Ma in cilindrico e sferico -
varia in modo non lineare con il raggio;
carattere
la distribuzione (curvatura della curva) dipende da
rapporto tra raggi esterni ed interni.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Distribuzione piatta della temperatura
(1), cilindrico (2) e sferico (3)
parete Linee solide
;
10
linee tratteggiate - . 5

20.

Nel caso delle condizioni al contorno del terzo tipo, soluzioni dei problemi più semplici
dipendono dai parametri che caratterizzano lo scambio termico.
Per gli stessi coefficienti di scambio termico.
TTe2
Te1 Te2
R
r2
1 2
0,8
per piatto
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
per cilindro:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 lt 2 lt
ln
1 1
2
1 Bi ln
1 Bi ln
C
per la sfera:
S
1
1 1 1 2
1
1Bi1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Distribuzione della temperatura
lungo la coordinata del piano (1),
cilindrico (2) e sferico
(3) pareti in condizioni
trasferimento di calore convettivo.
Linee continue - Bi 2 ;
tratteggiato - Bi 1 0

21.

Esempi: bottiglia di Dewar
Particella metallica rivestita da una pellicola di ossido
Compiti a casa:
1.Formulare il problema della distribuzione della temperatura in due strati
guscio sferico durante il suo raffreddamento convettivo, utilizzando il materiale
lezioni. Il contatto termico tra gli strati è considerato ideale. Guida
problema ad una forma adimensionale. Costruire una soluzione analitica esatta
questo compito.
2.*Calcola le temperature delle superfici interna ed esterna della palla
gusci nel problema 1, nonché la temperatura al contatto; definire completo
flusso di calore che lascia la superficie della palla, assumendo che la temperatura
ambiente all'interno del guscio – 175 C, temperatura ambiente– 25 C;
i coefficienti di scambio termico sono gli stessi e uguali – 28,8 kcal/(m2·ora·grado);
raggi interni ed esterni della conchiglia – 3 cm e 5 cm, spessore
calotta interna – 25 mm. La calotta interna è composta da
materiale con conducibilità termica di 1,45 kcal/(m ora gradi); esterno di
materiale con coefficiente di conducibilità termica di 0,137 kcal/(m ora gradi). Come
il flusso di calore cambierà quando lo spessore dell'esterno
conchiglie che vanno da 25 mm a 300 mm?

22.

d2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
GU. primo tipo: r r1:
qV cost
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
GU. terzo tipo:
r r1:
-
T
1TTe1;
R
r r2:
-
T
2Te2T
R
Primo "modo" di soluzione:
Il problema si risolve mediante integrazione elementare:
qV x 2
Tx
C1xC2
2
dT
Q
VxC1;
dx
(4)
Sostituendo la soluzione generale nel g.e., troviamo le costanti di integrazione.
Il massimo si trova ad una certa distanza dalle superfici.
La posizione del massimo può essere trovata dalla condizione (condizione estrema)
dT
qx
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Compiti con fonti di calore interne
PARETE PIANA CONDUTTRICE DEL CALORE CON GENERAZIONE DI CALORE VOLUMETRICO
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Facciamo le cose in modo leggermente diverso. (Secondo "modo"
soluzioni)
qV x 2
Tx
C1xC2
generale
soluzione
2
(4)
Posizioniamo l'origine delle coordinate nel punto dove
temperatura massima
T2
1; 2
- distanze massime dai bordi della piastra
0
C10
Riscriviamo la condizione al contorno di destra come segue:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
Q
V
2
2C2
Te2qV2
2
(6)
Poiché il piano x=0 può essere considerato termicamente isolato, tutto il calore ceduto all'interno
targa a destra per unità di tempo, deve essere rilasciato nell'ambiente
tramite trasferimento di calore dalla parete destra. In caso contrario la condizione verrà violata
stazionarietà
qV 2 - quantità di calore rilasciata nel volume di una piastra di spessore = 1 per unità di tempo
A sinistra c'è l'espressione del flusso di scambio termico per unità di superficie della piastra

24.

Ragionamento simile per lo strato sinistro della lastra con spessore
1 2
portare all'espressione
2
Q
V
2
1C2
Te1qV2
2
(7)
Usando le uguaglianze (6), (7) troviamo la posizione
massimo
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV1 2 1 2
(8)
Determinando la costante C2 (qualsiasi uguaglianza è adatta), troviamo la soluzione generale.
Prende la forma più semplice se
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
Poi
qV qV 2
C2
Te
2
8
E
2
Q
qV
2
Tx
xVTe
2 2
2
(9)
(10)
qV2qV
Più basso è, maggiore è la conduttività termica della piastra
TmaxTx0
Te
8
2
Q
La temperatura della parete Ts T1 T2 V Te aumenta con il peggioramento del trasferimento di calore
2

25.

Condizioni al contorno del primo tipo
T1
2
1
T2
0
qV 22
C2T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV2
(11)
qV222
C2T1
2
2
qV2 T1 T2
2
TxT2
X
1
2
2 2
qV
Per valori molto grandi
x2:
qV x 2
Tx
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Le condizioni al contorno del terzo tipo si trasformano in condizioni al contorno
condizioni del primo tipo. Pertanto, abbiamo la stessa decisione
otteniamo utilizzando la soluzione precedente
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Di conseguenza, dal problema simmetrico con condizioni al contorno del terzo tipo si ottiene la (10).
2
qV
2
Tx
x Ts
2 2
TmaxTx0
Q
V Ts
8
2
Temperatura
muri
(14)
La stessa uguaglianza consegue dalla soluzione precedente, a patto che le temperature delle pareti siano uguali

26.

Consideriamo un cilindro solido infinito, uniformemente riscaldato (o
raffreddato) dalla superficie laterale. Il volume del cilindro contiene una fonte di calore
intensità costante. È necessario trovare la distribuzione della temperatura per
stato stazionario.
d 2T 1 dT q
dottor
u dT dott
2
signor dottor
qr
du
R
uV0
dottor
V
O
0
(1)
d ru qV r
0
dottor
qVr 2
ru
C1
2
qr C
dT
V1
dottor
2
R
Decisione comune
Primo
integrante
(3)
qVr 2
T
C1 lnr C2
4
Condizione in centro per
cilindro solido
dT dr 0; r0
(2)
(4)
C10

27.

Cilindro volumetrico per la dissipazione del calore
dT
TTe
rR
dottor
qV2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
R
Te
C2
Te
4
2
2
4
Q
qR
qR
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Condizione esterna:
densità del flusso termico sulla superficie del cilindro:
flusso termico totale dalla superficie del cilindro:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Il problema del raffreddamento di un cilindro con rilascio di calore volumetrico è, in
in particolare, interesse per trovare la distribuzione della temperatura nei catodi,
utilizzato nei plasmatroni per generare flussi di ioni. In pratica
applicazione, questo problema può essere riformulato come segue: trova il potere
sorgente sufficiente a far esplodere il catodo, a condizione che ciò lo richieda
raggiungere il punto di fusione del materiale catodico
Utilizzando la soluzione generale (4), possiamo trovare la distribuzione della temperatura sullo spessore
le pareti di un cilindro cavo o lungo lo spessore di un cilindro ricoperto da uno strato protettivo
(considereremo ulteriormente). Nel primo caso, è necessario impostare le condizioni sulla superficie interna
cilindro. Nel secondo caso sarà richiesta una condizione aggiuntiva all'interfaccia
due materiali con proprietà diverse, ad es. condizione al contorno del quarto tipo.

28.

Sfera con rilascio di calore volumetrico
qVr2C1
A casa: mostramelo
T
C2 (2)
(1)
qual è la soluzione generale
6
r1
dottor 2
(1) ha la forma (2)
dT
Condizioni:
dT dr 0; r 0 e dr T Te ; rR
Q
Q
dare C1 0 e
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV2r(3)
TTe
R
R1
3
6
R
Q
Q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Temperatura massima
3
6
Q
Q
Temperatura superficiale
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Flusso termico totale attraverso la superficie
Q
R3qV
4 dr R 3
palla
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
cilindro
S
2
4
2
Confrontare
d2T
2dT qV
0
signor dottor
Strato piatto Tmax
qV qV 2
Te
2
8
Q
TsVTe
2
con (4), (5)

29.

Esempio 1. Trova Forza massima corrente che può essere attraversata
filo di alluminio (λ=204 W/(m K)) con un diametro di 1 mm, in modo che
la temperatura non superava i 200 C. Il filo era sospeso nell'aria con
temperatura 25 C. Coefficiente di trasferimento di calore convettivo dal filo a
l'aria è 10 W/(m2 K). Resistenza elettrica Re/l per unità
la lunghezza del filo è 0,037 Ohm/m.
Soluzione. Usiamo la formula (66), da cui segue
qV
Re I 2
R2l
Tm ascia
qV R R
I2Re
Te
1
Te
2
2
2 R l
R
1 2
Sostituiamo i valori indicati delle quantità fisiche:
200 25
IO
2
2 1 0 3
Da qui troviamo la forza attuale:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
Io 12,2 A

30.

Filo isolato
Formulazione matematica rigorosa del problema:
d2T1
dottor
2
d2T2
La prima condizione è la condizione di simmetria;
la seconda suggerisce quella termica
contatto tra filo e isolante –
ideale e il terzo corrisponde
scambio termico convettivo del filo con
isolamento dall'ambiente.
dottor
2
1dT2
0
signor dottor
r 0: dT dr 0
rR: 1
rR
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T2
dottor
dottor
rR: 2
Soluzione generale al problema:
1dT1qV
0
signor dottor
1
dT2
T2Te
dottor
qVr 2
T1
C1 lnr C2
4 1
T2 C3 l nr C 4
(4)
(5)
A casa: mostramelo
giustizia

31.

Filo isolato
qVr 2
T1
C1 lnr C2
4 1
Soluzione generale al problema:
T2 C3 l nr C 4
Dalla condizione (3) abbiamo:
C10
qR
C
1V23
R
2 1
Le condizioni (4) danno:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Dalla condizione (5) segue:
qV R 2
C32qVR2
2
ln R C 4 Te
R
R22
2 2
Noi troviamo:
qV R 2
qR
C4Te
l n R V
2 2
2
qV R2 2 1 qV R2 R
C2Te
ln
1
41R222
R

32.

Pertanto, la distribuzione della temperatura in un filo con isolamento
descritto da formule
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1Te
ln
1
41R222
R41
E
qV R 2 2 qV R 2 R
T2Te
ln
2 2 R
2 2
R
Presentiamo la soluzione finale come:
TTe
io io
TTe
qV R 2
TTe
1
R
R
1
Bi K
2
1 1 2
ln 1
4
K2
4
2
KK1
ln
2Bi
2
Determiniamo il flusso di calore dalla superficie
conduttore
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Vai a casa
variabili adimensionali
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- l'isolamento non sottrae calore al conduttore percorso da corrente
- il raffreddamento del conduttore è possibile a causa della perdita di calore
ambiente
R

33.

Esempio 2. Far passare un lungo filo di alluminio del diametro di 1 cm
flussi elettricità intensità di corrente 1000 A. Il filo è ricoperto da uno strato
isolamento in gomma spessore 3 mm (λ2=0,15 W/(m K)). Temperatura
la superficie esterna dell'isolamento è di 30 C. Trova la temperatura dell'interno
superfici isolanti. Resistenza ohmica del filo per unità
lunghezza 3,7·10-4 Ohm/m.
Soluzione. Per risolvere questo problema, utilizziamo la seconda formula per T2
considerato problema coniugato. Dato che la temperatura è impostata
2
superficie esterna dell'isolamento, ad es.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
R l
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Utilizzando il valore di conduttività termica del filo di alluminio
1.232 W/(m K) e la formula per T, possiamo calcolare la temperatura al centro
1
fili. Nelle condizioni in esame abbiamo
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 dr
l 2 2 R l 4 1
l41
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Assegnazione dei compiti.
1.Una corrente di forza I=200A viene fatta passare attraverso un filo di acciaio inossidabile
con un diametro di 2 mm e una lunghezza di 1 M. Resistenza elettrica del filo –
0,125 Ohm, coefficiente di conducibilità termica 17 W/(m K). Temperatura
superficie del filo 150 C. È necessario calcolare la temperatura sull'asse
filo.
2.Per lo stesso problema si supponga che il filo sia ricoperto da uno strato isolante
(coefficiente di conducibilità termica dell'isolamento 0,15 W/(m·K)) e il coefficiente
il trasferimento di calore sulla superficie isolante è di 60 W/(m2K). Come necessario
modificare la corrente (aumentare o diminuire) in modo che la temperatura
la superficie del filo è rimasta pari a 150 C.

35.

Proprietà termofisiche efficaci (equivalenti).
Materiali realmente utilizzati nell'ingegneria meccanica e in chi ci circonda
sono multicomponenti e multifase. Questo vale per gli acciai
leghe, compositi intermetallici, materiali sinterizzati,
compositi in fibra, compositi a base polimerica, miscele,
soluzioni, ecc.
Se per i componenti di partenza (da cui vengono sintetizzati i compositi
diverse tecnologie) o dati i materiali utilizzati con tutte le proprietà
più o meno chiare, quindi per i materiali di nuova concezione
definire le proprietà è una sfida importante.
I metodi sperimentali standard potrebbero non funzionare o diventarlo
costoso o richiede tempo
Per calcolare, è necessario conoscere le proprietà dei componenti, della struttura e del mutuo
l’influenza reciproca dei fenomeni fisici.
Senza dati su Proprietà fisiche ah, nessuno scientifico è possibile
o calcolo ingegneristico
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Conducibilità termica di miscele e compositi
materiali

36.

Modelli per il calcolo delle proprietà:
corpuscolare (molecolare), continuo e combinato
Nei modelli corpuscolari, le proprietà vengono studiate in base alla conoscenza della natura,
struttura e natura dell'interazione tra le particelle. Calcolo delle proprietà fisiche in
In questo caso è possibile utilizzare solo i dati di altri immobili.
Classificazione delle strutture eterogenee:
Dulnev, pp. 10-52 (aperto)
Compositi: pp.106-130

37.

Esistono numerosi metodi per calcolare i coefficienti effettivi
conducibilità termica di materiali eterogenei e porosi
Nell'approssimazione più semplice per il processo di conduzione del calore in un separato
microarea (che è considerata un volume rappresentativo)
sono valide le equazioni fisiche
JT ,kk grad Tk , div JT ,k 0
Condizioni al contorno sulle interfacce tra regioni con un ideale
il contatto termico ha la forma:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
N
N
Per determinare la conduttività termica effettiva di un materiale (costituito da
fasi diverse) è necessario determinare la distribuzione dei campi fisici durante
tutte le microaree, per poi passare ad un ambiente quasi omogeneo, per
che tiene le relazioni
JT*T
1
JkdV;
V
1
Tk d
T
V
V
Stabilire il tipo di questo
Coefficiente efficace: f k, k;
dipendenza ed è
compito principale
- frazioni di fase
varie teorie.
JT
T

38.

Sistema bifase
1
J
J1dV1 J2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
K
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Segue da
precedente
, k 1.2
- gradiente di volume medio
Il sistema di due equazioni (1) contiene tre incognite. Per chiusura elettronica
sono necessarie informazioni aggiuntive, ad esempio informazioni sulla struttura
sistema eterogeneo, dati da un esperimento appositamente progettato.
La soluzione al problema della chiusura di tali sistemi ha portato alla nascita di tutto
varietà di metodi per determinare i coefficienti di trasferimento (non solo
coefficiente di conducibilità termica), noto in letteratura

39.

1. Nel caso della struttura più semplice, che è un sistema
piastre illimitate parallele al flusso J
1 2 1
E
1 1 2 2
2. Se gli strati sono perpendicolari al flusso
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
I tipi di strutture dei media disomogenei sono molto diversi. Quindi, nel caso
mezzi bifase, a quali fasi (microregioni contenenti fasi diverse)
può essere distribuito nello spazio sia in modo caotico che ordinato,
è possibile distinguere strutture contenenti una delle fasi sotto forma di isolato
inclusioni isomeriche (1) o orientate anisotropicamente (2) in
altra fase continua, sistemi granulari con telaio continuo (3) e
pori (4), sistemi fibrosi di fibre (5) e pori (6), statisticamente
sistemi disomogenei (microeterogenei) di dimensioni simili
componenti (7), sistemi stratificati di paralleli (8) e perpendicolari
(9) flusso di strati. Si possono immaginare sistemi costituiti da individui
sottosistemi con varie strutture del tipo descritto. Inoltre
ciascuna delle fasi incluse nella struttura può essere multicomponente o
e monocomponente. In ogni caso, è necessario calcolare le proprietà di ciascuna fase
o la loro determinazione sperimentale.

40.

Equazione di Kondorsky
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevskij (metodo
1
ambiente efficace)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 V
13
2 1
1 2
Metodo integrale
Stime bilaterali (stime
Khashin-Strikhman)
Schermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
L'indice 1 si riferisce alla matrice e "2" alle inclusioni
Nonostante i modelli mediatici semplificati, alcune formule ben note
ci permettono di fare stime abbastanza attendibili, anche se il numero di formule per
di vari casi speciali di media aumenta rapidamente con l'aumentare del numero di fasi.

41.

A casa:
Composito disponibile. La matrice è una lega a base di tungsteno (la consideriamo
coefficiente di conducibilità termica pari alla conducibilità termica del tungsteno).
Particelle di carburo di titanio (inclusioni).
Utilizzando le formule scritte sopra, calcola le dipendenze
coefficienti di conduttività termica effettivi del composito dalla frazione
inclusioni (ξ= da 0 a 0,75). Traccia su un grafico.
Quale conclusione si può trarre?

42.

Proprietà dei materiali granulari e porosi
Sulla conduttività termica effettiva dei materiali porosi, a parità di altre condizioni
Le condizioni sono influenzate dalla conduttività termica della fase solida. Inoltre, per
coefficiente di alcuni materiali porosi (a base di Al2O3, BeO, MgO, ecc.).
la conducibilità termica diminuisce con l'aumentare della temperatura, mentre per
altri realizzati sulla base di SiO2, ZrO2 - aumentano. Decisivo
la porosità ha un impatto sulla conduttività termica effettiva, poiché
I pori stessi, a causa della bassa conduttività del gas, sono efficaci
barriera alla diffusione del calore. Tuttavia, ce ne sono altri
meccanismi di trasferimento del calore (convezione, irraggiamento).
Più modelli semplici basato sull'idea di poroso o
materiale disperso sotto forma di strati piani alternati composti e
telaio solido (quadro) e aria.
1
1
2
2
1
1 1 2
- proporzione di pori; porosità
- conducibilità termica del riempimento di aria o altra sostanza
spazio poroso

43.

I modelli presentati nella figura al centro sono associati a nomi
Maxwell–Eucken. Il risultato sembra
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
la struttura solida è continua
continuo è poroso
spazio
modello di teoria dell’ambiente efficace

Lo studio di qualsiasi processo fisico è associato alla creazione di relazioni tra le quantità che caratterizzano questo processo. Per processi complessi, che includono il trasferimento di calore per conduttività termica, quando si stabilisce la relazione tra le quantità è conveniente utilizzare i metodi della fisica matematica, che considera il verificarsi del processo non nell'intero spazio studiato, ma in un volume elementare di materia durante un periodo di tempo infinitesimale. Il collegamento tra le grandezze coinvolte nel trasferimento di calore per conducibilità termica è stabilito in questo caso dal cosiddetto equazione differenziale della conducibilità termica. Entro i limiti di un volume elementare selezionato e di un periodo di tempo infinitamente piccolo, diventa possibile trascurare il cambiamento di alcune quantità che caratterizzano il processo.

Quando si deriva l'equazione differenziale della conduttività termica, vengono fatte le seguenti ipotesi: quantità fisiche λ, con pag E ρ permanente; non sono presenti fonti di calore interne; il corpo è omogeneo e isotropo; viene utilizzata la legge di conservazione dell'energia, che in questo caso è formulata come segue: la differenza tra la quantità di calore che entra per conducibilità termica in un parallelepipedo elementare nel tempo dτ e lasciandolo per lo stesso tempo, viene speso per modificare l'energia interna del volume elementare in esame. Di conseguenza, arriviamo all'equazione:

La quantità si chiama Operatore di Laplace ed è solitamente abbreviato con 2 T(il cartello dice “nabla”); misurare λ /cρ chiamato coefficiente di diffusività termica e indicato con la lettera UN. Con le notazioni indicate equazione differenziale prende forma la conduttività termica

Viene chiamata l'equazione (1-10). equazione differenziale della conducibilità termica, o l'equazione di Fourier, per un campo di temperatura instabile tridimensionale in assenza di fonti di calore interne. È l'equazione principale nello studio del riscaldamento e del raffreddamento dei corpi nel processo di trasferimento del calore per conduttività termica e stabilisce una connessione tra i cambiamenti temporali e spaziali della temperatura in qualsiasi punto del campo.

Coefficiente di diffusività termica UN= λ/cρè un parametro fisico di una sostanza e ha un'unità di misura m 2 / s. Nei processi termici non stazionari il valore UN caratterizza la velocità di variazione della temperatura. Se il coefficiente di conducibilità termica caratterizza la capacità dei corpi di condurre il calore, allora il coefficiente di diffusività termica UNè una misura delle proprietà inerziali termiche dei corpi. Dall'equazione (1-10) ne consegue la variazione della temperatura nel tempo ∂t / ∂τ per qualsiasi punto del corpo è proporzionale al valore UN Pertanto, a parità di condizioni, la temperatura del corpo che ha una diffusività termica maggiore aumenterà più velocemente. I gas hanno coefficienti di diffusività termica piccoli e i metalli grandi.

L'equazione differenziale della conduttività termica con fonti di calore all'interno del corpo avrà la forma

Dove qv- la quantità di calore rilasciata per unità di volume di una sostanza per unità di tempo, Con-capacità termica di massa del corpo, ρ - densità corporea .

L'equazione differenziale della conduttività termica in coordinate cilindriche con una fonte di calore interna avrà la forma

Dove R- raggio vettore in un sistema di coordinate cilindriche; φ - angolo.

Pagina 4

. (2.24)

L'equazione (2.24) è chiamata equazione differenziale del calore (o equazione differenziale di Fourier) per un campo di temperatura instabile tridimensionale in assenza di fonti di calore interne. È fondamentale nello studio del riscaldamento e del raffreddamento dei corpi nel processo di trasferimento del calore per conduttività termica e stabilisce una connessione tra le variazioni temporali e spaziali della temperatura in qualsiasi punto del campo. Applicazione laser in otorinolaringoiatria.

La diffusività termica è un parametro fisico di una sostanza e ha un'unità di m2/s. Nei processi termici non stazionari, a caratterizza la velocità di variazione della temperatura.

Dall'equazione (2.24) segue che la variazione di temperatura nel tempo per qualsiasi punto del corpo è proporzionale al valore di a. Pertanto, a parità di condizioni, la temperatura del corpo che presenta una diffusività termica maggiore aumenta più velocemente.

L'equazione differenziale della conduttività termica con una fonte di calore all'interno del corpo ha la forma:

, (2.25)

dove qV è la potenza specifica della sorgente, cioè la quantità di calore rilasciata per unità di volume di una sostanza per unità di tempo.

Questa equazione è scritta in coordinate cartesiane. In altre coordinate, l'operatore di Laplace ha una forma diversa, quindi cambia anche la forma dell'equazione. Ad esempio, in coordinate cilindriche, l'equazione differenziale per la conduzione del calore con una fonte di calore interna è:

, (2.26)

dove r è il raggio vettore in un sistema di coordinate cilindriche;

Angolo polare.

2.5 Condizioni al contorno

L'equazione differenziale di Fourier risultante descrive il fenomeno del trasferimento di calore per conduttività termica nella forma più generale. Per applicarlo ad un caso specifico è necessario conoscere la distribuzione della temperatura nel corpo o le condizioni iniziali. Inoltre, dovresti sapere:

· forma geometrica e dimensioni del corpo,

parametri fisici dell’ambiente e del corpo,

· condizioni al contorno che caratterizzano la distribuzione delle temperature sulla superficie di un corpo, ovvero l'interazione del corpo oggetto di studio con l'ambiente.

Tutte queste caratteristiche particolari, insieme all'equazione differenziale, danno Descrizione completa specifico processo di conduzione del calore e sono chiamate condizioni di unicità o condizioni al contorno.

Tipicamente, le condizioni iniziali della distribuzione della temperatura sono specificate per il momento t = 0.

Le condizioni al contorno possono essere specificate in tre modi.

Una condizione al contorno del primo tipo è specificata dalla distribuzione della temperatura sulla superficie del corpo in un qualsiasi momento nel tempo.

La condizione al contorno del secondo tipo è specificata dalla densità del flusso di calore superficiale in ciascun punto della superficie del corpo in qualsiasi momento nel tempo.

La condizione al contorno del terzo tipo è data dalla temperatura dell'ambiente che circonda il corpo e dalla legge di scambio termico tra la superficie del corpo e l'ambiente.

La risoluzione dell'equazione differenziale della conduttività termica in determinate condizioni di univocità consente di determinare il campo di temperatura nell'intero volume del corpo in qualsiasi momento nel tempo o di trovare la funzione .

2.6 Conduzione termica attraverso una parete sferica

Tenendo conto della terminologia descritta nelle sezioni 2.1 - 2.5, il compito di questo lavoro del corso può essere formulato in questo modo. Un flusso di calore costante è diretto attraverso la parete sferica e la fonte di calore è la sfera interna di raggio R1. La potenza della sorgente P è costante. Il mezzo tra le sfere di confine è isotropo, quindi la sua conduttività termica c è funzione di una variabile: la distanza dal centro delle sfere (raggio) r. Secondo le condizioni del problema . Di conseguenza, anche in questo caso la temperatura del mezzo è funzione di una variabile: il raggio r: T = T(r), e le superfici isotermiche sono sfere concentriche. Pertanto, il campo di temperatura desiderato è stazionario e unidimensionale, e le condizioni al contorno sono condizioni del primo tipo: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Dall'unidimensionalità del campo di temperatura ne consegue che la densità del flusso di calore j, così come la conduttività termica e la temperatura, sono in questo caso funzioni di una variabile: il raggio r. Le funzioni incognite j(r) e T(r) possono essere determinate in due modi: risolvendo l'equazione differenziale di Fourier (2.25) o utilizzando la legge di Fourier (2.11). In questo lavoro è stato scelto il secondo metodo. La legge di Fourier per il campo di temperatura unidimensionale sfericamente simmetrico studiato ha la forma: 1 4

Definizione degli obiettivi del TMO

Abbiamo un volume che risente dei carichi termici, è necessario determinare il valore numerico qV e la sua distribuzione in volume.

Fig. 2 - Fonti di attrito esterne ed interne

1. Determinare la geometria del volume in esame in qualsiasi sistema di coordinate selezionato.

2. Determinare le caratteristiche fisiche del volume in esame.

3. Determinare le condizioni che avviano il processo TMT.

4. Chiarire le leggi che determinano il trasferimento di calore nel volume in esame.

5. Determinare lo stato termico iniziale nel volume in esame.

Problemi risolti durante l'analisi dei rifiuti solidi:

1. Compiti “diretti” del TMO

Dato: 1,2,3,4,5

Determinare: distribuzione della temperatura nello spazio e nel tempo (ulteriori 6).

2. Problemi TMT “inversi” (inverso):

a) inverso confine compiti

Dato: 1,2,4,5,6

Definire: 3;

b) inverso probabilità compiti

Dato: 1,3,4,5,6

Definire: 2;

c) inverso retrospettiva compito

Dati: 1,2,3,4,6

Definire: 5.

3. Compiti “induttivi” del TMO

Dati: 1,2,3,5,6

Definire: 4.

FORME DI TRASMISSIONE DEL CALORE E PROCESSI TERMICI

Esistono 3 forme di trasferimento di calore:

1) conduttività termica nei solidi (determinata da microparticelle e nei metalli da elettroni liberi);

2) convezione (determinata dalle macroparticelle del mezzo in movimento);

3) radiazione termica (determinata dalle onde elettromagnetiche).

Conducibilità termica dei solidi

Concetti generali

Campo della temperatura è un insieme di valori di temperatura nel volume in esame, rilevati in un determinato momento.

t(x, y, z, τ)- una funzione che determina il campo di temperatura.

Esistono campi di temperatura stazionari e non stazionari:

stazionario - t(x,y,z);

non stazionario - t(x, y, z, τ).

La condizione di stazionarietà è:

Prendiamo un certo corpo e colleghiamo punti con temperature uguali

Fig. 3-Gradiente di temperatura e flusso di calore

grado t- gradiente di temperatura;

Dall'altro lato: .

La legge di Fourier - il flusso di calore nei solidi è proporzionale al gradiente di temperatura, alla superficie attraverso la quale passa e all'intervallo di tempo considerato.

Il coefficiente di proporzionalità è chiamato coefficiente di conduttività termica λ , W/m·K.

mostra che il calore si diffonde nella direzione opposta al vettore del gradiente di temperatura.

;

Per una superficie e un intervallo di tempo infinitesimi:

Equazione del calore (equazione di Fourier)

Consideriamo un volume infinitesimo: dv = dx dy dz

Fig. 4 - Stato termico di un volume infinitesimo

Abbiamo una serie di Taylor:

Allo stesso modo:

; ; .

Nel caso generale abbiamo in un cubo qV. La conclusione si basa sulla legge generalizzata di conservazione dell’energia:

.

Secondo la legge di Fourier:

; ; .

Dopo le trasformazioni abbiamo:

.

Per un processo stazionario:

La dimensione spaziale dei problemi è determinata dal numero di direzioni in cui avviene il trasferimento di calore.

Problema unidimensionale: ;

per un processo stazionario: ;

Per :

Per : ;

UN- coefficiente di diffusività termica, .Sistema cartesiano;

k = 1, ξ =x- sistema cilindrico;

k = 2, ξ =x- sistema sferico.

Condizioni di unicità

Condizione di unicità – Queste sono condizioni che consentono di selezionare dall'insieme di soluzioni fattibili una sola che corrisponda al compito da svolgere.

Domanda 23 Qual è il calore specifico di fusione del ghiaccio?

Il calore specifico di fusione si trova dalla formula:

dove Q è la quantità di calore necessaria per fondere un corpo di massa m.

solidificandosi, le sostanze rilasciano la stessa quantità di calore necessaria per scioglierle. Le molecole, perdendo energia, formano cristalli, non potendo resistere all'attrazione di altre molecole. E ancora, la temperatura corporea non diminuirà finché l'intero corpo non si sarà indurito e finché tutta l'energia spesa per il suo scioglimento non verrà rilasciata. Cioè, il calore specifico di fusione mostra sia quanta energia deve essere spesa per fondere un corpo di massa m, sia quanta energia verrà rilasciata quando un dato corpo si solidifica.

Ad esempio, il calore specifico di fusione dell'acqua allo stato solido, ovvero il calore specifico di fusione del ghiaccio, è 3,4*10^5 J/kg

Il calore specifico di fusione del ghiaccio è 3,4 volte 10 alla 5a potenza joule/kg

Il calore specifico di fusione si indica con la lettera greca λ (lambda), e l'unità di misura è 1 J/kg

Domanda 24 Indichiamo L1 come il calore specifico di vaporizzazione e L2 come il calore specifico di fusione. Di più?

Poiché un corpo acquista energia durante la vaporizzazione, possiamo concludere che l'energia interna di un corpo allo stato gassoso è maggiore dell'energia interna di un corpo della stessa massa allo stato liquido. Pertanto, durante la condensazione, il vapore rilascia la quantità di energia necessaria per la sua formazione

Calore specifico di vaporizzazione– una quantità fisica che mostra la quantità di calore necessaria per convertire 1 kg di una sostanza in vapore senza modificarne la temperatura. Probabilità " R

Calore specifico di fusione– una grandezza fisica che mostra la quantità di calore necessaria per trasformare 1 kg di una sostanza in liquido senza modificarne la temperatura. Probabilità " λ » poiché sostanze diverse, di regola, sono diverse. Vengono misurati empiricamente e inseriti in apposite tabelle

Il calore specifico di vaporizzazione è maggiore

Domanda 25: equazione differenziale del calore per un campo di temperatura instabile bidimensionale in coordinate cartesiane?

x i = x, y, z – Sistema di coordinate cartesiane;

Se la temperatura rimane costante lungo una delle coordinate, matematicamente questa condizione viene scritta (ad esempio per la coordinata z) come segue: dT/dz=0.

In questo caso il campo si dice bidimensionale e si scrive:

per la modalità non stazionaria T=T(x, y, t);

per la modalità stazionaria T=T(x, y).

Equazioni di un campo di temperatura bidimensionale per la modalità

non stazionario:

Domanda 26: equazione differenziale del calore per un campo di temperatura non stazionario in coordinate cilindriche?

x i = r, φ, z – sistema di coordinate cilindriche;

Campo della temperaturaè un insieme di valori di temperatura in tutti i punti di un dato dominio computazionale e nel tempo.

Il campo di temperatura si misura in gradi Celsius e Kelvin e si designa analogamente a TTD: , dove x i sono le coordinate del punto dello spazio in cui si trova la temperatura, in metri [m]; τ – tempo del processo di scambio termico in secondi, [s]. Quello. il campo di temperatura è caratterizzato dal numero di coordinate e dal suo comportamento nel tempo.

Nei calcoli termici vengono utilizzati i seguenti sistemi di coordinate:

x i = r, φ, z – sistema di coordinate cilindriche;

Il campo della temperatura, che cambiamenti nel tempo, chiamato non stazionario campo di temperatura. E viceversa, il campo della temperatura, che non cambia nel tempo, chiamato stazionario campo di temperatura.

cilindrico coordinate (r – raggio; φ – angolo polare; z – applicata), l'equazione differenziale della conduttività termica ha la forma

,