Az erőpárok tulajdonságait számos tétel határozza meg, amelyeket bizonyítás nélkül adunk meg:

· Két pár ekvivalens, ha vektormomentumaik egyenlő nagyságúak és azonos irányúak.

· A pár testre gyakorolt ​​hatása nem változik, ha a cselekvés síkjában bármely helyre áthelyezzük.

· A pár testre gyakorolt ​​hatása nem változik, ha a hatássíkról egy vele párhuzamos síkra helyezzük át.

· A pár testre gyakorolt ​​hatása nem változik, ha növeli (csökkenti) a pár erejének nagyságát, miközben ezzel egyidejűleg ugyanennyivel csökkenti (növeli) a pár vállát.

Következtetés: a merev testre ható erőpár vektormomentuma szabad vektor, azaz a merev test bármely pontján alkalmazható.

Tekintsük a térben tetszőlegesen elhelyezkedő párok összeadását. Bizonyítsuk be a tételt:

A térben tetszőlegesen elhelyezett párok rendszere egy olyan párnak felel meg, amelynek nyomatéka megegyezik a párok elemeinek momentumainak geometriai összegével.

Vegyünk két párt () és (), amelyek tetszőleges szögben metsző síkon helyezkednek el. Tegyük fel, hogy a párok vállai egyenlőek, ill. A síkok metszésvonalán jelöljünk ki egy tetszőleges AB szakaszt, és vigyük az összes összegző párokat az AB karba. A megfelelő c és c erők összeadásával (lásd az ábrát) egy új () párt kapunk, amelynek nyomatéka egyenlő lesz

2.18. ábra Eredményes erőpár

Egy testre ható erőpárok rendszere az imént bizonyított tétel szerint helyettesíthető a párok nyomatékvektorainak összegével egyenlő párral. Következésképpen egy párrendszer egyensúlya csak akkor lehetséges, ha a feltétel teljesül

A párok egyensúlyának redukált vektorfeltételét bármely három olyan tengelyre vetítve, amelyek nem esnek egy síkban és nem párhuzamosak egymással, skaláris egyenleteket kapunk egy párrendszer egyensúlyára.

A 9. § végén levont következtetések érvényessége közvetlenül igazolható.

Tekintsünk egy szilárd testre ható F, F erőpárt. Rajzoljunk két párhuzamos egyenest e pár hatássíkjában tetszőleges D és E pontokon, amíg metszi az F, F erők hatásvonalait. az A és B pontokban (34. ábra), és ezeken a pontokon F , F erőket fejtsünk ki (eredetileg az F és F a hatásvonaluk bármely más pontján alkalmazható). Most bontsuk fel az AB és EB irányú F erőt erőkre - BA A és AD irányban a Q és P erőkre. Nyilvánvaló, hogy a Q és Q erők kiegyensúlyozottakként elvehetők. Ennek eredményeként az F, F erőpárt felváltja egy P, P pár egy másik karral és más erőkkel, amelyek nyilvánvalóan a D, E pontokban alkalmazhatók a hatásvonalukon. Ráadásul a D, E pontok, valamint az AD és BE egyenesek irányának önkényessége miatt a P, P pár bárhol f? helyzetben, amelyben a P és P erők párhuzamosak F-vel, a pár a jelzett transzformáció kétszeri végrehajtásával hozható létre).

Végezetül mutassuk meg, hogy a pároknak azonos pillanatai vannak. Jelöljük ezeket a momentumokat hol az azóta, de (lásd lábjegyzet a 32. oldalon) képlet szerint, és ezért

A bebizonyítottakból egy erőpár következő tulajdonságai következnek:

1) a pár a szilárd testre gyakorolt ​​hatás megváltoztatása nélkül bárhová átvihető a pár hatássíkjában;

2) adott pár esetén a merev testre kifejtett hatás megváltoztatása nélkül tetszőlegesen megváltoztathatja az erőmodulokat vagy a kar hosszát, nyomatékának változatlan tartása mellett.

Bebizonyítható, hogy egy erőpárnak van egy másik meglehetősen nyilvánvaló tulajdonsága (a bizonyítást elhagyjuk):

3) egy pár a szilárd testre gyakorolt ​​hatásának megváltoztatása nélkül átvihető egy adott síkból bármely más, ezzel párhuzamos síkra.

Ebből következik, hogy két azonos nyomatékú erőpár ekvivalens egymással (a párok ekvivalenciájának tétele). Ez abból adódik, hogy a jelzett műveletekkel, vagyis a kar megváltoztatásával és a pár cselekvéssíkban történő mozgatásával vagy párhuzamos síkra való áthelyezésével azonos momentumú párok alakíthatók át egymásba.

Most bizonyítsuk be a párok összeadásáról szóló tételt: egy abszolút merev testre ható párrendszer ekvivalens egy olyan párnak, amelynek nyomatéka megegyezik az összegzett párok nyomatékainak geometriai összegével.

Tekintsünk először két olyan párt, amelyek nyomatékai síkban helyezkednek el (35. ábra). Vegyünk egy szakaszt a síkok metszésvonalán, és rajzoljunk egy nyomatékos párt erővel és egy nyomatékos erővel (ebben az esetben természetesen ).

Az A és B pontban kifejtett erők összeadásával meggyőződünk arról, hogy a párok valóban egy párral ekvivalensek, és meg fogjuk találni ennek a párnak az M nyomatékát. Azóta vagy a képlet szerint

Két pár esetén a tétel igazolt; Sőt, nyilvánvaló, hogy a bizonyítás abban az esetben is érvényes lesz, ha a sík és a II összeolvad (a pár tagjai ugyanabban a síkban vannak).

Ha egy pillanatnyi párrendszer hat egy testre, akkor a két párra kapott eredményt szekvenciálisan alkalmazva azt kapjuk, hogy ez a párrendszer valójában egy pillanatnyi párral lesz ekvivalens.

Axióma az erőpárok térbeli egyenértékűségének feltételéről. Az egyes erőpároknak a rajz síkjára merőleges nyomatékvektora helyett csak az az irány van feltüntetve, amerre az erőpár ezt a síkot forgatja.

A térben lévő erőpárok ekvivalensek, ha nyomatékuk geometriailag egyenlő. Egy erőpár merev testre gyakorolt ​​hatásának megváltoztatása nélkül egy erőpár átvihető bármely, a pár hatássíkjával párhuzamos síkra, és megváltoztathatja az erőit és az áttételt is, megtartva nyomatékának modulusát és irányát. állandó. Így egy erőpár nyomatékvektora bármely pontba átvihető, azaz egy erőpár nyomatéka szabad vektor. Egy erőpár nyomatékvektora leírja mindhárom elemét: a pár hatássíkjának helyzetét, a forgásirányt és a nyomaték számértékét. Nézzük meg két, egymást metsző síkban elhelyezkedő erőpár összeadását, és bizonyítsuk be a következő axiómát: az alkotó erőpárok nyomatékainak geometriai összege egyenlő a velük egyenértékű erőpár nyomatékával. Legyen szükség két olyan erőpár összeadására, amelyek a metsző I és II nyomatékú síkban helyezkednek el

Rizs. 34 Miután kiválasztottuk ezeknek a pároknak az erőit egyenlő nagyságúra

Határozzuk meg ezeknek a pároknak a vállát:

Rendezzük ezeket az erőpárokat úgy, hogy az erők a KL síkok ellentétes irányú metszéssávja mentén irányuljanak és kiegyensúlyozottak legyenek. A fennmaradó erők az adott két erőpárral egyenértékű erőpárt alkotnak. Ennek az erőpárnak a válla BC = d, és az erőpár hatássíkjára merőleges nyomatéka M = Pd nagyságú.

Az alkotó erőpárok nyomatékainak geometriai összege megegyezik az ekvivalens pár nyomatékával. Mivel egy erőpár nyomatéka szabad vektor, vigyük át az alkotó erőpárok nyomatékait a B pontba, és adjuk össze őket úgy, hogy ezekre a nyomatékokra paralelogrammát készítünk. Ennek a paralelogrammának az átlója

Ebből az következik, hogy a vektor, azaz az alkotó erőpárok nyomatékainak geometriai összege egyenlő az ekvivalens erőpár nyomatékával:

Az erőpárok nyomatékainak összeadásának ezt a módszerét nyomatéki paralelogramma szabálynak nevezzük. A nyomatékok paralelogrammájának felépítése felváltható egy nyomatékháromszög felépítésével.

Egy paralelogramma vagy nyomatékháromszög felépítésével az inverz problémát is megoldhatja, azaz bármely erőpárt két komponensre bonthat. Legyen szükség több, a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erőpár összeadására (35. ábra). Miután meghatároztuk ezeknek a pároknak a momentumait, átvihetők a hely bármely O pontjára. Ezen erőpárok nyomatékainak egyenkénti összeadásával a párok nyomatékaiból olyan sokszöget szerkeszthetünk, amelynek záró oldala határozza meg az egyenértékű erőpár nyomatékát. (35. ábra) egy nyomatéksokszög felépítését mutatja 3 pár összeadásakor.

Egy erőpár nyomatéka, egy adott térbeli erőpár-rendszerrel egyenértékű erő, egyenlő az alkotó erőpárok nyomatékainak geometriai összegével:
vagy

Egy adott erőpár hatásának I. síkja merőleges a nyomatékának irányára

Ha egy ekvivalens erőpár nyomatéka nulla, akkor az erőpárok kölcsönösen kiegyenlítettek:

Így a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erőpárok egyensúlyi feltétele a következőképpen konstruálható: a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erőpárok ebben az esetben kiegyenlítődnek, ha nyomatékaik geometriai összege nulla. Ha az erőpárok ugyanabba a síkban helyezkednek el (36. ábra), akkor ezeknek az erőpároknak egy egyenes mentén irányított nyomatékai algebrailag összeadódnak.

Tétel: egy abszolút merev testre egy síkban ható erőpárok rendszere ekvivalens egy olyan erőpárral, amelynek nyomatéka megegyezik a rendszer párjainak nyomatékainak algebrai összegével.

Az eredő pár olyan erőpár, amely helyettesíti ezeknek az erőpároknak a szilárd testre ható hatását egy síkban.

Egy erőpárrendszer egyensúlyának feltétele: egy sík erőpárrendszer egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy nyomatékaik összege 0 legyen.

Egy pont körüli erőpillanat.

Az erő egy ponthoz viszonyított nyomatéka az erőmodulus és az adott ponthoz viszonyított vállának szorzata plusz vagy mínusz előjellel. Az erő egy ponthoz viszonyított karja az adott pontból az erő hatásvonalára húzott merőleges hossza. Elfogadjuk a következő előjelszabályt: egy adott pont körüli erő nyomatéka pozitív, ha az erő e pont körül a testet az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja, és negatív az ellenkező esetben. Ha egy erő hatásvonala átmegy egy bizonyos ponton, akkor ehhez a ponthoz viszonyítva az erő tőkeáttétele és nyomatéka nulla. A ponthoz viszonyított erőnyomatékot a képlet határozza meg.

A ponthoz viszonyított erőnyomaték tulajdonságai:

1. Egy adott ponthoz viszonyított erőnyomaték nem változik, ha az erőt a hatásvonala mentén visszük át, mert ebben az esetben sem az erőmodulus, sem az áttétele nem változik.

2. Egy adott ponthoz viszonyított erőnyomaték egyenlő nullával, ha az erő hatásvonala ezen a ponton halad át, mert ebben az esetben az erőkar nulla: a=0

Poinsot-tétel egy erő pontba hozásáról.

Egy erőt a hatásvonalával párhuzamosan lehet átvinni, ebben az esetben össze kell adni egy olyan erőpárt, amelynek nyomatéka egyenlő az erőmodulus és az erőátviteli távolság szorzatával.

A párhuzamos erőátvitel műveletét az erő egy pontba hozásának nevezzük, az így létrejövő párt pedig csatolt párnak.

Ezzel ellentétes hatás is lehetséges: egy síkban fekvő erő és egy erőpár mindig helyettesíthető egy adott erővel egyenlő erővel, amely a kezdeti irányával párhuzamosan egy másik pontba kerül.

Adott: erő egy ponton A(5.1. ábra).

Adja hozzá a ponton BAN BEN kiegyensúlyozott erőrendszer (F"; F"). Pár erő alakul ki (F; F"). Nézzük az erőt a ponton BAN BENés a m pár mozzanata.

Tetszőlegesen elhelyezkedő erők síkrendszerének egy középpontba hozása. Az erőrendszer fővektora és főmomentuma.

Egy tetszőleges erőrendszer hatásvonalai nem egy ponton metszik egymást, ezért a test állapotának felméréséhez egy ilyen rendszert egyszerűsíteni kell. Ehhez a rendszer összes erejét egy tetszőlegesen kiválasztott pontra - a redukciós pontra (PO) - továbbítják. Alkalmazza a Poinsot-tételt. Valahányszor egy erőt olyan pontra viszünk át, amely nem fekszik a hatásvonalán, néhány erő hozzáadódik.

Az átvitel során megjelenő párokat csatolt pároknak nevezzük.

Az O pontban kapott SSS-t az erőpoligon módszer szerint hajtjuk össze, és az O pontban egy erőt kapunk - ez a fő vektor.

Az így létrejövő összekapcsolt erőpárok rendszerét is összeadhatjuk, és egy erőpárt kapunk, melynek nyomatékát főnyomatéknak nevezzük.

A fővektor egyenlő az erők geometriai összegével. A főnyomaték egyenlő a kapcsolódó erőpárok nyomatékainak vagy az eredeti erők nyomatékainak a redukciós ponthoz viszonyított algebrai összegével.

Egy síkbeli erőrendszer fővektorának és főmomentumának meghatározása és tulajdonságai.

A fővektor és a főmomentum tulajdonságai

1 A fővektor modulja és iránya nem függ a redukciós középpont megválasztásától, mert a redukció középpontjában az ezekből az erőkből felépített erőpoligon azonos lesz)

2. A főmomentum nagysága és előjele a redukciós középpont megválasztásától függ, mert ha az addukció középpontja megváltozik, az erők vállai megváltoznak, de moduljaik változatlanok maradnak.

3. Az erőrendszer fővektora és eredője vektoriálisan egyenlő, de általános esetben nem ekvivalens, mert még van egy pillanat

4. A fővektor és az eredő csak abban a speciális esetben ekvivalens, ha a rendszer főmomentuma egyenlő nullával, és ez abban az esetben, ha a redukciós középpont az eredő hatásvonalán van.

Tekintsünk egy lapos erőrendszert ( F 1 ,F 2 , ...,F n), szilárd testre hatva az Oxy koordinátasíkban.

Az erőrendszer fővektora vektornak nevezzük R, egyenlő ezen erők vektorösszegével:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= Fén.

Egy sík erőrendszer esetében a fő vektora ezen erők hatássíkjában található.

Az erőrendszer fő pontja az O középponthoz viszonyítva vektornak nevezzük L O, egyenlő ezen erők O ponthoz viszonyított vektormomentumainak összegével:

L O= M O( F 1) +M O( F 2) + ... +M O( F n) = M O( Fén).

Vektor R nem függ az O középpont megválasztásától és a vektortól L Amikor a középpont helyzete megváltozik, az O általában megváltozhat.

Egy sík erőrendszerhez a vektor főmomentum helyett az algebrai főmomentum fogalmát használjuk. Algebrai fő pont Az erők hatássíkjában fekvő O középponthoz viszonyított sík erőrendszer L O-ját algebrai nyomatékok összegének nevezzük. uh csendes erők a középponthoz képest O.

Egy sík erőrendszer fővektorát és főmomentumát általában analitikai módszerekkel számítják ki.

Három nem párhuzamos erő tétele

Az azonos síkban fekvő három, egymással nem párhuzamosan kiegyensúlyozó erő hatásvonalai egy pontban metszik egymást. Alkalmazzon három, egymással nem párhuzamosan kiegyensúlyozott P 1 P 2 P 3 erőt (mindegyik P vektorral), amelyek ugyanabban a síkban helyezkednek el egy szilárd testre az A 1, A 2, A 3 pontokban (5. ábra). Vigyük át a P 1 P 2 erőket a hatásuk egyeneseinek metszéspontjának O pontjába, és keressük meg az eredő Rt, amely ugyanabban a pontban érvényesül. A P 3 erő, amely a P 1 P 2 erőrendszer kiegyenlítő ereje, nagysága egyenlő az eredő R eredőjével, és az ellenkező irányú hatásvonala mentén irányul. Következésképpen a P 3 erő hatásvonala átmegy az O ponton, amit bizonyítani kellett.

Pár erő. Egy erőpár tulajdonságai

Két párhuzamos, egymással ellentétes irányba irányított és nem ugyanazon az egyenesen fekvő erőből álló rendszert erőpárnak nevezzük. Azt a síkot, amelyben egy erőpár hatásvonala található, az erőpár hatássíkjának nevezzük. Bármely két erő, kivéve a párt alkotó erőket, helyettesíthető eredővel. Egy erőpárnak nincs eredője, és egy erőpár semmiképpen sem alakítható át egy ekvivalens erővé. Egy pár erő hajlamos a merev test forgását előidézni, amelyre alkalmazzák. A para ugyanaz a független egyszerű mechanikai elem, mint az erő. A párt alkotó erővonalak közötti legrövidebb távolságot d párkarnak nevezzük. A pár testre gyakorolt ​​hatását a testet forgatni hajlamos pillanat jellemzi. Egy pár egyik erőjének és vállának modulusának szorzatát a pár nyomatékának nevezzük, és M = P d.

Egy erőpár nyomatékát vektorral ábrázoljuk (6. ábra). Egy erőpár nyomatékvektora merőleges az erőpár hatássíkjára olyan irányban, hogy e vektor felé nézve látható, hogy egy erőpár a hatássíkját az irányba forgatja. az óramutató járásával megegyező forgással ellentétes.

Sőt, ha egy erőpár az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja a testet, akkor egy ilyen pár nyomatékát pozitívnak, ha az óramutató járásával megegyező irányban, akkor negatívnak tekintjük.

A párok tulajdonságai

A testre gyakorolt ​​hatás megváltoztatása nélkül néhány erő lehet:

1. Mozogjon a síkjában tetszés szerint;

2. Váltson át bármely, a pár hatássíkjával párhuzamos síkra;

3. Változtassuk meg az erők modulusát és a pár karját, de úgy, hogy nyomatéka (azaz az erőmodulus és a kar szorzata) és a forgásirány változatlan maradjon;

4. A párt alkotó erők bármely tengelyre vetített vetületeinek algebrai összege nulla;

5. A párat alkotó erőnyomatékok bármely ponthoz viszonyított algebrai összege állandó és egyenlő a pár nyomatékával.

Az erőpárok egyenértékűségének feltétele. Erőpárok összeadása.

A térben lévő erőpárok ekvivalensek, ha nyomatékuk geometriailag egyenlő. A fenti tételekből következik, hogy a szilárd testre ható erőpár hatásának megváltoztatása nélkül egy erőpár átvihető bármely, a hatás síkjával párhuzamos síkra, valamint megváltoztatható az erők és az áttétel, megtartva nyomatékának modulusa és iránya változatlan. Így egy erőpár nyomatékvektora bármely pontra átvihető, pl. pár erő nyomatéka szabad vektor. Egy erőpár nyomatékvektora meghatározza mindhárom elemét: a pár hatássíkjának helyzetét, a forgásirányt és a nyomaték számértékét.

Erőpárok összeadása:

Az alkotó erőpárok nyomatékainak geometriai összege egyenlő az egyenértékű párjuk nyomatékával.

Az erőpárok nyomatékainak összeadására megállapított szabályt nyomaték-paralelogramma szabálynak nevezzük. A nyomatékok paralelogrammájának felépítése felváltható egy nyomatékháromszög felépítésével. A paralelogramma vagy nyomatékháromszög szerkesztésével megoldható az inverz feladat is, pl. tetszőleges erőpárt két komponensre bontani.

Tegyük fel, hogy össze kell adnunk több, a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erőpárt. Miután meghatároztuk ezeknek a pároknak a momentumait, átvihetők a tér bármely O pontjába. Ezen erőpárok nyomatékainak szekvenciális összeadásával lehetőség nyílik a párok nyomatékainak sokszögének megalkotására, amelynek záró oldala határozza meg az egyenértékű erőpár nyomatékát (7. ábra).

Egy adott erőpár-rendszerrel egyenértékű erőpár nyomatéka a térben egyenlő az alkotó erőpárok nyomatékainak geometriai összegével

Így a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erőpárok kölcsönösen kiegyensúlyozottak (egyensúlyban vannak), ha nyomatékaik geometriai összege nulla.

Egy síkban vagy párhuzamos síkban elhelyezkedő párok rendszere ekvivalens egy M eredő párral, amelynek nyomatéka megegyezik a párok elemeinek momentumainak algebrai összegével, azaz.

Egy sík párrendszer akkor van egyensúlyban, ha az összes pár momentumainak algebrai összege nulla, azaz.