A halmazokon végzett műveletekre bizonyos törvények vonatkoznak, amelyek a számalgebra jól ismert elemi törvényeihez hasonlítanak. Ez határozza meg a nevet állítsa be az algebrát, amelyet gyakran neveznek halmazok Boole-algebrájának, amely John Boole angol matematikus nevéhez fűződik, aki logikai kutatását az algebra és a logika közötti analógiára alapozta.

Tetszőleges A, B és C halmazok esetén a következő azonosságok érvényesek (3.1. táblázat):

3.1. táblázat

10. Poretsky törvénye

10'. Poretsky törvénye

11. Az involúció törvénye (kettős komplementer)

A halmazalgebra törvényei a metszéspont () és az unió () műveleteivel kapcsolatban a kettősség elve érvényesülnek: ha bármely törvényben az összes metszéspontot egyesítési előjellel helyettesítjük, és az összes uniójelet metszéspontjellel. , az univerzum jelét (U) felváltja az üres halmazjel (Ø), az üres jele pedig az univerzum jele, akkor ismét megkapjuk a helyes azonosságot. Például (ezen elv alapján) következik, stb.

3.1. Az azonosságok igazságának ellenőrzése Euler-Venn diagramok segítségével

A halmazalgebra minden törvénye vizuálisan ábrázolható és igazolható Euler-Venn diagramok segítségével. Ehhez szüksége van:

Rajzolja meg a megfelelő diagramot, és árnyékolja be az összes halmazt az egyenlet bal oldalán. Rajzoljon egy másik diagramot, és tegye ugyanezt az egyenlet jobb oldalára.

Ez az azonosság akkor és csak akkor igaz, ha ugyanaz a terület mindkét diagramon árnyékolt. Három egymást metsző kör osztja a teljes univerzális halmazt nyolc régióra (lásd 3.2. ábra):

Ez az azonosság akkor és csak akkor igaz, ha ugyanaz a terület mindkét diagramon árnyékolt. A különféle példák feltételeinek írásakor gyakran használják a következő jelöléseket:

 - től... következik...;

 - akkor és csak akkor… .

Probléma 3.1 . A halmazalgebrai kifejezések egyszerűsítése:

Megoldás.

Feladat 3 .2 . Személyazonosság igazolása:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C).

Megoldás.

Probléma 3.3 . Bizonyítsa be a következő összefüggéseket kétféleképpen: diagramokkal és a halmazegyenlőség definíciójával!

Megoldás.

2. Bizonyítás a halmazegyenlőség definíciójával.

Definíció szerint az X és Y halmazok egyenlők, ha a következő összefüggések egyidejűleg teljesülnek: XY és YX.

Először ezt mutatjuk meg
. Hadd X– a halmaz tetszőleges eleme
, vagyis X
. Ez azt jelenti XU és X
. Ebből az következik XA vagy XB. Ha XAkkor XĀ, ami azt jelenti
. Ha XB, akkor
, ami azt jelenti
. Így a halmaz minden eleme.
. szintén a készlet eleme
Azaz

Most az ellenkezőjét fogjuk bebizonyítani, vagyis azt
. Hadd
. Ha XA, akkor XU és XÉs ez azt jelenti XAB. Ebből következik
. Ha
, Azt XU és XB. Eszközök, XAB, azaz
. Ebből következik, hogy a halmaz minden eleme
szintén a készlet eleme
, vagyis
.

Eszközök,
, amit bizonyítani kellett.

A(BC) = (AB)(AC);

1. Bizonyítás diagram segítségével:

Hadd XA(BC). Majd XA és XBC. Ha XB, akkor XAB, ami nem mond ellent az elhangzottaknak, ami azt jelenti X(AB)(AC). Ha XС, akkor XAC. Ezért, X(AB)(AC). Tehát bebizonyosodott, hogy A(BC)  (AB)(AC.

Hagyja most X (AB)(AC). Ha XAB, akkor XA és XB. Ebből következik XA és XВС, azaz XA(BC). Ha XАС, akkor XA és XS. Ebből az következik XA és XВС, azaz XA(BC). Így (AB)(AC) A(BC). Ezért A(BC) = (AB)(AC). Q.E.D.

Az elégségesség bizonyításakor azt találtuk, hogy AB=. Nyilvánvaló, hogy С, tehát a kapcsolat bizonyított. A bizonyítás során a legáltalánosabb esetet vették figyelembe. Azonban néhány más lehetőség is lehetséges a diagramok készítésekor. Például az AB=C egyenlőség esete ill
, üres halmazok esete és így tovább. Nyilvánvalóan nehéz lehet minden lehetséges lehetőséget figyelembe venni. Ezért úgy gondolják, hogy az összefüggések diagramokkal való bizonyítása nem mindig helyes.

2. Bizonyítás a halmazegyenlőség definíciójával.

Szükség. Legyen ABC és elem XA. Mutassuk meg, hogy ebben az esetben az A halmaz egy eleme a halmaz eleme is lesz
.

Nézzünk két esetet: XB vagy
.

Ha XB, akkor XABC, azaz XC, és ennek következtében
.

Ha
, akkor
. A szükségesség bebizonyosodott.

Hagyja most
És XAB. Mutassuk meg, hogy az elem X szintén a C halmaz eleme lesz.

Ha XAB, akkor XA és XB. Mivel
, Azt jelenti XS. Az elégségesség bebizonyosodott.

1. Bizonyítás diagram segítségével:

2. Bizonyítás a halmazegyenlőség definíciójával.

Legyen AB. Vegye figyelembe az elemet XB (vagy
). Hasonlóképpen: XA (vagy XĀ). Vagyis a készlet minden elemét szintén az Ā halmaz eleme. És ez lehet a helyzet, ha
. Q.E.D.

Probléma 3.4. Fejezd ki a jelzett területeket szimbolikusan, és egyszerűsítsd a kapott kifejezéseket!

Megoldás.

A kívánt terület két elszigetelt részből áll.

Nevezzük őket fent és lent. Az általuk képviselt halmaz a következőképpen írható le: M = ( M = ( x XA és XA és XC ill XC és XA és

B).

A halmazokon végzett műveletek meghatározásából a következőket kapjuk:

M = ((AB)\C)(C\A\B).

Írjuk fel ezt a kifejezést az alapműveletekkel - összeadás, egyesülés és metszés: Lehetetlen leegyszerűsíteni ezt a kifejezést, mivel minden karakternek egy előfordulása van. Ez az legegyszerűbb formája

ebből a képletből. M = ( M = ( Ez a terület az A\B\C és ABC halmazok uniójának tekinthető. M = ( Definíció szerint M = ( XA és XB és XC ill XA és

A és

1. C).

2. Egyszerűsítsünk:

(AB)\B = A\B;

Problémák az önálló megoldáshoz.

Egyszerűsítés:

Bizonyítsuk be diagramokkal, a halmazalgebra törvényeivel és a halmazegyenlőség meghatározásával:

3. A(BC) = A\(A\B)(A\C);

AB = AB  A=B;

A\B =   AB = A.

Nézze meg, hogy létezik-e olyan X halmaz, amely kielégíti bármely A egyenlőségét: AX = A; (válasz );.

A 8. fejezet olyan nem numerikus objektumtípusokat vizsgált, mint a fuzzy és a véletlen halmazok. Ennek az alkalmazásnak az a célja, hogy mélyebben tanulmányozza a fuzzy halmazok tulajdonságait, és bemutassa, hogy a fuzzy halmazok elmélete bizonyos értelemben a véletlen halmazok elméletére redukálódik. E cél elérése érdekében tételek láncolatát fogalmazzák meg és bizonyítják.

A következőkben feltételezzük, hogy az összes vizsgált fuzzy halmaz ugyanannak a halmaznak a részhalmaza

YP2-1. De Morgan törvényei fuzzy halmazokra

(3)

Mint ismeretes, a halmazok algebrájának következő azonosságait Morgan-törvényeknek nevezzük

1. tétel. A fuzzy halmazok esetében a következő azonosságok érvényesek:. Az (1) relációk klasszikus esetétől eltérően négy azonosságból állnak, amelyek közül az egyik pár az egyesülés és a metszés, a másik pedig a szorzat és az összeg műveleteire vonatkozik. Az (1) relációhoz hasonlóan a halmazalgebrában, a de Morgan törvényei a fuzzy halmazalgebrában is lehetővé teszik olyan kifejezések és képletek átalakítását, amelyek tagadási műveleteket tartalmaznak.

P2-2. Eloszlási törvény fuzzy halmazokra

A halmazműveletek egyes tulajdonságai nem érvényesek fuzzy halmazokra. Igen, kivéve amikor A- „Crisp” készlet (azaz a tagsági függvény csak a 0 és 1 értékeket veszi fel).

Igaz-e az eloszlási törvény a fuzzy halmazokra? A szakirodalom néha homályosan állítja, hogy „nem mindig”. Legyünk teljesen tiszták.

2. tétel.Bármilyen fuzzy A, B és C halmazhoz

Ugyanakkor az egyenlőség

akkor és csak akkor igazságos mindenki számára

Bizonyíték. Tetszőleges elem javítása. A jelölés lerövidítéséhez jelöljük Az azonosság bizonyításához (4), ezt meg kell mutatni

Vegye figyelembe a három szám különböző sorrendjét a, b, c. Legyen először Akkor a (6) reláció bal oldala és a jobb oldal, azaz. egyenlőség (6) igaz.

Legyen Akkor a (6) relációban a bal oldalon az a jobb oldalon, azaz. a (6) reláció ismét egyenlőség.

Ha akkor a (6) relációban a bal oldalon van és a jobb oldalon, azaz. mindkét rész ismét megegyezik.

Három fennmaradó számú rendelés a, b, c nem kell szétszedni, hiszen a (6) relációban a számok bÉs c szimmetrikusan lépjen be. Az azonosság (4) bizonyított.

A 2. Tétel második állítása abból a tényből következik, hogy a fuzzy halmazokra vonatkozó műveletek definíciói szerint (lásd a 8. fejezetet)

Ez a két kifejezés akkor és csak akkor esik egybe, ha, mikor, amit igazolni kellett.

1. definíció.Az A fuzzy halmaz hordozója az összes pont halmaza , amiért

A 2. tétel következménye.Ha a B és C fuzzy halmazok hordozói egybeesnek Y-val, akkor az (5) egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha A „éles” (vagyis közönséges, klasszikus, nem fuzzy) halmaz.

Bizonyíték. Feltétel szerint mindenki előtt. Aztán a 2. tételből az következik azok. vagy , ami azt jelenti A- átlátszó készlet.

P2-3. Fuzzy halmazok véletlen halmazok vetületeiként

A kezdetektől fogva modern elmélet a fuzzynessről az 1960-as években kezdtek beszélni a valószínűségszámítással való kapcsolatáról. A tény az, hogy egy fuzzy halmaz tagsági függvénye egy valószínűségi eloszláshoz hasonlít. Az egyetlen különbség az, hogy a valószínűségek összege egy valószínűségi változó (vagy az integrál, ha a lehetséges értékek halmaza megszámlálhatatlan) összes lehetséges értéke mindig egyenlő 1-gyel, és az összeg S a tagsági függvény értéke (folytonos esetben - a tagsági függvény integrálja) tetszőleges nem negatív szám lehet. Fennáll a kísértés a tagsági funkció normalizálására, i.e. osztja el az összes értékét S(at S 0) valószínűségi eloszlásra (vagy valószínűségi sűrűségre) redukálni. A fuzzy-specialisták azonban joggal kifogásolják az ilyen „primitív” redukciót, mivel azt minden egyes fuzzy-halmazra külön-külön hajtják végre, és a fuzzy halmazokon végzett hétköznapi műveletek definíciói nem lehetnek összhangban vele. A fuzzyak tagsági függvényei transzformálódjanak a jelzett módhalmazokba AÉs IN. Hogyan alakulnak át a tagsági funkciók? Telepítse ezt elvileg lehetetlen. Az utolsó állítás teljesen világossá válik, ha több példát is megvizsgálunk olyan fuzzy halmazpárokra, amelyek a tagsági függvények azonos értékösszegeivel, de a halmazelméleti műveletek eltérő eredményeivel és a megfelelő tagsági függvények értékösszegeivel rendelkeznek. a halmazelméleti műveletek ezen eredményei esetében például a halmazok metszéspontjai is eltérőek.

A fuzzy halmazokkal foglalkozó munkákban meglehetősen gyakran hangzik el, hogy a fuzzyness elmélete az alkalmazott matematika önálló ága, és nem kapcsolódik a valószínűségszámításhoz (lásd például a monográfiák szakirodalmi áttekintését). A fuzzy elméletet és a valószínűségszámítást összehasonlító szerzők általában hangsúlyozták az elméleti és a valószínűségi elmélet ezen területei közötti különbséget. alkalmazott kutatás. Általában az axiomatikát és az alkalmazási területeket hasonlítják össze. Rögtön meg kell jegyezni, hogy a második típusú összehasonlítások melletti érvek nem bírnak bizonyító erővel, hiszen az alkalmazhatóság határait tekintve még egy ilyen régóta fennálló tudományos terület, mint valószínűségi-statisztikai módszerek, különböző vélemények vannak. Emlékezzünk vissza, hogy az egyik leghíresebb francia matematikus, Henri Lebesgue okfejtésének eredménye az aritmetika alkalmazhatósági határairól a következő: „Az aritmetika akkor alkalmazható, amikor alkalmazható” (lásd monográfiáját).

A fuzzy elmélet és a valószínűségszámítás különböző axiomatikáinak összehasonlításakor könnyen belátható, hogy az axiómák listája különbözik. Ebből viszont egyáltalán nem következik, hogy ezen elméletek között ne lehetne összefüggést megállapítani, mint például az euklideszi geometria síkon jól ismert redukciója aritmetikára (pontosabban a számrendszer elméletére - ld. például a monográfia). Emlékezzünk vissza, hogy ez a két axiomatika - az euklideszi geometria és az aritmetika - első pillantásra nagyon különbözik.

Megérthető az új irány rajongóinak vágya, hogy hangsúlyozzák tudományos apparátusuk alapvető újszerűségét.

Ugyanilyen fontos azonban az új megközelítés és a korábban ismertek közötti kapcsolatok kialakítása.

Mint kiderült, a fuzzy halmazok elmélete szorosan összefügg a véletlenhalmazok elméletével. Még 1974-ben kimutatták a munkában, hogy a fuzzy halmazok természetesen véletlen halmazok „vetületeinek” tekinthetők. Tekintsük ezt a módszert a fuzzy halmazok elméletének a véletlen halmazok elméletére való redukálására.Hadd - 2. definíció.

(7)

egy véges Y halmaz véletlenszerű részhalmaza. Az Y-on definiált fuzzy B halmazt A vetületnek nevezzük, és Proj A-nak jelöljük, ha

mindenki előtt A Nyilvánvalóan minden véletlenszerű halmaz korrelálható a (7) képlet segítségével egy fuzzy halmazzal B = A projekt.

Kiderül, hogy ennek az ellenkezője is igaz. 3. tétel.

Egy véges Y halmaz bármely fuzzy B részhalmazához létezik Y véletlenszerű A részhalmaza, amelyre B = Proj A. Bizonyíték. A Elég beállítani a véletlenhalmaz eloszlását . Hadd U 1 IN- hordozó (lásd fent az 1. meghatározást). Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük egyeseknél m . Haddés elemek

olyan sorrendben vannak számozva, hogy

Mutassunk be készleteket Az összes többi részhalmazhoz X készletek U tegyük fel P(A=X)=0 . Mivel az elem y t tartalmazza a készlet I(1), I(2),…, I(t) és nincs benne készletek Y(t+1),…, Y(m), Hogy

A fenti képletekből az következik

Ha akkor nyilvánvalóan bebizonyosodik a 3. Tétel. Egy független elemű véletlenhalmaz eloszlását a 8. fejezet megfontolásaiból következően teljes mértékben meghatározza a vetülete. Egy általános alakú véges véletlenhalmaz esetében ez nem így van. A fentiek tisztázásához a következő tételre van szükségünk. 4. tétel. Egy végesből származó Y halmaz A véletlenszerű részhalmazára elemek száma számkészletek

Egy véges Y halmaz bármely fuzzy B részhalmazához létezik Y véletlenszerű A részhalmaza, amelyre B = Proj A.És



egymáson keresztül fejeződnek ki.

Ebben a képletben az első összegben at végigfut a halmaz összes elemén Y\X, a második összegben az összegző változókat 1-korÉs 2-kor nem esik egybe, és át is futja ezt a készletet stb.

A befoglalási és kizárási képletre való hivatkozás teszi teljessé a 4. tétel bizonyítását. A 4. Tétel szerint egy A véletlenhalmaz nemcsak eloszlással, hanem számkészlettel is jellemezhető. Ebben a halmazban nincs más egyenlőség típusú reláció. Ez a halmaz számokat tartalmaz, ezért egy véletlen halmaz vetületének rögzítése egyenértékű a rögzítéssel k = Kártya(Y) paraméterek innen(2k-1) A véletlenhalmaz eloszlását meghatározó paraméterek

általános esetben.

A következő tétel hasznos lesz.. Ha 5. tétel, Proj A = B

Hogy

Ennek bizonyításához elegendő a véletlenhalmazok elméletéből származó azonosságot, a 8. fejezetből a fedővalószínűség képletét, a fuzzy halmaz tagadásának definícióját, valamint azt a tényt, hogy az összes P(A=) X) egyenlő 1-gyel.

P2-4. Fuzzy és véletlen halmazok metszéspontjai és szorzatai

Nézzük meg, hogyan viszonyulnak a véletlen halmazokon végzett műveletek a vetületeik műveleteihez. De Morgan törvényei (1. tétel) és 5. tétele értelmében elegendő a véletlen halmazok metszéspontjának műveletét figyelembe venni. 6. tétel. Ha egy véges halmaz A 1 és A 2 véletlenszerű részhalmazai y független, akkor a fuzzy halmaz egy mű fuzzy halmazok

Egy véges Y halmaz bármely fuzzy B részhalmazához létezik Y véletlenszerű A részhalmaza, amelyre B = Proj A. Proj A 1 és Proj A 2 .

Meg kell mutatni, hogy minden

Egy pont véletlen halmazzal való lefedésének valószínűségének képlete szerint (8. fejezet)

Mint ismeretes, a véletlen halmazok metszéspontjának eloszlása ​​a következőképpen fejezhető ki közös eloszlásukkal:

A (9) és (10) összefüggésekből az következik, hogy a véletlen halmazok metszéspontjának lefedő valószínűsége dupla összegként ábrázolható

(12)

Jegyezze meg most, hogy a (11) képlet jobb oldala a következőképpen írható át:

Valójában a (11) képlet csak abban különbözik a (12) képlettől, hogy olyan kifejezéseket csoportosít, amelyekben az összegző változók metszéspontja állandó értéket vesz fel. A véletlenhalmazok függetlenségének definícióját és az összegek szorzásának szabályát felhasználva azt kapjuk, hogy (11) és (12)-ből az egyenlőség következik

A 6. Tétel bizonyításának teljessé tételéhez elegendő még egyszer utalni a pont véletlen halmazzal való lefedésének valószínűségének képletére (8. fejezet). 3. definíció. amiért

A C véletlenhalmaz támogatása az összes elem gyűjteménye7. tétel.

Egyenlőség Egy végesből származó Y halmaz A véletlenszerű részhalmazára akkor és csak akkor igaz, ha a véletlenhalmazok támaszainak metszéspontja beáll

Egy véges Y halmaz bármely fuzzy B részhalmazához létezik Y véletlenszerű A részhalmaza, amelyre B = Proj A. Ki kell deríteni, hogy milyen feltételek mellett

Ekkor a (13) egyenlőség a feltételre redukálódik

Nyilvánvaló, hogy a (14) reláció akkor és csak akkor teljesül p 2 p 3=0 minden i.e. nincs egyetlen olyan elem sem, amely egyszerre És , és ez ekvivalens a véletlenhalmazok támaszai metszéspontjának ürességével és . A 7. tétel bizonyítást nyert.

P2-5. A műveletek sorrendjének csökkentése fuzzy halmazokon

véletlen halmazokon végzett műveletsorozathoz

A fentiekben néhány összefüggést kaptunk a fuzzy és a véletlen halmazok között. Érdemes megjegyezni, hogy ezen összefüggések tanulmányozása a munkában (ezt a munkát 1974-ben végezték, és az 1974. december 18-i „Többdimenziós statisztikai elemzés és valós folyamatok valószínűségi modellezése” című szemináriumon számoltak be – lásd) véletlenhalmazok a fuzzy halmazok fejlesztési és általánosító apparátusához L. Zadeh. A tény az, hogy a fuzzy halmazok matematikai apparátusa nem teszi lehetővé számunkra, hogy megfelelően figyelembe vegyük különféle lehetőségeket a segítségével modellezett fogalmak (objektumok) közötti függőségek nem elég rugalmasak. Így két fuzzy halmaz „közös részének” leírására csak két művelet van: a szorzat és a metszés. Ha ezek közül az elsőt alkalmazzuk, akkor valójában azt feltételezzük, hogy a halmazok független véletlenhalmazok vetületeiként viselkednek (lásd fent a 6. tételt). A metszés művelete a halmazok közötti függőség típusát illetően is nagyon konkrét megszorításokat ír elő (lásd fentebb a 7. tételt), és ebben az esetben még szükséges és elégséges feltételeket is találtunk. Kívánatos, hogy a halmazok (fogalmak, objektumok) közötti függőségek modellezésére szélesebb körű lehetőségek álljanak rendelkezésre. A véletlenhalmazok matematikai apparátusának használata biztosít ilyen lehetőségeket.

A fuzzy halmazok véletlenszerűvé redukálásának az a célja, hogy a fuzzy halmazok bármely konstrukciója mögött olyan véletlenhalmazok konstrukcióját lássuk, amelyek meghatározzák az első tulajdonságait, ugyanúgy, ahogy egy valószínűségi eloszlási sűrűségű valószínűségi változót látunk. Ebben a részben a fuzzy halmazok algebrájának véletlenhalmazok algebrájává való redukálására vonatkozó eredményeket mutatjuk be.

4. definíció.Valószínűségi tér { W, G, P)oszthatónak nevezzük, ha bármely mérhető X G halmazra és bármely pozitív számra, kisebb, mint P(X), megadhatunk egy mérhető halmazt úgy, hogy

Példa. Legyen egy véges dimenziós egységkockája lineáris tér, G a Borel halmazok szigma-algebrája, és P- Lebesgue mérték. Majd { W, G, P)- osztható valószínűségi tér.

Így az osztható valószínűségi tér nem egzotikus. Egy közönséges kocka egy példa egy ilyen térre.

A példában megfogalmazott állítás bizonyítása standard matematikai technikákkal történik, azon a tényen alapulva, hogy egy mérhető halmaz tetszőlegesen pontosan közelíthető nyitott készletek, ez utóbbiakat legfeljebb megszámlálható számú nyitott golyó összegeként ábrázoljuk, és golyóknál az oszthatóságot közvetlenül ellenőrzik (a térfogattestet a megfelelő sík választja el az X golyótól).

8. tétel.Legyen adott egy A véletlenhalmaz egy osztható valószínűségi téren (W, G, P) az Y halmaz összes részhalmazának értékeivel véges számú elemből, és egy fuzzy D halmazsal Y-n. Ekkor vannak C 1 véletlenhalmazok, C 2, C 3, C 4 ugyanazon a valószínűségi téren úgy, hogy

ahol B = Proj A.

Bizonyíték. De Morgan fuzzy (lásd fentebb 1. Tétel) és véletlenhalmazokra, valamint a fenti 5. Tétel (a tagadásokra) érvényessége miatt elegendő véletlen halmazok létezését bizonyítani. C 1És C 2 .

Tekintsük a valószínűségi eloszlást a halmaz összes részhalmazának halmazában készletek, amely a véletlenhalmaznak felel meg VEL olyan hogy Proj C = D(a 3. tétel alapján létezik). Építsünk egy véletlenszerű halmazt C 2 Csak az elemet zárjuk ki ugyanabból az Y halmazból úgy, hogy

és emellett a halmazelméleti műveletek eredményeit hasonló összefüggések kapcsolják össze

ahol a jel azt jelenti, hogy a szóban forgó helyen véletlenhalmazok metszéspontjának szimbóluma van, ha B m definíciójában van metszéspont szimbólum vagy fuzzy halmazok szorzatának szimbóluma, és ennek megfelelően véletlen halmazok uniója, ha B m-ben van uniószimbólum vagy fuzzy halmazok összegének szimbóluma.

De Morgan törvényei olyan logikai szabályok, amelyeket Augustus de Morgan skót matematikus hozott létre, amelyek párokat kapcsolnak össze. logikai műveletek logikai tagadás segítségével.

Augustus de Morgan megjegyezte, hogy a klasszikus logikában a következő összefüggések érvényesek:

nem (A és B) = (nem A) vagy (nem B)

nem (A vagy B) = (nem A) és (nem B)

Számunkra ismertebb formában ezek a kapcsolatok a következő formában írhatók fel:



De Morgan törvényei a következőképpen fogalmazhatók meg:

I de Morgan törvénye: Két egyszerű állítás diszjunkciójának tagadása ekvivalens ezen állítások tagadásának konjunkciójával.

II de Morgan törvénye: Két egyszerű állítás konjunkciójának tagadása egyenértékű ezen állítások tagadásának disjunkciójával.

Tekintsük a De Morgan-törvények alkalmazását konkrét példákon keresztül.

1. példa Alakítsa át a képletet úgy, hogy ne legyenek tagadásai az összetett állításoknak.

Használjuk De Morgan első törvényét, és kapjuk meg:

Alkalmazzuk De Morgan második törvényét a B és C egyszerű állítások konjunkciójának tagadására, és megkapjuk:

,

Így:

.

Ennek eredményeként egy ekvivalens állítást kaptunk, amelyben nincsenek tagadásai az összetett állításoknak, és minden tagadás csak egyszerű állításokra vonatkozik.

A megoldás érvényességét igazságtáblázatok segítségével ellenőrizheti. Ehhez igazságtáblázatokat állítunk össze az eredeti állításhoz:

valamint a De Morgan-törvények alkalmazásával végrehajtott átalakítások eredményeként kapott állításra:

.

1. táblázat.

			I.E	ABC



Amint a táblázatokból látjuk, az eredeti logikai állítás és a De Morgan törvényei alapján kapott logikai állítás egyenértékűek. Ezt bizonyítja, hogy az igazságtáblázatokban azonos értékhalmazokat kaptunk.

Abszorpciós tétel két formában írva - diszjunktív és

kötőszó, illetve:

A + AB = A (16)

A(A + B)=A (17)

Bizonyítsuk be az első tételt. Vegyük ki az A betűt a zárójelből:

A + AB= A(1 + B)

A (3) Tétel szerint 1 + B = 1 tehát

A(1 + B) = A 1 = A

A második tétel bizonyításához nyissuk meg a zárójeleket:

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Az eredmény egy olyan kifejezés, amely most bizonyított.

Nézzünk néhány példát az abszorpciós tétel alkalmazására

Boole-képletek egyszerűsítése.

Ragasztási tétel két formája is van - diszjunktív és

kötőszó:

Bizonyítsuk be az első tételt:

mivel az (5) és (4) tétel szerint



A második tétel bizonyításához nyissuk meg a zárójeleket:



A (6) tétel szerint ez a következő:

Az abszorpciós tétel (16) szerint A+AB = A

Az abszorpciós tételt a ragasztási tételhez hasonlóan egyszerűsítéskor használjuk

Boole-képletek, például:



De Morgan tételeösszekapcsolja a Boole-algebra mindhárom alapműveletét

Diszjunkció, konjunkció és inverzió:

Az első tétel így hangzik: a kötőszó megfordítása diszjunkció

inverziók. Másodszor: a diszjunkció inverziója az inverziók konjunkciója. Morgan tételei a bal és jobb oldali igazságtáblázatok segítségével igazolhatók.

De Morgan tétele több változóra vonatkozik:

5. előadás

Összetett kifejezések invertálása

De Morgan tétele nem csak az egyes kötőszavakra vonatkozik

vagy diszjunkciókra, hanem összetettebb kifejezésekre is.

Keressük a kifejezés inverzióját AB + CD , kötőszók diszjunkciójaként mutatjuk be. Az inverziót befejezettnek tekintjük, ha a negatív előjelek csak a változók felett jelennek meg. Vezessük be a következő jelölést: AB = X;

CD = Y, Majd

Keressük meg és cseréljük be a (22) kifejezésbe:



Így:

Tekintsük a konjunktív formában bemutatott kifejezést:

(A + B) (C + D)

Keressük meg az inverzióját az alakban



Vezessük be a következő jelölést: A + B = X; C + D = Y, Majd

Keressük meg és cseréljük be őket a kifejezésbe

Így:

Összetett kifejezések invertálásakor a következő szabályt használhatja. Az inverzió megtalálásához ki kell cserélni a kötőjeleket diszjunkciós jelekre, a diszjunkciós jeleket pedig kötőjelekre, és inverziókat kell tenni minden változó fölé:

A logikai függvény fogalma

INáltalában, funkció (lat. functio - végrehajtás, megfelelés,

leképezés) egy bizonyos szabály (törvény), amely szerint a halmaz minden eleme X, a független változó értéktartományát reprezentálja X, a halmaz egy adott eleme hozzá van rendelve F,

amely a függő változó értéktartományára vonatkozik f . Boole-függvények esetén X = F = (0,1). A függvény megadásának szabálya bármilyen logikai képlet lehet, például:



Szimbólum f itt olyan függvényt jelöl, amely, mint az A argumentumai, B, C, bináris változó.

Az argumentumok független változók, bármilyen értéket felvehetnek - akár 0-t, akár 1-et. A függvény f - függő változó. Jelentését teljes mértékben a változók értékei és a köztük lévő logikai kapcsolatok határozzák meg.

Fő jellemzője funkció: értékének meghatározásához általában ismerni kell az összes olyan argumentum értékét, amelytől függ. Például a fenti függvény három A argumentumtól függ, V, S. Ha felvesszük A = 1-et, akkor azt kapjuk



azaz egy új kifejezést kapunk, amely nem egyenlő sem nullával, sem

egység. Hagyja most IN= 1. Akkor



azaz ebben az esetben nem tudni, hogy a függvény mivel egyenlő, nulla vagy egy.

Fogadjuk el végre VEL= 0. Ekkor kapjuk: f = 0. Így, ha az eredeti kifejezésben A = 1-et veszünk fel, IN= 1, VEL = 0, akkor a függvény nulla értéket vesz fel: f = 0.

Mérlegeljük változó értékek halmazának fogalma .

Ha az összes argumentum, amelytől egy függvény függ, hozzá van rendelve néhány értékhez, akkor argumentumértékek halmazáról beszélünk, amelyek

hívd csak készletnek. Az argumentumértékek halmaza nullák és egyesek sorozata, például 110, ahol az első számjegy az első argumentumnak, a második a másodiknak, a harmadik pedig a harmadiknak felel meg. Nyilván előre meg kell állapodni, hogy mi az első, második vagy mondjuk ötödik érv. Ehhez kényelmes a betűk ábécé szerinti elrendezése.

Például ha

akkor a latin ábécé szerint az első az érv R, második -

K, harmadik - X, negyedik - U. Ezután az argumentumértékek halmaza alapján könnyű

keresse meg a függvény értékét. Legyen például megadva az 1001 halmaz. Aszerint

rekordok, azaz az 1001-es halmazon az adott függvény egyenlő eggyel.

Jegyezze meg ismét, hogy az argumentumértékek halmaza egy gyűjtemény

nullák és egyesek. A bináris számok is nullák és egyesek halmazai.

Ez felveti a kérdést: a halmazokat nem lehet binárisnak tekinteni?

számok? Lehetséges, és sok esetben nagyon kényelmes, különösen, ha a bináris

Konvertálja a számot decimális rendszerré. Például ha

A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

azaz az adott halmaz a 6-os szám a tizedes rendszerben.

Ha meg kell találnia az argumentumok értékét a decimális szám használatával, akkor

fordított sorrendben járunk el: először a decimális számot konvertáljuk binárissá, majd adjunk hozzá annyi nullát balra, ahány teljes szám számjegy egyenlő az argumentumok számával, ami után megtaláljuk az argumentumok értékét.

Például meg kell találnia az A argumentumok értékét, B, C, D, E, F 23-as szám tárcsázásával. A 23-as számot a metódus segítségével bináris rendszerré alakítjuk

kettővel osztva:

Ennek eredményeként 23 10 = 10111 2 kapjuk. Ez a szám öt számjegyű, de összesen

Hat argumentum van, ezért egy nullát kell írni a bal oldalra:

23 10 = 010111 2. Innen találjuk:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Hány halmaz van összesen, ha a szám ismert? n érvek? Nyilvánvalóan ahány n bites bináris szám van, azaz 2 n

6. előadás

Logikai függvény megadása

Egy utat már ismerünk. Analitikus, azaz bináris változókat és logikai műveleteket használó matematikai kifejezés formájában. Ezen kívül vannak más módszerek is, amelyek közül a legfontosabb a táblázatos módszer. A táblázat felsorolja az argumentumértékek összes lehetséges készletét, és minden egyes készlethez megadja a függvény értékét. Az ilyen táblázatot megfelelési (igazság) táblázatnak nevezzük.

A függvény használata példaként



Nézzük meg, hogyan készítsünk hozzá megfelelőségi táblázatot.

A függvény három argumentumtól függ A, B, C. Ezért a táblázatban

számára három oszlopot biztosítunk érvek A,B,Cés egy oszlop az f függvény értékeihez. Az A oszloptól balra célszerű egy másik oszlopot elhelyezni. Ebben olyan decimális számokat írunk fel, amelyek halmazoknak felelnek meg, ha háromjegyű bináris számoknak tekintjük őket. Ez a decimális

az oszlop a táblázattal való munka kényelmét szolgálja, ezért elvileg

elhanyagolható.



Töltsük ki a táblázatot. Az LLC szám sorban ez van írva:

A = B = C = 0.

Határozzuk meg a függvény értékét ezen a halmazon:

Az f oszlopba nullát írunk a 000 tárcsázó sorba.

Következő készlet: 001, azaz e. A = B = 0, C = 1. Keresse meg a függvény értékét!

ezen a készleten:

A 001-es halmazon a függvény 1, ezért a c sor f oszlopában

A 001-es szám írható be.

Hasonlóképpen kiszámítjuk a függvények értékét az összes többi halmazon és

töltse ki a teljes táblázatot.