Az eloszlási törvények mellett a véletlen változók is leírhatók numerikus jellemzők .
Matematikai elvárás M(x) valószínűségi változóátlagértékét ún.
Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárását a képlet segítségével számítjuk ki
Ahol – valószínűségi változók értékei, p én- valószínűségeiket.
Tekintsük a matematikai elvárás tulajdonságait:
1. Egy állandó matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval
2. Ha egy valószínűségi változót megszorozunk valamilyen k számmal, akkor matematikai elvárás ugyanazzal a számmal lesz megszorozva
M (kx) = kM (x)
3. A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével
M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)
4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)
5. Az x 1, x 2, … x n független valószínűségi változók esetén a szorzat matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik szorzatával
M (x 1, x 2, … x n) = M (x 1) M (x 2) … M (x n)
6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0
Számítsuk ki a 11. példából származó valószínűségi változó matematikai elvárását.
M(x) = = 
.
12. példa. Adjuk meg az x 1, x 2 valószínűségi változókat ennek megfelelően az eloszlási törvényekkel:
x 1 2. táblázat
x 2 3. táblázat
Számítsuk ki M (x 1) és M (x 2)
M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0
M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0
Mindkét valószínűségi változó matematikai elvárásai megegyeznek - egyenlők nullával. Eloszlásuk jellege azonban eltérő. Ha az x 1 értékei alig térnek el a matematikai elvárásuktól, akkor az x 2 értékei nagymértékben eltérnek a matematikai elvárásaiktól, és az ilyen eltérések valószínűsége nem kicsi. Ezek a példák azt mutatják, hogy az átlagértékből nem lehet megállapítani, hogy attól milyen kisebb és nagyobb eltérések fordulnak elő. Tehát két területen azonos átlagos évi csapadékmennyiség mellett nem mondható, hogy ezek a területek egyformán kedveznek a mezőgazdasági munkának. Hasonló az átlaghoz bérek Nem lehet megítélni a magas és alacsony fizetésű munkavállalók arányát. Ezért bevezetik numerikus jellemző – diszperzió D(x) , amely egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének mértékét jellemzi:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
A diszperzió egy valószínűségi változónak a matematikai elvárástól való négyzetes eltérésének matematikai elvárása. Egy diszkrét valószínűségi változó esetén a variancia kiszámítása a következő képlettel történik:
D(x)= 
= 
(3)
A diszperzió definíciójából következik, hogy D (x) 0.
Diszperziós tulajdonságok:
1. Az állandó szórása nulla
2. Ha egy valószínűségi változót megszorozunk egy bizonyos k számmal, akkor az eltérést megszorozzuk ennek a számnak a négyzetével
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)
4. Páronként független x 1 , x 2 , … x n valószínűségi változók esetén az összeg szórása egyenlő a szórások összegével.
D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)
Számítsuk ki a 11. példában szereplő valószínűségi változó szórást.
Matematikai elvárás M (x) = 1. Ezért a (3) képlet szerint:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 = 1 1/4 + 1 1/4 = 1/2
Vegye figyelembe, hogy a variancia kiszámítása egyszerűbb, ha a 3. tulajdonságot használja:
D (x) = M (x 2) – M 2 (x).
Számítsuk ki a 12. példa szerinti x 1 , x 2 valószínűségi változók varianciáit ezzel a képlettel. Mindkét valószínűségi változó matematikai elvárása nulla.
D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204
D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 + 20 = 260
Minél közelebb van a varianciaérték a nullához, annál kisebb a valószínűségi változó szórása az átlagértékhez képest.
A mennyiséget ún szórás. Véletlen változó mód x diszkrét típusú Md A legnagyobb valószínűséggel rendelkező valószínűségi változó értékét nevezzük.
Véletlen változó mód x folyamatos típusú Md, egy valós szám, amely az f(x) valószínűségi eloszlássűrűség maximumának pontja.
Valószínűségi változó mediánja x folytonos típusú Mn egy valós szám, amely kielégíti az egyenletet
Egy diszkrét valószínűségi téren adott X valószínűségi változó matematikai elvárása (átlagértéke) az m =M[X]=∑x i p i szám, ha a sorozat abszolút konvergál.
A szolgáltatás célja. Az online szolgáltatás használata kiszámítja a matematikai várakozást, a szórást és a szórást(lásd a példát). Ezenkívül az F(X) eloszlásfüggvény grafikonját ábrázoljuk.
Egy valószínűségi változó matematikai elvárásának tulajdonságai
- Egy állandó érték matematikai elvárása önmagával egyenlő: M[C]=C, C – állandó;
- M=C M[X]
- A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével: M=M[X]+M[Y]
- A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával: M=M[X] M[Y] , ha X és Y függetlenek.
Diszperziós tulajdonságok
- Egy állandó érték varianciája nulla: D(c)=0.
- A diszperziós előjel alól a konstans tényezőt négyzetre emelve vehetjük ki: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ha az X és Y valószínűségi változók függetlenek, akkor az összeg szórása egyenlő a szórások összegével: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ha az X és Y valószínűségi változók függőek: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- A diszperzióra a következő számítási képlet érvényes:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2
Példa. Két független X és Y valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása ismert: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Határozza meg a Z=9X-8Y+7 valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását!
Megoldás. A matematikai elvárás tulajdonságai alapján: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
A diszperzió tulajdonságai alapján: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmus a matematikai elvárások kiszámításához
A diszkrét valószínűségi változók tulajdonságai: minden értékük átszámozható természetes számokkal; Minden értékhez rendeljen nullától eltérő valószínűséget.- Az x i párokat egyesével megszorozzuk p i -vel.
- Adjuk össze az egyes párok x i p i szorzatát.
Például n = 4 esetén: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
1. számú példa.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
A matematikai elvárást az m = ∑x i p i képlettel határozzuk meg.
Elvárás M[X].
M[x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
A szórást a d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 képlet segítségével találjuk meg.
D[X] eltérés.
D[X] = 1 2 * 0, 1 + 3 2 * 0, 2 + 4 2 * 0, 1 + 7 2 * 0, 3 + 9 2 * 0, 3 - 5, 9 2 = 7, 69
Szórás σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
2. példa. Egy diszkrét valószínűségi változónak a következő eloszlási sorozatai vannak:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| r | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Megoldás. Az a értéke a következő összefüggésből adódik: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 vagy 0,24 = 3 a , ahonnan a = 0,08
3. példa. Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényét, ha ismert a varianciája, és x 1
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Megoldás.
Itt létre kell hoznia egy képletet a d(x) variancia meghatározásához:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
ahol az elvárás m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Az adatainkért
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
vagy -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Ennek megfelelően meg kell találnunk az egyenlet gyökereit, és ebből kettő lesz.
x 3 = 8, x 3 = 12
Válassza ki azt, amelyik megfelel az x 1 feltételnek
Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 =15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 =0,3
Diszperzió Az X folytonos valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei a teljes Ox tengelyhez tartoznak, a következő egyenlőség határozza meg: 
A szolgáltatás célja. Az online számológép olyan problémák megoldására készült, amelyekben akár eloszlási sűrűség f(x) vagy F(x) eloszlásfüggvény (lásd a példát). Általában az ilyen feladatokban meg kell találni matematikai elvárás, szórás, f(x) és F(x) függvények grafikonjai.
Utasítás. Válassza ki a forrásadat típusát: f(x) eloszlássűrűség vagy F(x) eloszlásfüggvény.
Az f(x) eloszlássűrűség adott: 
Az F(x) eloszlásfüggvény adott: 
A folytonos valószínűségi változót a valószínűségi sűrűség határozza meg 
(Rayleigh-elosztási törvény – a rádiótechnikában használatos). Keresse meg M(x) , D(x) .
Az X valószínűségi változót nevezzük folyamatos
, ha eloszlásfüggvénye F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
A folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényét arra használjuk, hogy kiszámítsuk egy valószínűségi változó adott intervallumba esésének valószínűségét:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ezenkívül egy folytonos valószínűségi változó esetében nem számít, hogy a határai benne vannak-e ebben az intervallumban vagy sem:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Eloszlási sűrűség
a folytonos valószínűségi változót függvénynek nevezzük
f(x)=F’(x) , az eloszlásfüggvény deriváltja.
Az eloszlási sűrűség tulajdonságai
1. A valószínűségi változó eloszlássűrűsége nem negatív (f(x) ≥ 0) x minden értékére.2. Normalizálási feltétel:
A normalizálási feltétel geometriai jelentése: az eloszlási sűrűséggörbe alatti terület egységgel egyenlő.
3. A képlet segítségével kiszámítható annak valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó α és β közötti intervallumba esik.
Geometriailag annak a valószínűsége, hogy egy folytonos X valószínűségi változó az (α, β) intervallumba esik, egyenlő egy görbe vonalú trapéz területével az ezen intervallumon alapuló eloszlási sűrűséggörbe alatt.
4. Az eloszlásfüggvényt a következőképpen fejezzük ki sűrűségben:
Az eloszlássűrűség értéke az x pontban nem egyenlő ennek az értéknek az elfogadásának valószínűségével egy folytonos valószínűségi változó esetén csak egy adott intervallumba való esés valószínűségéről beszélhetünk. hagyjuk)
