2. lecke Integrálszámítás

A határozatlan integrál és geometriai jelentése. A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai.

Alapvető módszerek a határozatlan integrál integrálására.

Határozott integrál és geometriai jelentése.

Newton-Leibniz képlet. A határozott integrál számítási módszerei.

Egy függvény deriváltjának vagy differenciáljának ismeretében megtalálhatja magát a függvényt (a függvény visszaállítása). Ezt a cselekvést, a differenciálás inverzét integrációnak nevezzük.

Antiderivatív funkció adott függvényhez viszonyítva a következő függvényt nevezzük
, melynek deriváltja egyenlő az adott függvénnyel, azaz.

Ehhez a funkcióhoz Végtelen sok antiderivatív függvény létezik, mert bármelyik funkciót
, egyben a .

Egy adott függvényhez tartozó összes antiderivált halmazát annak nevezzük határozatlan integrál szimbólum jelzi:

, Hol

integrandusnak, függvénynek nevezzük
- integrand függvény.

A határozatlan integrál geometriai jelentése. Geometriailag a határozatlan integrál egy függvény grafikonjának párhuzamos átvitelével kapott integrálgörbék családja egy síkon.
az ordinátatengely mentén (3. ábra).

A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

Tulajdonság 1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

2. tulajdonság. Egy határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal:

3. tulajdonság. Egy függvény differenciáljának integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel plusz const:

4. tulajdonság. Az integrál linearitása.

Alapintegrálok táblázata

	Integrál
hatalom
jelzésértékű
trigonometrikus
fordított trigonometrikus

Alapvető integrációs módszerek

Alkatrészenkénti integráció módja egy módszer, amely a következő képlet használatát foglalja magában:

.

Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, ha az integrál
könnyebb megoldani, mint
. Ez a módszer általában az űrlap integráljait oldja meg
, Hol
egy polinom, és az alábbi függvények egyike:
,
,
, , ,
,
.

Nézzünk néhány funkciót
, az intervallumon meghatározott
, rizs. 4. Végezzünk el 5 műveletet!

1. A pontokkal rendelkező intervallumot tetszőleges módon osztjuk fel alkatrészek. Jelöljük
, és ezeknek a részszakaszoknak a legnagyobb hosszát jelöljük , zúzós rangnak fogjuk nevezni.

2. Minden részteleken
vegyünk egy tetszőleges pontot és számítsuk ki a benne lévő függvény értékét
.

3. Komponáljunk művet!

4. Számoljunk össze
. Ezt az összeget integrálösszegnek vagy Riemann-összegnek nevezzük.

5. A zúzás csökkentésével (a zúzási pontok számának növelésével) és ezzel egyidejűleg a zúzási rangot nullára irányítva (
) azaz (a zúzási pontok számának növelésével gondoskodunk arról, hogy az összes részszakasz hossza csökkenjen és nullára hajlik
), megtaláljuk az integrálösszegek sorozatának határát

Ha ez a határ létezik, és nem függ az osztás módjától és a pontválasztástól, akkor ún határozott integrál függvényből egy intervallumon keresztül, és a következőképpen jelöljük:
.

Határozott integrál geometriai jelentése. Tegyük fel, hogy a függvény folytonos és pozitív az intervallumon. Tekintsünk egy ívelt trapézt ABCD(4. ábra). Halmozott összeg
megadja az alapokkal rendelkező téglalapok területének összegét
és magasságok
. Ez egy ívelt trapéz területének hozzávetőleges értékeként fogható fel ABCD , azaz

,

Sőt, ez az egyenlőség annál pontosabb, annál finomabb lesz a zúzás, és a határértékben van n→+∞ És λ → 0 kapunk:

.

Ez a határozott integrál geometriai jelentése.

A határozott integrál alapvető tulajdonságai

Tulajdonság 1. Egy határozott integrál egyenlő határértékekkel egyenlő nullával.

2. tulajdonság. Az integrálási határok felcserélésekor a határozott integrál az ellenkező előjelre vált.

3. tulajdonság. Az integrál linearitása.

Tulajdonság 4. Bármi is legyen a szám, ha a függvény
integrálható minden intervallumon
,
,
(5. ábra), majd:

Tétel. Ha egy függvény folytonos az intervallumon, akkor ennek a függvénynek az intervallumon belüli határozott integrálja megegyezik a függvény bármely antiderivált értékének különbségével az integráció felső és alsó határán, pl.

(Newton-Leibniz képlet) .

Ez a képlet a határozott integrálok megtalálását határozatlan integrálokra redukálja. Különbség
az antiderivált növekményének nevezzük és jelöljük
.

Tekintsük a határozott integrál kiszámításának főbb módjait: a változók megváltoztatását (helyettesítés) és a részenkénti integrációt.

Behelyettesítés (változóváltás) egy meghatározott integrálban - a következőket kell tenned:

És
;

Megjegyzés. Ha a határozott integrálokat helyettesítéssel értékeljük, nem kell visszatérni az eredeti argumentumhoz.

2. Integrálás részenként egy határozott integrálba a képlet használatához vezet:

.

Példák problémamegoldásra

1. feladat. Keresse meg a határozatlan integrált közvetlen integrációval.

1.
. A határozatlan integrál tulajdonságát felhasználva kivesszük az integrál előjeléből a konstans tényezőt. Ezután elemi matematikai transzformációk végrehajtásával az integrand függvényt hatványformára redukáljuk:

.

2. feladat. Keresse meg a határozatlan integrált a változó változás módszerével.

1.
. Végezzünk változó változtatást
, Akkor. Az eredeti integrál a következő formában lesz:

Így egy táblázatos alak határozatlan integrálját kaptuk: hatványfüggvényt. A hatványfüggvény határozatlan integráljának megtalálására vonatkozó szabályt használva a következőket kapjuk:

A fordított cserét követően megkapjuk a végső választ:

3. feladat. Keresse meg a határozatlan integrált a részenkénti integráció módszerével.

1.
. Vezessük be a következő jelölést: jelentése ... alapvető koncepció integrál számítás– koncepció bizonytalan integrál ... bizonytalan integrál Alapvető tulajdonságait bizonytalan integrál Táblázat használata fő- bizonytalan ...

A "magasabb matematika" tudományág munkaprogramja Ciklus

Munkaprogram

... alapvető törvények... Integrál számítás egy változó Antiderivatív függvényei. Bizonytalan integrálÉs az övé tulajdonságait ... integrálÉs az övé geometriai jelentése. Integrál... koordináták. Bizonytalan integrálés... és praktikus osztályok". Petrusko I.M., ...

Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás fordított művelete, nevezetesen egy függvény visszaállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) hívják antiderivatív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként X, ha minden értékre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a függvényt f(x) az antiderivatív függvény deriváltja F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivált készlete. Ebben az esetben a jelölést használják

∫

f(x)dx

,

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) – integrand függvény, és f(x)dx – integráns kifejezés.

Így ha F(x) – valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen egy ajtó (hagyományos fa ajtó). Feladata, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Fából készült. Ez azt jelenti, hogy az „ajtónak lenni” függvény integrandusának, azaz határozatlan integráljának antideriváltjainak halmaza a „fának lenni + C” függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelöli például a fa típusát. Ahogy egy ajtót fából készítenek bizonyos szerszámok segítségével, egy függvény származékát egy antiderivatív függvényből „készítik” képletek, amelyeket a derivált tanulmányozása során tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó antiszármazékok ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) függvénytáblázata hasonló az alaptáblázathoz. határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a közös függvényeket, jelezve azokat az antiderivatívákat, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák egy részében olyan integránsokat adunk meg, amelyek nagyobb erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázatával. Bonyolultabb problémák esetén először az integrandust kell átalakítani, hogy táblaintegrálokat lehessen használni.

2. tény. Amikor egy függvényt antideriváltként állítunk vissza, figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antideriváltakról különféle állandókkal 1-től végtelenig, meg kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet C például így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és ha differenciálódik, 4 vagy 3, vagy bármely más állandó nullára megy.

Tegyük fel az integrációs problémát: erre a függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivált a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x), ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a különbség F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Funkcióként is szolgálnak

Ahol VEL– tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így ha egy függvénynek egy antideriválta van, akkor végtelen számú antideriválta van, amelyek egy állandó taggal különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) – a funkció antideriváltja f(x) bizonyos időközönként X, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható formában F(x) + C, Hol VEL– tetszőleges állandó.

A következő példában áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat elolvasása előtt tesszük, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészében fogjuk használni őket az integráció során.

2. példa Keresse meg az antiderivatív függvénykészleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Amikor az integrálok táblázatából képleteket említünk, egyelőre csak fogadjuk el, hogy ott vannak ilyen formulák, és magát a határozatlan integrálok táblázatát is tanulmányozzuk egy kicsit tovább.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint -val n= -1/4 találunk

Nem maga a függvény van az integráljel alá írva f, és a differenciál szorzata dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy melyik változó alapján keresik az antiderivatívet. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt a változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy görbét y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintőszög érintője minden pontjában adott függvény f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

A derivált geometriai jelentése szerint az érintő dőlésszögének érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő a származék értékével F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amihez F"(x)=f(x). A feladathoz szükséges funkció F(x) egy antiderivátuma f(x). A feladat feltételeit nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- az egyik ilyen görbe, és abból bármely más görbe állítható a tengely mentén történő párhuzamos fordítással Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), akkor a függvény grafikonja y=F(x) van egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja , mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát a koordináták origójától egy tetszőleges integrációs állandó határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciálja pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a funkcióval f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

Az antiderivatív definíciója.

Az f(x) függvény antideriváltja az (a; b) intervallumon egy olyan F(x) függvény, amelyre az egyenlőség az adott intervallum bármely x-ére érvényes.

Ha figyelembe vesszük, hogy a C állandó deriváltja nulla, akkor az egyenlőség igaz . Így az f(x) függvénynek van egy F(x)+C antiderivált egy halmaza egy tetszőleges C állandóhoz, és ezek az antideriválták tetszőleges állandó értékkel különböznek egymástól.

A határozatlan integrál definíciója.

Az f(x) függvény antideriváltjainak teljes halmazát e függvény határozatlan integráljának nevezzük és jelöljük .

A kifejezést ún integrand, és f(x) – integrand függvény. Az integrandus az f(x) függvény differenciálját reprezentálja.

Azt a műveletet, amely során egy ismeretlen függvényt találunk a differenciálértéke alapján, nevezzük bizonytalan integráció, mert az integráció eredménye nem egy F(x) függvény, hanem annak F(x)+C antideriváltjainak halmaza.

A derivált tulajdonságai alapján lehet megfogalmazni és bizonyítani a határozatlan integrál tulajdonságai(egy antiderivatív tulajdonságai).

Az egyértelműség kedvéért megadjuk a határozatlan integrál első és második tulajdonságának köztes egyenlőségeit.

A harmadik és negyedik tulajdonság bizonyításához elég megkeresni az egyenlőségek jobb oldalának deriváltjait:

Ezek a származékok egyenlők az integrandusokkal, ami az első tulajdonság miatti bizonyíték. Az utolsó átmeneteknél is használatos.

Így az integrációs probléma a differenciálási probléma fordítottja, és ezek között a problémák között nagyon szoros kapcsolat van:

• Az első tulajdonság lehetővé teszi az integráció ellenőrzését. Az elvégzett integráció helyességének ellenőrzéséhez elegendő kiszámítani a kapott eredmény deriváltját. Ha a differenciálás eredményeként kapott függvény egyenlőnek bizonyul az integrandusszal, ez azt jelenti, hogy az integrációt helyesen hajtották végre;
• a határozatlan integrál második tulajdonsága lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az antideriváltját egy függvény ismert differenciáljából. A határozatlan integrálok közvetlen számítása ezen a tulajdonságon alapul.

Nézzünk egy példát.

Példa.

Keresse meg annak a függvénynek az antideriváltját, amelynek értéke egyenlő eggyel x = 1-nél.

Megoldás.

A differenciálszámításból tudjuk, hogy (Csak nézze meg az alap származékainak táblázatát elemi függvények). Így, . A második ingatlannál . Azaz sok antideriváltunk van. x = 1 esetén megkapjuk az értéket. A feltétel szerint ennek az értéknek egynek kell lennie, ezért C = 1. A kívánt származékellenes szer a következő formában jelenik meg: .

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált és differenciálással ellenőrizzük az eredményt.

Megoldás.

A trigonometriából származó kettős szögszinusz-képlet használata , Ezért

A differenciálszámítás fő feladata a származék megtalálása f'(x) vagy differenciál df=f'(x)dx funkciókat f(x). Az integrálszámításban az inverz probléma megoldódik. Adott függvény szerint f(x) meg kell találnia egy ilyen funkciót F(x), Mi F'(x)=f(x) vagy dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Így, az integrálszámítás fő feladata a funkció helyreállítása F(x) ennek a függvénynek ismert deriváltjával (differenciáljával). Az integrálszámításnak számos alkalmazása van a geometriában, a mechanikában, a fizikában és a technológiában. Általános módszert ad a területek, térfogatok, súlypontok stb.

Meghatározás. FunkcióF(x), , a függvény antideriváltjának nevezzükf(x) az X halmazon, ha differenciálható bármely ésF'(x)=f(x) vagydF(x)=f(x)dx.

Tétel. Bármely folytonos vonal a [a;b] függvényf(x) antiderivatíva van ezen a szegmensenF(x).

Tétel. HaF 1 (x) ésF 2 (x) – két különböző, azonos funkciójú antideriváltf(x) az x halmazon, akkor konstans taggal különböznek egymástól, azaz.F 2 (x)=F 1x)+C, ahol C egy állandó.

Határozatlan integrál, tulajdonságai.

Meghatározás. TotalitásF(x)+Minden antiderivatív funkcióbólf(x) az X halmazon határozatlan integrálnak nevezzük, és jelölése:

- (1)

Az (1) képletben f(x)dx hívott integrand,f(x) – integráns függvény, x – integrációs változó, A C – integrációs állandó.

Tekintsük a határozatlan integrálnak a definíciójából következő tulajdonságait.

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, a határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal:

És .

2. Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével:

3. Az a konstans tényező (a≠0) kivehető a határozatlan integrál előjeleként:

4. Véges számú függvény algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő ezen függvények integráljainak algebrai összegével:

5. HaF(x) – a függvény antideriváltjaf(x), akkor:

6 (integrációs képletek változatlansága). Bármely integrációs képlet megtartja alakját, ha az integrációs változót ennek a változónak bármely differenciálható függvénye helyettesíti:

Aholu egy differenciálható függvény.

Határozatlan integrálok táblázata.

Adjunk funkciók integrálásának alapvető szabályai.

Adjunk alapvető határozatlan integrálok táblázata.(Megjegyezzük, hogy itt, mint a differenciálszámításban, a betű u független változóként jelölhető ki (u=x), és a független változó függvénye (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Az 1–17 integrálokat hívjuk táblázatos.

Az integráltáblázatban néhány fenti képletet, amelyeknek nincs analógja a deriválttáblázatban, a jobb oldaluk differenciálásával ellenőrizzük.

Változóváltás és részenkénti integráció a határozatlan integrálban.

Integráció helyettesítéssel (változó helyettesítés). Legyen szükséges az integrál kiszámítása

, ami nem táblázatos. A helyettesítési módszer lényege, hogy az integrálban a változó X cserélje ki változóra t képlet szerint x=φ(t), ahol dx=φ’(t)dt.

Tétel. Legyen a függvényx=φ(t) meghatározott és differenciálható egy bizonyos T halmazon, és legyen X ennek a függvénynek az értékkészlete, amelyen a függvény definiálva vanf(x). Majd ha az X halmazon a függvényf(

Integrálszámítás.

Antiderivatív funkció.

Meghatározás: Az F(x) függvényt meghívjuk antiderivatív funkció f(x) függvény a szakaszon, ha az egyenlőség a szakasz bármely pontjában igaz:

Meg kell jegyezni, hogy végtelenül sok antiderivatív lehet ugyanarra a funkcióra. Valamilyen állandó számmal különböznek majd egymástól.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Határozatlan integrál.

Meghatározás: Határozatlan integrál Az f(x) függvény olyan antiderivatív függvények halmaza, amelyeket a következő összefüggés határoz meg:

Írd le:

A határozatlan integrál létezésének feltétele egy bizonyos szakaszon a függvény folytonossága ezen a szakaszon.

Tulajdonságok:

1.

2.

3.

4.

Példa:

A határozatlan integrál értékének megtalálása főként a függvény antideriváltjának megtalálásához kapcsolódik. Egyes funkciók esetében ez meglehetősen nehéz feladat. Az alábbiakban megvizsgáljuk azokat a módszereket, amelyek segítségével meghatározhatatlan integrálokat találhatunk a fő függvényosztályokhoz - racionális, irracionális, trigonometrikus, exponenciális stb.

A kényelem kedvéért a legtöbb elemi függvény határozatlan integráljainak értékeit speciális integráltáblázatokban gyűjtjük össze, amelyek néha meglehetősen terjedelmesek. Ezek a funkciók különféle, gyakran használt kombinációit tartalmazzák. De az ezekben a táblázatokban bemutatott képletek többsége egymás következménye, ezért az alábbiakban bemutatjuk az alapvető integrálok táblázatát, amelyek segítségével különböző függvények határozatlan integráljainak értékeit kaphatja meg.

Integrál		Jelentése	Integrál		Jelentése
		lnsinx+ C
		ln

Integrációs módszerek.

Nézzünk három fő integrációs módszert.

Közvetlen integráció.

A közvetlen integrációs módszer az antiderivatív függvény lehetséges értékének feltételezésén alapul, ennek az értéknek a differenciálással történő további igazolásával. Általánosságban elmondható, hogy a differenciálás hatékony eszköz az integráció eredményeinek ellenőrzésére.

Nézzük meg ennek a módszernek az alkalmazását egy példa segítségével:

Meg kell találnunk az integrál értékét . A jól ismert differenciálási képlet alapján
megállapíthatjuk, hogy a keresett integrál egyenlő
, ahol C valamilyen állandó szám. Másrészt azonban
. Így végül levonhatjuk a következtetést:

Megjegyezzük, hogy ellentétben a differenciálással, ahol egyértelmű technikákat és módszereket használtak a derivált megtalálásához, a derivált megtalálásának szabályait, végül a derivált meghatározását, az ilyen módszerek nem állnak rendelkezésre az integrációhoz. Ha a derivált megtalálásakor úgymond konstruktív módszereket alkalmaztunk, amelyek bizonyos szabályok alapján eredményre vezettek, akkor az antiderivált találásakor elsősorban a derivált- és antiderivált táblázatok ismeretére kell hagyatkoznunk.

Ami a közvetlen integrációs módszert illeti, ez csak néhány nagyon korlátozott függvényosztályra alkalmazható. Nagyon kevés olyan funkció van, amelyhez azonnal találhat antiderivatívet. Ezért a legtöbb esetben az alábbiakban ismertetett módszereket alkalmazzák.

A helyettesítés módja (változók helyettesítése).

Tétel: Ha meg kell találni az integrált
, de nehéz megtalálni az antideriváltat, akkor az x = (t) és dx = (t)dt helyettesítéssel kapjuk:

Bizonyíték : Tegyük különbséget a javasolt egyenlőség között:

A fent tárgyalt határozatlan integrál 2. tulajdonsága szerint:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

amely a bevezetett jelölést figyelembe véve a kiinduló feltevés. A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Keresse meg a határozatlan integrált
.

Csináljunk cserét t = sinx, dt = cosxdt.

Példa.

Csere
Kapunk:

Az alábbiakban további példákat tekintünk meg a helyettesítési módszer használatára különféle típusú függvények esetében.

Integráció alkatrészek szerint.

A módszer egy termék származékának jól ismert képletén alapul:

(uv) = uv + vu

ahol u és v x néhány függvénye.

Differenciál alakban: d(uv) = udv + vdu

Integrálva a következőket kapjuk:
, és a határozatlan integrál fenti tulajdonságainak megfelelően:

vagy
;

Kaptunk egy képletet a részenkénti integrációhoz, amely lehetővé teszi számos elemi függvény integráljának megtalálását.

Példa.

Amint láthatja, a részenkénti integráció képletének következetes alkalmazása lehetővé teszi a függvény fokozatos egyszerűsítését és az integrál táblázatossá tételét.

Példa.

Látható, hogy a részenkénti integráció többszöri alkalmazása eredményeként a függvényt nem sikerült táblázatos formára egyszerűsíteni. Az utolsó kapott integrál azonban nem különbözik az eredetitől. Ezért áthelyezzük az egyenlőség bal oldalára.

Így az integrált az integráltáblázatok használata nélkül találtuk meg.

Mielőtt részletesen megvizsgálnánk a különböző függvényosztályok integrálásának módszereit, még néhány példát adunk a határozatlan integrálok megtalálására táblázatosra redukálva.

Példa.

Példa.

Példa.

Példa.

Példa.

Példa.

Példa.

Példa.

Példa.

Példa.

Elemi törtek integrálása.

Meghatározás: Alapvető A következő négy törttípust nevezzük:

ÉN.
III.

II.
IV.

m, n – természetes számok (m  2, n  2) és b 2 – 4ac<0.

Az elemi törtek integráljainak első két típusa egészen egyszerűen a t = ax + b behelyettesítéssel hozható a táblázatba.

Tekintsük a III. típusú elemi törtek integrálásának módszerét.

A III. típusú törtintegrál a következőképpen ábrázolható:

Itt általánosságban a III. típusú törtintegrál két táblázatos integrálra való redukálása látható.

Nézzük meg a fenti képlet alkalmazását példákon keresztül.

Példa.

Általánosságban elmondható, hogy ha az ax 2 + bx + c trinomiális kifejezés b 2 – 4ac >0, akkor a tört definíció szerint nem elemi, azonban a fent leírt módon integrálható.

Példa.

Példa.

Tekintsük most a IV. típusú egyszerű törtek integrálásának módszereit.

Először nézzünk meg egy speciális esetet, ahol M = 0, N = 1.

Ezután a forma integrálja
formában ábrázolható a nevezőben a teljes négyzet kiválasztásával
. Végezzük el a következő átalakítást:

Az ebben az egyenlőségben szereplő második integrált részenként vesszük.

Jelöljük:

Az eredeti integrálhoz a következőket kapjuk:

A kapott képletet ún visszatérő. Ha n-1 alkalommal alkalmazod, akkor egy táblázatos integrált kapsz
.

Térjünk most vissza általános esetben a IV. típusú elemi tört integráljához.

A kapott egyenlőségben a helyettesítést használó első integrál t = u 2 + s táblázatosra redukálva , és a fent tárgyalt ismétlődési képletet alkalmazzuk a második integrálra.

A IV. típusú elemi tört integrálásának látszólagos bonyolultsága ellenére a gyakorlatban meglehetősen könnyen használható kis fokú törtekhez. n, és a megközelítés egyetemessége és általánossága lehetővé teszi ennek a módszernek a számítógépen történő nagyon egyszerű megvalósítását.

Példa:

Racionális függvények integrálása.

Racionális törtek integrálása.

Egy racionális tört integrálásához elemi törtekre kell bontani.

Tétel: Ha
- egy megfelelő racionális tört, amelynek P(x) nevezője lineáris és másodfokú tényezők szorzataként van ábrázolva (megjegyzendő, hogy bármely valós együtthatós polinom ábrázolható ebben a formában: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), akkor ez a tört elemire bontható a következő séma szerint:

ahol A i, B i, M i, N i, R i, S i néhány állandó mennyiség.

A racionális törtek integrálásakor az eredeti tört elemi törtekre bontásához folyamodnak. Az A i, B i, M i, N i, R i, S i mennyiségek megtalálásához az ún. bizonytalan együtthatók módszere, melynek lényege, hogy ahhoz, hogy két polinom azonosan egyenlő legyen, szükséges és elegendő, hogy az x azonos hatványai melletti együtthatók egyenlők legyenek.

Tekintsük ennek a módszernek a használatát egy konkrét példán keresztül.

Példa.

Közös nevezőre redukálva és a megfelelő számlálókkal egyenlővé téve a következőket kapjuk:

Példa.

Mert Ha a tört nem megfelelő, először ki kell választania a teljes részét:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Tényezőzzük a kapott tört nevezőjét. Látható, hogy x = 3-nál a tört nevezője nullára fordul. Majd:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Tehát 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) = (x - 3) (x + 2) (3x - 1). Majd:

Annak érdekében, hogy a bizonytalan együtthatók megtalálásakor elkerüljük a zárójelek nyitását, egyenletrendszer csoportosítását és megoldását (amely esetenként meglehetősen nagynak bizonyulhat), az ún. tetszőleges értékmódszer. A módszer lényege, hogy több (a meghatározatlan együtthatók száma szerint) tetszőleges x értéket behelyettesítjük a fenti kifejezésbe. A számítások egyszerűsítése érdekében szokás tetszőleges értéknek venni azokat a pontokat, amelyeknél a tört nevezője nulla, azaz. esetünkben – 3, -2, 1/3. Kapunk:

Végül megkapjuk:

=

Példa.

Keressük a meghatározatlan együtthatókat:

Ezután a megadott integrál értéke:

Néhány trigonometria integrálása

funkciókat.

A trigonometrikus függvényekből végtelen számú integrál lehet. Ezeknek az integráloknak a többsége egyáltalán nem számítható analitikusan, ezért megvizsgáljuk a legfontosabb függvénytípusokat, amelyek mindig integrálhatók.

Az űrlap integrálja
.

Itt R a sinx és cosx változók valamilyen racionális függvényének jelölése.

Az ilyen típusú integrálok számítása helyettesítéssel történik
. Ez a helyettesítés lehetővé teszi egy trigonometrikus függvény racionálisvá alakítását.

,

Majd

Így:

A fent leírt transzformációt ún univerzális trigonometrikus helyettesítés.

Példa.

Ennek a helyettesítésnek az a kétségtelen előnye, hogy segítségével egy trigonometrikus függvényt mindig racionálisvá alakíthatunk, és kiszámíthatjuk a megfelelő integrált. Hátrányaként említhető, hogy az átalakítás meglehetősen összetett racionális függvényt eredményezhet, melynek integrálása sok időt és erőfeszítést igényel.

Ha azonban nem lehetséges a változó racionálisabb helyettesítése, akkor ez a módszer az egyetlen hatékony.

Példa.

Az űrlap integrálja
Ha

funkcióRcosx.

Annak ellenére, hogy egy ilyen integrált az univerzális trigonometrikus helyettesítéssel lehet kiszámítani, ésszerűbb a helyettesítés használata t = sinx.

Funkció
A cosx-ot csak páros hatványokban tartalmazhatja, ezért a sinx függvényében racionális függvénnyé alakítható.

Példa.

Általánosságban elmondható, hogy ennek a módszernek az alkalmazásához csak a függvénynek a koszinuszhoz viszonyított páratlansága szükséges, és a függvényben szereplő szinusz mértéke tetszőleges lehet, egész és tört.

Az űrlap integrálja
Ha

funkcióRviszonyítva páratlansinx.

A fenti esethez hasonlóan a helyettesítés megtörténik t = cosx.

Példa.

Az űrlap integrálja

funkcióRsőt viszonylagsinxÉscosx.

Az R függvény racionálisvá alakításához használja a helyettesítést

t = tgx.

Példa.

Szinuszok és koszinuszok szorzatának integrálja

különféle érvek.

A munka típusától függően a következő három képlet egyikét kell alkalmazni:

Példa.

Példa.

Néha trigonometrikus függvények integrálásakor célszerű jól ismert trigonometrikus képleteket használni a függvények sorrendjének csökkentésére.

Példa.

Példa.

Néha néhány nem szabványos technikát alkalmaznak.

Példa.

Néhány irracionális függvény integrálása.

Nem minden irracionális függvénynek lehet elemi függvényekkel kifejezett integrálja. Egy irracionális függvény integráljának megtalálásához olyan behelyettesítést kell használnia, amely lehetővé teszi a függvény racionálisvá alakítását, amelynek integrálja mindig megtalálható, amint az mindig ismert.

Nézzünk meg néhány technikát a különféle típusú irracionális függvények integrálására.

Az űrlap integrálja
Aholn- természetes szám.

A helyettesítés használata
a funkció racionalizálódik.

Példa.

Ha egy irracionális függvény összetétele különböző fokú gyököket tartalmaz, akkor új változóként racionális egy olyan fok gyökét venni, amely egyenlő a kifejezésben szereplő gyökök fokszámainak legkisebb közös többszörösével.

Illusztráljuk ezt egy példával.

Példa.

Binomiális differenciálok integrálása.