A Szentpétervári Állami Orvostudományi Egyetem az erőrendszert a legegyszerűbb formájába hozza. A legegyszerűbb formára való redukció esetei


Merev test statika:
Az erők térbeli rendszere
7. § Az erőrendszer visszaszorítása a legegyszerűbb formájára

Problémák a témában

7.1 A kocka csúcsaira az élek irányába ható erők hatnak az ábrán látható módon. Milyen feltételeknek kell megfelelniük az F1, F2, F3, F4, F5 és F6 erőmoduloknak, hogy egyensúlyban legyenek?
MEGOLDÁS

7.2 Három egyenlő nagyságú P erő hat egy téglalap alakú paralelepipedon három nem metsző és nem párhuzamos élére Milyen kapcsolatnak kell léteznie az a, b és c élek között, hogy ez a rendszer egy eredőre redukálódjon?
MEGOLDÁS

7.3 Négy egyenlő nagyságú erő hat a kocka négy A, H, B és D csúcsára: P1=P2=P3=P4=P, P1 erővel AC, P2 HF, P3 BE és P4 mentén. DG. Hozd ezt a rendszert a legegyszerűbb formába.
MEGOLDÁS

7.4 A következő erőket fejtjük ki egy szabályos ABCD tetraéderre, amelynek élei egyenlőek a-val: F1 az AB él mentén, F2 a CD él mentén és F3 a BD él közepén lévő E pontban. Az F1 és F2 erők nagysága tetszőleges, és az F3 erő vetületei az x, y és z tengelyekre +F25√3/6; -F2/2; -F2√(2/3). Ez az erőrendszer egy eredőre redukálódik? Ha adott, akkor keresse meg az eredő hatásvonalának az Oxz síkkal való metszéspontjának x és z koordinátáját.
MEGOLDÁS

7.5 Egy 5 cm élű kocka csúcsaira hat egyenlő nagyságú, egyenként 2 N erő hat az ábrán látható módon. Hozd ezt a rendszert a legegyszerűbb formába.
MEGOLDÁS

7.6 Az erőrendszer: P1=8 N, Oz mentén, és P2=12 N, Oy-vel párhuzamosan, az ábrán látható módon, ahol OA=1,3 m, hozza kanonikus formába, meghatározva a fővektor értékét Mindezen erők V és főnyomatékuk M nagysága a központi spirális tengelyen felvett tetszőleges ponthoz viszonyítva. Határozzuk meg a központi spirális tengely által bezárt α, β és γ szögeket a koordinátatengelyekkel, valamint annak a pontnak az x és y koordinátáit, ahol találkozik az Oxy-síkkal.
MEGOLDÁS

7.7 Három P1, P2 és P3 erő a koordinátasíkban fekszik, és párhuzamos a koordinátatengelyekkel, de bármelyik irányba irányítható. Alkalmazási pontjaik A, B és C adott a, b és c távolságra vannak az origótól. Milyen feltételnek kell teljesülnie ezen erők nagyságának ahhoz, hogy egy eredőre csökkenjenek? Milyen feltételnek kell teljesülnie ezen erők nagyságának ahhoz, hogy legyen egy központi spirális tengely, amely áthalad a koordináták origóján?
MEGOLDÁS

7.8 Egy a-val egyenlő élű ABCD szabályos tetraéderre az AB él mentén F1, a CD él mentén pedig F2 erő hat. Határozzuk meg a központi spirális tengely és az Oxy-sík metszéspontjának x és y koordinátáit!
MEGOLDÁS

7.9 Tizenkét, egyenlő nagyságú P erő hat az a-val egyenlő kocka élei mentén, amint az az ábrán látható. Hozd ezt az erőrendszert kanonikus formába, és határozd meg a központi spirális tengely és az Oxy-sík metszéspontjának x és y koordinátáit.
MEGOLDÁS

7.10 Egy téglalap alakú paralelepipedon 10 m, 4 m és 5 m élei mentén hat erő van feltüntetve az ábrán: P1=4 N, P2=6 N, P3=3 N, P4=2 N, P5=6 N, P6=8 N. Hozd ezt az erőrendszert kanonikus formába, és határozd meg a központi spirális tengely metszéspontjának x és y koordinátáit az Oxy-síkkal.
MEGOLDÁS

7.11 A gátra ható P=8000 kN és F=5200 kN víznyomás eredő erői a megfelelő lapokra merőleges középső függőleges síkban, az alaptól H=4 m és h=2,4 m távolságban érvényesülnek. A gát téglalap alakú részének G1=12000 kN súlyerőt a középpontjában, a háromszög alakú rész G2=6000 kN súlyerőt a háromszög alsó talpának hosszának egyharmadára fejtjük ki. szakasz ennek a szakasznak a függőleges szélétől. A gát szélessége az alapnál b=10 m, a tetején a=5 m; tan α=5/12. Határozzuk meg a talaj megoszló reakcióerejének eredőjét, amelyre a gátat telepítették.
MEGOLDÁS

7.12 Rádióoszlop súlya beton alap G=140 kN. Az F=20 kN antennafeszítő erőt és az ebből eredő P=50 kN szélnyomás erőt az árbocra kell kifejteni; mindkét erő vízszintes és egymásra merőleges síkban helyezkedik el; H=15 m, h=6 m Határozza meg a talaj reakcióját, amelyben az árboc alapja van!

Erőrendszer középpontba helyezése

Kérdések

6. előadás

3. Egyensúlyi feltételek tetszőleges erőrendszerhez

1. Tekintsünk egy tetszőleges erőrendszert. Válasszunk egy tetszőleges pontot KÖRÜLBELÜL a redukciós középponton túl, és a párhuzamos erőátvitel tételét felhasználva a rendszer összes erejét egy adott pontra visszük át, nem felejtve el, hogy minden erő átvitelekor hozzá kell adni egy ehhez kapcsolódó erőpárt.

Helyettesítsük a kapott konvergáló erőrendszert az eredeti erőrendszer fővektorával egyenlő erővel. Az átvitel során kialakult erőpárok rendszerét egy olyan pár helyettesíti, amelynek nyomatéka megegyezik az összes erőpár nyomatékainak geometriai összegével (azaz az eredeti erőrendszer középponthoz viszonyított nyomatékainak geometriai összegével) KÖRÜLBELÜL).

Ezt a pillanatot úgy hívják az erőrendszer főmomentuma az O középponthoz viszonyítva (1.30. ábra).

Rizs. 1.30. Erőrendszer középpontba helyezése

Tehát bármely erőrendszer mindig csak két erőtényezővel helyettesíthető - fővektor és főmomentum egy tetszőlegesen választott redukciós középponthoz viszonyítva . Nyilvánvaló, hogy az erőrendszer fővektora nem függ a redukciós középpont megválasztásától (a fővektort invariánsnak mondjuk a redukciós középpont kiválasztásához képest). Az is nyilvánvaló, hogy a főmomentum nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, ezért mindig meg kell jelölni, hogy a főmomentum melyik középponthoz viszonyítva van meghatározva.

2. Az erőrendszer legegyszerűbb formája

Tetszőleges erőrendszerek további egyszerűsítésének lehetősége fővektoruk és főmomentatuk értékétől, valamint a redukciós középpont sikeres megválasztásától függ. A következő esetek lehetségesek:

a) , . Ebben az esetben a rendszer egy nyomatékkal olyan erőpárra redukálódik, amelynek értéke nem függ a redukciós középpont megválasztásától.

b) , . A rendszert egy eredőre redukáljuk, amely egyenlő -vel, amelynek hatásvonala áthalad a középponton KÖRÜLBELÜL.

c) és egymásra merőlegesek. A rendszer olyan eredőre redukálódik, amely egyenlő, de nem halad át a középponton KÖRÜLBELÜL(1.31. ábra).

Rizs. 1.31. Erőrendszert hozzák az eredőhöz

Cseréljük ki a főmomentumot egy erőpárral, ahogy az ábra mutatja. 1.31. Határozzuk meg R attól a feltételtől, hogy M 0 = R h. Ekkor a statika második axiómája alapján utasítsunk el egy pontban ható két erő kiegyensúlyozott rendszerét. KÖRÜLBELÜL.

d) és párhuzamos. A rendszert egy dinamikus csavar hajtja meg, amelynek tengelye a közepén halad át KÖRÜLBELÜL(1.32. ábra).

Rizs. 1.32. Dinamikus csavar

e) és nem egyenlők nullával, ugyanakkor a fővektor és a főmomentum nem párhuzamos és nem merőleges egymásra. A rendszert dinamikus csavar hajtja, de a tengely nem halad át a középponton KÖRÜLBELÜL(1.33. ábra).


Rizs. 1.33. Az erőrendszer csökkentésének legáltalánosabb esete

Az erők síkrendszere is olyan erőre redukálódik, amely egyenlő mind a tetszőlegesen kiválasztott O középpontban alkalmazott erővel, mind pedig egy nyomatékos párral.

ebben az esetben a vektor meghatározható geometriailag egy erőpoligon felépítésével (lásd a 4. bekezdést), vagy analitikusan. Így sík erőrendszerhez

R x = F kx , R y = F ky ,

ahol az utolsó egyenlőségben szereplő összes momentum algebrai és az összeg is algebrai.

Nézzük meg, hogy ez milyen legegyszerűbb formára redukálható lapos rendszer erők, amelyek nincsenek egyensúlyban. Az eredmény az R és M O értékétől függ.

  • 1. Ha egy adott R=0 erőrendszerre egy M O ?0, akkor egy párra redukálódik M O nyomatékkal, melynek értéke nem függ az O középpont megválasztásától.
  • 2. Ha egy adott erőrendszerre R?0, akkor az egy erőre, azaz az eredőre csökken. Ebben az esetben két eset lehetséges:
    • a) R<0, M0=0. Ebben az esetben a rendszer, amint az azonnal nyilvánvaló, az O középponton áthaladó eredő R-re redukálódik;
    • b) R20, M020. Ebben az esetben egy M O nyomatékú pár két R" és R erővel ábrázolható, R"=R és R"= - R erővel. Sőt, ha d=OC a pár karja, akkor legyen Rd=|M O | .

Miután az R és R" erőket kiegyensúlyozottként elutasítottuk, azt találtuk, hogy a teljes erőrendszer helyébe a C ponton áthaladó R" = R eredő. A C pont helyzetét két feltétel határozza meg: 1) az OC távolság = d () teljesülnie kell az Rd = | egyenlőségnek. 2) a C pontban kifejtett R" erő O középpontjához viszonyított nyomaték előjele, azaz m O (R") előjelének egybe kell esnie M O előjelével.

Statika alaptétele.A merev testre ható erők tetszőleges rendszere helyettesíthető egy erőből és egy erőpárból álló ekvivalens rendszerrel. Az erő megegyezik az erőrendszer fővektorával, és a test egy tetszőlegesen kiválasztott pontjában (redukciós középpontjában) alkalmazzák, a pár nyomatéka megegyezik az erőrendszer fő momentumával ehhez a ponthoz képest.

Az erőrendszer fő vektora:

.

Az erőrendszer fő momentuma a középponthoz képest O:

a koordinátatengelyekre való vetületei határozzák meg:

, , ,

.

Az erőrendszer középpontba állítása a következő esetekben lehetséges:

Az erőrendszer eredőre redukálódik. Az eredő hatásvonala áthalad a redukció középpontján.

Egy erőrendszer egy erőpárra redukálódik.

3. , , - az erőrendszernek van egy eredője, amely nem megy át a redukciós középponton. Működési irányát az egyenletek határozzák meg

4. , , - az erőrendszert dinamikus csavarra redukáljuk (erő és az erőre merőleges síkban fekvő pár).

Egy dinamikus légcsavar pár erejének pillanata

.

A dinamikus csavar tengelyét az egyenletek határozzák meg

5. , - kiegyensúlyozott erőrendszer.

1.4.1. példa. Hozd az erőrendszert (1.4.1. ábra) legegyszerűbb alakjába, ha F 1 = 5 N, F 2 = 15 N, F 3 = 10 N, F 4 = 3 N, a= 2 m.

1. A redukció középpontjához válassza ki a koordináták origóját - a pontot O(1.4.2. ábra), és jelölje meg az a és b szögeket, amelyek meghatározzák az erő helyzetét.

2. Keresse meg a fővektor vetületeit a koordináta tengelyeken:

,

,

.

N.

3. Számítsa ki a főnyomaték ponthoz viszonyított vetületeit! KÖRÜLBELÜL a koordináta tengelyen:

,

,

,

Nm, Nm, Nm,

4. Határozza meg a fővektor és a főmomentum skaláris szorzatának értékét!

Mivel , az erőrendszer a megfelelő dinamikus csavarra kerül. Egy pár dinamikus légcsavar nyomatékvektora és a fővektor iránya egybeesik.

5. A dinamikus légcsavar tengelyének egyenlete a következő:

vagy a talált értékek figyelembevételével:

A dinamikus légcsavar tengelyének megszerkesztéséhez pontokat találunk AÉs B a koordinátasíkokkal való metszéspontjai OxyÉs Oyz, illetőleg



–0,203 m 1,063 m

6. Határozzuk meg egy dinamikus légcsavar erőpárjának nyomatékát!

Nm.

7. Pontok koordinátái szerint AÉs BÁbrázoljuk a dinamikus csavar tengelyét (1.4.3. ábra). Ezen a tengelyen egy tetszőleges pontban a pár fővektorával és nyomatékvektorával egyenlő erőt jelezünk.

1.4.1. probléma. Vajon az eredő erőrendszer, amelyre a fővektor és a középponthoz viszonyított főmomentum KÖRÜLBELÜL .

Válasz: igen.

1.4.2. probléma. Az eredő erőrendszer, amelyre a fővektor és a főmomentum a középponthoz viszonyítva KÖRÜLBELÜL .

Válasz: nem.

1.4.3. probléma. Határozza meg a távolságot a redukció középpontjától KÖRÜLBELÜL az eredő erőrendszer hatásvölgye (1.4.4. ábra), ha fővektora R= 15 N és főnyomaték M O= 30 Nm.

Válasz: 2 m.

1.4.4. probléma. Határozza meg a szöget a fővektor és az 1.4.5. ábrán látható erőrendszer főmomentuma között, a vonatkoztatási pontot véve a redukció középpontjának O, Ha F 1 = F 2 = 2 N, néhány erő nyomatéka M 1 = 3 Nm, OA= 1,5 m.

Válasz: α = 0º.

1.4.5. probléma. Határozza meg az 1.4.6. ábrán látható erőrendszer fővektora és főmomentuma közötti szöget, a vonatkoztatási pontot véve a redukció középpontjának KÖRÜLBELÜL, Ha F 1 = F 2 = F 3 = 10 N, a= 3 m.

Válasz: α = 135°.

1.4.6. probléma. Határozzuk meg az 1.4.7. ábrán látható erőrendszer fővektorát és főmomentumát, ha! F 1 = F 2 = F 3 = 7 N, a OA = OB = OS= 2 m Vegyük a pontot redukciós középpontnak KÖRÜLBELÜL.

Válasz: R = 0, M O= 17,146 Nm.

Rizs. 1.4.6 Rizs. 1.4.7

1.4.7. probléma. Hozd a paralelepipedon csúcsaira ható erőrendszert (1.4.8. ábra) a legegyszerűbb alakjába, ha F 1 = 16 N, F 2 = 12 N, F 3 = 20 N, a = Vel= 2,4 m, b=1,8 m.

M= 48 Nm.

1.4.8. probléma. Hozza fel a kocka csúcsaira ható erőrendszert (1.4.9. ábra) a legegyszerűbb alakjába, ha F 1 = 15 N, F 2 = 40 N, F 3 = 25 N,
F 4 = F 5 = 20 N, a= 1,5 m.

Válasz: az erőrendszer egy pillanattal erőpárrá redukálódik M= 63,65 Nm.

1.4.9. probléma. Hozzunk létre egy szabályos négyszög alakú piramisra kifejtett erőrendszert, amint az ábra mutatja. 1.4.10, a legegyszerűbb formára, ha F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = 1 N, F 5 = 2,83 N, AB = MINT= 2 m.

Válasz : az erőrendszer kiegyensúlyozott.

Rizs. 1.4.8 Rizs. 1.4.9
Rizs. 1.4.10 Rizs. 1.4.11

1.4.10. probléma. Hozd a téglalap alakú paralelepipedon csúcsaira ható erőrendszert (1.4.11. ábra) a legegyszerűbb formájába, ha F 1 = F 5 = 10 N, F 3 = 40 N, F 4 = 15 N, F 2 = 9 N, a= 2,4 m, b= 3,2 m, c= 1 m.

Válasz: az erőrendszer eredővé redukálódik R= 32 N, melynek hatásvonala párhuzamos a tengellyel Oyés áthalad a ponton A (0,9; 0; 0).

1.4.11. probléma. Hozd a téglalap alakú paralelepipedon csúcsaira ható erőrendszert (1.4.12. ábra) a legegyszerűbb formájába, ha F 1 = F 3 = 3 N, F 2 = F 6 = 6 N, F 4 = F 5 = 9 N, a= 3 m, b= 2 m, c= 1 m.

Válasz : az erőrendszer kiegyensúlyozott.

1.4.12. probléma. Hozd a téglalap alakú paralelepipedon csúcsaira ható erőrendszert (1.4.13. ábra) a legegyszerűbb formájába, ha F 1 = F 4 =F 5 = 50 N, F 2 = 120 N, F 3 = 30 N, a= 4 m, b= 3 m, c= 5 m.

R= 80 N, melynek hatásvonala párhuzamos a tengellyel Oyés áthalad a ponton A (0,0,10).

1.4.13. probléma. Hozza fel a kocka csúcsaira ható erőrendszert (1.4.14. ábra) a legegyszerűbb alakjába, ha a= 1 m, F 1 = 866 N, F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = 500 N. Amikor az elfogadás mellett döntünk .

Válasz: a rendszer az eredőre redukálódik R= 7,07 N.

Rizs. 1.4.12 Rizs. 1.4.13
Rizs. 1.4.14 Rizs. 1.4.15

1.4.14. probléma.Állítsd helyesre az alkalmazott erőrendszert háromszög alakú piramis(1.4.15. ábra), a legegyszerűbb alakra, ha F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6 = 1 N, AB = MINT= 2 m.

Válasz: az erőrendszert egy dinamikus csavarra hajtjuk R= 1,41 N és M= 1,73 Nm, az erőcsavar tengelye a tetején halad át S merőleges a piramis alapjára.

1.4.15. probléma. Rádióoszlop súlya talppal G= 140 kN. Az antenna feszítőereje az árbocra hat F= 20 kN és az ebből eredő szélnyomás erők P= 50 kN; mindkét erő vízszintes és egymásra merőleges síkban helyezkedik el (1.4.16. ábra). Határozza meg a talaj reakcióját, amelyben az árboc alapja van.

Válasz: egy elosztott talajreakciós erőrendszert a bal oldali dinamikus légcsavarra hajtanak 150 kN erővel és egy párat 60 kN∙m nyomatékkal. a központi spirális tengely egyenlete alakja

.

Súlypont

A szilárd test tömegközéppontja egy adott test részecskéinek párhuzamos gravitációs erőinek középpontja.

,

A homogén testek súlypontjának meghatározására a szimmetria módszert alkalmazzák, az egyszerű alakú testekre való felosztás módszerét. ismert pozíció súlypontok, valamint a negatív tömegek módszere (vonalak, területek, térfogatok).

1.5.1. példa. Határozzuk meg egy sík rácsos rács súlypontjának koordinátáit (1.5.1. ábra), amely azonos lineáris súlyú homogén rudakból áll!

1. Alkalmazzuk a particionálás módszerét, vagyis képzeljük el a rácsot hét rúd halmazaként.

2. Keresse meg a rácsos súlypont koordinátáit a képletekkel:

; ,

ahol , , a számmal rendelkező rúd súlypontjának hossza és koordinátái.

A rudak súlypontjainak hossza és koordinátái:

Majd ,

Példa 1.5.2. A hangár végfala (1.5.2. ábra) félkör alakú 1 sugár téglalap alakú ajtónyílással 2 magasság és szélesség Határozza meg a fal súlypontjának koordinátáit.

1. Alkalmazzuk a szimmetria és a negatív területek módszereit, félkört tekintve 1 és téglalap alakú kivágás 2 .

2. Keresse meg a fal súlypontjának koordinátáit!

Mert a tengely Ó a szimmetriatengely, majd a koordináta

A lemez súlypontjának koordinátáját a képlet határozza meg

ahol , , , az ábrák súlypontjainak területei és koordinátái 1 És 2 .

Az ábrák súlypontjainak területei és koordinátái:

Feladatok 1.5.1 – 1.5.4. Határozza meg az azonos lineáris súlyú homogén rudakból álló sík rácsos tartók súlypontjának koordinátáit (1.5.3 - 1.5.6. ábra).

Válaszok az 1.5.1 – 1.5.4 feladatokra:

Feladat száma 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4
, m 1,52 3,88 3,0 1,59
, m 0,69 1,96 1,73 0,17
Rizs. 1.5.3 Rizs. 1.5.4
Rizs. 1.5.5 Rizs. 1.5.6
Rizs. 1.5.7 Rizs. 1.5.8

1.5.5 – 1.5.7 feladatok. Határozza meg a homogén összetett vonalak súlypontjainak koordinátáit (1.5.7 – 1.5.9. ábra).

Válaszok az 1.5.5 – 1.5.7 feladatokra:

Feladat száma 1.5.5 1.5.6 1.5.7
, cm –4,76
, cm 14,16 3,31
Rizs. 1.5.9 Rizs. 1.5.10
Rizs. 1.5.11 Rizs. 1.5.12

1.5.8. probléma. A derékszögben hajlított homogén huzalt egy menetre függesztjük (1.5.10. ábra). Keresse meg az összefüggést a szakaszok hossza között! HIRDETÉSÉs A.E., amelynél a terület A.E. vízszintes helyzetben van. AB = 0,3 l 1 .

1.5.9. probléma. Határozzuk meg egy homogén huzal súlypontjának koordinátáit (1.5.11. ábra), ha a= 3 m, b= 2 m, c= 1,5 m.

Válasz: xC= 1,69 m, yC= 1,38 m, z C= 1,33 m.

1.5.10. probléma. A félkört határoló homogén zárt kontúrt egy menetre függesztjük (1.5.12. ábra). Határozza meg a félkör vízszintes és átmérője közötti α szöget!

Válasz: α = 68,74º.

Problémák 1.5.11 – 1.5.14. Határozzuk meg homogén lapos alakzatok súlypontjainak koordinátáit (1.5.13 – 1.5.16. ábra).

Válaszok az 1.5.11 – 1.5.14 feladatokra:

Feladat száma 1.5.11 1.5.12 1.5.13 1.5.14
37,07 cm 32,38 cm 2,31 m
11,88 cm 24,83 cm 1,56 m
Rizs. 1.5.13 Rizs. 1.5.14
Rizs. 1.5.15 Rizs. 1.5.16
Rizs. 1.5.17 Rizs. 1.5.18

1.5.15. probléma. A csapágycsap támasztéka egy paralelepipedon alakú tartóból és egy kocka alakú kulcsból álló rész (1.5.17. ábra). Határozza meg az állvány súlypontjának koordinátáit! A méretek milliméterben vannak megadva.

Válasz:

1.5.16. probléma. A csúszócsapágy csapja egy paralelepipedonból és egy hengeres tartóból álló rész (1.5.18. ábra). Határozza meg a tengely súlypontjának koordinátáit! A méretek milliméterben vannak megadva.

Válasz: , ,

1.5.17. probléma. Egy homogén test, amelynek keresztmetszete az 1.5.19. ábrán látható, egy félgömbből, egy hengeres részből és egy körkúpból áll. Határozza meg a test súlypontjának koordinátáit! A méretek milliméterben vannak megadva.

Válasz: , ,

1.5.18. probléma. A harckocsiágyú csöve hosszúságú csonkakúp alakú (1.5.20. ábra). A cső külső átmérője a pisztoly farához való csatlakozási pontban O.D. a csőfurat csőtorkolatának megfelelő szakaszban, fegyverkaliber d=100 mm. Határozza meg a törzs súlypontjának koordinátáját!

Válasz:

1.5.19. probléma. Határozzuk meg két négyszögletes paralelepipedonból álló homogén test súlypontjának koordinátáit (1.5.21. ábra). Az alsó paralelepipedon alapsugárral negyedhenger alakú kivágással rendelkezik R= 10 cm A képen látható méretek cm-ben értendők.

Válasz: xC= 17,1 cm, yC= 20,99 cm, z C= 7,84 cm.

1.5.20. probléma. Határozzuk meg egy homogén test súlypontjának koordinátáit (1.5.22. ábra), amely háromszög hasábból és kivágással ellátott paralelepipedonból áll! A képen látható méretek cm-ben értendők.

Rizs. 1.5.19 Rizs. 1.5.20
Rizs. 1.5.21 Rizs. 1.5.22

Válasz: xC= 20,14 cm, yC= 35,14 cm, z C= 5 cm.

2. rész. Kinematika

Egy pont kinematikája

Három van elemzési módszer pont mozgásának megadása: vektor, koordináta és természetes.

A vektoros módszerrel egy mozgó pont sugárvektorát az idő függvényében adjuk meg. Egy pont sebesség- és gyorsulásvektora megegyezik a sugárvektor első és második időbeli deriváltjával:

, .

A sugárvektor és a pont derékszögű koordinátái közötti kapcsolatot a következő egyenlőséggel fejezzük ki: , ahol , , a koordinátatengelyek egységvektorai.

A koordináta módszerrel egy pont mozgástörvényét derékszögű koordinátarendszerben három függvény megadásával adjuk meg: , , . A sebesség és a gyorsulás koordinátatengelyekre vonatkozó vetületeit, valamint egy pont sebesség- és gyorsulási moduljait a következő képletek határozzák meg:

, , , ,

A természetes módszernél egy pont pályáját és a pont pálya menti mozgásának törvényét adják meg, ahol a görbe vonalú koordinátát a pálya valamely fix pontjából egy ív mentén mérik. A sebesség algebrai értékét a képlet határozza meg, és egy pont gyorsulása egyenlő az érintőleges és normál gyorsulások geometriai összegével, azaz. , , , , – a pálya görbületi sugara egy adott pontban.


Példa 2.1.1. A lövedék függőleges síkban mozog az egyenletek szerint, (x,y- m-ben, t- c) pontban. Lelet:

– pályaegyenlet;

– sebesség és gyorsulás a kezdeti pillanatban;

– tűz magassága és hatótávolsága;

– görbületi sugár a pálya kezdeti és legmagasabb pontjában.

1. Adjuk meg a lövedék röppályájának egyenleteit, a paraméter nélkül t a mozgásegyenletekből

.

A lövedék pályája egy parabola szakasza (2.1.1. ábra), amelynek határpontjai vannak: a kezdőpont a koordinátákkal X = 0, at= 0 és végső, amelyre X = L(repülési távolság), at = 0.

2. Határozza meg a lövedék hatótávolságát helyettesítéssel! at= 0 a pályaegyenletbe. Honnan találjuk? L= 24000 m.

3. A koordinátatengelyekre vetítések segítségével meghatározzuk a lövedék sebességét és gyorsulását:

Az idő kezdeti pillanatában v 0 = 500 m/s, A= 10 m/s 2.

4. A lövedék repülési magasságának meghatározásához keressük meg az időt t 1 járat idáig. A legmagasabb ponton a sebesség vetülete a tengelyre y egyenlő nullával (2.1.1. ábra), , hol t 1 = 40 s. Helyettesítés t 1 a koordináta kifejezésbe at, megkapjuk a magasság értékét N= 8000 m.

5. A pálya görbületi sugara

, Hol .

m; m.

Példa 2.1.2. A forgattyús-csúszkás mechanizmusban (2.1.2. ábra) a hajtókar 1 rad/s állandó szögsebességgel forog. Keresse meg a felezőpont mozgásának, pályájának és sebességének egyenleteit! Mösszekötő rúd 2 , Ha OA = AB= 80 cm.

1. Írjuk fel egy pont mozgásegyenleteit! M koordináta formában (2.1.3. ábra)

2. Az idő kiiktatásával megkapjuk a pályaegyenletet t a mozgásegyenletből:

Pont pályája M– ellipszis, amelynek középpontja az origóban van, féltengelyei pedig 120 cm és 40 cm.

3. A pont sebességét a koordinátatengelyekre vetítések határozzák meg

2.1.1. feladat. Adott egy pont mozgásegyenlete, keresse meg a pályájának egyenletét koordináta alakban!

A mozgás egyenlete Válasz

Feladat 2.1.2. Határozzuk meg a pálya egyenletét koordináta alakban és egy pont mozgásának törvényét a pálya mentén, ha a mozgásának derékszögű koordinátái adottak! Az ívkoordináta origójához s fogadja el a pont kezdeti helyzetét.

A mozgás egyenlete Válasz
, ;
;
;
;

2.1.3. feladat. Egy pont mozgását a , ( – cm-ben, – s-ben) egyenletek adják meg. Határozzuk meg a pont pályájának koordináta alakban kifejezett egyenletét, a sebességet és a gyorsulást, a pont érintőleges és normál gyorsulását, valamint a pálya görbületi sugarát s időpontban! Rajzolja fel a rajzon a pont pályáját és a talált sebesség- és gyorsulásvektorokat! , – cm-ben, ha és amikor a legnagyobb a szög.

Válasz: 1) ; 2) , , ; , , .

Amint az a 12. §-ban látható, általános esetben bármelyiket redukáljuk az R fővektorral egyenlő erőre, és egy tetszőleges O középpontra alkalmazzuk, valamint egy olyan párra, amelynek nyomatéka egyenlő a főnyomatékkal (lásd 40. ábra, b). ). Nézzük meg, milyen legegyszerűbb formára redukálható egy olyan térbeli erőrendszer, amely nincs egyensúlyban. Az eredmény attól függ, hogy ez a rendszer milyen értékeket tartalmaz az R és mennyiségekre

1. Ha egy adott erőrendszerre , akkor azt olyan erőpárra redukáljuk, amelynek nyomatéka egyenlő, és az (50) képletekkel kiszámítható. Ebben az esetben, amint az a 12. §-ban látható, az érték nem függ az O középpont megválasztásától.

2. Ha egy adott erőrendszerre, akkor azt R-vel egyenlő eredőre redukáljuk, amelynek hatásvonala az O középponton megy át. Az R értéke a (49) képletekkel meghatározható.

3. Ha egy adott erőrendszerre de akkor ezt a rendszert is redukáljuk R-vel egyenlő eredőre, de nem megy át az O középponton.

Valóban, ha a vektorral ábrázolt pár és az R erő ugyanabban a síkban van (91. ábra).

Ezután válassza ki a pár erőit egyenlőnek az R modulussal, és rendezze el őket az ábra szerint. A 91. ábrán azt találjuk, hogy az erők kölcsönösen kiegyensúlyozottak lesznek, és a rendszert egy eredő cselekvési vonal váltja fel, amelynek az O ponton halad át (lásd a 15. § 2. bekezdésének b pontját). A ) távolságot a (28) képlet határozza meg, ahol

Könnyű ellenőrizni, hogy a vizsgált eset különösen mindig bekövetkezik bármely párhuzamos erőrendszer vagy ugyanabban a síkban fekvő erőrendszer esetén, ha ennek a rendszernek a fővektora egy adott erőrendszerre és a vektorral párhuzamos R (92. ábra, a) , ez azt jelenti, hogy az erőrendszer egy R erő és az erőre merőleges síkban fekvő P, P pár kombinációjára redukálódik (92. ábra, b). Az erő és a pár ilyen kombinációját dinamikus csavarnak nevezzük, és az egyenes vonal, amely mentén az R vektor irányul, a csavar tengelye. Ennek az erőrendszernek a további egyszerűsítése lehetetlen. Valójában, ha bármely másik C pontot veszünk redukciós középpontnak (92. ábra, a), akkor a vektor szabadként vihető át a C pontba, és amikor az R erő átkerül a C pontba (lásd 11. §) , egy másik pár, amelynek nyomatéka merőleges az R vektorra, és ezért . Ennek eredményeként a kapott pár nyomatéka numerikusan nagyobb lesz, így a kapott pár nyomatéka ebben az esetben a legkisebb értékű, ha az O középpontba kerül. Ez az erőrendszer nem redukálható egyetlen erőre (eredményre) vagy egy párra.

Ha a pár egyik erőjét, például P-t hozzáadjuk az R erőhöz, akkor a szóban forgó erőrendszert két keresztező erővel is helyettesíthetjük, vagyis olyan Q erőkkel, amelyek nem ugyanabban a síkban helyezkednek el. 93). Mivel az eredményül kapott erőrendszer egy dinamikus csavarral ekvivalens, nincs eredője sem.

5. Ha egy adott erőrendszerre és egyidejűleg a vektorok és R nem merőlegesek egymásra és nem párhuzamosak, akkor az ilyen erőrendszer is dinamikus csavarra redukálódik, de a csavar tengelye nem áthalad az O központon.

Ennek bizonyítására bontsuk fel a vektort R mentén irányú és R-re merőleges komponensekre (94. ábra). Ebben az esetben hol vannak a vektorok és az R. A vektor és az R erő által képviselt pár lehet, mint az ábrán látható esetben. Ekkor ezt az erőrendszert egy erővel és egy párhuzamos nyomatékpárral helyettesítjük, és a vektort szabadként is alkalmazhatjuk az O pontban. Az eredmény valójában legyen dinamikus csavar, de egy tengelye átmegy a ponton

Lehet, hogy érdekel