Kroz stranicu VS povučena je ravnina VSE (sl.) okomito na brid AS. Diedarski kutovi između bočnih stranica (svi su jednaki) mjere se kutom BEC = φ . Trokut TEŽINA je jednakokračan.

Za određivanje površine presjeka S i kuta φ , dovoljno je pronaći DE (D je sredina BC). Da bismo to učinili, uzastopno pronalazimo BS (iz trokuta BSD, gdje je BD = a / 2 i ∠BSD = α / 2 ).

Zatim BE (iz trokuta BSE, gdje je ∠BSE = α ) i konačno DE=√BE 2 -BD 2 . Dobivamo

Napomena 1 . Zbroj ravninskih kutova u vrhu S uvijek je manji od 360°. Stoga 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, tj. tako jednadžba uvijek ima rješenje.

Napomena 2 . Ako α >90°, tj. ako je kut ASB na vrhu bočne plohe tup, tada će visina BE trokuta ASB sijeći nastavak osnovice, a ravnina BEC neće dati nikakav presjek piramide. U međuvremenu formula

a pod tupim kutom α (manje od 120°, vidi bilješku 1) dat će određenu vrijednost S.

Odgovor: φ = 2 arc sin (1/2 sek α / 2 );

Slični primjeri:

U osnovi piramide nalazi se pravokutnik. Jedna od bočnih strana ima oblik jednakokračnog trokuta i okomita je na osnovicu; u drugom licu, nasuprot prvom, bočni su rubovi jednaki b , međusobno zaklapaju kut od 2 α a nagnuto prvom licu pod kutom α . Odredi obujam piramide i kut između naznačenih dviju ploha.

Bit ću kratak. Kut između dviju ravnih linija jednak kutu između njihovih vektora smjera. Dakle, ako uspijete pronaći koordinate vektora smjera a = (x 1 ; y 1 ; z 1) i b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), možete pronaći kut. Točnije, kosinus kuta prema formuli:

Pogledajmo kako ova formula funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 označene su točke E i F - polovišta bridova A 1 B 1 odnosno B 1 C 1. Odredite kut između pravaca AE i BF.

Budući da rub kocke nije određen, postavimo AB = 1. Uvodimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, osi x, y, z usmjerene su duž AB, AD i AA 1, redom. Jedinični segment jednak je AB = 1. Nađimo sada koordinate vektora smjera za naše pravce.

Nađimo koordinate vektora AE. Za to su nam potrebne točke A = (0; 0; 0) i E = (0,5; 0; 1). Budući da je točka E sredina segmenta A 1 B 1, njene su koordinate jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Uočimo da se ishodište vektora AE podudara s ishodištem koordinata, pa je AE = (0,5; 0; 1).

Sada pogledajmo BF vektor. Slično analiziramo točke B = (1; 0; 0) i F = (1; 0,5; 1), jer F je sredina segmenta B 1 C 1. imamo:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Dakle, vektori smjera su spremni. Kosinus kuta između ravnih linija je kosinus kuta između vektora smjera, pa imamo:

Zadatak. U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke D i E - središta bridova A 1 B 1, odnosno B 1 C 1. Odredite kut između pravaca AD i BE.

Uvedimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, os x je usmjerena duž AB, z - duž AA 1. Usmjerimo y-os tako da ravnina OXY koincidira s ravninom ABC. Jedinični segment je jednak AB = 1. Odredimo koordinate vektora smjera za tražene pravce.

Najprije pronađimo koordinate vektora AD. Razmotrimo točke: A = (0; 0; 0) i D = (0,5; 0; 1), jer D - sredina segmenta A 1 B 1. Budući da se početak vektora AD poklapa s ishodištem koordinata, dobivamo AD = (0,5; 0; 1).

Nađimo sada koordinate vektora BE. Točku B = (1; 0; 0) lako je izračunati. S točkom E - sredinom segmenta C 1 B 1 - malo je kompliciranije. imamo:

Ostaje pronaći kosinus kuta:

Zadatak. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke K i L - središta bridova A 1 B 1, odnosno B 1 C 1 . Odredite kut između pravaca AK i BL.

Uvedimo standardni koordinatni sustav za prizmu: ishodište koordinata postavimo u središte donje baze, os x je usmjerena duž FC, os y je usmjerena kroz središta odsječaka AB i DE, a os z os je usmjerena okomito prema gore. Jedinični segment opet je jednak AB = 1. Zapišimo koordinate točaka koje nas zanimaju:

Točke K i L su središta odsječaka A 1 B 1 odnosno B 1 C 1, pa se njihove koordinate nalaze preko aritmetičke sredine. Znajući točke, nalazimo koordinate vektora smjera AK i BL:

Nađimo sada kosinus kuta:

Zadatak. U pravilnoj četverokutnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke E i F - središta stranica SB, odnosno SC. Odredite kut između pravaca AE i BF.

Uvedimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, osi x i y usmjerene su duž AB odnosno AD, a os z je usmjerena okomito prema gore. Jedinični segment jednak je AB = 1.

Točke E i F su polovišta odsječaka SB odnosno SC, pa se njihove koordinate nalaze kao aritmetička sredina krajeva. Zapišimo koordinate točaka koje nas zanimaju:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Poznavajući točke, nalazimo koordinate vektora smjera AE i BF:

Koordinate vektora AE poklapaju se s koordinatama točke E, jer je točka A ishodište. Ostaje pronaći kosinus kuta:

Bilješka. Ovo je lekcija s rješenjima zadataka iz geometrije (dio stereometrije, piramida s četverokutom u osnovi). Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt() u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama. Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak"√".

Zadatak

U pravilnoj četverokutnoj piramidi stranica baze je a, a visina je 3a.
Odredite kutove nagiba bočnih rebara i bočnih stranica prema ravnini baze .

Otopina.

Nađimo kut nagiba rebara prema ravnini baze.
Jer u bazi pravilna piramida leži pravilan četverokut, onda je, u ovom slučaju, to kvadrat. Budući da je visina piramide projicirana na središte baze, to je točka sjecišta dijagonala. Odakle dolazi KN = a/2?

Trokut OKN je pravokutan, OK je visina jednaka 3a.
Nađimo tangens kuta KNO, označimo ga s α.

Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctan 6 ≈ 80,5377°

Nađimo kut nagiba ruba piramide.
Dijagonala kvadrata sa stranicom a jednaka je a√2. Budući da je visina projicirana na središte baze, dijagonale su na ovom mjestu podijeljene na pola.

Dakle, za pravokutni trokut OKC tangens kuta KCO (označavamo ga kao β) jednak je

Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = arctan 6/√2 ≈ 76,7373°

Odgovor: kut nagiba ploha arctg 6 ≈ 80,5377°; kut nagiba rebara arctg 6/√2 ≈ 76,7373°