बल युग्मों के गुण कई प्रमेयों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, जो बिना प्रमाण के दिए गए हैं:

· दो जोड़े समतुल्य हैं यदि उनके वेक्टर क्षणों का परिमाण समान है और उनकी दिशा समान है।

यदि इसे क्रिया के विमान में किसी भी स्थान पर स्थानांतरित किया जाता है तो शरीर पर जोड़ी की कार्रवाई नहीं बदलेगी।

यदि पिंड को क्रिया के तल से उसके समानांतर समतल में स्थानांतरित किया जाए तो उस पर युग्म की क्रिया नहीं बदलेगी।

यदि आप जोड़े के बल के परिमाण को बढ़ाते (घटाते) हैं, साथ ही जोड़े के कंधे को उसी मात्रा में कम (बढ़ाते) करते हैं, तो शरीर पर जोड़े का प्रभाव नहीं बदलेगा।

निष्कर्ष: एक कठोर पिंड पर कार्य करने वाले बलों की एक जोड़ी का वेक्टर क्षण एक मुक्त वेक्टर है, अर्थात इसे कठोर शरीर के किसी भी बिंदु पर लागू किया जा सकता है।

आइए अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित जोड़ियों के योग पर विचार करें। आइए प्रमेय सिद्ध करें:

अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित जोड़े की एक प्रणाली एक जोड़े के बराबर होती है जिसका क्षण जोड़े की शर्तों के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

आइए दो जोड़े () और () लें, जो एक मनमाना कोण पर प्रतिच्छेद करने वाले विमानों पर स्थित हैं। आइए मान लें कि जोड़े के कंधे क्रमशः और के बराबर हैं। समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा पर, एक मनमाना खंड AB चिह्नित करें और प्रत्येक योग जोड़े को भुजा AB पर लाएँ। संगत बलों (चित्र देखें) c और c को जोड़ने पर, हमें एक नया जोड़ा () मिलता है, जिसका क्षण बराबर होगा

चित्र 2.18 बलों का परिणामी युग्म

किसी पिंड पर कार्य करने वाले बलों के जोड़े की एक प्रणाली, अभी सिद्ध प्रमेय के अनुसार, सारांश जोड़े के क्षण वैक्टर के योग के बराबर एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित की जा सकती है। नतीजतन, जोड़े की प्रणाली का संतुलन तभी संभव है जब शर्त पूरी हो

जोड़े के संतुलन के लिए कम वेक्टर स्थिति को किन्हीं तीन अक्षों पर प्रोजेक्ट करना जो एक ही विमान में नहीं हैं और एक दूसरे के समानांतर नहीं हैं, हम जोड़े की प्रणाली के संतुलन के लिए अदिश समीकरण प्राप्त करते हैं

§9 के अंत में निकाले गए निष्कर्षों की वैधता सीधे सिद्ध की जा सकती है।

आइए एक ठोस वस्तु पर कार्य करने वाले बलों F, F के एक युग्म पर विचार करें। आइए इस युग्म की क्रिया के तल में मनमाने बिंदुओं D और E से होकर दो समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें, जब तक कि वे बल F, F की क्रिया रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। बिंदु A और B पर (चित्र 34) और इन बिंदुओं पर बल F, F लागू करें (मूल रूप से F और F को उनकी कार्रवाई की रेखाओं पर किसी अन्य बिंदु पर लागू किया जा सकता था)। आइए अब दिशा AB और EB में बल F को बलों में विघटित करें - दिशा BA A और AD में बल Q और P में। यह स्पष्ट है कि बल Q और Q, संतुलित होने के कारण, त्यागे जा सकते हैं। परिणामस्वरूप, बलों F, F की जोड़ी को एक जोड़ी P, P द्वारा दूसरी भुजा और अन्य बलों से प्रतिस्थापित किया जाएगा जिन्हें स्पष्ट रूप से उनकी कार्रवाई की रेखाओं पर बिंदु D, E पर लागू किया जा सकता है। इसके अलावा, बिंदु D, E और रेखाओं AD और BE की दिशाओं के चुनाव में मनमानी के कारण, युग्म P, P अपनी क्रिया के तल में कहीं भी स्थित हो सकता है? वह स्थिति जिसमें बल P और P, F के समानांतर हैं, युग्म को दो बार संकेतित परिवर्तन करके लाया जा सकता है)।

आइए निष्कर्ष में दिखाएं कि जोड़ियों के क्षण समान हैं। आइए हम इन क्षणों को क्रमशः सूत्र के अनुसार निरूपित करें, तब से लेकिन (पृ. 32 पर फ़ुटनोट देखें) और, इसलिए,

जो सिद्ध हो चुका है, उससे बलों की एक जोड़ी के निम्नलिखित गुण सामने आते हैं:

1) युग्म, किसी ठोस वस्तु पर पड़ने वाले प्रभाव को बदले बिना, युग्म की क्रिया के तल में कहीं भी स्थानांतरित किया जा सकता है;

2) किसी दिए गए जोड़े के लिए, कठोर शरीर पर होने वाली क्रिया को बदले बिना, आप बल मॉड्यूल या भुजा की लंबाई को मनमाने ढंग से बदल सकते हैं, इसके क्षण को अपरिवर्तित रखते हुए।

यह साबित किया जा सकता है कि बलों की एक जोड़ी के पास एक और स्पष्ट संपत्ति है (हम सबूत छोड़ देते हैं):

3) एक जोड़ी, किसी ठोस पिंड पर होने वाली क्रिया को बदले बिना, किसी दिए गए विमान से इस विमान के समानांतर किसी अन्य विमान में स्थानांतरित की जा सकती है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समान आघूर्ण वाले बलों के दो जोड़े एक-दूसरे के समतुल्य होते हैं (जोड़ियों की तुल्यता पर प्रमेय)। यह इस तथ्य से पता चलता है कि संकेतित परिचालनों द्वारा, यानी, हाथ को बदलकर और जोड़ी को कार्रवाई के विमान में ले जाकर या इसे समानांतर विमान में स्थानांतरित करके, समान क्षणों वाले जोड़े को एक दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है।

आइए अब जोड़ों के योग पर प्रमेय को सिद्ध करें: एक बिल्कुल कठोर शरीर पर काम करने वाले जोड़ों की एक प्रणाली एक जोड़े के बराबर होती है जिसका क्षण योग जोड़े के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है।

आइए पहले हम समतल में स्थित क्षणों वाले दो युग्मों पर विचार करें (चित्र 35)। आइए समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा पर एक खंड लें और बलों द्वारा एक क्षण के साथ एक युग्म बनाएं और बलों द्वारा एक क्षण के साथ एक युग्म बनाएं (इस मामले में, निश्चित रूप से)।

बिंदु A और B पर लगाए गए बलों को जोड़कर, हम आश्वस्त हैं कि जोड़े वास्तव में एक जोड़े के बराबर हैं, और हम इस जोड़े का क्षण M ज्ञात करेंगे। तब से या सूत्र के अनुसार

दो युग्मों के लिए प्रमेय सिद्ध है; इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि प्रमाण उस स्थिति में भी मान्य होगा जब विमान और II विलीन हो जाते हैं (जोड़े की शर्तें एक ही विमान में होती हैं)।

यदि क्षणों के साथ युग्मों की एक प्रणाली किसी पिंड पर कार्य करती है, तो दो युग्मों के लिए प्राप्त परिणाम को क्रमिक रूप से लागू करने पर, हम पाते हैं कि युग्मों की यह प्रणाली वास्तव में एक क्षण के साथ एक युग्म के बराबर होगी

अंतरिक्ष में बलों के जोड़े की तुल्यता की स्थिति पर सिद्धांत। ड्राइंग के विमान के लंबवत प्रत्येक जोड़ी बलों के क्षण वेक्टर के बजाय, केवल उस दिशा को इंगित किया जाता है जिसमें बलों की जोड़ी इस विमान को घुमाती है।

अंतरिक्ष में बलों के जोड़े समतुल्य हैं यदि उनके क्षण ज्यामितीय रूप से समान हैं। एक कठोर पिंड पर बलों की एक जोड़ी की कार्रवाई को बदले बिना, बलों की एक जोड़ी को जोड़ी की कार्रवाई के विमान के समानांतर किसी भी विमान में स्थानांतरित किया जा सकता है, और इसके क्षण के मापांक और दिशा को ध्यान में रखते हुए इसके बलों और उत्तोलन को भी बदला जा सकता है। स्थिर। इस प्रकार, बलों की एक जोड़ी का क्षण वेक्टर किसी भी बिंदु पर स्थानांतरित किया जा सकता है, अर्थात, बलों की एक जोड़ी का क्षण एक मुक्त वेक्टर है। बलों की एक जोड़ी का क्षण वेक्टर इसके सभी तीन तत्वों का वर्णन करता है: जोड़ी की कार्रवाई के विमान की स्थिति, घूर्णन की दिशा और क्षण का संख्यात्मक मूल्य। आइए प्रतिच्छेदी तलों में स्थित बलों के दो युग्मों के योग को देखें और निम्नलिखित स्वयंसिद्ध को सिद्ध करें: बलों के घटक युग्मों के क्षणों का ज्यामितीय योग उनके समकक्ष युग्म के क्षणों के बराबर है। मान लीजिए कि संवेग वाले समतल I और II में स्थित बलों के दो युग्मों को जोड़ना आवश्यक है

चावल। 34 इन युग्मों की शक्तियों को परिमाण में समान होने के लिए चुना गया है

आइए इन जोड़ियों के कंधों को परिभाषित करें:

आइए हम बलों के इन युग्मों को इस तरह से व्यवस्थित करें कि बल केएल विमानों के चौराहे की पट्टी के साथ विपरीत दिशाओं में उन्मुख हों और संतुलित हों। शेष बल दिए गए दो बल युग्मों के बराबर एक बल युग्म बनाते हैं। बलों की इस जोड़ी में एक कंधा BC = d होता है और बलों की जोड़ी की कार्रवाई के तल पर एक क्षण लंबवत होता है, जो M = Pd के परिमाण के बराबर होता है।

घटक बल युग्मों के आघूर्णों का ज्यामितीय योग समतुल्य युग्म के आघूर्णों के बराबर होता है। क्योंकि बलों की एक जोड़ी का क्षण एक मुक्त वेक्टर है, आइए हम बलों के घटक जोड़े के क्षणों को बिंदु बी पर स्थानांतरित करें और उन्हें जोड़ें, इन क्षणों पर एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण करें। इस समांतर चतुर्भुज का विकर्ण

यह एक समतुल्य जोड़ी के क्षण का प्रतिनिधित्व करता है। इसका मतलब है कि वेक्टर, यानी, बलों के घटक जोड़े के क्षणों का ज्यामितीय योग, बलों की समतुल्य जोड़ी के क्षण के बराबर है:

बलों के युग्मों के आघूर्णों को जोड़ने की इस विधि को आघूर्ण समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है। क्षणों के समांतर चतुर्भुज के निर्माण को क्षणों के त्रिभुज के निर्माण से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

समांतर चतुर्भुज या आघूर्णों के त्रिभुज के निर्माण का उपयोग करके, आप व्युत्क्रम समस्या को भी हल कर सकते हैं, अर्थात, बलों के किसी भी जोड़े को दो घटकों में विघटित कर सकते हैं। मान लीजिए कि अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित बलों के कई जोड़े जोड़ना आवश्यक है (चित्र 35)। इन जोड़ियों के क्षण निर्धारित करके उन्हें स्थान के किसी भी बिंदु O पर स्थानांतरित किया जा सकता है। बलों के इन युग्मों के आघूर्णों को एक-एक करके जोड़कर, युग्मों के आघूर्णों का एक बहुभुज बनाना संभव है, जिसका समापन पक्ष बलों के समतुल्य युग्म के आघूर्ण को निर्धारित करेगा। (चित्र 35) 3 जोड़े जोड़ने पर एक क्षण बहुभुज का निर्माण दर्शाता है।

बलों के एक जोड़े का क्षण, अंतरिक्ष में बलों के जोड़े की दी गई प्रणाली के बराबर बल, बलों के घटक जोड़े के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर है:
या

किसी दिए गए बलों के जोड़े की कार्रवाई का तल I उसके क्षण की दिशा के लंबवत है

यदि बलों के तुल्य युग्म का आघूर्ण शून्य है, तो बलों के युग्म परस्पर संतुलित होते हैं:

इस प्रकार, अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित बलों के जोड़े के लिए संतुलन की स्थिति निम्नानुसार बनाई जा सकती है: अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित बलों के जोड़े इस मामले में पारस्परिक रूप से संतुलित होते हैं यदि उनके क्षणों का ज्यामितीय योग शून्य है। यदि बलों के जोड़े को एक ही विमान में रखा जाता है (चित्र 36), तो एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित बलों के इन जोड़ों के क्षणों को बीजगणितीय रूप से जोड़ा जाता है।

प्रमेय: एक विमान में बिल्कुल कठोर शरीर पर कार्य करने वाले बलों के जोड़े की एक प्रणाली, सिस्टम के जोड़े के क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर एक पल के साथ बलों की एक जोड़ी के बराबर होती है।

परिणामी युग्म बलों का एक युग्म है जो एक तल में किसी ठोस पिंड पर लागू बलों के इन युग्मों की क्रिया को प्रतिस्थापित करता है।

बलों के जोड़े की एक प्रणाली के संतुलन के लिए शर्त: बलों के जोड़े की एक समतल प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके क्षणों का योग 0 के बराबर हो।

एक बिंदु के बारे में बल का क्षण.

किसी बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण किसी दिए गए बिंदु के सापेक्ष बल के मापांक और उसके कंधे का उत्पाद होता है, जिसे प्लस या माइनस चिह्न के साथ लिया जाता है। किसी बिंदु के सापेक्ष बल की भुजा किसी दिए गए बिंदु से बल की क्रिया की रेखा पर खींचे गए लंबवत की लंबाई है। निम्नलिखित संकेत नियम को स्वीकार किया जाता है: किसी दिए गए बिंदु के बारे में बल का क्षण सकारात्मक होता है यदि बल इस बिंदु के चारों ओर शरीर को वामावर्त घुमाता है, और विपरीत स्थिति में नकारात्मक होता है। यदि किसी बल की क्रिया रेखा किसी निश्चित बिंदु से होकर गुजरती है, तो इस बिंदु के सापेक्ष बल का उत्तोलन और उसका क्षण शून्य के बराबर होता है। किसी बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण के गुण:

1. किसी दिए गए बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण तब नहीं बदलता है जब बल को उसकी क्रिया की रेखा के साथ स्थानांतरित किया जाता है, क्योंकि इस मामले में, न तो बल मापांक और न ही इसका उत्तोलन बदलता है।

2. किसी दिए गए बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण शून्य के बराबर होता है यदि बल की क्रिया की रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है, क्योंकि इस मामले में बल भुजा शून्य है: a=0

किसी बिंदु पर बल लाने पर पॉइंसॉट का प्रमेय।

एक बल को उसकी क्रिया की रेखा के समानांतर स्थानांतरित किया जा सकता है, इस मामले में, बल के मापांक के उत्पाद और जिस दूरी पर बल स्थानांतरित होता है, उसके बराबर क्षण के साथ बलों की एक जोड़ी जोड़ना आवश्यक है।

बल के समानांतर स्थानांतरण की क्रिया को बल को एक बिंदु पर लाना कहा जाता है, और परिणामी जोड़ी को संलग्न जोड़ी कहा जाता है।

विपरीत प्रभाव भी संभव है: एक बल और एक ही तल में पड़े बलों की एक जोड़ी को हमेशा किसी अन्य बिंदु पर उसकी प्रारंभिक दिशा के समानांतर स्थानांतरित किए गए दिए गए बल के बराबर एक बल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

दिया गया: एक बिंदु पर बल ए(चित्र 5.1)।

बिंदु पर जोड़ें मेंबलों की संतुलित प्रणाली (एफ"; एफ")।कुछ बल बनते हैं (एफ; एफ")।आइए बिंदु पर बल प्राप्त करें मेंऔर युग्म का क्षण m.

मनमाने ढंग से स्थित बलों की एक समतल प्रणाली को एक केंद्र में लाना। बलों की प्रणाली का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण।

बलों की एक मनमानी प्रणाली की कार्रवाई की रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, इसलिए, शरीर की स्थिति का आकलन करने के लिए, ऐसी प्रणाली को सरल बनाया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, सिस्टम की सभी ताकतों को एक मनमाने ढंग से चयनित बिंदु - कमी बिंदु (पीओ) पर स्थानांतरित कर दिया जाता है। पॉइंसॉट प्रमेय लागू करें. जब भी कोई बल किसी ऐसे बिंदु पर स्थानांतरित होता है जो उसकी क्रिया की रेखा पर नहीं है, तो कुछ बल जुड़ जाते हैं।

स्थानांतरण के दौरान जो जोड़े दिखाई देते हैं उन्हें संलग्न जोड़े कहा जाता है।

बिंदु O पर प्राप्त SSS को बल बहुभुज विधि के अनुसार मोड़ा जाता है और हमें बिंदु O पर एक बल प्राप्त होता है - यह मुख्य वेक्टर है।

बलों के संलग्न युग्मों की परिणामी प्रणाली को बलों की एक जोड़ी प्राप्त करने के लिए भी जोड़ा जा सकता है, जिसके क्षण को मुख्य क्षण कहा जाता है।

मुख्य वेक्टर बलों के ज्यामितीय योग के बराबर है। मुख्य क्षण बलों के संलग्न जोड़े के क्षणों के बीजगणितीय योग या कमी बिंदु के सापेक्ष मूल बलों के क्षणों के बराबर है।

बलों की समतल प्रणाली के मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण की परिभाषा और गुण।

मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण के गुण

1 मुख्य वेक्टर का परिमाण और दिशा न्यूनीकरण केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करती है, क्योंकि कमी के केंद्र पर, इन बलों से निर्मित बल बहुभुज समान होगा)

2. मुख्य क्षण का परिमाण और संकेत न्यूनीकरण केन्द्र के चुनाव पर निर्भर करता है, क्योंकि जब आकर्षण का केंद्र बदलता है, तो बलों के कंधे बदल जाते हैं, लेकिन उनके मॉड्यूल अपरिवर्तित रहते हैं।

3. बल प्रणाली का मुख्य वेक्टर और परिणाम वेक्टर रूप से बराबर हैं, लेकिन सामान्य स्थिति में वे समकक्ष नहीं हैं, क्योंकि अभी भी एक क्षण है

4. मुख्य वेक्टर और परिणामी केवल विशेष स्थिति में समतुल्य होते हैं जब सिस्टम का मुख्य क्षण शून्य के बराबर होता है, और यह उस स्थिति में होता है जब कमी का केंद्र परिणामी की क्रिया की रेखा पर होता है

बलों की एक समतल प्रणाली पर विचार करें ( एफ 1 ,एफ 2 , ...,एफ n), ऑक्सी समन्वय तल में एक ठोस वस्तु पर कार्य करता है।

बल प्रणाली का मुख्य सदिशवेक्टर कहा जाता है आर, इन बलों के वेक्टर योग के बराबर:

आर = एफ 1 + एफ 2 + ... + एफएन= एफमैं।

बलों की एक समतल प्रणाली के लिए, इसका मुख्य वेक्टर इन बलों की कार्रवाई के तल में निहित होता है।

बलों की प्रणाली का मुख्य बिंदुकेंद्र O के सापेक्ष को सदिश कहा जाता है एल O, बिंदु O के सापेक्ष इन बलों के सदिश क्षणों के योग के बराबर:

एलओ= एमहे( एफ 1) +एमहे( एफ 2) + ... +एमहे( एफएन)= एमहे( एफमैं)।

वेक्टर आरकेंद्र O और वेक्टर की पसंद पर निर्भर नहीं करता है एलजब केंद्र की स्थिति बदलती है, तो O आमतौर पर बदल सकता है।

बलों की एक समतल प्रणाली के लिए, एक वेक्टर मुख्य क्षण के बजाय, एक बीजगणितीय मुख्य क्षण की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय मुख्य बिंदुकेंद्र O के सापेक्ष बलों की एक समतल प्रणाली का L O, बलों की क्रिया के तल में स्थित होता है, जिसे बीजगणितीय आघूर्णों का योग कहा जाता है उहकेंद्र O के सापेक्ष शांत बल।

मुख्य वेक्टर और बलों की एक समतल प्रणाली के मुख्य क्षण की गणना आमतौर पर विश्लेषणात्मक तरीकों से की जाती है।

तीन गैर-समानांतर बलों का प्रमेय

एक ही तल में स्थित तीन गैर-समानान्तर परस्पर संतुलनकारी बलों की कार्य रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए एक ही तल में पड़े तीन गैर-समानांतर परस्पर संतुलित बल P 1 P 2 P 3 (वेक्टर वाले सभी P) एक ठोस पिंड पर बिंदु A 1, A 2, A 3 (चित्र 5) पर लगाए जाते हैं। आइए हम बलों पी 1 पी 2 को उनकी कार्रवाई की रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु ओ पर स्थानांतरित करें और परिणामी आर ढूंढें, जो उसी बिंदु पर लागू किया जाएगा। बल पी 3, बलों पी 1 पी 2 की प्रणाली का एक संतुलन बल होने के नाते, उनके परिणामी आर के परिमाण के बराबर है और विपरीत दिशा में इसकी कार्रवाई की रेखा के साथ निर्देशित है। नतीजतन, बल पी 3 की कार्रवाई की रेखा बिंदु ओ से होकर गुजरती है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

कुछ बल. बल युग्म के गुण

विपरीत दिशाओं में निर्देशित और एक ही सीधी रेखा पर न स्थित समान परिमाण के दो समानांतर बलों की प्रणाली को बलों की एक जोड़ी कहा जाता है। वह तल जिसमें बलों के युग्म की क्रिया रेखा स्थित होती है, बलों के युग्म की क्रिया का तल कहलाता है। जोड़ी बनाने वाली ताकतों को छोड़कर किन्हीं दो ताकतों को एक परिणामी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। बलों की एक जोड़ी का कोई परिणाम नहीं होता है और किसी भी तरह से बलों की एक जोड़ी को एक समकक्ष बल में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। बलों की एक जोड़ी उस कठोर पिंड के घूर्णन को उत्पन्न करती है जिस पर इसे लागू किया जाता है। पारा बल के समान ही स्वतंत्र सरल यांत्रिक तत्व है। युग्म बनाने वाली बलों की रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी को युग्म भुजा d कहा जाता है। शरीर पर जोड़े की क्रिया को शरीर को घुमाने की प्रवृत्ति वाले एक क्षण की विशेषता होती है। एक जोड़ी और उसके कंधे की ताकतों में से एक के मापांक के उत्पाद को जोड़ी का क्षण कहा जाता है और इसे एम = पी डी दर्शाया जाता है।

बलों की एक जोड़ी का क्षण एक वेक्टर (छवि 6) द्वारा दर्शाया गया है। बलों की एक जोड़ी का क्षण वेक्टर इस तरह की दिशा में बलों की जोड़ी की कार्रवाई के विमान के लंबवत निर्देशित होता है, इस वेक्टर की ओर देखने पर, कोई भी बलों की एक जोड़ी को अपनी कार्रवाई के विमान को दिशा में घुमाने के लिए देख सकता है दक्षिणावर्त घुमाव के विपरीत।

इसके अलावा, यदि बलों का एक जोड़ा शरीर को वामावर्त घुमाता है, तो ऐसे जोड़े का क्षण सकारात्मक माना जाता है, यदि दक्षिणावर्त, तो क्षण नकारात्मक माना जाता है।

जोड़ियों के गुण

शरीर पर क्रिया को बदले बिना, कुछ बल हो सकते हैं:

1. इच्छानुसार इसके तल में घूमें;

2. इस जोड़ी की कार्रवाई के विमान के समानांतर किसी भी विमान में स्थानांतरण;

3. बल के मापांक और युग्म की भुजा को बदलें, लेकिन इतना कि इसका क्षण (अर्थात्, बल के मापांक और भुजा का गुणनफल) और घूर्णन की दिशा अपरिवर्तित रहे;

4. किसी भी अक्ष पर युग्म बनाने वाले बलों के प्रक्षेपण का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर है;

5. किसी भी बिंदु के सापेक्ष युग्म बनाने वाले बलों के आघूर्णों का बीजगणितीय योग स्थिर और युग्म के आघूर्ण के बराबर होता है।

बलों के जोड़े की तुल्यता के लिए शर्त. बल युग्मों का जोड़.

अंतरिक्ष में बलों के जोड़े समतुल्य हैं यदि उनके क्षण ज्यामितीय रूप से समान हैं। उपरोक्त प्रमेयों से यह निष्कर्ष निकलता है कि, किसी ठोस पिंड पर बलों की एक जोड़ी की कार्रवाई को बदले बिना, बलों की एक जोड़ी को उसकी कार्रवाई के विमान के समानांतर किसी भी विमान में स्थानांतरित किया जा सकता है, साथ ही साथ उसके बलों और उत्तोलन को भी बदला जा सकता है। इसके क्षण का मापांक और दिशा अपरिवर्तित रहती है। इस प्रकार, बलों की एक जोड़ी के क्षण वेक्टर को किसी भी बिंदु पर स्थानांतरित किया जा सकता है, अर्थात। कुछ बलों का क्षण एक मुक्त वेक्टर है। बलों की एक जोड़ी का क्षण वेक्टर इसके तीनों तत्वों को निर्धारित करता है: जोड़ी की कार्रवाई के विमान की स्थिति, घूर्णन की दिशा और क्षण का संख्यात्मक मूल्य।

बल युग्मों का योग:

घटक बल युग्मों के आघूर्णों का ज्यामितीय योग उनके समकक्ष युग्म के आघूर्णों के बराबर होता है।

बलों के युग्मों के आघूर्णों को जोड़ने के स्थापित नियम को आघूर्ण समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है। क्षणों के समांतर चतुर्भुज के निर्माण को क्षणों के त्रिभुज के निर्माण से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। समांतर चतुर्भुज या आघूर्णों के त्रिभुज के निर्माण का उपयोग करके, आप व्युत्क्रम समस्या को भी हल कर सकते हैं, अर्थात। बलों के किसी भी जोड़े को दो घटकों में विघटित करें।

मान लीजिए कि हमें अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित बलों के कई जोड़े जोड़ने की जरूरत है। इन जोड़ियों के क्षण निर्धारित करने के बाद, उन्हें अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु O पर स्थानांतरित किया जा सकता है। बलों के इन युग्मों के आघूर्णों को क्रमिक रूप से जोड़कर, युग्मों के आघूर्णों का एक बहुभुज बनाना संभव है, जिसका समापन पक्ष बलों के समतुल्य युग्म के आघूर्ण को निर्धारित करेगा (चित्र 7)।

अंतरिक्ष में बल जोड़े की दी गई प्रणाली के बराबर बलों की एक जोड़ी का क्षण घटक बल जोड़े के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर है

इस प्रकार, अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित बलों के जोड़े पारस्परिक रूप से संतुलित (संतुलन में) होते हैं यदि उनके क्षणों का ज्यामितीय योग शून्य के बराबर है।

एक ही तल या समानांतर तल में स्थित युग्मों की एक प्रणाली एक परिणामी युग्म M के बराबर होती है, जिसका आघूर्ण युग्मों के पदों के आघूर्णों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, अर्थात।

युग्मों की एक समतल प्रणाली संतुलन में होती है यदि सभी युग्मों के आघूर्णों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर हो, अर्थात