जहाँ तक संचार के कार्यों (लैटिन फ़ंक्शियो से - निष्पादन, कार्यान्वयन) का सवाल है, उनका मतलब संचार के गुणों की बाहरी अभिव्यक्ति, भूमिकाएँ और कार्य हैं जो यह समाज में किसी व्यक्ति के जीवन की प्रक्रिया में करता है।
संचार कार्यों के वर्गीकरण के लिए विभिन्न दृष्टिकोण हैं। कुछ शोधकर्ता संचार को समग्र रूप से समाज के जीवन और लोगों के सीधे संपर्क और व्यक्ति के आंतरिक आध्यात्मिक जीवन के साथ इसकी जैविक एकता के संदर्भ में मानते हैं।
सूचीबद्ध कार्य, उनकी अभिन्न प्रकृति को ध्यान में रखते हुए, वे कारक हैं जो किसी व्यक्ति के लिए केवल सूचना प्रसारित करने की तुलना में संचार की कहीं अधिक महत्वपूर्ण भूमिका दर्शाते हैं। और इन अभिन्न कार्यों का ज्ञान जो संचार व्यक्तिगत मानव विकास की प्रक्रिया में करता है, विचलन के कारणों, बातचीत की प्रक्रिया में व्यवधान, दोषपूर्ण संरचना और संचार के रूप की पहचान करना संभव बनाता है जिसमें एक व्यक्ति अपने पूरे जीवन में शामिल रहा है। अतीत में किसी व्यक्ति के संचार के तरीकों की अपर्याप्तता उसके व्यक्तिगत विकास को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है और आज उसके सामने आने वाली समस्याओं को निर्धारित करती है।
निम्नलिखित कार्य प्रतिष्ठित हैं:
संचार मानव सार के अस्तित्व और अभिव्यक्ति का एक रूप है, यह लोगों की सामूहिक गतिविधियों में एक संचारी और जोड़ने वाली भूमिका निभाता है;
किसी व्यक्ति की सबसे महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण आवश्यकता का प्रतिनिधित्व करता है, उसके समृद्ध अस्तित्व के लिए एक शर्त, किसी भी उम्र के व्यक्ति के जीवन में एक मनोचिकित्सीय, पुष्टिकरण अर्थ (किसी अन्य व्यक्ति द्वारा अपने स्वयं के "मैं" की पुष्टि) करता है।
शोधकर्ताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा लोगों द्वारा सूचनाओं के आदान-प्रदान, बातचीत और एक-दूसरे की धारणा से संबंधित संचार के कार्यों पर प्रकाश डालता है।
इस प्रकार, बी. लोमोव संचार में तीन कार्यों की पहचान करते हैं: सूचना-संचारी (सूचना के किसी भी आदान-प्रदान में शामिल), नियामक-संचारी (व्यवहार का विनियमन और बातचीत की प्रक्रिया में संयुक्त गतिविधियों का विनियमन, और भावात्मक-संचारी (भावनात्मक का विनियमन) किसी व्यक्ति का क्षेत्र.
सूचना और संचार कार्य सूचना उत्पन्न करने, संचारित करने और प्राप्त करने की प्रक्रियाओं को कवर करता है; इसके कार्यान्वयन में कई स्तर होते हैं: पहले स्तर पर, मनोवैज्ञानिक संपर्क में आने वाले लोगों की प्रारंभिक जागरूकता में अंतर को बराबर किया जाता है; दूसरे स्तर में सूचना का हस्तांतरण और निर्णय लेना शामिल है (यहां संचार सूचना, प्रशिक्षण आदि के लक्ष्यों को साकार करता है); तीसरा स्तर किसी व्यक्ति की दूसरों को समझने की इच्छा से जुड़ा है (प्राप्त परिणामों का आकलन करने के उद्देश्य से संचार)।
दूसरा कार्य - नियामक-संचारात्मक - व्यवहार को विनियमित करना है। संचार के लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति न केवल अपने व्यवहार को, बल्कि अन्य लोगों के व्यवहार को भी नियंत्रित करता है और उनके कार्यों पर प्रतिक्रिया करता है, अर्थात कार्यों के पारस्परिक समायोजन की प्रक्रिया होती है।
ऐसी परिस्थितियों में, संयुक्त गतिविधि की विशेषता वाली घटनाएं सामने आती हैं, विशेष रूप से, लोगों की अनुकूलता, उनकी टीम वर्क, आपसी उत्तेजना और व्यवहार में सुधार किया जाता है। यह कार्य अनुकरण, सुझाव आदि जैसी घटनाओं द्वारा किया जाता है।
तीसरा कार्य - भावात्मक-संचारी - किसी व्यक्ति के भावनात्मक क्षेत्र की विशेषता है, जिसमें व्यक्ति का दृष्टिकोण पर्यावरण, सामाजिक सहित।
आप एक और दे सकते हैं, पिछले के समान थोड़ा, वर्गीकरण - एक चार-तत्व मॉडल (ए। रीन), जिसमें संचार बनता है: संज्ञानात्मक-सूचनात्मक (सूचना का स्वागत और प्रसारण), नियामक-व्यवहार (की विशेषताओं पर ध्यान केंद्रित करता है) विषयों का व्यवहार, उनके कार्यों के पारस्परिक विनियमन पर), प्रभावशाली-सहानुभूति (भावनात्मक स्तर पर आदान-प्रदान और विनियमन की प्रक्रिया के रूप में संचार का वर्णन करता है) और सामाजिक-अवधारणात्मक घटक (विषयों की पारस्परिक धारणा, समझ और संज्ञान की प्रक्रिया) .
कई शोधकर्ता संचार कार्यों को स्पष्ट करके उनकी संख्या का विस्तार करने का प्रयास कर रहे हैं। विशेष रूप से, ए. ब्रुडनी प्रबंधन और सहयोग की प्रक्रिया में सूचना के आदान-प्रदान के लिए आवश्यक वाद्य कार्य को अलग करते हैं; सिंडिकेटिव, जो छोटे और बड़े समूहों के सामंजस्य में परिलक्षित होता है; अनुवादात्मक, प्रशिक्षण के लिए आवश्यक, ज्ञान का हस्तांतरण, गतिविधि के तरीके, मूल्यांकन मानदंड; आत्म-अभिव्यक्ति का कार्य, आपसी समझ खोजने और प्राप्त करने पर केंद्रित है।
एल. कारपेंको, "संचार के लक्ष्य" मानदंड के अनुसार, आठ और कार्यों की पहचान करते हैं जो किसी भी इंटरैक्शन प्रक्रिया में लागू होते हैं और इसमें कुछ लक्ष्यों की उपलब्धि सुनिश्चित करते हैं:
संपर्क - संदेशों को प्राप्त करने और प्रसारित करने और निरंतर पारस्परिक अभिविन्यास के रूप में बातचीत के दौरान संचार बनाए रखने के लिए पारस्परिक तत्परता की स्थिति के रूप में संपर्क स्थापित करना;
सूचनात्मक - संदेशों का आदान-प्रदान (सूचना, राय, निर्णय, योजनाएँ, राज्य), अर्थात्। रिसेप्शन - किसी भागीदार से प्राप्त अनुरोध के जवाब में किस डेटा का प्रसारण;
प्रोत्साहन - संचार भागीदार की गतिविधि को उत्तेजित करना, जो उसे कुछ कार्य करने के लिए निर्देशित करता है;
समन्वय - संयुक्त गतिविधियों को व्यवस्थित करने के लिए कार्यों का पारस्परिक अभिविन्यास और समन्वय;
समझ - न केवल संदेश के सार की पर्याप्त धारणा और समझ, बल्कि भागीदारों की एक-दूसरे की समझ भी;
प्रेरक - एक संचार भागीदार से आवश्यक भावनात्मक अनुभवों और स्थितियों को प्रेरित करना, उसकी मदद से अपने स्वयं के अनुभवों और स्थितियों को बदलना;
संबंध स्थापित करना - भूमिका, स्थिति, व्यवसाय, पारस्परिक और अन्य कनेक्शनों की प्रणाली में किसी के स्थान के बारे में जागरूकता और निर्धारण जिसमें व्यक्ति कार्य करेगा;
प्रभाव का कार्यान्वयन - साथी की स्थिति, व्यवहार, व्यक्तिगत और सार्थक संरचनाओं में बदलाव (आकांक्षाएं, राय, निर्णय, कार्य, गतिविधि की आवश्यकताएं, मानदंड और व्यवहार के मानक, आदि)।
संचार के कार्यों में वैज्ञानिक सामाजिक कार्यों पर भी प्रकाश डालते हैं। मुख्य एक सामाजिक और श्रम प्रक्रियाओं के प्रबंधन से संबंधित है, दूसरा मानवीय संबंधों की स्थापना से संबंधित है।
समुदाय का गठन संचार का एक अन्य कार्य है, जिसका उद्देश्य समूहों में सामाजिक-मनोवैज्ञानिक एकता का समर्थन करना है और संचार गतिविधियों से जुड़ा है (गतिविधि का सार समूहों में लोगों के बीच एक विशिष्ट संबंध बनाने और बनाए रखने में है); लोगों के बीच ज्ञान, रिश्तों और भावनाओं के आदान-प्रदान के लिए, यानी। इसका लक्ष्य व्यक्ति द्वारा सामाजिक अनुभव को प्रसारित करना और समझना है। संचार के सामाजिक कार्यों में, अनुभव की नकल और व्यक्तित्व परिवर्तन के कार्य महत्वपूर्ण हैं (बाद वाला धारणा, नकल, अनुनय, संक्रमण के तंत्र के आधार पर किया जाता है)।
सामाजिक-राजनीतिक गतिविधि की बारीकियों का अध्ययन हमें ज्ञान के इस क्षेत्र में संचार के निम्नलिखित मुख्य कार्यों की पहचान करने की अनुमति देता है (ए. डर्कच, एन. कुज़मीना):
सामाजिक-मनोवैज्ञानिक प्रतिबिंब. संचार अंतःक्रिया के पाठ्यक्रम की विशिष्टताओं के भागीदारों द्वारा सचेत प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप और एक रूप के रूप में उत्पन्न होता है। इस प्रतिबिंब की सामाजिक-मनोवैज्ञानिक प्रकृति इस तथ्य में प्रकट होती है कि, सबसे पहले, भाषाई और सिग्नलिंग के अन्य रूपों के माध्यम से, किसी व्यक्ति द्वारा समझी और संसाधित की जाने वाली बातचीत की स्थिति के तत्व उसके भागीदारों के लिए वास्तव में मान्य हो जाते हैं। संचार सूचनाओं का आदान-प्रदान कम और संयुक्त अंतःक्रिया और प्रभाव की प्रक्रिया अधिक बन जाता है। इस पारस्परिक प्रभाव की प्रकृति के आधार पर, "व्यक्तिगत" प्रदर्शन के वास्तविक और मात्रात्मक पहलुओं का समन्वय, स्पष्टीकरण, पारस्परिक पूरकता समूह विचार के गठन के साथ होती है, लोगों की सामूहिक सोच के रूप में, या, इसके विपरीत, एक टकराव राय का, उनका निराकरण, रोकथाम, जैसा कि पारस्परिक संघर्षों और अपर्याप्त पारस्परिक प्रभावों (संचार की समाप्ति) में होता है;
नियामक. संचार की प्रक्रिया में, समूह के सदस्य पर उसके व्यवहार, कार्यों, स्थिति, सामान्य गतिविधि, धारणा की विशेषताओं, मूल्य प्रणाली और संबंधों को समान स्तर पर बदलने या बनाए रखने के लिए प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष प्रभाव डाला जाता है। नियामक फ़ंक्शन आपको संयुक्त कार्यों को व्यवस्थित करने, योजना बनाने और समन्वय करने, टीम के सदस्यों के समूह इंटरैक्शन को समन्वयित और अनुकूलित करने की अनुमति देता है। व्यवहार और गतिविधि का विनियमन वस्तुनिष्ठ गतिविधि और उसके अंतिम परिणाम के एक घटक के रूप में पारस्परिक संचार का लक्ष्य है। यह संचार के इस महत्वपूर्ण कार्य का कार्यान्वयन है जो हमें संचार के प्रभाव, इसकी उत्पादकता या अनुत्पादकता का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है;
संज्ञानात्मक। नामित फ़ंक्शन यह है कि संयुक्त गतिविधियों के दौरान व्यवस्थित संपर्कों के परिणामस्वरूप, समूह के सदस्य अपने बारे में, अपने दोस्तों के बारे में विभिन्न ज्ञान प्राप्त करते हैं और उन्हें सौंपे गए कार्यों को सबसे तर्कसंगत रूप से हल करने के तरीके प्राप्त करते हैं। प्रासंगिक कौशल और क्षमताओं में महारत हासिल करने से, व्यक्तिगत समूह के सदस्यों के अपर्याप्त ज्ञान की भरपाई करना संभव है और सामाजिक-मनोवैज्ञानिक प्रतिबिंब के कार्य के साथ संयोजन में संचार के संज्ञानात्मक कार्य द्वारा आवश्यक आपसी समझ की उनकी उपलब्धि सुनिश्चित की जाती है;
अभिव्यंजक। मौखिक और अशाब्दिक संचार के विभिन्न रूप संकेतक हैं भावनात्मक स्थितिऔर समूह के सदस्य के अनुभव, अक्सर संयुक्त गतिविधि के तर्क और आवश्यकताओं के विपरीत होते हैं। यह समूह के किसी अन्य सदस्य से अपील के माध्यम से जो हो रहा है उसके प्रति उसके दृष्टिकोण की एक तरह की अभिव्यक्ति है। कभी-कभी भावनात्मक विनियमन के तरीकों में विसंगति भागीदारों के अलगाव, उनके पारस्परिक संबंधों में व्यवधान और यहां तक कि संघर्ष का कारण बन सकती है;
सामाजिक नियंत्रण. समस्याओं को हल करने के तरीके, व्यवहार के कुछ रूप, भावनात्मक प्रतिक्रियाएं और रिश्ते प्रकृति में मानक हैं, समूह और सामाजिक मानदंडों के माध्यम से उनका विनियमन टीम की आवश्यक अखंडता और संगठन, संयुक्त कार्यों की स्थिरता सुनिश्चित करता है। समूह गतिविधियों में स्थिरता और संगठन बनाए रखने के लिए उपयोग किया जाता है विभिन्न आकारसामाजिक नियंत्रण. पारस्परिक संचार मुख्य रूप से नकारात्मक (निंदा) या सकारात्मक (अनुमोदन) प्रतिबंधों के रूप में कार्य करता है। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संयुक्त गतिविधियों में भाग लेने वालों द्वारा न केवल अनुमोदन या निंदा को सजा या इनाम के रूप में माना जाता है। अक्सर, संचार की कमी को किसी न किसी मंजूरी के रूप में देखा जा सकता है;
समाजीकरण. यह फ़ंक्शन गतिविधि के विषयों के कार्य में सबसे महत्वपूर्ण में से एक है। संयुक्त गतिविधियों और संचार में संलग्न होकर, समूह के सदस्य संचार कौशल में महारत हासिल करते हैं, जो उन्हें अन्य लोगों के साथ प्रभावी ढंग से बातचीत करने की अनुमति देता है। यद्यपि वार्ताकार का तुरंत आकलन करने, संचार और बातचीत की स्थितियों को नेविगेट करने, सुनने और बोलने की क्षमता किसी व्यक्ति के पारस्परिक अनुकूलन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, समूह के हित में कार्य करने की क्षमता, दूसरे समूह के प्रति मैत्रीपूर्ण, रुचिपूर्ण और धैर्यवान रवैया रखती है। सदस्य और भी अधिक महत्वपूर्ण हैं.
व्यावसायिक संबंधों के क्षेत्र में संचार की विशेषताओं का विश्लेषण भी इसकी बहुक्रियाशीलता को इंगित करता है (ए. पैन्फिलोवा, ई. रुडेन्स्की):
वाद्य कार्य संचार को एक सामाजिक नियंत्रण तंत्र के रूप में दर्शाता है, जो एक निश्चित कार्रवाई करने, निर्णय लेने आदि के लिए आवश्यक जानकारी प्राप्त करना और प्रसारित करना संभव बनाता है;
एकीकृत - संयुक्त संचार प्रक्रिया के लिए व्यापार भागीदारों को एकजुट करने के साधन के रूप में उपयोग किया जाता है;
आत्म-अभिव्यक्ति का कार्य स्वयं को मुखर करने, व्यक्तिगत बुद्धिमत्ता और मनोवैज्ञानिक क्षमता को प्रदर्शित करने में मदद करता है;
प्रसारण - गतिविधि, आकलन, राय आदि के विशिष्ट तरीकों को संप्रेषित करने का कार्य करता है;
सामाजिक नियंत्रण का कार्य व्यवहार, गतिविधि और कभी-कभी (कब) को विनियमित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है हम बात कर रहे हैंव्यापार रहस्यों पर) और व्यापार संपर्क में प्रतिभागियों की भाषाई क्रियाएं;
समाजीकरण समारोह सांस्कृतिक कौशल के विकास में योगदान देता है व्यावसायिक संपर्क; अभिव्यंजक कार्य की सहायता से, व्यावसायिक भागीदार एक-दूसरे के भावनात्मक अनुभवों को व्यक्त करने और समझने का प्रयास करते हैं।
वी. पैन्फेरोव का मानना है कि संचार के मुख्य कार्यों को अक्सर संयुक्त जीवन गतिविधियों में अन्य लोगों के साथ बातचीत के विषय के रूप में किसी व्यक्ति के कार्यों के विश्लेषण का सहारा लिए बिना चित्रित किया जाता है, जिससे उनके वर्गीकरण के उद्देश्य आधार का नुकसान होता है। बी लोमोव द्वारा प्रस्तावित संचार कार्यों के वर्गीकरण का विश्लेषण करते हुए, शोधकर्ता ने सवाल उठाया: “क्या कार्यों की श्रृंखला उनकी संख्या के संदर्भ में संपूर्ण है? ऐसी कितनी पंक्तियाँ हो सकती हैं? हम किस मुख्य वर्गीकरण के बारे में बात कर सकते हैं? विभिन्न आधार एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं?
इस अवसर का लाभ उठाते हुए, आइए हम याद करें कि बी. लोमोव ने संचार के कार्यों की दो श्रृंखलाओं की पहचान की कई कारण. उनमें से पहले में पहले से ही ज्ञात कार्यों के तीन वर्ग शामिल हैं - सूचना-संचार, नियामक-संचार और भावात्मक-संचार, और दूसरा (आधारों की एक अलग प्रणाली के अनुसार) - संयुक्त गतिविधियों के संगठन, एक-दूसरे के बारे में लोगों के ज्ञान को शामिल करता है। पारस्परिक संबंधों का निर्माण और विकास।
पहले प्रश्न का उत्तर देते हुए, वी. पैन्फेरोव ने संचार के मुख्य कार्यों में से छह की पहचान की: संचारी, सूचनात्मक, संज्ञानात्मक (संज्ञानात्मक), भावनात्मक (वह जो भावनात्मक अनुभवों का कारण बनता है), शंकुधारी (विनियमन, बातचीत का समन्वय), रचनात्मक (परिवर्तनकारी)।
उपरोक्त सभी कार्य संचार के एक मुख्य कार्य - नियामक में बदल जाते हैं, जो किसी व्यक्ति की अन्य लोगों के साथ बातचीत में प्रकट होता है। और इस अर्थ में, संचार उनकी संयुक्त गतिविधियों में लोगों के व्यवहार के सामाजिक-मनोवैज्ञानिक विनियमन का एक तंत्र है। शोधकर्ता के अनुसार, पहचाने गए कार्यों को किसी व्यक्ति के अन्य सभी कार्यों को संचार के विषय के रूप में वर्गीकृत करने के आधारों में से एक माना जाना चाहिए।
- व्याख्यान संख्या 1. सेट और उन पर संचालन।
- व्याख्यान संख्या 2. पत्राचार और कार्य।
- व्याख्यान संख्या 3. संबंध और उनके गुण।
- व्याख्यान संख्या 4. रिश्तों के मूल प्रकार।
- व्याख्यान संख्या 5. सामान्य बीजगणित के तत्व।
- व्याख्यान संख्या 6. विभिन्न प्रकारबीजगणितीय संरचनाएँ।
- व्याख्यान संख्या 7. गणितीय तर्क के तत्व।
- व्याख्यान संख्या 8. तार्किक कार्य।
- व्याख्यान संख्या 9. बूलियन बीजगणित।
- व्याख्यान संख्या 10. बूलियन बीजगणित और सेट सिद्धांत।
- व्याख्यान संख्या 11. पूर्णता और समापन।
- व्याख्यान संख्या 12. विधेय तर्क की भाषा।
- व्याख्यान संख्या 13. कॉम्बिनेटरिक्स।
- व्याख्यान संख्या 14. ग्राफ़: बुनियादी अवधारणाएँ और संचालन।
- व्याख्यान संख्या 15. मार्ग, श्रृंखलाएँ और लूप।
- व्याख्यान संख्या 16. ग्राफ़ के कुछ वर्ग और उनके भाग।
खंड I. सेट, कार्य, संबंध।
व्याख्यान संख्या 2. पत्राचार और कार्य।
1. माचिस.
परिभाषा। सेट ए और बी के बीच पत्राचार उनके कार्टेशियन उत्पाद का एक निश्चित उपसमुच्चय जी है:।
यदि, तो वे कहते हैं कि संगत जब संगत है। इस मामले में, ऐसे सभी मूल्यों के सेट को पत्राचार की परिभाषा का डोमेन कहा जाता है, और संबंधित मूल्यों के सेट को पत्राचार के मूल्यों का डोमेन कहा जाता है।
स्वीकृत संकेतन में, किसी दिए गए तत्व के अनुरूप प्रत्येक तत्व को कहा जाता है रास्ताइसके अनुरूप होने पर, इसके विपरीत, तत्व को कहा जाता है प्रोटोटाइपकिसी दिए गए पत्राचार के लिए तत्व।
अनुपालन कहा जाता है पूरी तरह से परिभाषित, यदि , अर्थात्, सेट के प्रत्येक तत्व की सेट में कम से कम एक छवि है; अन्यथा मैच बुलाया जाता है आंशिक.
अनुपालन कहा जाता है विशेषण, यदि, अर्थात, यदि सेट का प्रत्येक तत्व सेट में कम से कम एक प्रीइमेज से मेल खाता है।
अनुपालन कहा जाता है कार्यात्मक (स्पष्ट),यदि सेट का कोई भी तत्व सेट के किसी एक तत्व से मेल खाता है।
अनुपालन कहा जाता है इंजेक्शन, यदि यह कार्यात्मक है, और सेट के प्रत्येक तत्व में अधिकतम एक उलटा छवि है।
अनुपालन कहा जाता है एक-से-एक (विशेषण),यदि सेट का कोई भी तत्व सेट के किसी एक तत्व से मेल खाता है, और इसके विपरीत। हम यह भी कह सकते हैं कि एक पत्राचार एक-से-एक है यदि यह पूरी तरह से परिभाषित, विशेषण, कार्यात्मक है, और सेट के प्रत्येक तत्व का एक ही प्रोटोटाइप है।
उदाहरण 1.
ए) अंग्रेजी-रूसी शब्दकोशरूसी में शब्दों के सेट के बीच पत्राचार स्थापित करता है और अंग्रेजी भाषा. यह कार्यात्मक नहीं है, क्योंकि लगभग हर रूसी शब्द कई से मेल खाता है अंग्रेजी अनुवाद; यह भी, एक नियम के रूप में, पूरी तरह से परिभाषित पत्राचार नहीं है, क्योंकि हमेशा होते हैं अंग्रेजी शब्द, इस शब्दकोश में शामिल नहीं है। तो यह आंशिक मिलान है.
बी) किसी फ़ंक्शन के तर्कों और उस फ़ंक्शन के मानों के बीच पत्राचार कार्यात्मक है। हालाँकि, यह एक-से-एक नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन का प्रत्येक मान दो व्युत्क्रम छवियों से मेल खाता है और।
ग) शतरंज की बिसात पर स्थित मोहरों और उनके कब्जे वाले क्षेत्र के बीच पत्राचार एक-से-एक है।
डी) व्याज़मा शहर के टेलीफोन और उनके पांच अंकों के नंबरों के बीच पत्राचार में, पहली नज़र में, एक-से-एक पत्राचार के सभी गुण हैं। हालाँकि, उदाहरण के लिए, यह विशेषण नहीं है, क्योंकि पाँच अंकों की संख्याएँ हैं जो किसी भी टेलीफोन से मेल नहीं खाती हैं।
2. एक-से-एक पत्राचार और सेट की शक्तियां।
यदि दो परिमित सेट ए और बी के बीच एक-से-एक पत्राचार है, तो ये सेट समान कार्डिनलिटी के हैं। यह स्पष्ट तथ्य, सबसे पहले, इन सेटों की गणना किए बिना उनकी कार्डिनैलिटी की समानता स्थापित करने की अनुमति देता है। दूसरे, किसी सेट की कार्डिनैलिटी की गणना उस सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार स्थापित करके करना अक्सर संभव होता है जिसकी कार्डिनैलिटी ज्ञात हो या आसानी से गणना की जा सकती हो।
प्रमेय 2.1.यदि एक परिमित समुच्चय की प्रमुखता एके बराबर है, तो सभी उपसमुच्चय की संख्या एबराबर, अर्थात्।
समुच्चय M के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय को कहा जाता है बूलियनऔर नामित किया गया है. परिमित समुच्चयों के लिए निम्नलिखित बातें मान्य हैं: .
परिभाषा। सेट एऔर मेंसमतुल्य कहलाते हैं यदि उनके तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सके।
ध्यान दें कि परिमित समुच्चयों के लिए इस कथन को सिद्ध करना आसान है। अनंत सेटों के लिए, यह समान कार्डिनैलिटी की अवधारणा को निर्धारित करेगा।
परिभाषा। अनेक एइसे गणनीय कहा जाता है यदि यह प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बराबर है:।
बहुत सरल तरीके से, हम कह सकते हैं कि एक दिया गया अनंत सेट गणनीय है यदि उसके तत्वों को प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके क्रमांकित किया जा सकता है।
बिना प्रमाण के हम श्रृंखला को स्वीकार करते हैं महत्वपूर्ण तथ्य:
1. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का कोई भी अनंत उपसमुच्चय गणनीय होता है।
2. समुच्चय गणनीय है।
3. बहुत सारा भिन्नात्मक संख्याएंगणनीय है (पिछले कथन का परिणाम है)।
4. गणनीय समुच्चयों की एक सीमित संख्या का संघ गणनीय होता है।
5. परिमित समुच्चयों की गणनीय संख्या का संघ गणनीय होता है।
6. गणनीय संख्या में गणनीय समुच्चयों का संघ गणनीय होता है।
ये सभी कथन, जैसा कि देखा जा सकता है, हमें इस तथ्य को सफलतापूर्वक स्थापित करने की अनुमति देते हैं कि यह सेट गणनीय है। हालाँकि, अब यह दिखाया जाएगा कि प्रत्येक अनंत समुच्चय गणनीय नहीं है; अधिक शक्ति के समूह हैं।
प्रमेय 2.2 (कैंटर का प्रमेय)। किसी खंड में सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय गणनीय नहीं है।
सबूत। आइए मान लें कि समुच्चय गणनीय है और इसके लिए एक क्रमांकन है। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश (आवधिक या गैर-आवधिक) के रूप में दर्शाया जा सकता है, हम इस सेट की संख्याओं के साथ ऐसा करेंगे। आइए उन्हें इस क्रमांकन क्रम में व्यवस्थित करें:
अब फॉर्म के किसी भी अनंत दशमलव अंश पर विचार करें, इस तरह से व्यवस्थित किया गया है और इसी तरह। जाहिर है, इस अंश को प्रश्नगत अनुक्रम में शामिल नहीं किया गया है, क्योंकि यह पहली संख्या से पहले दशमलव स्थान से भिन्न है, दूसरे से दूसरे अंक तक भिन्न है, और इसी तरह। परिणामस्वरूप, हमें इस अंतराल से एक संख्या प्राप्त हुई है जो क्रमांकित नहीं है और, इस प्रकार, समुच्चय गणनीय नहीं है। इसकी शक्ति कहलाती है सातत्य, और ऐसी कार्डिनैलिटी के सेट कहलाते हैं निरंतर. प्रमाण की उपरोक्त विधि कहलाती है कैंटर की विकर्ण विधि.
परिणाम 1. वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सतत होता है।
परिणाम 2. गणनीय समुच्चय के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय सतत होता है।
जैसा कि सेट सिद्धांत में दिखाया गया है (ऊपर दी गई विधि के समान विधि का उपयोग करके), किसी भी कार्डिनैलिटी के सेट के लिए, इसके सभी उपसमुच्चय (बूलियन) के सेट में उच्च कार्डिनैलिटी होती है। इसलिए, अधिकतम कार्डिनैलिटी का कोई सेट नहीं है। उदाहरण के लिए, कैंटर द्वारा वर्णित सेट-ब्रह्मांड में सभी कल्पनीय सेट शामिल होने चाहिए, लेकिन यह स्वयं एक तत्व (कैंटर का विरोधाभास) के रूप में इसके सबसेट के सेट में निहित है। यह पता चला है कि सेट अधिकतम कार्डिनैलिटी का सेट नहीं है।
3. प्रदर्शन और कार्य.
समारोहदो सेटों के बीच कोई कार्यात्मक पत्राचार है। यदि कोई फ़ंक्शन सेट ए और बी के बीच एक पत्राचार स्थापित करता है, तो फ़ंक्शन को फॉर्म (नोटेशन) कहा जाता है। प्रत्येक तत्व को उसकी परिभाषा के क्षेत्र से, फ़ंक्शन मानों के क्षेत्र से एक एकल तत्व निर्दिष्ट करता है। यह पारंपरिक रूप में लिखा गया है. तत्व कहा जाता है तर्कफ़ंक्शन, तत्व - यह अर्थ.
एक पूर्णतः परिभाषित फ़ंक्शन को कहा जाता है प्रदर्शनए से बी; प्रदर्शित होने पर सेट ए की छवि को दर्शाया जाता है। यदि एक ही समय में, यानी, पत्राचार विशेषण है, तो हम कहते हैं कि ए से बी तक मैपिंग है।
यदि इसमें एक ही तत्व शामिल है, तो इसे स्थिर फलन कहा जाता है।
एक प्रकार की मैपिंग को सेट ए का रूपांतरण कहा जाता है।
उदाहरण 2.
क) कार्य 
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का स्वयं में मानचित्रण (इंजेक्टिव फ़ंक्शन) है। सभी के लिए समान कार्य पूर्णांकों के सेट से तर्कसंगत संख्याओं के सेट तक मैपिंग है।
बी) कार्य 
पूर्णांकों के समुच्चय (0 को छोड़कर) से प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय तक मानचित्रण है। इसके अलावा, इस मामले में पत्राचार एक-से-एक नहीं है।
ग) कार्य 
वास्तविक संख्याओं के सेट की स्वयं में एक-से-एक मैपिंग है।
घ) एक फ़ंक्शन पूरी तरह से परिभाषित नहीं होता है यदि उसका प्रकार है, लेकिन पूरी तरह से परिभाषित होता है यदि उसका प्रकार है या है।
परिभाषा।
फ़ंक्शन प्रकार 
एक स्थानीय फ़ंक्शन कहा जाता है। इस मामले में, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि फ़ंक्शन में तर्क हैं: 
, कहाँ ।
उदाहरण के लिए, जोड़, गुणा, घटाव और भाग दो-स्थानीय कार्य हैं, अर्थात्, प्रकार के कार्य।
परिभाषा। पत्र व्यवहार दिया जाए। यदि पत्राचार ऐसा है कि यदि और केवल यदि, तो पत्राचार को व्युत्क्रम कहा जाता है और द्वारा दर्शाया जाता है।
परिभाषा। यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्क्रम पत्राचार कार्यात्मक है, तो इसे व्युत्क्रम फ़ंक्शन कहा जाता है।
जाहिर है, व्युत्क्रम पत्राचार में, छवियां और प्रोटोटाइप स्थान बदलते हैं, इसलिए, व्युत्क्रम फ़ंक्शन के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक है कि मूल्य डोमेन के प्रत्येक तत्व का एक ही प्रोटोटाइप हो। इसका मतलब यह है कि किसी फ़ंक्शन के लिए, व्युत्क्रम फ़ंक्शन तभी मौजूद होता है जब यह इसकी परिभाषा के क्षेत्र और मानों के क्षेत्र के बीच एक विशेषण पत्राचार होता है।
उदाहरण 3. फ़ंक्शन का प्रकार है। यह एक खंड को एक-से-एक करके एक खंड पर मैप करता है। इसलिए, खंड पर इसके लिए एक व्युत्क्रम कार्य है। जैसा कि आप जानते हैं, यह है।
परिभाषा।
कार्यों को दें और दिया जाए। एक फ़ंक्शन को फ़ंक्शंस की संरचना कहा जाता है और (द्वारा दर्शाया गया है) यदि समानता रखती है: 
, कहाँ ।
फ़ंक्शंस की संरचना इन फ़ंक्शंस का अनुक्रमिक अनुप्रयोग है; परिणाम पर लागू होने पर अक्सर यह कहा जाता है कि फलन प्राप्त होता है प्रतिस्थापनवी.
बहु-स्थानीय कार्यों के लिए संभव विभिन्न विकल्पमें प्रतिस्थापन, कार्य देना विभिन्न प्रकार. विशेष रुचि का मामला तब होता है जब प्रकार के कई कार्य होते हैं: . इस मामले में, सबसे पहले, कार्यों का एक-दूसरे में कोई भी प्रतिस्थापन संभव है, और दूसरी बात, तर्कों का कोई भी नामकरण संभव है। इन कार्यों को एक-दूसरे में कुछ प्रतिस्थापन और तर्कों का नाम बदलने से प्राप्त एक फ़ंक्शन को उनका सुपरपोजिशन कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, गणितीय विश्लेषण में एक प्राथमिक फ़ंक्शन की अवधारणा पेश की जाती है, जो अंकगणितीय परिचालनों की एक निश्चित (तर्क के मूल्य से स्वतंत्र) संख्या, साथ ही प्राथमिक कार्यों (आदि) का एक सुपरपोजिशन है।
एक। कोलमोगोरोव और वी.आई. अर्नोल्ड ने सिद्ध किया कि चरों के प्रत्येक सतत फलन को दो चरों के सतत फलनों के सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है।
टिप्पणी। किसी फ़ंक्शन की अवधारणा का गणितीय विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इसके अलावा, यह है मूल अवधारणा. सामान्य तौर पर, गणितीय विश्लेषण में "फ़ंक्शन" शब्द को समझने का दृष्टिकोण अलग गणित की तुलना में कुछ हद तक संकीर्ण है। एक नियम के रूप में, यह तथाकथित पर विचार करता है गणना कर सकाकार्य. एक फ़ंक्शन को गणना योग्य कहा जाता है यदि एक प्रक्रिया दी गई है जो किसी को तर्क के किसी भी दिए गए मान के लिए फ़ंक्शन का मान ढूंढने की अनुमति देती है।
सारांश की शुरुआत पर वापस जाएँ।
उदाहरण 1.
ए) किसी भी सेट पर एक समानता संबंध (अक्सर द्वारा दर्शाया गया) एक समतुल्य संबंध है। समानता इस अर्थ में एक न्यूनतम तुल्यता संबंध है कि जब किसी भी जोड़ी को इस संबंध से हटा दिया जाता है (अर्थात, मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर कोई भी इकाई), तो यह प्रतिवर्त होना बंद हो जाता है और इसलिए, अब एक तुल्यता नहीं है।
बी) प्रकार का विवरण या 
, एक समान चिह्न से जुड़े सूत्रों से मिलकर, प्राथमिक कार्यों के सुपरपोजिशन का वर्णन करने वाले सूत्रों के एक सेट पर एक द्विआधारी संबंध को परिभाषित करता है। इस संबंध को आमतौर पर समतुल्य संबंध कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: यदि दो सूत्र समान फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं तो वे समतुल्य होते हैं। इस मामले में समतुल्यता, हालांकि "=" चिह्न द्वारा इंगित की गई है, इसका मतलब समानता संबंध के समान नहीं है, क्योंकि यह विभिन्न सूत्रों के लिए हो सकता है। हालाँकि, हम यह मान सकते हैं कि ऐसे संबंधों में समान चिह्न स्वयं सूत्रों को संदर्भित नहीं करता है, बल्कि उन कार्यों को संदर्भित करता है जिनका वे वर्णन करते हैं। सूत्रों के लिए, समानता का संबंध वर्तनी में सूत्रों का संयोग है। यह कहा जाता है ग्राफिक समानता.वैसे, ऐसी स्थितियों में विसंगतियों से बचने के लिए, "" चिन्ह का प्रयोग अक्सर तुल्यता के संबंध को इंगित करने के लिए किया जाता है।
ग) निर्देशांक तल पर त्रिभुजों के एक सेट पर विचार करें, यह मानते हुए कि एक त्रिभुज तब दिया जाता है जब उसके शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हों। हम दो त्रिभुजों को समान (सर्वांगसम) मानेंगे यदि, आरोपित होने पर, वे संपाती हों, अर्थात, वे किसी गति का उपयोग करके एक दूसरे में परिवर्तित हो जाएँ। समानता त्रिभुजों के समूह पर एक तुल्यता संबंध है।
घ) प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर "प्राकृतिक संख्या द्वारा समान शेष रहने" का संबंध एक तुल्यता संबंध है।
च) "भाजक होना" संबंध किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध नहीं है। इसमें रिफ्लेक्सिविटी और ट्रांज़िटिविटी के गुण हैं, लेकिन यह एंटीसिमेट्रिक है (नीचे देखें)।
मान लीजिए कि किसी समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध निर्दिष्ट किया गया है। आइए निम्नलिखित निर्माण करें। आइए एक तत्व का चयन करें और एक वर्ग (उपसमुच्चय) बनाएं जिसमें दिए गए संबंध में तत्व और उसके समकक्ष सभी तत्व शामिल हों। फिर तत्व का चयन करें 
और समतुल्य तत्वों से मिलकर एक वर्ग बनाते हैं। इन क्रियाओं को जारी रखते हुए, हमें वर्गों की एक प्रणाली (संभवतः अनंत) प्राप्त होती है, ताकि सेट से कोई भी तत्व कम से कम एक वर्ग में शामिल हो, अर्थात।
इस प्रणाली में निम्नलिखित गुण हैं:
1) यह बनता है PARTITIONसमुच्चय, अर्थात् वर्ग जोड़ियों में प्रतिच्छेद नहीं करते;
2) एक ही वर्ग के कोई भी दो तत्व समतुल्य हैं;
3) विभिन्न वर्गों के कोई भी दो तत्व समतुल्य नहीं हैं।
ये सभी गुण तुल्यता संबंध की परिभाषा से सीधे अनुसरण करते हैं। वास्तव में, यदि, उदाहरण के लिए, वर्गों को दबा दिया गया था, तो उनमें कम से कम एक सामान्य तत्व होगा। यह तत्व स्पष्टतः तथा के समतुल्य होगा। फिर, संबंध की परिवर्तनशीलता के कारण,। हालाँकि, जिस तरह से कक्षाओं का निर्माण किया गया है, उसके कारण यह संभव नहीं है। अन्य दो गुण इसी प्रकार सिद्ध किये जा सकते हैं।
निर्मित विभाजन, अर्थात्, वर्गों की एक प्रणाली - सेट के सबसेट, को एक सिस्टम कहा जाता है समतुल्य वर्गके संदर्भ में । इसी व्यवस्था की शक्ति कहलाती है विभाजन सूचकांक. दूसरी ओर, किसी समुच्चय का वर्गों में कोई भी विभाजन स्वयं एक निश्चित तुल्यता संबंध निर्धारित करता है, अर्थात् संबंध "किसी दिए गए विभाजन के एक वर्ग में शामिल किया जाना है।"
उदाहरण 2.
ए) समानता संबंध के संबंध में सभी समतुल्य वर्ग एक तत्व से बने होते हैं।
बी) इसका वर्णन करने वाले सूत्र प्राथमिक कार्य, समतुल्य संबंध के संबंध में समान समतुल्य वर्ग में हैं। इस मामले में, सूत्रों का सेट, समतुल्य वर्गों का सेट (अर्थात, विभाजन सूचकांक), और प्रत्येक समतुल्य वर्ग गणनीय हैं।
ग) समानता के संबंध में त्रिभुजों के एक सेट के विभाजन में एक सातत्य सूचकांक होता है, और प्रत्येक वर्ग में सातत्य की एक प्रमुखता भी होती है।
घ) "7 से विभाजित करने पर एक सामान्य शेषफल होता है" संबंध के संबंध में प्राकृतिक संख्याओं के सेट के विभाजन का अंतिम सूचकांक 7 है और इसमें सात गणनीय वर्ग शामिल हैं।
- व्यवस्था के रिश्ते.
परिभाषा 1. रिश्ता कहलाता है गैर सख्त संबंध, यदि यह रिफ्लेक्टिव, एंटीसिमेट्रिक और सकर्मक है।
परिभाषा 2. रिश्ता कहलाता है सख्त आदेश का संबंध, यदि यह प्रतिकर्मक, प्रतिसममिति और सकर्मक है।
दोनों प्रकार के रिश्तों को सामूहिक रूप से कहा जाता है आदेश संबंध. यदि दो संबंधों में से एक संतुष्ट है तो तत्व ऑर्डर संबंध के संबंध में तुलनीय हैं। एक सेट जिस पर ऑर्डर संबंध निर्दिष्ट किया गया है उसे पूर्ण रूप से ऑर्डर किया गया कहा जाता है यदि इसके कोई भी दो तत्व तुलनीय हों। अन्यथा, सेट को आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया कहा जाता है।
उदाहरण 3.
ए) संबंध " " और " " एक गैर-सख्त आदेश के संबंध हैं, संबंध "<” и “>” - सख्त क्रम के संबंध (सभी बुनियादी संख्यात्मक सेटों पर)। दोनों संबंध सेट और को पूरी तरह से व्यवस्थित करते हैं।
बी) संबंधों को परिभाषित करें " " और "<” на множестве следующим образом:
1) यदि 
;
2) यदि एक ही समय में एक समन्वय के लिए चलना किया जाता है।
फिर, उदाहरण के लिए, 
, लेकिन अतुलनीय भी। इस प्रकार, ये संबंध आंशिक रूप से व्यवस्थित होते हैं।
ग) एक सेट के सबसेट की प्रणाली पर, समावेशन संबंध "" एक गैर-सख्त आंशिक आदेश निर्दिष्ट करता है, और सख्त समावेशन संबंध "" एक सख्त आंशिक आदेश निर्दिष्ट करता है। उदाहरण के लिए, 
, लेकिन तुलनीय नहीं।
घ) कार्य समूह में अधीनता का संबंध एक सख्त आंशिक व्यवस्था बनाता है। इसमें, उदाहरण के लिए, विभिन्न संरचनात्मक प्रभागों (विभागों, आदि) के कर्मचारी अतुलनीय हैं।
ई) रूसी वर्णमाला में अक्षरों का क्रम निश्चित है, अर्थात यह हमेशा एक समान रहता है। फिर यह सूची अक्षरों के संपूर्ण क्रम को परिभाषित करती है, जिसे पूर्वता संबंध कहा जाता है। (पूर्ववर्ती) द्वारा इंगित किया गया है। अक्षरों के पूर्वता संबंध के आधार पर, शब्दों का पूर्वता संबंध बनाया जाता है, लगभग उसी तरह निर्धारित किया जाता है जैसे दो दशमलव अंशों की तुलना की जाती है। यह संबंध रूसी वर्णमाला में शब्दों के संपूर्ण क्रम को निर्दिष्ट करता है, जिसे लेक्सिकोग्राफ़िक क्रम कहा जाता है।
उदाहरण 4.
क) शब्दों के शब्दकोषीय क्रम का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण शब्दकोशों में शब्दों का क्रम है। उदाहरण के लिए, (से), इसलिए शब्द जंगलशब्दकोश में शब्द से पहले स्थित है गर्मी.
बी) यदि हम स्थितिगत संख्या प्रणालियों (उदाहरण के लिए, दशमलव प्रणाली में) में संख्याओं को संख्याओं की वर्णमाला में शब्दों के रूप में मानते हैं, तो उनका शब्दकोषीय क्रम सामान्य के साथ मेल खाता है यदि तुलना की जा रही सभी संख्याओं में अंकों की संख्या समान है। सामान्य स्थिति में, ये दोनों प्रकार मेल नहीं खा सकते हैं। उदाहरण के लिए, और, लेकिन, ए। उन्हें मेल खाने के लिए, आपको सभी तुलना की गई संख्याओं के लिए अंकों की संख्या को बराबर करने की आवश्यकता है बाएंशून्य. इस उदाहरण में हमें मिलता है. कंप्यूटर में पूर्णांक लिखते समय यह संरेखण स्वचालित रूप से होता है।
ग) 07/19/2004 (उन्नीस जुलाई दो हजार चार) जैसी तारीखों के डिजिटल अभ्यावेदन का शब्दकोषीय क्रम पहले से बाद की तारीखों के प्राकृतिक क्रम से मेल नहीं खाता है। उदाहरण के लिए, दिनांक 07/19/2004 "शब्दावली की दृष्टि से" किसी भी वर्ष के अठारहवें दिन से भी पुरानी है। बढ़ती तिथियों को लेक्सिकोग्राफ़िक क्रम के साथ मेल खाने के लिए, सामान्य प्रतिनिधित्व को "उलटा" होना चाहिए, अर्थात, 2004.07.19 के रूप में लिखा जाना चाहिए। यह आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में तारीखों का प्रतिनिधित्व करते समय किया जाता है।
फ़ंक्शन "। आइए से लेकर कार्य करने वाले फ़ंक्शन के एक विशेष लेकिन महत्वपूर्ण मामले से शुरुआत करें।यदि हम समझते हैं कि संबंध क्या है, तो फ़ंक्शन क्या है यह समझना काफी सरल है। फ़ंक्शन किसी संबंध का एक विशेष मामला है। प्रत्येक फ़ंक्शन एक संबंध है, लेकिन प्रत्येक संबंध एक फ़ंक्शन नहीं है। कार्य कौन से संबंध हैं? किसी संबंध को एक फ़ंक्शन बनाने के लिए कौन सी अतिरिक्त शर्त पूरी होनी चाहिए?
आइए परिभाषा के क्षेत्र से मूल्यों के क्षेत्र तक संचालित होने वाले संबंध पर विचार करें। से एक तत्व पर विचार करें. यह तत्व एक ऐसे तत्व से मेल खाता है जिससे यह जोड़ी संबंधित है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है: (उदाहरण के लिए,)। संबंध में अन्य जोड़े भी शामिल हो सकते हैं, जिनमें से पहला तत्व तत्व हो सकता है। यह स्थिति कार्यों के लिए संभव नहीं है.
फ़ंक्शन एक ऐसा संबंध है जिसमें परिभाषा के क्षेत्र से एक तत्व मान के क्षेत्र से एक तत्व से मेल खाता है।
चित्र 1 में प्रस्तुत "भाई होने" का संबंध कोई कार्य नहीं है। दो चाप परिभाषा के क्षेत्र में एक बिंदु से मान के क्षेत्र में विभिन्न बिंदुओं तक जाते हैं, इसलिए यह संबंध एक फ़ंक्शन नहीं है। सामग्री के लिहाज से, ऐलेना के दो भाई हैं, इसलिए तत्व से और तत्व से के बीच कोई एक-से-एक पत्राचार नहीं है।
यदि हम समान सेट पर रिश्ते को "बड़े भाई के होने" पर विचार करते हैं, तो ऐसा रिश्ता एक कार्य है। प्रत्येक व्यक्ति के कई भाई हो सकते हैं, लेकिन उनमें से केवल एक ही बड़ा भाई होता है। कार्यों में "पिता" और "माँ" जैसे पारिवारिक रिश्ते शामिल हैं।
आमतौर पर, जब फ़ंक्शन के बारे में बात की जाती है, तो अक्षर, और नहीं, जैसा कि संबंधों के मामले में होता है, का उपयोग आम तौर पर एक फ़ंक्शन को नामित करने के लिए किया जाता है, और सामान्य नोटेशन का सामान्य रूप होता है:।
सुप्रसिद्ध फ़ंक्शन पर विचार करें 
. इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण वास्तविक अक्ष है: 
. फ़ंक्शन के मानों की सीमा वास्तविक अक्ष पर एक बंद अंतराल है: 
. इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक साइनसॉइड है; अक्ष पर प्रत्येक बिंदु ग्राफ़ पर एक बिंदु से मेल खाता है .
एक-से-एक कार्य
मान लीजिए कि संबंध फ़ंक्शन को परिभाषित करता है. विपरीत संबंध के बारे में क्या कहा जा सकता है? क्या यह भी कोई कार्य है? बिल्कुल भी जरूरी नहीं है. आइए उन संबंधों के उदाहरण देखें जो कार्य हैं।
"एक बड़ा भाई है" संबंध के लिए, उलटा संबंध "एक भाई या बहन है" है। निःसंदेह, यह रिश्ता कोई कार्य नहीं है। एक बड़े भाई की कई बहनें और भाई हो सकते हैं।
"पिता" और "माँ" रिश्तों के लिए, उलटा रिश्ता "बेटा या बेटी" रिश्ता है, जो भी एक कार्य नहीं है, क्योंकि कई बच्चे हो सकते हैं।
यदि हम फ़ंक्शन पर विचार करें 
, फिर व्युत्क्रम संबंध 
कोई फ़ंक्शन नहीं है, क्योंकि एक मान वांछित कई मानों से मेल खाता है। विचार करने के लिए
प्रदर्शनकिसी समुच्चय
समुच्चय X को कहा जाता है परिभाषा का क्षेत्रमैपिंग f, और सेट Y है मूल्यों की सीमा. आदेशित जोड़ियों का सेट
Г f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))
बुलाया प्रदर्शन ग्राफएफ। परिभाषा से यह सीधे तौर पर पता चलता है कि f का ग्राफ कार्टेशियन उत्पाद X×Y का एक उपसमुच्चय है:
कड़ाई से बोलते हुए, एक नक्शा सेट (X, Y, G) का एक त्रिगुण है, जैसे कि G⊂ X×Y, और X का प्रत्येक तत्व x, G के बिल्कुल एक जोड़े (x, y) का पहला तत्व है। दूसरे को दर्शाता है f(x) द्वारा ऐसी जोड़ी का तत्व, हम सेट Y में सेट X की मैपिंग f प्राप्त करते हैं। इसके अलावा, G=Г f। यदि y=f(x), तो हम f:x→y लिखेंगे और कहेंगे कि तत्व x तत्व y पर जाता है या मैप करता है; तत्व f(x) को मैपिंग f के संबंध में तत्व x की छवि कहा जाता है। मैपिंग को दर्शाने के लिए हम फॉर्म f: X→Y के नोटेशन का उपयोग करेंगे।
मान लीजिए कि f: X→Y सेट X से सेट Y तक की मैपिंग है, और A और B क्रमशः सेट X और Y के सबसेट हैं। कुछ x∈A के लिए सेट f(A)=(y| y=f(x)) कहा जाता है रास्तासेट A. सेट f - 1 (B)=(x| f(x) ∈B)
बुलाया प्रोटोटाइपसेट बी। एक मैपिंग f: A→Y इस प्रकार है कि सभी x∈A के लिए x→f(x) कहा जाता है संकुचनसेट ए में एफ मैपिंग; संकुचन को f| द्वारा दर्शाया जाएगा एक।
मान लीजिए कि मैपिंग f: X→Y और g: Y→Z है। वह मैपिंग X→Z जिसके अंतर्गत x g(f(x)) पर जाता है, कहलाती है संघटनमैपिंग एफ और जी और एफजी द्वारा निरूपित किया जाता है।
किसी समुच्चय समानऔर आईडी एक्स द्वारा दर्शाया गया है।
एक मनमानी मैपिंग f: X→Y के लिए हमारे पास id X ⋅f = f⋅id Y है।
मैपिंग f: X→Y कहा जाता है इंजेक्शन, यदि से किसी भी तत्व के लिए और यह उसका अनुसरण करता है। मैपिंग f: X→Y कहा जाता है विशेषण, यदि Y से प्रत्येक तत्व y, X से किसी तत्व x की छवि है, अर्थात f(x)=y। मैपिंग f: X→Y कहा जाता है द्विभाजित, यदि यह विशेषण और विशेषण दोनों है। विशेषण मानचित्र f: X→Y उलटा है। इसका मतलब है कि एक मैपिंग g: Y→X कहलाती है रिवर्सएक मानचित्र f पर इस प्रकार कि g(f(x))=x और f(g(y))=y किसी भी x∈X, y∈Y के लिए। f का व्युत्क्रम f - 1 द्वारा दर्शाया जाता है।
उलटा मैपिंग f: X→Y सेट एक से एकसेट X और Y के तत्वों के बीच पत्राचार। इंजेक्टिव मैपिंग f: X→Y सेट X और सेट f(X) के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करता है।
उदाहरण. 1) फ़ंक्शन f:R→R >0, f (x)=e x, सभी वास्तविक संख्याओं R के सेट और सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सेट R >0 के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करता है। मैपिंग f का व्युत्क्रम मैपिंग g:R >0 →R, g(x)=ln x है।
2) मैपिंग f:R→R ≥ 0, f(x)=x 2, गैर-नकारात्मक संख्याओं R ≥ 0 के सेट पर सभी वास्तविक R का सेट विशेषण है, लेकिन विशेषण नहीं है, और इसलिए विशेषण नहीं है।
फ़ंक्शन गुण:
1. दो कार्यों की संरचना एक कार्य है, अर्थात्। यदि , तो .
2. दो विशेषण फलनों का संघटन एक विशेषण फलन है, यदि , तो ।
3. मैपिंग में व्युत्क्रम मैपिंग होती है
यदि और केवल यदि f एक आक्षेप है, अर्थात यदि , तो .
परिभाषा। n - स्थानीय संबंध, या n - स्थानीय विधेय P, समुच्चय A 1 ; A 2 ;… पर और n कार्तीय गुणनफल का कोई उपसमुच्चय है।
पदनाम n - स्थानीय संबंध P(x 1 ;x 2 ;…;x n). जब n=1 संबंध P कहा जाता है एकलऔर समुच्चय A 1 का एक उपसमुच्चय है। द्विआधारी(n=2 के लिए दोगुना) संबंध क्रमित युग्मों का एक सेट है।
परिभाषा।किसी भी समुच्चय A के लिए, संबंध को समरूप संबंध, या विकर्ण, और - पूर्ण संबंध, या पूर्ण वर्ग कहा जाता है।
मान लीजिए P कोई द्विआधारी संबंध है। तब द्विआधारी संबंध की परिभाषा का क्षेत्र P को कुछ y के लिए समुच्चय कहा जाता है), और मूल्यों की सीमा- कुछ x के लिए एक सेट)। रिवर्सएक समुच्चय को P से संबंध कहा जाता है।
संबंध P कहलाता है चिंतनशील,यदि इसमें X से किसी भी x के लिए फॉर्म (x,x) के सभी जोड़े शामिल हैं। संबंध P कहा जाता है एंटी-रेफलेक्टिव, यदि इसमें फॉर्म (x,x) का कोई जोड़ा नहीं है। उदाहरण के लिए, संबंध x≤y प्रतिवर्ती है, और संबंध x संबंध P कहलाता है सममित, यदि प्रत्येक युग्म (x,y) के साथ इसमें एक युग्म (y,x) भी हो। संबंध P की समरूपता का अर्थ है कि P = P -1. संबंध P कहलाता है antisymmetric, यदि (x;y) और (y;x), तो x=y. संबंध R कहलाता है सकर्मक,यदि, किसी भी जोड़े (x,y) और (y,z) के साथ, इसमें जोड़ी (x,z) भी शामिल है, यानी xPy और yPz से xPz का अनुसरण करता है। द्विआधारी संबंधों के गुण: उदाहरण।मान लीजिए A=(x/x – अरबी अंक); Р=((x;y)/x,yA,x-y=5). D;R;P -1 खोजें। समाधान।संबंध P को P=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)) के रूप में लिखा जा सकता है, तो इसके लिए हमारे पास D= है (5;6;7;8;9); ई=(0;1;2;3;4); पी -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)). दो परिमित समुच्चयों और एक द्विआधारी संबंध पर विचार करें। आइए हम बाइनरी रिलेशन P के मैट्रिक्स का परिचय इस प्रकार दें:। किसी भी द्विआधारी संबंध का मैट्रिक्स होता है गुण: 1. यदि और , तो , और मैट्रिक्स तत्वों का जोड़ 0+0=0 नियमों के अनुसार किया जाता है; 1+1=1; 1+0=0+1=1, और गुणन सामान्य तरीके से शब्दवार होता है, यानी। नियम के अनुसार 1*0=0*1=0; 1*1=1. 2. यदि, तब, और आव्यूहों को मैट्रिक्स गुणन के सामान्य नियम के अनुसार गुणा किया जाता है, लेकिन आव्यूहों को गुणा करने पर तत्वों का गुणनफल और योग चरण 1 के नियमों के अनुसार पाया जाता है। 4. यदि , तब और उदाहरण।द्विआधारी संबंध चित्र 2 में दिखाया गया है। इसके मैट्रिक्स का रूप है। समाधान।चलो, फिर; माना कि समुच्चय A पर P एक द्विआधारी संबंध है। समुच्चय A पर संबंध P कहलाता है चिंतनशील,यदि, जहां तारांकन शून्य या एक को दर्शाता है। सम्बन्ध P कहलाता है अपरिवर्तनीय,अगर । समुच्चय A पर संबंध P कहलाता है सममित, यदि के लिए और के लिए यह इस शर्त से अनुसरण करता है कि . इस का मतलब है कि । सम्बन्ध P कहलाता है antisymmetric, यदि यह शर्तों का अनुसरण करता है कि x=y, यानी। या । यह गुण इस तथ्य की ओर ले जाता है कि मुख्य विकर्ण के बाहर मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य होंगे (मुख्य विकर्ण पर शून्य भी हो सकते हैं)। सम्बन्ध P कहलाता है सकर्मक, यदि से और यह उसका अनुसरण करता है , अर्थात्। . उदाहरण।संबंध P और यहां मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर सभी इकाइयाँ हैं, इसलिए, P प्रतिवर्ती है। मैट्रिक्स असममित है, तो अनुपात P असममित है क्योंकि मुख्य विकर्ण के बाहर स्थित सभी तत्व शून्य नहीं हैं, तो संबंध P एंटीसिमेट्रिक नहीं है। वे। , इसलिए संबंध P अकर्मक है। प्रतिवर्ती, सममित एवं सकर्मक संबंध कहलाता है समतुल्य संबंध. तुल्यता संबंधों को दर्शाने के लिए ~ प्रतीक का उपयोग करने की प्रथा है। प्रतिवर्तीता, समरूपता और परिवर्तनशीलता की स्थितियों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: उदाहरण। 1) मान लीजिए कि X संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित कार्यों का एक समूह है। हम मान लेंगे कि फ़ंक्शन f और g संबंध ~ से संबंधित हैं यदि वे बिंदु 0 पर समान मान लेते हैं, अर्थात f(x)~g(x), यदि f(0)=g(0) . उदाहरण के लिए, synx~x, e x ~cosx। संबंध ~ किसी भी फलन f(x) के लिए प्रतिवर्ती (f(0)=f(0)) है; सममित रूप से (f(0)=g(0) से यह इस प्रकार है कि g(0)=f(0)); सकर्मक (यदि f(0)=g(0) और g(0)=h(0), तो f(0)=h(0))। इसलिए, ~ एक तुल्यता संबंध है। 2) मान लीजिए ~ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर एक संबंध है जैसे कि x~y, यदि x और y को 5 से विभाजित करने पर समान शेषफल मिलता है। उदाहरण के लिए, 6~11, 2~7, 1~6। यह देखना आसान है कि यह संबंध प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है और इसलिए, एक तुल्यता संबंध है। आंशिक आदेश संबंधकिसी समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध तब कहलाता है जब वह प्रतिवर्ती, प्रतिसममिति, सकर्मक, अर्थात् हो। 1. - रिफ्लेक्सिविटी; 2. - एंटीसिममेट्री; 3. - परिवर्तनशीलता. सख्त आदेश का रिश्ताकिसी समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध तब कहलाता है जब वह प्रति-प्रतिवर्ती, प्रतिसममिति, सकर्मक हो। ये दोनों रिश्ते कहलाते हैं आदेश संबंध. एक सेट जिस पर ऑर्डर संबंध निर्दिष्ट है, हो सकता है: एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेटया आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया. आंशिक क्रम उन मामलों में महत्वपूर्ण है जहां हम किसी तरह पूर्वता को चित्रित करना चाहते हैं, यानी। तय करें कि किन परिस्थितियों में समुच्चय के एक तत्व को दूसरे से श्रेष्ठ माना जाए। आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट कहलाता है रैखिक रूप से क्रमबद्ध, यदि इसमें कोई अतुलनीय तत्व नहीं हैं, अर्थात्। शर्तों में से एक या संतुष्ट है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक क्रम वाले सेट रैखिक रूप से क्रमबद्ध होते हैं। आर्थिक संबंधों का सार और वर्गीकरण जंगली प्रकृति की दुनिया से अलग होने के क्षण से, मनुष्य एक जैव-सामाजिक प्राणी के रूप में विकसित होता है। यह इसके विकास और गठन के लिए परिस्थितियाँ निर्धारित करता है। मनुष्य और समाज के विकास के लिए मुख्य प्रेरणा आवश्यकताएँ हैं। इन आवश्यकताओं की पूर्ति के लिए व्यक्ति को कार्य करना ही पड़ता है। श्रम किसी व्यक्ति की जरूरतों को पूरा करने या लाभ प्राप्त करने के लिए सामान बनाने की सचेत गतिविधि है। जितनी अधिक जरूरतें बढ़ीं, श्रम प्रक्रिया उतनी ही जटिल होती गई। इसके लिए संसाधनों के अधिक से अधिक व्यय और समाज के सभी सदस्यों के अधिक समन्वित कार्यों की आवश्यकता थी। काम के लिए धन्यवाद, आधुनिक मनुष्य की बाहरी उपस्थिति की मुख्य विशेषताएं और एक सामाजिक प्राणी के रूप में मनुष्य की विशेषताएं दोनों का गठन किया गया। श्रम आर्थिक गतिविधि के चरण में चला गया। आर्थिक गतिविधि से तात्पर्य भौतिक और आध्यात्मिक वस्तुओं के निर्माण, पुनर्वितरण, विनिमय और उपयोग में मानवीय गतिविधि से है। आर्थिक गतिविधि में इस प्रक्रिया में सभी प्रतिभागियों के बीच किसी प्रकार के संबंध स्थापित करने की आवश्यकता शामिल है। ये रिश्ते आर्थिक कहलाते हैं. परिभाषा 1 आर्थिक संबंध उत्पादन प्रक्रिया में गठित व्यक्तियों और कानूनी संस्थाओं के बीच संबंधों की प्रणाली है। किसी भी वस्तु का पुनर्वितरण, विनिमय और उपभोग। इन रिश्तों के अलग-अलग रूप और अवधि होते हैं। इसलिए, उनके वर्गीकरण के लिए कई विकल्प हैं। यह सब चुने गए मानदंड पर निर्भर करता है। मानदंड समय, आवृत्ति (नियमितता), लाभ की डिग्री, इस रिश्ते में प्रतिभागियों की विशेषताएं आदि हो सकते हैं। आर्थिक संबंधों के सबसे अधिक उल्लिखित प्रकार हैं: आर्थिक गतिविधि की प्रक्रिया में, रिश्ते में प्रत्येक भागीदार कई भूमिकाओं में कार्य कर सकता है। परंपरागत रूप से, आर्थिक संबंधों के वाहक के तीन समूह प्रतिष्ठित हैं। ये हैं: कभी-कभी बिचौलियों की एक अलग श्रेणी प्रतिष्ठित की जाती है। लेकिन दूसरी ओर, मध्यस्थ एक ही समय में कई रूपों में मौजूद होते हैं। इसलिए, आर्थिक संबंधों की प्रणाली को विभिन्न प्रकार के रूपों और अभिव्यक्तियों की विशेषता है। आर्थिक संबंधों का एक और वर्गीकरण है। मानदंड प्रत्येक प्रकार के रिश्ते की चल रही प्रक्रियाओं और लक्ष्यों की विशेषताएं हैं। ये प्रकार हैं श्रम गतिविधि का संगठन, आर्थिक गतिविधि का संगठन और आर्थिक गतिविधि का प्रबंधन। सभी स्तरों और प्रकारों के आर्थिक संबंधों के निर्माण का आधार संसाधनों और उत्पादन के साधनों के स्वामित्व का अधिकार है। वे उत्पादित वस्तुओं का स्वामित्व निर्धारित करते हैं। अगला सिस्टम-निर्माण कारक उत्पादित वस्तुओं के वितरण के सिद्धांत हैं। इन दो बिंदुओं ने आर्थिक प्रणालियों के प्रकारों के निर्माण का आधार बनाया। परिभाषा 2 संगठनात्मक-आर्थिक संबंध संसाधनों के सबसे कुशल उपयोग के लिए स्थितियां बनाने और उत्पादन के रूपों के संगठन के माध्यम से लागत को कम करने के संबंध हैं। आर्थिक संबंधों के इस रूप का कार्य सापेक्ष आर्थिक लाभों का अधिकतम उपयोग और स्पष्ट अवसरों का तर्कसंगत उपयोग है। संगठनात्मक और आर्थिक संबंधों के मुख्य रूपों में उत्पादन की एकाग्रता (समेकन), संयोजन (एक उद्यम में विभिन्न उद्योगों से उत्पादन का संयोजन), विशेषज्ञता और सहयोग (उत्पादकता बढ़ाने के लिए) शामिल हैं। क्षेत्रीय उत्पादन परिसरों का गठन संगठनात्मक और आर्थिक संबंधों का पूर्ण रूप माना जाता है। उद्यमों की अनुकूल क्षेत्रीय स्थिति और बुनियादी ढांचे के तर्कसंगत उपयोग के कारण एक अतिरिक्त आर्थिक प्रभाव प्राप्त होता है। बीसवीं सदी के मध्य में सोवियत रूसी अर्थशास्त्रियों और आर्थिक भूगोलवेत्ताओं ने ऊर्जा उत्पादन चक्र (ईपीसी) का सिद्धांत विकसित किया। उन्होंने एक निश्चित क्षेत्र में उत्पादन प्रक्रियाओं को इस तरह से व्यवस्थित करने का प्रस्ताव रखा कि उत्पादों की पूरी श्रृंखला का उत्पादन करने के लिए कच्चे माल और ऊर्जा के एक ही प्रवाह का उपयोग किया जा सके। इससे उत्पादन लागत में नाटकीय रूप से कमी आएगी और उत्पादन बर्बादी में कमी आएगी। संगठनात्मक और आर्थिक संबंध सीधे आर्थिक प्रबंधन से संबंधित हैं। परिभाषा 3 सामाजिक-आर्थिक संबंध आर्थिक एजेंटों के बीच के संबंध हैं, जो संपत्ति के अधिकारों पर आधारित होते हैं। संपत्ति लोगों के बीच संबंधों की एक प्रणाली है, जो चीजों के प्रति उनके दृष्टिकोण में प्रकट होती है - उनके निपटान का अधिकार। सामाजिक-आर्थिक संबंधों का कार्य किसी दिए गए समाज के मानदंडों के अनुसार संपत्ति संबंधों को सुव्यवस्थित करना है। आख़िरकार, कानूनी संबंध एक ओर, संपत्ति के अधिकारों के आधार पर और दूसरी ओर, स्वैच्छिक संपत्ति संबंधों के आधार पर बनाए जाते हैं। दोनों पक्षों के बीच ये बातचीत नैतिक मानदंडों और विधायी (कानूनी रूप से निहित) मानदंडों दोनों का रूप लेती है। सामाजिक-आर्थिक संबंध उस सामाजिक गठन पर निर्भर करते हैं जिसमें वे विकसित होते हैं। वे उस विशेष समाज में शासक वर्ग के हितों की सेवा करते हैं। सामाजिक-आर्थिक संबंध एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति को स्वामित्व का हस्तांतरण (विनिमय, खरीद और बिक्री, आदि) सुनिश्चित करते हैं। अंतर्राष्ट्रीय आर्थिक संबंध दुनिया भर के देशों की आर्थिक गतिविधियों के समन्वय का कार्य करते हैं। वे आर्थिक संबंधों के सभी तीन मुख्य रूपों - आर्थिक प्रबंधन, संगठनात्मक-आर्थिक और सामाजिक-आर्थिक के चरित्र को धारण करते हैं। मिश्रित आर्थिक प्रणाली के मॉडलों की विविधता के कारण आजकल यह विशेष रूप से प्रासंगिक है। अंतर्राष्ट्रीय संबंधों का संगठनात्मक और आर्थिक पक्ष एकीकरण प्रक्रियाओं के आधार पर अंतर्राष्ट्रीय सहयोग के विस्तार के लिए जिम्मेदार है। अंतर्राष्ट्रीय संबंधों का सामाजिक-आर्थिक पहलू दुनिया के सभी देशों की आबादी की भलाई के स्तर में सामान्य वृद्धि और विश्व अर्थव्यवस्था में सामाजिक तनाव में कमी की इच्छा है। वैश्विक अर्थव्यवस्था के प्रबंधन का उद्देश्य राष्ट्रीय अर्थव्यवस्थाओं के बीच विरोधाभासों को कम करना और वैश्विक मुद्रास्फीति और संकट की घटनाओं के प्रभाव को कम करना है।संगठनात्मक और आर्थिक संबंधों के कार्य
सामाजिक-आर्थिक संबंधों के कार्य
अंतर्राष्ट्रीय आर्थिक संबंधों के कार्य
