विषय का अध्ययन करते समय सुविधा और स्पष्टता के लिए हम एक सारांश तालिका प्रस्तुत करते हैं।

स्थिरवाई = सी पावर फ़ंक्शन y = x p (एक्स पी) " = पी एक्स पी - 1	घातांक प्रकार्यy = कुल्हाड़ी (ए एक्स) " = ए एक्स एलएन ए विशेषकर, जबए = ईहमारे पास है वाई = ई एक्स (ई एक्स) " = ई एक्स
लघुगणकीय कार्य (लॉग ए एक्स) " = 1 एक्स एलएन ए विशेषकर, जबए = ईहमारे पास है y = लॉग x (एलएन एक्स) " = 1 एक्स	त्रिकोणमितीय कार्य (sin x) " = cos x (cos x) " = - पाप x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 पाप 2 x
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन (ए आर सी पाप एक्स) " = 1 1 - एक्स 2 (ए आर सी कॉस एक्स) " = - 1 1 - एक्स 2 (ए आर सी टी जी एक्स) " = 1 1 + एक्स 2 (ए आर सी सी टी जी एक्स) " = - 1 1 + एक्स 2	अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य (एस एच एक्स) " = सी एच एक्स (सी एच एक्स) " = एस एच एक्स (टी एच एक्स) " = 1 सी एच 2 एक्स (सी टी एच एक्स) " = - 1 एस एच 2 एक्स

आइए विश्लेषण करें कि निर्दिष्ट तालिका के सूत्र कैसे प्राप्त किए गए या, दूसरे शब्दों में, हम प्रत्येक प्रकार के फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न सूत्रों की व्युत्पत्ति साबित करेंगे।

एक स्थिरांक का व्युत्पन्न

प्रमाण 1

इस सूत्र को प्राप्त करने के लिए, हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा को आधार के रूप में लेते हैं। हम x 0 = x का उपयोग करते हैं, जहाँ एक्सकिसी भी वास्तविक संख्या का मान लेता है, या, दूसरे शब्दों में, एक्सफ़ंक्शन f (x) = C के डोमेन से कोई संख्या है। आइए किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा को ∆ x → 0 के रूप में लिखें:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

कृपया ध्यान दें कि अभिव्यक्ति 0 ∆ x सीमा चिह्न के अंतर्गत आती है। यह अनिश्चितता नहीं है कि "शून्य को शून्य से विभाजित किया जाए", क्योंकि अंश में एक अतिसूक्ष्म मान नहीं होता है, बल्कि सटीक रूप से शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फलन की वृद्धि सदैव शून्य होती है।

तो, स्थिर फलन f (x) = C का व्युत्पन्न परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में शून्य के बराबर है।

उदाहरण 1

निरंतर कार्य दिए गए हैं:

एफ 1 (एक्स) = 3, एफ 2 (एक्स) = ए, ए ∈ आर, एफ 3 (एक्स) = 4. 13 7 22 , एफ 4 (एक्स) = 0 , एफ 5 (एक्स) = - 8 7

समाधान

आइए दी गई शर्तों का वर्णन करें। पहले फ़ंक्शन में हम प्राकृतिक संख्या 3 का व्युत्पन्न देखते हैं। निम्नलिखित उदाहरण में, आपको का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है ए, कहाँ ए- कोई वास्तविक संख्या. तीसरा उदाहरण हमें अपरिमेय संख्या 4 का व्युत्पन्न देता है। 13 7 22, चौथा शून्य का व्युत्पन्न है (शून्य एक पूर्णांक है)। अंततः, पांचवें मामले में हमारे पास परिमेय भिन्न का अवकलज - 8 7 है।

उत्तर:किसी भी वास्तविक के लिए दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न शून्य हैं एक्स(संपूर्ण परिभाषा क्षेत्र पर)

एफ 1 " (एक्स) = (3) " = 0 , एफ 2 " (एक्स) = (ए) " = 0 , ए ∈ आर , एफ 3 " (एक्स) = 4 . 13 7 22 " = 0 , एफ 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न

आइए पावर फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न के सूत्र पर आगे बढ़ें, जिसका रूप है: (x p) " = p x p - 1, जहां घातांक पीक्या कोई वास्तविक संख्या है?

प्रमाण 2

जब घातांक एक प्राकृतिक संख्या हो तो सूत्र का प्रमाण यहां दिया गया है: पी = 1, 2, 3, ...

हम फिर से व्युत्पन्न की परिभाषा पर भरोसा करते हैं। आइए हम किसी पावर फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करते हैं:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 +। . . + + सी पी पी - 1 · एक्स · (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी · (∆ एक्स) पी - एक्स पी = = सी पी 1 · एक्स पी - 1 · ∆ एक्स + सी पी 2 · एक्स पी - 2 · (∆ एक्स) 2 + . . . + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी

इस प्रकार:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + सी पी 2 · एक्स पी - 2 · (∆ एक्स) 2 + + + सी पी पी - 1 · एक्स · (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी · (∆ एक्स) पी) ∆ एक्स = = लिम ∆ एक्स → 0 ( सी पी 1 एक्स पी - 1 + सी पी 2 एक्स पी - 2 ∆ एक्स + . + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 2 + सी पी पी (∆ एक्स) पी - 1) = = सी पी 1 · एक्स पी -. 1 + 0 + 0 = पी !

इस प्रकार, जब घातांक एक प्राकृतिक संख्या हो तो हमने घात फलन के अवकलज का सूत्र सिद्ध कर दिया है।

प्रमाण 3

जब मामले के लिए सबूत उपलब्ध कराने के लिए पी-शून्य के अलावा किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, हम लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं (यहां हमें लघुगणकीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से अंतर को समझना चाहिए)। अधिक संपूर्ण समझ के लिए, एक लघुगणकीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का अध्ययन करने और एक अंतर्निहित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को समझने की सलाह दी जाती है।

आइए दो मामलों पर विचार करें: कब एक्ससकारात्मक और कब एक्सनकारात्मक।

अतः x > 0. तब: x p > 0 . आइए समानता y = x p को आधार e पर लघुगणक करें और लघुगणक के गुण को लागू करें:

वाई = एक्स पी एलएन वाई = एलएन एक्स पी एलएन वाई = पी · एलएन एक्स

इस स्तर पर, हमने एक अंतर्निहित निर्दिष्ट फ़ंक्शन प्राप्त किया है। आइए इसके व्युत्पन्न को परिभाषित करें:

(एलएन वाई) " = (पी · एलएन एक्स) 1 वाई · वाई " = पी · 1 एक्स ⇒ वाई " = पी · वाई एक्स = पी · एक्स पी एक्स = पी · एक्स पी - 1

अब हम उस मामले पर विचार करते हैं जब एक्स -ऋणात्मक संख्या.

यदि सूचक पीएक सम संख्या है, तो पावर फ़ंक्शन x के लिए परिभाषित किया गया है< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

फिर एक्स पी< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

अगर पीएक विषम संख्या है, तो पावर फ़ंक्शन x के लिए परिभाषित किया गया है< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) पी - 1 = पी एक्स पी - 1

अंतिम परिवर्तन इस तथ्य के कारण संभव है कि यदि पीतो, यह एक विषम संख्या है पी - 1या तो एक सम संख्या या शून्य (p = 1 के लिए), इसलिए, ऋणात्मक के लिए एक्ससमानता (- x) p - 1 = x p - 1 सत्य है।

इसलिए, हमने किसी भी वास्तविक पी के लिए पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध कर दिया है।

उदाहरण 2

दिए गए कार्य:

एफ 1 (एक्स) = 1 एक्स 2 3, एफ 2 (एक्स) = एक्स 2 - 1 4, एफ 3 (एक्स) = 1 एक्स लॉग 7 12

उनके व्युत्पन्न निर्धारित करें।

समाधान

हम डिग्री के गुणों के आधार पर दिए गए कुछ कार्यों को सारणीबद्ध रूप y = x p में बदलते हैं, और फिर सूत्र का उपयोग करते हैं:

एफ 1 (एक्स) = 1 एक्स 2 3 = एक्स - 2 3 ⇒ एफ 1 " (एक्स) = - 2 3 एक्स - 2 3 - 1 = - 2 3 एक्स - 5 3 एफ 2 " (एक्स) = एक्स 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x लॉग 7 12 = x - लॉग 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - लॉग 7 12 एक्स - लॉग 7 12 - 1 = - लॉग 7 12 एक्स - लॉग 7 12 - लॉग 7 7 = - लॉग 7 12 एक्स - लॉग 7 84

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न

प्रमाण 4

आइए आधार के रूप में परिभाषा का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र प्राप्त करें:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

हमें अनिश्चितता मिली. इसका विस्तार करने के लिए, आइए एक नया वेरिएबल z = a ∆ x - 1 (z → 0 को ∆ x → 0 के रूप में) लिखें। इस स्थिति में, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a। के लिए अंतिम परिवर्तननए लघुगणक आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग किया गया था।

आइए हम मूल सीमा में स्थानापन्न करें:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a → 0 1 एलएन (जेड + 1) 1 जेड = ए एक्स · एलएन ए · 1 एलएन लिम ∆ एक्स → 0 (जेड + 1) 1 जेड

आइए हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा को याद रखें और फिर हम घातीय फलन के अवकलज के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

(ए एक्स) " = ए एक्स · एलएन ए · 1 एलएन लिम जेड → 0 (जेड + 1) 1 जेड = ए एक्स · एलएन ए · 1 एलएन ई = ए एक्स · एलएन ए

उदाहरण 3

घातीय कार्य दिए गए हैं:

एफ 1 (एक्स) = 2 3 एक्स, एफ 2 (एक्स) = 5 3 एक्स, एफ 3 (एक्स) = 1 (ई) एक्स

इनका व्युत्पन्न खोजना आवश्यक है।

समाधान

हम घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और लघुगणक के गुणों के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

एफ 1 " (एक्स) = 2 3 एक्स " = 2 3 एक्स एलएन 2 3 = 2 3 एक्स (एलएन 2 - एलएन 3) एफ 2 " (एक्स) = 5 3 एक्स " = 5 3 एक्स एलएन 5 1 3 = 1 3 5 3 एक्स एलएन 5 एफ 3 " (एक्स) = 1 (ई) एक्स " = 1 ई एक्स " = 1 ई एक्स एलएन 1 ई = 1 ई एक्स एलएन ई - 1 = - 1 ई एक्स

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

प्रमाण 5

आइए हम किसी के लिए लघुगणकीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का प्रमाण प्रदान करें एक्सपरिभाषा के क्षेत्र में और लघुगणक के आधार के किसी भी अनुमेय मान में। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम पाते हैं:

(लॉग a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

समानताओं की संकेतित श्रृंखला से यह स्पष्ट है कि परिवर्तन लघुगणक की संपत्ति पर आधारित थे। समानता lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e दूसरी उल्लेखनीय सीमा के अनुसार सत्य है।

उदाहरण 4

लघुगणकीय कार्य दिए गए हैं:

एफ 1 (एक्स) = लॉग एलएन 3 एक्स, एफ 2 (एक्स) = एलएन एक्स

उनके डेरिवेटिव की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए व्युत्पन्न सूत्र लागू करें:

एफ 1 " (एक्स) = (लॉग एलएन 3 एक्स) " = 1 एक्स · एलएन (एलएन 3) ; एफ 2 " (एक्स) = (एलएन एक्स) " = 1 एक्स एलएन ई = 1 एक्स

तो, प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को एक से विभाजित किया जाता है एक्स.

त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न

प्रमाण 6

आइए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों और पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करें।

साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हम पाते हैं:

(पाप x) " = लिम ∆ x → 0 पाप (x + ∆ x) - पाप x ∆ x

ज्याओं के अंतर का सूत्र हमें निम्नलिखित क्रियाएं करने की अनुमति देगा:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 पाप (x + ∆ x) - पाप x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 पाप x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 syn ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 ∆ x 2

अंत में, हम पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करते हैं:

पाप "x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाप एक्सइच्छा क्योंकि x.

हम कोज्या के अवकलज का सूत्र भी सिद्ध करेंगे:

क्योंकि x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 पाप - लिम ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 पाप x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - पाप x + 0 2 लिम ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 ∆ x 2 = - पाप x

वे। फलन cos x का अवकलज होगा – पाप एक्स.

हम विभेदन के नियमों के आधार पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के अवकलजों के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

t g " x = पाप x क्योंकि x " = पाप " cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " पाप 2 एक्स = - पाप 2 एक्स + क्योंकि 2 एक्स पाप 2 एक्स = - 1 पाप 2 एक्स

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न

व्युत्क्रम फलनों के व्युत्पन्न पर अनुभाग आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट के व्युत्पन्नों के सूत्रों के प्रमाण पर व्यापक जानकारी प्रदान करता है, इसलिए हम यहां सामग्री की नकल नहीं करेंगे।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न

साक्ष्य 7

हम विभेदन नियम और घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करके अतिशयोक्तिपूर्ण साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

एस एच " एक्स = ई एक्स - ई - एक्स 2 " = 1 2 ई एक्स " - ई - एक्स " = = 1 2 ई एक्स - - ई - एक्स = ई एक्स + ई - एक्स 2 = सी एच एक्स सी एच " एक्स = ई एक्स + ई - एक्स 2 " = 1 2 इ 2 एक्स - एस एच 2 एक्स सी एच 2 एक्स = 1 सी एच 2 एक्स सी टी एच " एक्स = सी एच एक्स एस एच एक्स " = सी एच " एक्स · एस एच एक्स - सी एच एक्स · एस एच " एक्स एस एच 2 एक्स = एस एच 2 एक्स - सी एच 2 एक्स एस एच 2 एक्स = - 1 एस एच 2 एक्स

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याद रखना बहुत आसान है.

ठीक है, आइए ज्यादा दूर न जाएं, आइए तुरंत व्युत्क्रम फलन पर विचार करें। कौन सा फलन घातांकीय फलन का व्युत्क्रम है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार संख्या है:

ऐसे लघुगणक (अर्थात, आधार वाला लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

यह किसके बराबर है? बिल्कुल।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: व्युत्पन्न परिप्रेक्ष्य से घातांकीय और प्राकृतिक लघुगणक विशिष्ट रूप से सरल कार्य हैं। किसी भी अन्य आधार के साथ घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका विश्लेषण हम बाद में, विभेदन के नियमों से गुजरने के बाद करेंगे।

विभेदीकरण के नियम

किस चीज़ के नियम? फिर से एक नया शब्द, फिर?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

बस इतना ही। इस प्रक्रिया को एक शब्द में आप और क्या कह सकते हैं? व्युत्पन्न नहीं... गणितज्ञ अंतर को किसी फ़ंक्शन की समान वृद्धि कहते हैं। यह शब्द लैटिन के डिफरेंशिया - अंतर से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल मिलाकर 5 नियम हैं.

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है।

यदि - कोई अचर संख्या (स्थिर), तो.

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें. इसे रहने दो, या सरल।

उदाहरण.

फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

1. एक बिंदु पर;
2. एक बिंदु पर;
3. एक बिंदु पर;
4. बिंदु पर.

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: आइए एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसकी वृद्धि ढूंढें:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि केवल घातांक ही नहीं, बल्कि किसी भी घातीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए (क्या आप अभी तक भूल गए हैं कि वह क्या है?)।

तो, कुछ संख्या कहां है.

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

इसके लिए हम प्रयोग करेंगे सरल नियम: . तब:

ख़ैर, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फ़ंक्शन जटिल है।

काम किया?

यहां, स्वयं जांचें:

सूत्र एक घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहा, केवल एक कारक दिखाई दिया, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन चर नहीं।

उदाहरण:
फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह मात्र एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती अर्थात इसे और अधिक लिखा नहीं जा सकता सरल रूप में. इसलिए, हम इसे उत्तर में इसी रूप में छोड़ते हैं।

ध्यान दें कि यहां दो कार्यों का भागफल है, इसलिए हम संबंधित विभेदन नियम लागू करते हैं:

इस उदाहरण में, दो कार्यों का उत्पाद:

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यह यहाँ समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ एक मनमाना लघुगणक खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार तक कम करने की आवश्यकता है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

केवल अब हम इसके बजाय लिखेंगे:

हर केवल एक अचर है (एक अचर संख्या, बिना किसी चर के)। व्युत्पन्न बहुत सरलता से प्राप्त किया जाता है:

यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

"जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चापस्पर्शज्या भी नहीं है। इन फ़ंक्शंस को समझना मुश्किल हो सकता है (हालाँकि यदि आपको लघुगणक कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और आप ठीक हो जाएंगे), लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर बेल्ट की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा उसे रिबन से बांधता है। परिणाम एक मिश्रित वस्तु है: एक चॉकलेट बार लपेटा हुआ और रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको उल्टे क्रम में उल्टे कदम उठाने होंगे।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, हमें एक नंबर (चॉकलेट) दिया जाता है, मैं उसका कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला उसका आप वर्ग कर देते हैं (इसे रिबन से बांध देते हैं)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया पहली क्रिया के परिणाम के साथ करते हैं।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका तर्क एक अन्य फ़ंक्शन है: .

हमारे उदाहरण के लिए, .

हम समान चरणों को उल्टे क्रम में आसानी से कर सकते हैं: पहले आप इसका वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोज्या ढूंढता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। महत्वपूर्ण विशेषताजटिल कार्य: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरा उदाहरण: (वही बात)। .

जो क्रिया हम अंतिम बार करेंगे वह कहलाएगी "बाहरी" फ़ंक्शन, और कार्रवाई पहले की गई - तदनुसार "आंतरिक" कार्य(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूँ)।

स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों को अलग करना चर बदलने के समान है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन में

1. हम पहले कौन सा कार्य करेंगे? सबसे पहले, आइए साइन की गणना करें, और उसके बाद ही इसे घन करें। इसका मतलब यह है कि यह एक आंतरिक कार्य है, लेकिन एक बाहरी कार्य है।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .

हम वेरिएबल बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपना चॉकलेट बार निकालेंगे और व्युत्पन्न की तलाश करेंगे। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंततः आधिकारिक नियम बनाएं:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

यह सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों से जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक इसे काटने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकलता है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम इसमें से जड़ भी निकालते हैं, यानी हम तीसरी क्रिया करते हैं (चॉकलेट को एक आवरण में रखें) और ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: हम अभी भी इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोज्या में, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक में। और फिर हम इसे सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। अर्थात्, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रियाएं करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

कार्रवाई जितनी देर से की जाएगी, संबंधित कार्य उतना ही अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम पहले जैसा ही है:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तरीय होता है। आइये कार्रवाई की दिशा तय करें.

1. उग्र अभिव्यक्ति. .

2. जड़. .

3. ज्या. .

4. चौकोर. .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न- तर्क की अतिसूक्ष्म वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

विभेदीकरण के नियम:

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

उत्पाद का व्युत्पन्न:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
3. हम पहले और दूसरे बिंदु के परिणामों को गुणा करते हैं।

सूत्र 3 एवं 5 को स्वयं सिद्ध करें।

विभेदीकरण के बुनियादी नियम

सीमा का उपयोग करके व्युत्पन्न खोजने की सामान्य विधि का उपयोग करके, कोई भी सबसे सरल विभेदन सूत्र प्राप्त कर सकता है। होने देना u=u(x),v=v(x)- एक चर के दो भिन्न कार्य एक्स.

सूत्र 1 एवं 2 को स्वयं सिद्ध करें।

फॉर्मूला 3 का प्रमाण.

होने देना y = u(x) + v(x).तर्क मान के लिए एक्स+Δ एक्सहमारे पास है य(एक्स+Δ एक्स)=यू(एक्स+Δ एक्स) + वी(एक्स+Δ एक्स).

Δ य=य(एक्स+Δ एक्स) – वाई(एक्स) = यू(एक्स+Δ एक्स) + वी(एक्स+Δ एक्स) – यू(एक्स) – वी(एक्स) = Δ यू +Δ वी.

इस तरह,

सूत्र 4 का प्रमाण.

होने देना y=u(x)·v(x).तब य(एक्स+Δ एक्स)=यू(एक्स+Δ एक्स)· वी(एक्स+Δ एक्स), इसीलिए

Δ य=यू(एक्स+Δ एक्स)· वी(एक्स+Δ एक्स) – यू(एक्स)· वी(एक्स).

ध्यान दें कि प्रत्येक फ़ंक्शन के बाद से यूऔर वीबिंदु पर भिन्न एक्स, तो वे इस बिंदु पर निरंतर हैं, जिसका अर्थ है यू(एक्स+Δ एक्स)→यू(एक्स), वी(एक्स+Δ एक्स)→वी(एक्स), Δ पर एक्स→0.

इसलिए हम लिख सकते हैं

इस संपत्ति के आधार पर, कोई भी किसी भी संख्या में कार्यों के उत्पाद को अलग करने के लिए एक नियम प्राप्त कर सकता है।

उदाहरण के लिए, चलो y=u·v·w.तब,

य " = यू "·( वीडब्ल्यू)+ यू·( वी·डब्ल्यू) "= यू "· वी·डब्ल्यू + यू·( वी"·डब्ल्यू+ वी·डब्ल्यू ")= यू "· वी·डब्ल्यू + यू· वी"·डब्ल्यू+ उ·वि·डब्ल्यू ".

सूत्र 5 का प्रमाण.

होने देना . तब

प्रमाण में हमने इस तथ्य का प्रयोग किया कि वी(एक्स+Δ एक्स)→वी(एक्स)Δ पर एक्स→0.

उदाहरण.

जटिल फलन के व्युत्पन्न पर प्रमेय

होने देना वाई = एफ(यू),ए यू= यू(एक्स). हमें फ़ंक्शन मिलता है यतर्क पर निर्भर करता है एक्स: y = f(u(x)).अंतिम फ़ंक्शन को फ़ंक्शन का फ़ंक्शन कहा जाता है या जटिल कार्य.

फ़ंक्शन परिभाषा डोमेन y = f(u(x))या तो फ़ंक्शन की परिभाषा का संपूर्ण डोमेन है यू=यू(एक्स) या वह भाग जिसमें मान निर्धारित होते हैं यू, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को नहीं छोड़ना य= एफ(यू).

फ़ंक्शन-फ़्रॉम-फ़ंक्शन ऑपरेशन केवल एक बार नहीं, बल्कि कई बार किया जा सकता है।

आइए एक जटिल फलन को विभेदित करने के लिए एक नियम स्थापित करें।

प्रमेय.यदि फ़ंक्शन यू= यू(एक्स) किसी बिंदु पर है एक्स 0व्युत्पन्न और इस बिंदु पर मान लेता है उ0 = यू(एक्स 0), और फ़ंक्शन y=f(u)बिंदु पर है उ0यौगिक य"तुम = एफ "(उ0), फिर एक जटिल कार्य y = f(u(x))निर्दिष्ट बिंदु पर एक्स 0इसका एक व्युत्पन्न भी है, जो बराबर है य"एक्स = एफ "(उ0)· यू "(एक्स 0), जहां के बजाय यूअभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए यू= यू(एक्स).

इस प्रकार, एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है यूके संबंध में मध्यवर्ती तर्क की व्युत्पत्ति के लिए एक्स.

सबूत. एक निश्चित मूल्य के लिए एक्स 0 हमारे पास होगा यू 0 =यू(एक्स 0), पर 0 =एफ(यू 0 ). एक नये तर्क मान के लिए एक्स 0+Δ एक्स:

Δ यू= यू(एक्स 0 + Δ एक्स) – यू(एक्स 0), Δ य=एफ(उ0+Δ यू) – एफ(उ0).

क्योंकि यू- एक बिंदु पर अवकलनीय एक्स 0, वह यू- इस बिंदु पर निरंतर है. इसलिए, Δ पर एक्स→0 Δ यू→0. इसी प्रकार Δ के लिए यू→0 Δ य→0.

शर्त से . इस संबंध से, सीमा की परिभाषा का उपयोग करके, हम (Δ पर) प्राप्त करते हैं यू→0)

जहां α→0 Δ पर है यू→0, और, परिणामस्वरूप, Δ पर एक्स→0.

आइए इस समानता को इस प्रकार पुनः लिखें:

Δ य=य"उΔ यू+α·Δ यू.

परिणामी समानता Δ के लिए भी मान्य है यूमनमाना α के लिए =0, क्योंकि यह पहचान 0=0 में बदल जाता है। Δ पर यू=0 हम α=0 मानेंगे। आइए परिणामी समानता के सभी पदों को Δ से विभाजित करें एक्स

.

शर्त से . इसलिए, Δ पर सीमा से गुजरना एक्स→0, हमें मिलता है य"एक्स = य"उ·उ" एक्स. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

तो, अंतर करने के लिए जटिल कार्य y = f(u(x)),आपको "बाहरी" फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है एफ, इसके तर्क को केवल एक चर के रूप में मानते हुए, और स्वतंत्र चर के संबंध में "आंतरिक" फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करें।

यदि फ़ंक्शन y=f(x)रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है y=f(u), u=u(v), v=v(x),फिर व्युत्पन्न y "x का पता लगाना पिछले प्रमेय के क्रमिक अनुप्रयोग द्वारा किया जाता है।

सिद्ध नियम के अनुसार हमारे पास है य"एक्स = य“यू यू"x. के लिए समान प्रमेय लागू करना यू"x हमें मिलता है, यानी

य"एक्स = य" एक्स यू" वी वी"एक्स = एफ"यू( यू)· यू" वी ( वी)· वी" एक्स ( एक्स).

उदाहरण.

व्युत्क्रम फलन की अवधारणा

चलिए एक उदाहरण से शुरू करते हैं. फ़ंक्शन पर विचार करें आप= एक्स 3. हम समानता पर विचार करेंगे य= एक्स 3एक समीकरण सापेक्ष के रूप में एक्स. यह प्रत्येक मान के लिए समीकरण है परएकल मान परिभाषित करता है एक्स: . ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि प्रत्येक सीधी रेखा अक्ष के समानांतर होती है बैलकिसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद करता है आप= एक्स 3केवल एक बिंदु पर. इसलिए हम विचार कर सकते हैं एक्सके एक समारोह के रूप में य. किसी फ़ंक्शन को फ़ंक्शन का व्युत्क्रम कहा जाता है आप= एक्स 3.

सामान्य मामले पर आगे बढ़ने से पहले, हम परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं।

समारोह वाई = एफ(एक्स)बुलाया की बढ़तीएक निश्चित खंड पर, यदि तर्क का बड़ा मूल्य एक्सइस खंड से फ़ंक्शन का एक बड़ा मान मेल खाता है, अर्थात। अगर एक्स 2 >एक्स 1, फिर एफ(एक्स 2 ) > एफ(एक्स 1 ).

फ़ंक्शन को इसी प्रकार कहा जाता है घटते, यदि तर्क का छोटा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, अर्थात अगर एक्स 2 < एक्स 1, फिर एफ(एक्स 2 ) > एफ(एक्स 1 ).

तो, आइए एक बढ़ता या घटता फलन दिया जाए y=f(x), कुछ अंतराल पर परिभाषित [ ए; बी]. निश्चितता के लिए, हम एक बढ़ते फलन पर विचार करेंगे (घटते फलन के लिए सब कुछ समान है)।

दो भिन्न मूल्यों पर विचार करें एक्स 1 और एक्स 2. होने देना य 1 =एफ(एक्स 1 ), वाई 2 =एफ(एक्स 2 ). बढ़ते फलन की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि एक्स 1 <एक्स 2, फिर पर 1 <पर 2. इसलिए, दो अलग-अलग मान एक्स 1 और एक्स 2 दो भिन्न फ़ंक्शन मानों से मेल खाता है पर 1 और पर 2. इसका विपरीत भी सत्य है, अर्थात अगर पर 1 <पर 2, तो बढ़ते फलन की परिभाषा से यह इस प्रकार है एक्स 1 <एक्स 2. वे। फिर से दो अलग-अलग मूल्य पर 1 और पर 2 दो अलग-अलग मानों से मेल खाता है एक्स 1 और एक्स 2. इस प्रकार, मूल्यों के बीच एक्सऔर उनके संगत मूल्य यएक-से-एक पत्राचार स्थापित किया गया है, अर्थात। समीकरण y=f(x)सभी के लिए य(फ़ंक्शन की सीमा से लिया गया y=f(x))एकल मान परिभाषित करता है एक्स, और हम ऐसा कह सकते हैं एक्सकुछ तर्क फ़ंक्शन है य: एक्स= जी(वाई).

इस फ़ंक्शन को कहा जाता है रिवर्ससमारोह के लिए y=f(x). जाहिर है, समारोह y=f(x)फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है x=g(y).

ध्यान दें कि उलटा कार्य x=g(y)समीकरण को हल करके पाया गया y=f(x)अपेक्षाकृत एक्स.

उदाहरण।फ़ंक्शन दिया जाए य= ई एक्स . यह फलन -∞ पर बढ़ता है< एक्स <+∞. Она имеет обратную функцию एक्स= लॉग य. व्युत्क्रम फलन का डोमेन 0< य < + ∞.

आइए कुछ टिप्पणियाँ करें।

नोट 1.यदि एक बढ़ता हुआ (या घटता हुआ) कार्य है y=f(x)अंतराल पर निरंतर है [ ए; बी], और f(a)=c, f(b)=d, तो व्युत्क्रम फलन परिभाषित होता है और अंतराल पर निरंतर होता है [ सी; डी].

नोट 2.यदि फ़ंक्शन y=f(x)एक निश्चित अंतराल पर न तो बढ़ रहा है और न ही घट रहा है, तो इसके कई विपरीत कार्य हो सकते हैं।

उदाहरण।समारोह y=x2-∞ पर परिभाषित<एक्स<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤एक्स<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <एक्स≤ 0 फलन - घटता है तथा इसका व्युत्क्रम होता है।

नोट 3.यदि कार्य y=f(x)और x=g(y)परस्पर प्रतिलोम होते हैं तो वे चरों के बीच समान संबंध व्यक्त करते हैं एक्सऔर य. अत: दोनों का ग्राफ एक ही वक्र है। लेकिन यदि हम व्युत्क्रम फलन के तर्क को फिर से निरूपित करें एक्स, और फ़ंक्शन के माध्यम से यऔर उन्हें एक ही समन्वय प्रणाली में प्लॉट करें, हमें दो अलग-अलग ग्राफ़ मिलेंगे। यह नोटिस करना आसान है कि ग्राफ पहले समन्वय कोण के समद्विभाजक के संबंध में सममित होंगे।

व्युत्पन्न व्युत्क्रम फलन पर प्रमेय

आइए हम एक प्रमेय सिद्ध करें जो हमें फलन का अवकलज ज्ञात करने की अनुमति देता है y=f(x), व्युत्क्रम फलन के व्युत्पन्न को जानना।

प्रमेय.यदि समारोह के लिए y=f(x)एक व्युत्क्रम फलन है x=g(y), जो किसी बिंदु पर पर 0 का एक व्युत्पन्न है जी "(वि0), शून्येतर, फिर संगत बिंदु पर एक्स 0=जी(एक्स 0) समारोह y=f(x)एक व्युत्पन्न है एफ "(एक्स 0), के बराबर, यानी सूत्र सही है.

सबूत. क्योंकि x=g(y)बिंदु पर भिन्न य 0, वह x=g(y)इस बिंदु पर निरंतर है, इसलिए फ़ंक्शन y=f(x)एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0=जी(य 0). इसलिए, Δ पर एक्स→0 Δ य→0.

चलिए वो दिखाते हैं .

होने देना । फिर, सीमा की संपत्ति द्वारा . आइए हम इस समानता को Δ की सीमा तक पार करें य→0. फिर Δ एक्स→0 और α(Δx)→0, अर्थात .

इस तरह,

,

क्यू.ई.डी.

इस सूत्र को इस रूप में लिखा जा सकता है.

आइए उदाहरणों का उपयोग करके इस प्रमेय के अनुप्रयोग को देखें।

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।

तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम सामने आए। . डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) थे।

इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि आपको केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है व्युत्पन्न और विभेदीकरण के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको मुख्य चिह्न के अंतर्गत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को घटकों में तोड़ेंऔर निर्धारित करें कि कौन से कार्य होंगे (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं. इसके बाद, हम व्युत्पन्न की तालिका में प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र - विभेदन के नियमों में पाते हैं। व्युत्पन्न तालिका और विभेदन नियम पहले दो उदाहरणों के बाद दिए गए हैं।

उदाहरण 1.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। विभेदीकरण के नियमों से हमें पता चलता है कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्नों का योग है, अर्थात।

डेरिवेटिव की तालिका से हमें पता चलता है कि "X" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न ढूंढते हैं:

उदाहरण 2.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम उस योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करते हैं जिसमें दूसरे पद का एक स्थिर कारक होता है, इसे व्युत्पन्न चिह्न से निकाला जा सकता है:

यदि अभी भी इस बारे में प्रश्न उठते हैं कि कुछ कहां से आता है, तो वे आमतौर पर डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों से परिचित होने के बाद साफ़ हो जाते हैं। हम अभी उन पर आगे बढ़ रहे हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका

1. एक अचर (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फ़ंक्शन अभिव्यक्ति में है। सदैव शून्य के बराबर. यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी अक्सर आवश्यकता होती है
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। बहुधा "एक्स"। सदैव एक के बराबर। इसे लंबे समय तक याद रखना भी जरूरी है
3. डिग्री का व्युत्पन्न. समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को घातों में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है।
4. घात -1 के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. वर्गमूल का व्युत्पन्न
6. साइन का व्युत्पन्न
7. कोसाइन का व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति
11. आर्ककोसाइन का व्युत्पन्न
12. आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न
13. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. लघुगणक फलन का व्युत्पन्न
16. घातांक की व्युत्पत्ति
17. एक घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम

1. किसी योग या अंतर की व्युत्पत्ति
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
2ए. किसी अचर गुणनखंड से गुणा किये गये व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न

नियम 1।यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो फ़ंक्शन एक ही बिंदु पर अवकलनीय हैं

और

वे। कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

परिणाम। यदि दो भिन्न-भिन्न फलनों में एक स्थिर पद का अंतर हो, तो उनके अवकलज बराबर होते हैं, यानी

नियम 2.यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो उनका उत्पाद भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है

और

वे। दो फलनों के उत्पाद का व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक फलन के उत्पाद और दूसरे के व्युत्पन्न के योग के बराबर होता है।

परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:

परिणाम 2. कई भिन्न-भिन्न कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:

नियम 3.यदि कार्य

किसी बिंदु पर भिन्न और , तो फिर इस बिंदु पर उनका भागफल भी भिन्न हैयू/वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर का वर्ग होता है पूर्व अंश.

अन्य पेजों पर चीज़ें कहां खोजें

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न और वास्तविक समस्याओं में भागफल का पता लगाते समय, एक साथ कई विभेदीकरण नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए लेख में इन व्युत्पन्नों पर अधिक उदाहरण हैं"उत्पाद का व्युत्पन्न और कार्यों का भागफल".

टिप्पणी।आपको किसी स्थिरांक (अर्थात् एक संख्या) को योग में एक पद और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! किसी पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर कर दिया जाता है। यह एक सामान्य गलती है जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होती है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक- और दो-भाग वाले उदाहरणों को हल करता है, वह अब यह गलती नहीं करता है।

और यदि, किसी उत्पाद या भागफल को अलग करते समय, आपके पास एक शब्द है यू"वी, जिसमें यू- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिरांक, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, संपूर्ण पद शून्य के बराबर होगा (इस मामले पर उदाहरण 10 में चर्चा की गई है)।

एक और आम गलती एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में यांत्रिक रूप से हल करना है। इसीलिए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएक अलग लेख समर्पित है. लेकिन पहले हम सरल फलनों के व्युत्पन्न खोजना सीखेंगे।

साथ ही, आप भावों को बदले बिना नहीं रह सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नई विंडो में मैनुअल खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ संचालन .

यदि आप घातों और मूलों के साथ भिन्नों के व्युत्पन्नों के समाधान की तलाश कर रहे हैं, अर्थात, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है , फिर पाठ का अनुसरण करें "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न।"

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , फिर आप "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" पाठ लेंगे।

चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के भागों को परिभाषित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग हैं, जिनमें से दूसरे में एक पद में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा इनमें से प्रत्येक कार्य के उत्पादों के योग के बराबर होता है:

इसके बाद, हम योग विभेदन का नियम लागू करते हैं: कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में दूसरे पद में ऋण चिह्न होता है। प्रत्येक योग में हम एक स्वतंत्र चर, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर है, और एक स्थिरांक (संख्या) दोनों देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। तो, "X" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 शून्य में बदल जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम दो को "x" के व्युत्पन्न के समान इकाई से गुणा करते हैं। हमें निम्नलिखित व्युत्पन्न मान प्राप्त होते हैं:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

और आप व्युत्पन्न समस्या के समाधान की जांच कर सकते हैं।

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना आवश्यक है। हम भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है। हर, और हर पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हमने उदाहरण 2 में अंश में गुणनखंडों का व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है। हमें यह भी नहीं भूलना चाहिए कि गुणनफल, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा गुणनखंड है, ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:

यदि आप उन समस्याओं का समाधान ढूंढ रहे हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और शक्तियों का निरंतर ढेर होता है, जैसे, उदाहरण के लिए, , फिर कक्षा में आपका स्वागत है "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न" .

यदि आपको साइन, कोसाइन, टेंगेंट और अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव के बारे में अधिक जानने की ज़रूरत है, यानी, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है , तो आपके लिए एक सबक "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" .

उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक उत्पाद देखते हैं, जिसका एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न से हमने व्युत्पन्न की तालिका में खुद को परिचित किया है। उत्पाद और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान को अलग करने के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

आप व्युत्पन्न समस्या का समाधान यहां देख सकते हैं ऑनलाइन डेरिवेटिव कैलकुलेटर .

उदाहरण 6.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक भागफल देखते हैं जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल है। भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करते हुए, जिसे हमने दोहराया और उदाहरण 4 में लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, अंश और हर को से गुणा करें।

गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना व्युत्पन्न और इसकी गणना करने की विधियों के ज्ञान के बिना पूरी तरह से असंभव है। गणितीय विश्लेषण में व्युत्पन्न सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज का लेख इस मूलभूत विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह हो जाये एफ(एक्स) , एक निश्चित अंतराल में निर्दिष्ट (ए, बी) . बिंदु x और x0 इस अंतराल से संबंधित हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क बदलना - उसके मूल्यों में अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा गया है डेल्टा एक्स और इसे तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न की परिभाषा:

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, जब तर्क शून्य हो जाता है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? और यहाँ यह है:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न OX अक्ष और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न सरलरेखीय गति की गति के बराबर है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही हर कोई जानता है कि गति एक विशेष मार्ग है x=f(t) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

किसी समय में गति की गति का पता लगाना टी0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: एक स्थिरांक निर्धारित करें

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए. गणित में उदाहरण हल करते समय इसे एक नियम के रूप में लें - यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो उसे सरल बनाना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो भिन्न कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान:

यहां जटिल फलनों के व्युत्पन्नों की गणना के बारे में बात करना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है।

उपरोक्त उदाहरण में हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पाँचवीं घात से 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो फलनों के भागफल का अवकलज ज्ञात करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर खामियां होती हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन परीक्षा को हल करने और कार्यों को समझने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी व्युत्पन्न गणना नहीं की हो।