कठोर शरीर स्थैतिक:
बलों की स्थानिक प्रणाली
§ 7. बलों की प्रणाली को उसके सरलतम रूप में कम करना

विषय पर समस्याएँ

7.1 जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है, किनारों की दिशा में घन के शीर्षों पर बल लगाए जाते हैं। बल मॉड्यूल F1, F2, F3, F4, F5 और F6 को संतुलन में रहने के लिए किन शर्तों को पूरा करना होगा?
समाधान

7.2 तीन बल P, परिमाण में समान, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के तीन गैर-प्रतिच्छेदी और गैर-समानांतर किनारों पर कार्य करते हैं, किनारों a, b और c के बीच क्या संबंध होना चाहिए ताकि यह प्रणाली एक परिणामी में कम हो जाए?
समाधान

7.3 घन के चार शीर्षों A, H, B और D पर समान परिमाण के चार बल लगाए जाते हैं: P1=P2=P3=P4=P, बल P1 को AC के अनुदिश, P2 को HF के अनुदिश, P3 को BE के अनुदिश और P4 अनुदिश निर्देशित करते हैं। डीजी. इस प्रणाली को इसके सरलतम रूप में लाएँ।
समाधान

7.4 निम्नलिखित बल एक नियमित चतुष्फलक ABCD पर लागू होते हैं, जिसके किनारे a के बराबर होते हैं: किनारे AB के साथ F1, किनारे CD के साथ F2 और किनारे BD के मध्य में बिंदु E पर F3। बलों F1 और F2 के परिमाण मनमाने हैं, और x, y और z अक्षों पर बल F3 के प्रक्षेपण +F25√3/6 के बराबर हैं; -F2/2; -F2√(2/3). क्या बलों की यह प्रणाली एक परिणामी तक सीमित हो गई है? यदि दिया गया है, तो ऑक्सज़ विमान के साथ परिणामी क्रिया की रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के x और z निर्देशांक खोजें।
समाधान

7.5 एक घन के शीर्षों पर, जिसके किनारे 5 सेमी लंबे हैं, समान परिमाण के छह बल, प्रत्येक 2 N, लगाए जाते हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। इस प्रणाली को इसके सरलतम रूप में लाएँ।
समाधान

7.6 बलों की प्रणाली: P1=8 N, Oz के अनुदिश निर्देशित, और P2=12 N, Oy के समानांतर निर्देशित, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है, जहाँ OA=1.3 m, विहित रूप में लाते हैं, मुख्य वेक्टर का मान निर्धारित करते हैं इन सभी बलों का V और केंद्रीय कुंडलित अक्ष पर लिए गए एक मनमाने बिंदु के सापेक्ष उनके मुख्य क्षण M का परिमाण। केंद्रीय पेचदार अक्ष द्वारा समन्वय अक्षों के साथ बनाए गए कोण α, β और γ खोजें, साथ ही उस बिंदु के x और y निर्देशांक खोजें जहां यह ऑक्सी विमान से मिलता है।
समाधान

7.7 तीन बल P1, P2 और P3 निर्देशांक तलों में स्थित हैं और निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं, लेकिन इन्हें किसी भी दिशा में निर्देशित किया जा सकता है। उनके अनुप्रयोग बिंदु A, B और C मूल बिंदु से दी गई दूरी a, b और c पर हैं। इन बलों के परिमाण को किस शर्त को पूरा करना होगा ताकि उन्हें एक परिणामी में घटाया जा सके? निर्देशांक के मूल से होकर गुजरने वाली एक केंद्रीय पेचदार धुरी के लिए इन बलों के परिमाण को किस शर्त को पूरा करना चाहिए?
समाधान

7.8 एक नियमित चतुष्फलक ABCD जिसके किनारे a के बराबर हैं, किनारे AB पर बल F1 और किनारे CD पर बल F2 के अधीन है। ऑक्सी तल के साथ केंद्रीय कुंडलित अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के x और y निर्देशांक ज्ञात करें।
समाधान

7.9 बारह बल P, परिमाण में समान, a के बराबर घन के किनारों पर कार्य करते हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। बलों की इस प्रणाली को विहित रूप में लाएँ और ऑक्सी तल के साथ केंद्रीय पेचदार अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के x और y निर्देशांक निर्धारित करें।
समाधान

7.10 एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के किनारों पर क्रमशः 10 मीटर, 4 मीटर और 5 मीटर के बराबर छह बल हैं: P1=4 N, P2=6 N, P3=3 N, P4=2 N, P5=6 N, P6=8 N. बलों की इस प्रणाली को विहित रूप में लाएँ और ऑक्सी तल के साथ केंद्रीय पेचदार अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के x और y निर्देशांक निर्धारित करें।
समाधान

7.11 बांध पर पानी के दबाव के परिणामी बल P=8000 kN और F=5200 kN को आधार से H=4 मीटर और h=2.4 मीटर की दूरी पर संबंधित चेहरों के लंबवत मध्य ऊर्ध्वाधर विमान में लगाया जाता है। बांध के आयताकार भाग का भार बल G1=12000 kN इसके केंद्र पर लगाया जाता है, और त्रिकोणीय भाग का भार बल G2=6000 kN त्रिकोणीय के निचले आधार की लंबाई के एक तिहाई की दूरी पर लगाया जाता है इस अनुभाग के ऊर्ध्वाधर किनारे से अनुभाग। आधार पर बांध की चौड़ाई b=10 मीटर है, शीर्ष पर a=5 मीटर है; tan α=5/12. उस मिट्टी की वितरित प्रतिक्रिया बलों का परिणाम निर्धारित करें जिस पर बांध स्थापित किया गया है।
समाधान

7.12 रेडियो मस्तूल वजन के साथ ठोस आधारजी=140 केएन. एंटीना तनाव बल F=20 kN और परिणामी पवन दबाव बल P=50 kN मस्तूल पर लगाया जाता है; दोनों बल क्षैतिज हैं और परस्पर लंबवत तलों में स्थित हैं; एच=15 मीटर, एच=6 मीटर उस मिट्टी की परिणामी प्रतिक्रिया निर्धारित करें जिसमें मस्तूल का आधार रखा गया है।

केंद्र में बलों की एक प्रणाली लाना

प्रश्न

व्याख्यान 6

3. बलों की एक मनमानी प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति

1. बलों की एक मनमानी प्रणाली पर विचार करें। आइए एक मनमाना बिंदु चुनें के बारे मेंकमी के केंद्र से परे और, बल के समानांतर हस्तांतरण पर प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम के सभी बलों को एक दिए गए बिंदु पर स्थानांतरित करते हैं, प्रत्येक बल को स्थानांतरित करते समय बलों की एक संबद्ध जोड़ी को जोड़ना नहीं भूलते हैं।

आइए हम बलों की मूल प्रणाली के मुख्य वेक्टर के बराबर एक बल के साथ अभिसरण बलों की परिणामी प्रणाली को प्रतिस्थापित करें। स्थानांतरण के दौरान गठित बल जोड़े की प्रणाली को सभी बल जोड़े के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर एक पल के साथ एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा (यानी, केंद्र के सापेक्ष मूल बल प्रणाली के क्षणों का ज्यामितीय योग) के बारे में).

इस क्षण को कहा जाता है केंद्र O के सापेक्ष बल प्रणाली का मुख्य क्षण (चित्र 1.30)।

चावल। 1.30. केंद्र में बलों की एक प्रणाली लाना

इसलिए, बलों की किसी भी प्रणाली को हमेशा केवल दो बल कारकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है - मनमाने ढंग से चुने गए कमी के केंद्र के सापेक्ष प्रमुख वेक्टर और प्रमुख क्षण . जाहिर है, बल प्रणाली का मुख्य वेक्टर कमी के केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है (मुख्य वेक्टर को कमी के केंद्र की पसंद के संबंध में अपरिवर्तनीय कहा जाता है)। यह भी स्पष्ट है कि मुख्य क्षण में यह गुण नहीं होता है, इसलिए यह इंगित करना हमेशा आवश्यक होता है कि मुख्य क्षण किस केंद्र के सापेक्ष निर्धारित होता है।

2. बलों की प्रणाली को उसके सरलतम रूप में लाना

मनमानी बल प्रणालियों के और अधिक सरलीकरण की संभावना उनके मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण के मूल्य के साथ-साथ कमी के केंद्र की सफल पसंद पर निर्भर करती है। निम्नलिखित मामले संभव हैं:

ए) , । इस मामले में, सिस्टम एक पल के साथ बलों की एक जोड़ी में कम हो जाता है, जिसका मूल्य कमी के केंद्र की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

बी) , । सिस्टम को परिणामी के बराबर कम कर दिया जाता है, जिसकी कार्रवाई की रेखा केंद्र से होकर गुजरती है के बारे में.

ग) और परस्पर लंबवत हैं। सिस्टम को परिणामी के बराबर कम कर दिया गया है, लेकिन केंद्र से होकर नहीं गुजर रहा है के बारे में(चित्र 1.31)।

चावल। 1.31. परिणामी में बलों की एक प्रणाली लाना

आइए मुख्य क्षण को बलों की एक जोड़ी से बदलें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1.31. आइए परिभाषित करें आरउस स्थिति से एम 0 = आर एच. फिर, स्थैतिक के दूसरे सिद्धांत के आधार पर, आइए हम एक बिंदु पर लागू दो बलों की संतुलित प्रणाली को अस्वीकार करें के बारे में.

घ) और समानांतर। सिस्टम एक गतिशील पेंच द्वारा संचालित होता है, जिसकी एक धुरी केंद्र से होकर गुजरती है के बारे में(चित्र 1.32)।

चावल। 1.32. गतिशील पेंच

ई) और शून्य के बराबर नहीं हैं, और साथ ही मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण एक दूसरे के समानांतर या लंबवत नहीं हैं। सिस्टम एक गतिशील पेंच द्वारा संचालित होता है, लेकिन अक्ष केंद्र से नहीं गुजरता है के बारे में(चित्र 1.33)।

चावल। 1.33. बलों की एक प्रणाली को कम करने का सबसे सामान्य मामला

बलों की एक समतल प्रणाली भी एक मनमाने ढंग से चुने गए केंद्र O पर लगाए गए बल और एक पल के साथ एक जोड़ी के बराबर बल में कम हो जाती है

इस मामले में, वेक्टर को या तो एक बल बहुभुज का निर्माण करके ज्यामितीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है (पैराग्राफ 4 देखें), या विश्लेषणात्मक रूप से। इस प्रकार, बलों की एक समतल प्रणाली के लिए

आर एक्स =एफ केएक्स, आर वाई =एफ क्यू,

जहां अंतिम समानता के सभी क्षण बीजगणितीय हैं और योग भी बीजगणितीय है।

आइए जानें कि इसे किस सरलतम रूप में कम किया जा सकता है समतल प्रणालीऐसी ताकतें जो संतुलन में नहीं हैं। परिणाम R और M O के मूल्यों पर निर्भर करता है।

• 1. यदि बलों की दी गई प्रणाली R=0 के लिए, एक M O ?0 है, तो इसे एक पल M O के साथ एक जोड़ी में घटा दिया जाता है, जिसका मान केंद्र O की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।
• 2. यदि बलों की किसी दी गई प्रणाली के लिए R?0, तो यह एक बल में कम हो जाता है, अर्थात परिणामी में। इस मामले में, दो स्थितियाँ संभव हैं:
  • ए) आर?0, एम ओ =0. इस मामले में, सिस्टम, जैसा कि तुरंत स्पष्ट है, केंद्र O से गुजरने वाले परिणामी R तक कम हो जाता है;
  • बी) आर?0, एम ओ?0। इस मामले में, M O क्षण वाले एक जोड़े को R"=R, और R"= - R लेते हुए दो बलों R" और R" द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, यदि d=OC जोड़ी की भुजा है, तो यह Rd=|M O | होना चाहिए।

अब बलों आर और आर" को संतुलित मानने से इनकार करने के बाद, हम पाते हैं कि बलों की पूरी प्रणाली को बिंदु सी से गुजरने वाले परिणामी आर" = आर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। बिंदु सी की स्थिति दो स्थितियों से निर्धारित होती है: 1) दूरी ओसी = डी () को समानता आरडी = | को संतुष्ट करना होगा। 2) बिंदु C पर लगाए गए बल R" के केंद्र O के सापेक्ष क्षण का चिह्न, अर्थात m O (R") का चिन्ह M O के चिन्ह के साथ मेल खाना चाहिए।

स्थैतिकी का मौलिक प्रमेय.किसी कठोर पिंड पर कार्य करने वाले बलों की एक मनमानी प्रणाली को एक बल और बलों की एक जोड़ी से युक्त समकक्ष प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। बल बल प्रणाली के मुख्य वेक्टर के बराबर है और शरीर के मनमाने ढंग से चयनित बिंदु (कमी का केंद्र) पर लागू होता है, जोड़े का क्षण इस बिंदु के सापेक्ष बल प्रणाली के मुख्य क्षण के बराबर होता है।

बल प्रणाली का मुख्य वेक्टर:

.

केंद्र के सापेक्ष बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण हे:

निर्देशांक अक्षों पर इसके प्रक्षेपणों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

, , ,

.

बलों की एक प्रणाली को केंद्र में लाने के निम्नलिखित मामले संभव हैं:

बलों की प्रणाली एक परिणामी तक कम हो जाती है। परिणामी की क्रिया की रेखा कमी के केंद्र से होकर गुजरती है।

बलों की एक प्रणाली को बलों की एक जोड़ी में बदल दिया जाता है।

3. , , - बलों की प्रणाली में एक परिणाम होता है जो कमी के केंद्र से नहीं गुजरता है। इसकी क्रिया की दिशा समीकरणों द्वारा निर्धारित होती है

4. , , - बलों की प्रणाली एक गतिशील पेंच (बल और बल के लंबवत समतल में स्थित एक युग्म) में बदल जाती है।

एक गतिशील प्रोपेलर की कुछ ताकतों का क्षण

.

गतिशील पेंच की धुरी समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती है

5. , - बलों की एक संतुलित प्रणाली।

उदाहरण 1.4.1. बलों की प्रणाली (चित्र 1.4.1) को उसके सरलतम रूप में लाएँ, यदि एफ 1 = 5 एन, एफ 2 = 15 एन, एफ 3 = 10 एन, एफ 4 = 3 एन, ए= 2 मी.

1. कमी के केंद्र के लिए, निर्देशांक का मूल बिंदु चुनें - बिंदु हे(चित्र 1.4.2) और कोण ए और बी इंगित करें जो बल की स्थिति निर्धारित करते हैं।

2. निर्देशांक अक्षों पर मुख्य वेक्टर के प्रक्षेपण खोजें:

,

,

.

एन।

3. बिंदु के सापेक्ष मुख्य क्षण के अनुमानों की गणना करें के बारे मेंनिर्देशांक अक्ष पर:

,

,

,

एनएम, एनएम, एनएम,

4. मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण के अदिश गुणनफल का मान ज्ञात कीजिए

चूंकि, बलों की प्रणाली को सही गतिशील पेंच में लाया जाता है। गतिशील प्रोपेलर की एक जोड़ी का क्षण वेक्टर और मुख्य वेक्टर दिशा में मेल खाते हैं।

5. गतिशील प्रोपेलर अक्ष के समीकरण का रूप है:

या पाए गए मानों को ध्यान में रखते हुए:

एक गतिशील प्रोपेलर की धुरी का निर्माण करने के लिए, हम बिंदु पाते हैं एऔर बीनिर्देशांक तलों के साथ इसका प्रतिच्छेदन ऑक्सीऔर ओयज़,क्रमश:

–0.203 मीटर 1.063 मीटर

6. आइए हम एक गतिशील प्रोपेलर के बलों की एक जोड़ी का क्षण निर्धारित करें

एनएम.

7. बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एऔर बीआइए गतिशील पेंच की धुरी को चित्रित करें (चित्र 1.4.3)। इस अक्ष पर एक मनमाना बिंदु पर, हम जोड़ी के मुख्य वेक्टर और क्षण वेक्टर के बराबर एक बल दर्शाते हैं।

समस्या 1.4.1. क्या बलों की परिणामी प्रणाली जिसके लिए मुख्य वेक्टर है और केंद्र के सापेक्ष मुख्य क्षण के बारे में .

उत्तर: हाँ.

समस्या 1.4.2. क्या बलों की परिणामी प्रणाली जिसके लिए मुख्य वेक्टर और केंद्र के सापेक्ष मुख्य क्षण है के बारे में .

उत्तर: नहीं.

समस्या 1.4.3. कमी के केंद्र से दूरी निर्धारित करें के बारे मेंबलों की परिणामी प्रणाली की क्रिया की घाटी (चित्र 1.4.4), यदि इसका मुख्य वेक्टर है आर= 15 एन और मुख्य क्षण एम ओ= 30 एनएम.

उत्तर: 2 मी.

समस्या 1.4.4. संदर्भ बिंदु को कमी के केंद्र के रूप में लेते हुए, चित्र 1.4.5 में दिखाए गए बलों की प्रणाली के मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण के बीच का कोण निर्धारित करें हे, अगर एफ 1 = एफ 2 = 2 एन, कुछ बलों का क्षण एम 1 = 3 एनएम, ओए= 1.5 मी.

उत्तर: α = 0º.

समस्या 1.4.5. संदर्भ बिंदु को कमी के केंद्र के रूप में लेते हुए, चित्र 1.4.6 में दिखाए गए बल प्रणाली के मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण के बीच का कोण निर्धारित करें के बारे में, अगर एफ 1 = एफ 2 = एफ 3 = 10 एन, ए= 3 मी.

उत्तर: α = 135º.

समस्या 1.4.6. चित्र 1.4.7 में दर्शाए गए बलों की प्रणाली का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण ज्ञात कीजिए, यदि एफ 1 = एफ 2 = एफ 3 = 7 एन, ए ओए = ओबी = ओएस= 2 मीटर बिंदु को न्यूनीकरण केंद्र के रूप में लें के बारे में.

उत्तर: आर = 0, एम ओ= 17.146 एनएम.

चावल। 1.4.6	चावल। 1.4.7

समस्या 1.4.7. समांतर चतुर्भुज (चित्र 1.4.8) के शीर्षों पर लागू बलों की प्रणाली को उसके सरलतम रूप में लाएँ, यदि एफ 1 = 16 एन, एफ 2 = 12 एन, एफ 3 = 20 एन, ए = साथ= 2.4 मीटर, बी=1.8 मी.

एम= 48 एनएम.

समस्या 1.4.8. घन के शीर्षों पर लागू बलों की प्रणाली को उसके सरलतम रूप में लाएँ (चित्र 1.4.9), यदि एफ 1 = 15 एन, एफ 2 = 40 एन, एफ 3 = 25 एन,
एफ 4 = एफ 5 = 20 एन, ए= 1.5 मी.

उत्तर: बलों की प्रणाली एक पल के साथ बलों की एक जोड़ी में कम हो जाती है एम= 63.65 एनएम.

समस्या 1.4.9. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड पर लागू बलों की एक प्रणाली लाएँ, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1.4.10, सरलतम रूप में, यदि एफ 1 = एफ 2 = एफ 3 = एफ 4 = 1 एन, एफ 5 = 2.83 एन, अब = जैसा= 2 मी.

उत्तर : बलों की प्रणाली संतुलित है.

चावल। 1.4.8	चावल। 1.4.9
चावल। 1.4.10	चावल। 1.4.11

समस्या 1.4.10.एक आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 1.4.11) के शीर्षों पर लागू बलों की प्रणाली को उसके सरलतम रूप में लाएँ, यदि एफ 1 = एफ 5 = 10 एन, एफ 3 = 40 एन, एफ 4 = 15 एन, एफ 2 = 9 एन, ए= 2.4 मीटर, बी= 3.2 मीटर, सी= 1 मी.

उत्तर: बलों की प्रणाली एक परिणामी में कम हो जाती है आर= 32 एन, जिसकी क्रिया रेखा अक्ष के समानांतर है ओएऔर बिंदु से होकर गुजरता है ए (0,9; 0; 0).

समस्या 1.4.11.एक आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 1.4.12) के शीर्षों पर लागू बलों की प्रणाली को उसके सरलतम रूप में लाएँ, यदि एफ 1 = एफ 3 = 3 एन, एफ 2 = एफ 6 = 6 एन, एफ 4 = एफ 5 = 9 एन, ए= 3 मीटर, बी= 2 मीटर, सी= 1 मी.

उत्तर : बलों की प्रणाली संतुलित है.

समस्या 1.4.12.एक आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 1.4.13) के शीर्षों पर लागू बलों की प्रणाली को उसके सरलतम रूप में लाएँ, यदि एफ 1 = एफ 4 =एफ 5 = 50 एन, एफ 2 = 120 एन, एफ 3 = 30 एन, ए= 4 मीटर, बी= 3 मीटर, सी= 5 मी.

आर= 80 N, जिसकी क्रिया रेखा अक्ष के समानांतर है ओएऔर बिंदु से होकर गुजरता है ए (0,0,10).

समस्या 1.4.13.घन के शीर्षों पर लागू बलों की प्रणाली को उसके सरलतम रूप में लाएँ (चित्र 1.4.14), यदि ए= 1 मी, एफ 1 = 866 एन, एफ 2 = एफ 3 = एफ 4 = एफ 5 = 500 एन। स्वीकार करने का निर्णय लेते समय।

उत्तर: सिस्टम को परिणामी में घटा दिया गया है आर= 7.07 एन.

चावल। 1.4.12	चावल। 1.4.13
चावल। 1.4.14	चावल। 1.4.15

समस्या 1.4.14.लागू बलों की प्रणाली को सही पर लाएँ त्रिकोणीय पिरामिड(चित्र 1.4.15), सरलतम रूप में, यदि एफ 1 = एफ 2 = एफ 3 = एफ 4 = एफ 5 = एफ 6 = 1 एन, अब = जैसा= 2 मी.

उत्तर: बलों की प्रणाली एक गतिशील पेंच से संचालित होती है आर= 1.41 एन और एम= 1.73 एनएम, पावर स्क्रू की धुरी शीर्ष से होकर गुजरती है एसपिरामिड के आधार के लंबवत.

समस्या 1.4.15.आधार के साथ रेडियो मस्तूल का वजन जी= 140 केएन. एंटीना तनाव बल मस्तूल पर लगाया जाता है एफ= 20 kN और परिणामी पवन दबाव बल पी= 50 केएन; दोनों बल क्षैतिज हैं और परस्पर लंबवत तलों में स्थित हैं (चित्र 1.4.16)। उस मिट्टी की परिणामी प्रतिक्रिया निर्धारित करें जिसमें मस्तूल का आधार रखा गया है।

उत्तर: जमीनी प्रतिक्रिया बलों की एक वितरित प्रणाली को 150 kN के बराबर बल और 60 kN∙m के क्षण के साथ एक जोड़े के साथ बाएं गतिशील प्रोपेलर में संचालित किया जाता है। केंद्रीय पेचदार अक्ष के समीकरण का रूप है

.

ग्रैविटी केंद्र

किसी ठोस पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र किसी दिए गए पिंड के कणों के समानांतर गुरुत्वाकर्षण बल का केंद्र होता है।

,

सजातीय पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए समरूपता विधि का उपयोग किया जाता है, सरल आकार के पिंडों में विभाजित करने की विधि ज्ञात स्थितिगुरुत्वाकर्षण के केंद्र, साथ ही नकारात्मक द्रव्यमान (रेखाएं, क्षेत्र, आयतन) की विधि।

उदाहरण 1.5.1.समान रैखिक भार वाली सजातीय छड़ों से बने एक सपाट ट्रस (चित्र 1.5.1) के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें।

1. आइए विभाजन विधि लागू करें, यानी ट्रस को सात छड़ों के एक सेट के रूप में कल्पना करें।

2. सूत्रों का उपयोग करके ट्रस के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करें:

; ,

जहां, संख्या के साथ छड़ के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की लंबाई और निर्देशांक हैं।

छड़ों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों की लंबाई और निर्देशांक:

तब ,

उदाहरण 1.5.2.हैंगर की अंतिम दीवार (चित्र 1.5.2) में अर्धवृत्त का आकार है 1 आयताकार द्वार के साथ त्रिज्या 2 ऊंचाई और चौड़ाई दीवार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें।

1. आइए अर्धवृत्त पर विचार करते हुए समरूपता और नकारात्मक क्षेत्रों की विधियों को लागू करें 1 और आयताकार कटआउट 2 .

2. दीवार के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करें।

क्योंकि धुरी ओहसममिति का अक्ष है, फिर निर्देशांक

प्लेट के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का निर्देशांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जहां , , , आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के क्षेत्र और निर्देशांक हैं 1 और 2 .

आंकड़ों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के क्षेत्र और निर्देशांक:

कार्य 1.5.1 – 1.5.4.समान रैखिक भार वाली सजातीय छड़ों से बने फ्लैट ट्रस (चित्र 1.5.3 - 1.5.6) के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करें।

समस्याओं के उत्तर 1.5.1 – 1.5.4:

कार्य क्रमांक	1.5.1	1.5.2	1.5.3	1.5.4
, एम	1,52	3,88	3,0	1,59
, एम	0,69	1,96	1,73	0,17

चावल। 1.5.3	चावल। 1.5.4
चावल। 1.5.5	चावल। 1.5.6
चावल। 1.5.7	चावल। 1.5.8

समस्याएँ 1.5.5 – 1.5.7.सजातीय समग्र रेखाओं के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करें (चित्र 1.5.7 - 1.5.9)।

समस्याओं के उत्तर 1.5.5 – 1.5.7:

कार्य क्रमांक	1.5.5	1.5.6	1.5.7
, सेमी			–4,76
, सेमी		14,16	3,31

चावल। 1.5.9	चावल। 1.5.10
चावल। 1.5.11	चावल। 1.5.12

समस्या 1.5.8. समकोण पर मुड़ा हुआ एक सजातीय तार एक धागे पर लटका हुआ है (चित्र 1.5.10)। अनुभागों की लंबाई के बीच संबंध खोजें विज्ञापनऔर ए.ई., जिस पर क्षेत्र ए.ई.क्षैतिज स्थिति में है. अब = 0,3 एल 1 .

समस्या 1.5.9. एक सजातीय तार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें (चित्र 1.5.11), यदि ए= 3 मीटर, बी= 2 मीटर, सी= 1.5 मी.

उत्तर: एक्ससी= 1.69 मीटर, वाईसी= 1.38 मीटर, जेड सी= 1.33 मी.

समस्या 1.5.10. अर्धवृत्त को बांधने वाला एक सजातीय बंद समोच्च एक धागे पर लटका हुआ है (चित्र 1.5.12)। क्षैतिज और अर्धवृत्त के व्यास के बीच का कोण α निर्धारित करें।

उत्तर: α = 68.74º.

समस्याएँ 1.5.11 – 1.5.14. सजातीय सपाट आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करें (चित्र 1.5.13 - 1.5.16)।

समस्याओं के उत्तर 1.5.11 – 1.5.14:

कार्य क्रमांक	1.5.11	1.5.12	1.5.13	1.5.14
		37.07 सेमी	32.38 सेमी	2.31 मी
	11.88 सेमी		24.83 सेमी	1.56 मी

चावल। 1.5.13	चावल। 1.5.14
चावल। 1.5.15	चावल। 1.5.16
चावल। 1.5.17	चावल। 1.5.18

समस्या 1.5.15. बियरिंग जर्नल के लिए समर्थन एक भाग है जिसमें एक समानांतर चतुर्भुज के रूप में एक समर्थन और एक घन के आकार में एक कुंजी शामिल है (चित्र 1.5.17)। स्टैंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। आयाम मिलीमीटर में दर्शाए गए हैं।

उत्तर:

समस्या 1.5.16. स्लाइडिंग बियरिंग का जर्नल एक भाग है जिसमें एक समानांतर चतुर्भुज और एक बेलनाकार समर्थन होता है (चित्र 1.5.18)। धुरी के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। आयाम मिलीमीटर में दर्शाए गए हैं।

उत्तर: , ,

समस्या 1.5.17. एक सजातीय पिंड, जिसका क्रॉस सेक्शन चित्र 1.5.19 में दिखाया गया है, में एक गोलार्ध, एक बेलनाकार भाग और एक गोलाकार शंकु होता है। शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। आयाम मिलीमीटर में दर्शाए गए हैं।

उत्तर: , ,

समस्या 1.5.18. टैंक गन की बैरल लंबाई के एक कटे हुए शंकु के आकार की होती है (चित्र 1.5.20)। बंदूक की ब्रीच से लगाव के बिंदु पर बैरल का बाहरी व्यास ओ.डी.बैरल बोर, बंदूक कैलिबर के थूथन के अनुरूप अनुभाग में डी=100 मिमी. ट्रंक के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का समन्वय निर्धारित करें।

उत्तर:

समस्या 1.5.19. दो आयताकार समांतर चतुर्भुज से युक्त एक सजातीय पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें (चित्र 1.5.21)। निचले समांतर चतुर्भुज में आधार त्रिज्या के साथ एक चौथाई सिलेंडर के आकार में एक कटआउट होता है आर= 10 सेमी. चित्र में आयाम सेमी में हैं.

उत्तर: एक्ससी= 17.1 सेमी, वाईसी= 20.99 सेमी, जेड सी= 7.84 सेमी.

समस्या 1.5.20. एक सजातीय पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें (चित्र 1.5.22), जिसमें एक त्रिकोणीय प्रिज्म और एक कटआउट के साथ एक समानांतर चतुर्भुज शामिल है। चित्र में आयाम सेमी में हैं।

चावल। 1.5.19	चावल। 1.5.20
चावल। 1.5.21	चावल। 1.5.22

उत्तर: एक्ससी= 20.14 सेमी, वाईसी= 35.14 सेमी, जेड सी= 5 सेमी.

भाग 2. गतिकी

एक बिंदु की गतिकी

वहाँ तीन हैं विश्लेषणात्मक विधिएक बिंदु की गति को निर्दिष्ट करना: वेक्टर, समन्वय और प्राकृतिक।

वेक्टर विधि के साथ, एक गतिमान बिंदु की त्रिज्या वेक्टर को समय के एक फलन के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। किसी बिंदु का वेग और त्वरण सदिश क्रमशः त्रिज्या सदिश के प्रथम और द्वितीय समय व्युत्पन्न के बराबर होते हैं:

, .

त्रिज्या वेक्टर और एक बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक के बीच संबंध समानता द्वारा व्यक्त किया गया है: , जहां , , निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिश हैं।

समन्वय विधि के साथ, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक बिंदु की गति का नियम तीन कार्यों को निर्दिष्ट करके दिया जाता है: , , । समन्वय अक्षों पर वेग और त्वरण के प्रक्षेपण, साथ ही एक बिंदु के वेग और त्वरण के मॉड्यूल सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

, , , ,

प्राकृतिक विधि में, एक बिंदु का प्रक्षेपवक्र और प्रक्षेपवक्र के साथ बिंदु की गति का नियम निर्दिष्ट किया जाता है, जहां वक्ररेखीय समन्वय को प्रक्षेपवक्र पर कुछ निश्चित बिंदु से एक चाप के साथ मापा जाता है। गति का बीजगणितीय मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है, और एक बिंदु का त्वरण स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण के ज्यामितीय योग के बराबर होता है, अर्थात। , , , , - किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या।

उदाहरण 2.1.1.प्रक्षेप्य समीकरणों के अनुसार ऊर्ध्वाधर तल में चलता है, (एक्स, वाई– मी में, टी- सी में)। खोजो:

- प्रक्षेपवक्र समीकरण;

- प्रारंभिक क्षण में गति और त्वरण;

- आग की ऊंचाई और सीमा;

- प्रक्षेपवक्र के प्रारंभिक और उच्चतम बिंदुओं पर वक्रता की त्रिज्या।

1. आइए पैरामीटर को छोड़कर, प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र के समीकरण प्राप्त करें टीगति के समीकरणों से

.

प्रक्षेप्य का प्रक्षेपवक्र एक परवलय का एक खंड है (चित्र 2.1.1), जिसमें सीमित बिंदु हैं: निर्देशांक के साथ प्रारंभिक बिंदु एक्स = 0, पर= 0 और अंतिम, जिसके लिए एक्स = एल(उड़ान रेंज), पर = 0.

2. प्रतिस्थापित करके प्रक्षेप्य की सीमा निर्धारित करें पर= प्रक्षेपवक्र समीकरण में 0. हम इसे कहां से पाते हैं? एल= 24000 मी.

3. हम निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण का उपयोग करके प्रक्षेप्य की गति और त्वरण ज्ञात करते हैं:

समय के आरंभिक क्षण में वी 0 = 500 मीटर/सेकेंड, ए= 10 मी/से 2.

4. प्रक्षेप्य की उड़ान की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, आइए समय ज्ञात करें टीइस बिंदु तक 1 उड़ान। उच्चतम बिंदु पर, अक्ष पर वेग का प्रक्षेपण यशून्य के बराबर (चित्र 2.1.1), , कहाँ टी 1 = 40 सेकंड. स्थानापन्न टी 1 समन्वय अभिव्यक्ति में पर, हमें ऊंचाई मान मिलता है एन= 8000 मी.

5. प्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या

, कहाँ .

एम; एम।

उदाहरण 2.1.2.क्रैंक-स्लाइडर तंत्र में (चित्र 2.1.2) क्रैंक 1 एक स्थिर कोणीय वेग rad/s पर घूमता है। मध्यबिंदु की गति, प्रक्षेपवक्र और गति के समीकरण खोजें एमकनेक्टिंग छड़ 2 , अगर ओए = अब= 80 सेमी.

1. आइए एक बिंदु की गति के समीकरण लिखें एमसमन्वय रूप में (चित्र 2.1.3)

2. हम समय को हटाकर प्रक्षेपवक्र समीकरण प्राप्त करते हैं टीगति के समीकरण से:

बिंदु प्रक्षेपवक्र एम- मूल बिंदु पर एक केंद्र और 120 सेमी और 40 सेमी के अर्ध-अक्ष वाला एक दीर्घवृत्त।

3. बिंदु की गति निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपणों द्वारा निर्धारित की जाती है

कार्य 2.1.1.किसी बिंदु की गति के समीकरणों को देखते हुए, उसके प्रक्षेप पथ का समीकरण समन्वय रूप में ज्ञात कीजिए।

गति का समीकरण	उत्तर

कार्य 2.1.2.यदि कार्तीय निर्देशांक में इसकी गति के समीकरण दिए गए हैं तो निर्देशांक रूप में प्रक्षेपवक्र का समीकरण और प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की गति का नियम ज्ञात करें। चाप समन्वय की उत्पत्ति के लिए एसबिंदु की प्रारंभिक स्थिति स्वीकार करें.

गति का समीकरण	उत्तर
	, ;
	;
	;
	;

कार्य 2.1.3.एक बिंदु की गति समीकरण द्वारा दी गई है, (-सेमी में, - सेकण्ड में)। समन्वय रूप में बिंदु के प्रक्षेपवक्र का समीकरण, गति और त्वरण, बिंदु की स्पर्शरेखीय और सामान्य त्वरण, साथ ही समय पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या ज्ञात करें। ड्राइंग में बिंदु का प्रक्षेपवक्र और पाए गए वेग और त्वरण वेक्टर बनाएं। , - सेमी में, यदि और जब कोण सबसे बड़ा हो।

उत्तर: 1) ; 2) , , ; , , .

जैसा कि § 12 में दिखाया गया है, किसी भी एक को सामान्य मामले में मुख्य वेक्टर आर के बराबर बल में कम किया जाता है और एक मनमाना केंद्र ओ पर लागू किया जाता है, और मुख्य क्षण के बराबर एक पल के साथ एक जोड़ी में (चित्र 40, बी देखें) ). आइए जानें कि संतुलन में नहीं रहने वाले बलों की एक स्थानिक प्रणाली को किस सरलतम रूप में कम किया जा सकता है। परिणाम उन मानों पर निर्भर करता है जो इस प्रणाली में मात्राओं R और के लिए हैं

1. यदि बलों की किसी दी गई प्रणाली के लिए, तो इसे बलों की एक जोड़ी में घटा दिया जाता है जिसका क्षण बराबर होता है और सूत्र (50) का उपयोग करके गणना की जा सकती है। इस मामले में, जैसा कि § 12 में दिखाया गया था, मान केंद्र O की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

2. यदि बलों की दी गई प्रणाली के लिए, तो इसे R के बराबर परिणामी में घटा दिया जाता है, जिसकी क्रिया की रेखा केंद्र O से होकर गुजरती है। R का मान सूत्र (49) का उपयोग करके पाया जा सकता है।

3. यदि बलों की किसी दी गई प्रणाली के लिए, लेकिन तब यह प्रणाली भी R के बराबर परिणामी तक कम हो जाती है, लेकिन केंद्र O से होकर नहीं गुजरती है।

दरअसल, जब सदिश द्वारा निरूपित जोड़ा और बल R एक ही तल में स्थित होते हैं (चित्र 91)।

फिर, मापांक आर में जोड़ी की ताकतों को बराबर चुनना और उन्हें चित्र में दिखाए अनुसार व्यवस्थित करना। 91, हम पाते हैं कि बल परस्पर संतुलित होंगे, और सिस्टम को एक परिणामी क्रिया रेखा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा जो बिंदु O से होकर गुजरती है (देखें, § 15, पैराग्राफ 2, बी)। दूरी ) सूत्र (28) द्वारा निर्धारित की जाती है, जहां

यह सत्यापित करना आसान है कि विचार किया गया मामला, विशेष रूप से, हमेशा एक ही विमान में स्थित समानांतर बलों या बलों की किसी भी प्रणाली के लिए घटित होगा, यदि इस प्रणाली का मुख्य वेक्टर यदि बलों की दी गई प्रणाली के लिए है और वेक्टर समानांतर है आर (चित्र 92, ए), इसका मतलब है कि बलों की प्रणाली एक बल आर और एक जोड़ी पी, पी के संयोजन में कम हो जाती है जो बल के लंबवत एक विमान में स्थित है (चित्र 92, बी)। बल और युग्म के ऐसे संयोजन को गतिशील पेंच कहा जाता है, और जिस सीधी रेखा के साथ वेक्टर आर निर्देशित होता है वह पेंच की धुरी होती है। बलों की इस प्रणाली का और अधिक सरलीकरण असंभव है। वास्तव में, यदि हम किसी अन्य बिंदु C को कमी के केंद्र के रूप में लेते हैं (चित्र 92, a), तो वेक्टर को बिंदु C पर मुक्त रूप में स्थानांतरित किया जा सकता है, और जब बल R को बिंदु C पर स्थानांतरित किया जाता है (§ 11 देखें) , वेक्टर आर के लंबवत क्षण के साथ एक और जोड़ी, और इसलिए। परिणामस्वरूप, परिणामी युग्म का आघूर्ण संख्यात्मक रूप से अधिक होगा, इस प्रकार, केंद्र O पर लाए जाने पर इस मामले में परिणामी युग्म का आघूर्ण सबसे छोटा मान होगा; बलों की इस प्रणाली को एक बल (परिणामी) या एक जोड़े तक कम नहीं किया जा सकता है।

यदि जोड़ी के बलों में से एक, उदाहरण के लिए पी, को बल आर में जोड़ा जाता है, तो विचाराधीन बलों की प्रणाली को दो क्रॉसिंग बलों द्वारा भी प्रतिस्थापित किया जा सकता है, यानी, बल क्यू और एक ही विमान में झूठ नहीं बोल रहे हैं (चित्र) .93). चूंकि बलों की परिणामी प्रणाली एक गतिशील पेंच के बराबर होती है, इसलिए इसका कोई परिणामी भी नहीं होता है।

5. यदि बलों की किसी प्रणाली के लिए और एक ही समय में वेक्टर और आर एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं और समानांतर नहीं हैं, तो बलों की ऐसी प्रणाली भी एक गतिशील पेंच में बदल जाती है, लेकिन पेंच की धुरी नहीं होगी केंद्र O से गुजरें.

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम वेक्टर को घटकों में विघटित करें: R के अनुदिश निर्देशित, और R के लंबवत (चित्र 94)। इस मामले में, वेक्टर और आर कहां हैं। वेक्टर और बल आर द्वारा दर्शाया गया जोड़ा हो सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाए गए मामले में है। 91, बिंदु O पर लागू एक बल R द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा। फिर बलों की इस प्रणाली को एक बल और समानांतर टॉर्क की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा, और एक मुक्त वेक्टर के रूप में वेक्टर को बिंदु O पर भी लागू किया जा सकता है। परिणाम वास्तव में होगा एक गतिशील पेंच बनें, लेकिन बिंदु से गुजरने वाली एक धुरी के साथ