Geomeetriaülesannete lahendamiseks peate teadma valemeid - näiteks kolmnurga pindala või rööpküliku pindala -, aga ka lihtsaid tehnikaid, mida me käsitleme.

Kõigepealt õpime selgeks jooniste pindalade valemid. Oleme need spetsiaalselt kogunud mugavasse tabelisse. Prindi, õpi ja kandideeri!

Muidugi pole kõik geomeetriavalemid meie tabelis. Näiteks matemaatika ühtse riigieksami profiili teises osas geomeetria ja stereomeetria probleemide lahendamiseks kasutatakse teisi kolmnurga pindala valemeid. Kindlasti räägime teile neist.

Aga mis siis, kui peate leidma mitte trapetsi või kolmnurga pindala, vaid mõne keeruka kujundi pindala? On universaalseid viise! Näitame neid FIPI tegumipanga näidete abil.

1. Kuidas leida ebastandardse figuuri pindala? Näiteks suvaline nelinurk? Lihtne tehnika – jagame selle kuju nendeks, millest teame kõike, ja leiame selle pindala – nende kujundite pindalade summana.

Jagage see nelinurk horisontaaljoonega kaheks kolmnurgaks, mille ühine alus on võrdne . Nende kolmnurkade kõrgused on võrdsed Ja . Siis on nelinurga pindala võrdne kahe kolmnurga pindalade summaga: .

Vastus:.

2. Mõnel juhul võib kujundi pindala esitada mõne ala erinevusena.

Polegi nii lihtne välja arvutada, millega selle kolmnurga alus ja kõrgus võrdub! Kuid võime öelda, et selle pindala on võrdne küljega ruudu ja kolme täisnurkse kolmnurga pindalade vahega. Kas näete neid pildil? Saame: .

Vastus:.

3. Mõnikord peate ülesandes leidma mitte kogu figuuri pindala, vaid selle osa. Tavaliselt räägime sektori pindalast - ringi osast, leidke selle raadiusega sektori ala, mille kaare pikkus on .

Sellel pildil näeme osa ringist. Kogu ringi pindala on võrdne . Jääb välja selgitada, milline ringi osa on kujutatud. Kuna kogu ringi pikkus on võrdne (alates ), ja antud sektori kaare pikkus on võrdne Seetõttu on kaare pikkus mitu korda väiksem kui kogu ringi pikkus. Nurk, mille all see kaar toetub, on samuti väiksem kui täisring (st kraadid). See tähendab, et sektori pindala on mitu korda väiksem kui kogu ringi pindala.

Kuidas leida figuuri pindala?

Erinevate kujundite pindalade tundmine ja arvutamise oskus on vajalik mitte ainult lihtsate geomeetriliste ülesannete lahendamiseks. Nende teadmisteta ei saa te hakkama ruumide remondikalkulatsioonide koostamisel või kontrollimisel, vajalike kulumaterjalide koguse arvutamisel. Nii et mõtleme välja, kuidas leida erineva kujuga alasid.

Tasapinna osa, mis asub suletud kontuuris, nimetatakse selle tasandi pindalaks. Pindala väljendatakse selles sisalduvate ruutühikute arvuga.

Põhiliste geomeetriliste kujundite pindala arvutamiseks peate kasutama õiget valemit.

Kolmnurga pindala

Nimetused:

1. Kui h, a on teada, siis määratakse nõutava kolmnurga pindala sellele küljele langetatud kolmnurga külje pikkuste ja kõrguse korrutisena jagatuna pooleks: S=(a h)/2
2. Kui on teada a, b, c, siis arvutatakse vajalik pindala Heroni valemi abil: ruutjuur, mis võetakse kolmnurga poole perimeetri ja kolmnurga poole perimeetri ja mõlema külje kolme erinevuse korrutisest: S = √ (p (p - a) (p - b) · (p - c)).
3. Kui a, b, γ on teada, määratakse kolmnurga pindala poolena 2 külje korrutisest, korrutatuna nende külgede vahelise nurga siinuse väärtusega: S=(a b sin γ)/2
4. Kui a, b, c, R on teada, määratakse nõutav pindala kolmnurga kõigi külgede pikkuste korrutise jagamisel piiritletud ringi nelja raadiusega: S=(a b c)/4R
5. Kui p, r on teada, määratakse kolmnurga nõutav pindala, korrutades pool perimeetrit sellesse kirjutatud ringi raadiusega: S=p·r

Ruudukujuline ala

Nimetused:

1. Kui külg on teada, määratakse antud kujundi pindala selle külje pikkuse ruuduna: S=a 2
2. Kui d on teada, määratakse ruudu pindala pooleks selle diagonaali pikkuse ruudust: S=d 2 /2

Ristküliku pindala

Nimetused:

• S - määratud ala,
• a, b - ristküliku külgede pikkused.

1. Kui a, b on teada, siis määratakse antud ristküliku pindala selle kahe külje pikkuste korrutisega: S=a b
2. Kui külgede pikkused on teadmata, tuleb ristküliku pindala jagada kolmnurkadeks. Sel juhul määratakse ristküliku pindala selle moodustavate kolmnurkade pindalade summana.

Rööpküliku pindala

Nimetused:

• S on nõutav ala,
• a, b - küljepikkused,
• h on antud rööpküliku kõrguse pikkus,
• d1, d2 - kahe diagonaali pikkused,
• α on külgede vaheline nurk,
• γ on diagonaalide vaheline nurk.

1. Kui a, h on teada, siis saadakse vajalik pindala korrutades külje pikkused ja sellele küljele langetatud kõrgus: S=a h
2. Kui on teada a, b, α, siis määratakse rööpküliku pindala, korrutades rööpküliku külgede pikkused ja nende külgede vahelise nurga siinus: S=a b sin α
3. Kui d 1 , d 2 , γ on teada, siis määratakse rööpküliku pindala poolena diagonaalide pikkuste ja nende diagonaalide vahelise nurga siinuse korrutisest: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Rombi pindala

Nimetused:

• S on nõutav ala,
• a - külje pikkus,
• h - kõrguse pikkus,
• α on kahe külje vaheline väiksem nurk,
• d1, d2 - kahe diagonaali pikkused.

1. Kui a, h on teada, siis määratakse rombi pindala korrutades külje pikkust sellele küljele langetatud kõrguse pikkusega: S=a h
2. Kui a, α on teada, siis määratakse rombi pindala korrutades külje pikkuse ruudu külgedevahelise nurga siinusega: S=a 2 sin α
3. Kui d 1 ja d 2 on teada, siis määratakse nõutav pindala poolena rombi diagonaalide pikkuste korrutisest: S=(d 1 d 2)/2

Trapetsi pindala

Nimetused:

1. Kui on teada a, b, c, d, siis määratakse vajalik pindala valemiga: S= (a+b) /2 *√.
2. Teadaolevate a, b, h korral määratakse vajalik pindala poole aluste summa ja trapetsi kõrguse korrutisena: S=(a+b)/2 h

Kumera nelinurga pindala

Nimetused:

1. Kui d 1 , d 2 , α on teada, määratakse kumera nelinurga pindala pooleks nelinurga diagonaalide korrutisest, korrutatuna nende diagonaalide vahelise nurga siinusega: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
2. Tuntud p, r korral määratakse kumera nelinurga pindala nelinurga poolperimeetri ja sellesse nelinurka kantud ringi raadiuse korrutisena: S=p r
3. Kui on teada a, b, c, d, θ, siis määratakse kumera nelinurga pindala ruutjuur poolperimeetri ja kummagi külje pikkuse erinevuse korrutisest, millest on lahutatud kõigi külgede pikkused ja kahe vastandnurga summa poole koosinuse ruut: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+) β)/2)

Ringi pindala

Nimetused:

Kui r on teada, siis määratakse vajalik pindala arvu π ja ruudu raadiuse korrutisena: S=π r 2

Kui d on teada, määratakse ringi pindala arvu π korrutisena läbimõõdu ruudu jagatuna neljaga: S=(π d 2)/4

Keerulise figuuri pindala

Keerulisi saab jagada lihtsateks geomeetrilisteks kujunditeks. Komplekskuju pindala on määratletud selle komponentide pindalade summa või erinevusena. Mõelge näiteks rõngale.

Nimetus:

• S-rõnga piirkond,
• R, r - vastavalt välisringi ja sisemise ringi raadiused,
• D, d on vastavalt välimise ja sisemise ringi läbimõõt.

Sõrmuse pindala leidmiseks peate selle ala lahutama suurema ringi pindalast väiksem ring. S = S1-S2 = πR2-πr2 = π (R2-r2).

Seega, kui R ja r on teada, määratakse rõnga pindala välimise ja sisemise ringi raadiuste ruutude erinevusena, korrutatuna pi-ga: S=π(R 2 -r 2).

Kui D ja d on teada, määratakse rõnga pindala veerandina välimise ja sisemise ringi läbimõõtude ruutude erinevusest, korrutatuna pi-ga: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Plaastri piirkond

Oletame, et ühe ruudu (A) sees on teine ​​(väiksema suurusega) (B) ja me peame leidma varjutatud õõnsuse jooniste "A" ja "B" vahel. Oletame, et väikese ruudu "raam". Selleks tehke järgmist.

1. Leidke joonise "A" pindala (arvutatud ruudu pindala leidmise valemi abil).
2. Samamoodi leiame joonise "B" ala.
3. Lahutage pindala "B" piirkonnast "A". Ja nii saame varjutatud figuuri pindala.

Nüüd teate, kuidas leida erineva kujuga alasid.

Klass: 5

Minu arvates pole õpetaja ülesanne mitte ainult õpetada, vaid arendada õpilase vastu tunnetuslikku huvi. Seetõttu seon võimalusel tunniteemad praktiliste ülesannetega.

Õpilased koostavad tunni jooksul õpetaja juhendamisel probleemide lahendamise plaani „keerulise kujundi“ ala leidmiseks (remondihinnangu arvutamiseks), kinnistavad probleemide lahendamise oskused ala leidmiseks; tähelepanu, võime arendamine teadustegevus, aktiivsuskasvatus, iseseisvus.

Paaris töötamine loob suhtlussituatsiooni nende vahel, kellel on teadmised, ja nende vahel, kes neid omandavad; See töö põhineb ainealase koolituse kvaliteedi tõstmisel. Soodustab huvi teket õppeprotsessi vastu ja õppematerjali sügavamat omastamist.

Tund mitte ainult ei süstematiseeri õpilaste teadmisi, vaid aitab kaasa ka loominguliste ja analüüsivõimete arendamisele. Praktilise sisuga ülesannete kasutamine klassiruumis võimaldab näidata matemaatikateadmiste asjakohasust igapäevaelus.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

• ristküliku, täisnurkse kolmnurga pindala valemite teadmiste kinnistamine;
• ülesannete analüüs "keerulise" kujundi pindala arvutamiseks ja nende täitmise meetodid;
• ülesannete iseseisev täitmine teadmiste, oskuste ja võimete kontrollimiseks.

Hariduslik:

• vaimse ja uurimistegevuse meetodite arendamine;
• kuulamisoskuse arendamine ja otsuse kulgu selgitamine.

Hariduslik:

• arendada õpilaste akadeemilisi oskusi;
• kasvatada suulise ja kirjaliku matemaatilise kõne kultuuri;
• kujundada klassiruumis sõbralik suhtumine ja oskus töötada rühmas.

Tunni tüüp: kombineeritud.

Varustus:

• Matemaatika: õpik 5. klassile. üldharidus institutsioonid/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov jt, M.: "Mnemosyne", 2010.
• Kujunditega kaardid õpilaste rühmadele keeruka kujundi pindala arvutamiseks.
• Joonistustööriistad.

Tunniplaan:

1. Organisatsiooniline moment.
2. Teadmiste värskendamine.
   a) Teoreetilised küsimused (test).
   b) Probleemi avaldus.
3. Õppis uut materjali.
   a) probleemile lahenduse leidmine;
   b) probleemi lahendus.
4. Materjali kinnitamine.
   a) kollektiivne probleemide lahendamine;
   Kehalise kasvatuse minut.
   b) iseseisev töö.
5. Kodutöö.
6. Tunni kokkuvõte. Peegeldus.

Tunni edenemine

I. Organisatsioonimoment.

Alustame õppetundi nende lahkumissõnadega:

Matemaatika, sõbrad,
Absoluutselt kõik vajavad seda.
Töötage tunnis usinasti
Ja edu ootab teid kindlasti!

II. Teadmiste värskendamine.

A) Frontaaltöö signaalkaartidega (igal õpilasel on kaardid numbritega 1, 2, 3, 4; testiküsimusele vastates tõstab õpilane kaardi õige vastuse numbriga).

1. Ruutsentimeeter on:

1. ruudu pindala, mille külg on 1 cm;
2. ruut küljega 1 cm;
3. ruut ümbermõõduga 1 cm.

2. Joonisel kujutatud joonise pindala on võrdne:

1. 8 dm;
2. 8 dm 2;
3. 15 dm 2.

3. Kas on tõsi, et võrdsetel arvudel on võrdsed perimeetrid ja võrdsed pindalad?

4. Ristküliku pindala määratakse järgmise valemiga:

1. S = a2;
2. S = 2 (a + b);
3. S = a b.

5. Joonisel kujutatud joonise pindala on võrdne:

1. 12 cm;
2. 8 cm;
3. 16 cm.

b) (Probleemi avaldus). Ülesanne. Kui palju värvi on vaja järgmise kujuga põranda värvimiseks (vt joonist), kui 1 m2 kohta kulub 200 g värvi?

III. Uue materjali õppimine.

Mida peame teadma viimase probleemi lahendamiseks? (Leidke põranda pindala, mis näeb välja nagu "keeruline kuju".)

Õpilased sõnastavad tunni teema ja eesmärgid (vajadusel aitab õpetaja).

Mõelge ristkülikule ABCD. Tõmbame sellele joone alla KPMN, purustades ristküliku ABCD kaheks osaks: ABNMPK Ja KPMNCD.

Mis on piirkond? ABCD? (15 cm 2)

Mis on figuuri pindala? ABMNPK? (7 cm 2)

Mis on figuuri pindala? KPMNCD? (8 cm 2)

Analüüsige oma tulemusi. (15 = = 7 + 8)

Järeldus? (Kogu joonise pindala on võrdne selle osade pindalade summaga.)

S = S 1 + S 2

Kuidas saame seda omadust oma probleemi lahendamiseks rakendada? (Jagame keeruka kujundi osadeks, leiame osade alad, seejärel kogu joonise pindala.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Lepime ära probleemide lahendamise plaan "keerulise kujundi" ala leidmiseks:

1. Jagame figuuri lihtsateks kujunditeks.
2. Piirkondade leidmine lihtsad kujundid.

a) Ülesanne 1. Kui palju plaate on vaja järgmiste mõõtmetega saidi paigutamiseks:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60–30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Kas on mõni muu lahendus? (Kaalume pakutud võimalusi.)

Vastus: 2100 dm 2.

2. ülesanne. (koondotsus tahvlil ja vihikutes.) Mitu m2 linoleumit on vaja järgmise kujuga ruumi renoveerimiseks:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5–3) 2): 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Vastus: 8 m2.

Kehalise kasvatuse minut.

Ja nüüd, poisid, tõuske püsti.
Nad tõstsid kiiresti käed üles.
Külgedele, ette, taha.
Pööras paremale, vasakule.
Nad istusid vaikselt maha ja asusid tagasi tööle.

b) Iseseisev töö (hariduslik) .

Õpilased jagunevad rühmadesse (nr 5–8 on tugevamad). Iga rühm on remondimeeskond.

Ülesanne meeskondadele: määrake, kui palju värvi on vaja kaardil näidatud kujuga põranda värvimiseks, kui 1 m2 kohta on vaja 200 g värvi.

Ehitate selle joonise oma märkmikusse, kirjutate kõik andmed üles ja alustate ülesannet. Lahendust saab arutada (aga ainult oma rühmas!). Kui mõni rühm saab ülesandega kiiresti hakkama, siis antakse talle lisaülesanne (pärast iseseisva töö kontrollimist).

Ülesanded gruppidele:

V. Kodutöö.

punkt 18, nr 718, nr 749.

Lisaülesanne. Suveaia plaaniskeem (Peterburi). Arvutage selle pindala.

VI. Tunni kokkuvõte.

Peegeldus. Jätkake lauset:

• Täna sain teada...
• Huvitav oli...
• Raske oli...
• Nüüd saan...
• Andis mulle eluks õppetunni...

Erineva kujuga lamedaid figuure, nii korrapäraseid kui ka ebakorrapäraseid, on lõpmatu arv. Üldine vara kõik figuurid – igal neist on pindala. Kujundite pindala on nende kujundite poolt hõivatud tasapinna osa mõõtmed, väljendatuna teatud ühikutes. Seda väärtust väljendatakse alati positiivse arvuna. Mõõtühik on ruudu pindala, mille külg on võrdne pikkuseühikuga (näiteks üks meeter või üks sentimeeter). Mis tahes joonise ligikaudse pindala saab arvutada, korrutades ühiku ruutude arvu, milleks see on jagatud, ühe ruudu pindalaga.

Muud määratlused see kontseptsioon näeb välja selline:

1. Lihtkujude pindalad – skalaar positiivsed väärtused, mis vastab järgmistele tingimustele:

Võrdsetel arvudel on võrdsed pindalad;

Kui kujund on jagatud osadeks (lihtkujud), siis selle pindala on nende kujundite pindalade summa;

Mõõtühiku küljega ruut toimib pindalaühikuna.

2. Figuuride alad keeruline kuju(hulknurgad) - positiivsed suurused, millel on järgmised omadused:

Võrdsetel hulknurkadel on sama pindala suurus;

Kui hulknurk koosneb mitmest teisest hulknurgast, on selle pindala võrdne viimase pindalade summaga. See reegel kehtib mittekattuvate hulknurkade puhul.

On aksioom, et kujundite (hulknurkade) pindalad on positiivsed suurused.

Ringi pindala määratlus antakse eraldi kui väärtus, milleni ringi sisse kirjutatud antud ringi pindala kaldub - hoolimata asjaolust, et selle külgede arv kipub lõpmatuseni.

Ebakorrapärase kujuga kujundite pindaladel (suvaliste kujunditega) puudub definitsioon, määratakse ainult nende arvutamise meetodid.

Juba muinasajal oli pindalade arvutamine maatükkide suuruse määramisel oluline praktiline ülesanne. Mitmesaja aasta jooksul pindalade arvutamise reeglid koostasid Kreeka teadlased ja need esitati teoreemidena Eukleidese elementides. Huvitav on see, et nendes olevate lihtkujude pindalade määramise reeglid on samad, mis praegu. Kõvera kontuuriga alad arvutati piirini läbipääsu abil.

Kõigile koolist tuttava lihtsa ristküliku või ruudu pindalade arvutamine on üsna lihtne. Sisu pole isegi vaja pähe õppida tähetähistused jooniste pindalade valemid. Piisab, kui meenutada mõnda lihtsad reeglid:

2. Ristküliku pindala arvutamiseks korrutatakse selle pikkus laiusega. Pikkus ja laius peavad olema väljendatud samades mõõtühikutes.

3. Arvutame keeruka kujundi pindala, jagades selle mitmeks lihtsaks ja lisades saadud alad.

4. Ristküliku diagonaal jagab selle kaheks kolmnurgaks, mille pindalad on võrdsed ja võrdsed poole pindalaga.

5. Kolmnurga pindala arvutatakse poolena selle kõrguse ja aluse korrutisest.

6. Ringjoone pindala võrdub raadiuse ruudu ja üldtuntud arvu “π” korrutisega.

7. Arvutame rööpküliku pindala külgnevate külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisena.

8. Rombi pindala saadakse ½ diagonaalide korrutamisel sisenurga siinusega.

9. Leiame trapetsi pindala, korrutades selle kõrguse keskjoone pikkusega, mis on võrdne aluste aritmeetilise keskmisega. Teine võimalus trapetsi pindala määramiseks on selle diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutamine.

Lapsed sisse algkool Selguse huvides antakse sageli ülesandeid: leidke paberile joonistatud figuuri pindala paleti või läbipaistva paberilehe abil, mis on jagatud ruutudeks. Selline paberileht asetatakse mõõdetavale joonisele, loendatakse selle kontuurile mahtuvate terviklike lahtrite (pindalaühikute) arv, seejärel mittetäielike lahtrite arv, mis jagatakse pooleks.

Sul läheb vaja

• - ebakorrapärane geomeetriline kujund;
• - mõõteriistad;
• - läbipaistev plastik;
• - joonlaud;
• - ruut;
• - pastapliiats.

Juhised

Kaaluge geomeetriline kujund ja tehke kindlaks, kas selle parameetrid on teile teada. Need võivad olla küljepikkused või nurgad. Sõltuvalt määratud parameetritest valige pindala määramise meetod. Näiteks jagage see mitmeks jooniseks, mille pindala arvutamise valemid on teie jaoks. Üks levinumaid meetodeid on diagonaalide tõmbamine ühest nurgast kõigisse teistesse tippudesse. Sel juhul peate teadma suvalise kolmnurga pindala arvutamise valemit. Kuid keegi ei keela etteantud kujundit teisteks hulknurkadeks jagada. Näiteks põrandapinna arvutamisel nišiga ruumis on mugavam jagada ebakorrapärane kuju kaheks ristkülikuks või ruuduks.

Mitte liiga suure osa pindala määramiseks võite kasutada paletti. See on võimalik. Lõika läbipaistvast plastikust ristkülikukujuline tükk. Jagage see ruutudeks, mille pindala on teile teada – näiteks 1x1 või 0,5x0,5 cm Joonlaud ja ruut peavad olema täpsed. Asetage palett tükile. Loendage täielikud, siis -. Jagage mittetäielike ruutude arv 2-ga ja lisage tulemus täisarvude arvule. Mida väiksemad on jaotused paletil, seda täpsem on tulemus. Samamoodi saate arvutada saidi pindala. Paleti rolli hakkab mängima maapinnale tõmmatud või nende vahele tõmmatud nööridega tihvtidega tähistatud ruutude ruudustik, mille külg on 1x1 m. Võite piirduda territooriumi triibuliseks märgistamisega. .

Suurte aladega saab asju teisiti teha. Võtke saidi või kohaliku piirkonna kõige täpsem plaan. Määrake skaala. Kasutage ühte soovitatud meetoditest. Seejärel teisendage saadud ruutsentimeetrite arv soovitud skaalale.

Kasulikud nõuanded

Lamedate metallosade valmistamisel saate nende pindala arvutada standardse kaalumise abil. Lõika välja osa ise ja standard - ruut, mille pindala on mugav arvutada. Need peavad olema valmistatud samast materjalist ja lehe paksus peaks olema sama ja samal ajal ebaoluline. Arvutage massisuhe ja selle põhjal tundmatu pindala. Kuid see meetod ei ole väga täpne ja seda saab kasutada ainult äärmuslikel juhtudel.

Mis tahes ebakorrapärase kujundi saab esitada graafikuna. Igal punktil on oma koordinaadid. Mõelge igale segmendile kui funktsiooni graafikule. Abstsissist selleni ulatuva lõigu pindala on kindel integraal. Arvutage kõik integraalid. Määrake joonise pindala, kasutades suuremate ja väiksemate väärtustega integraalide erinevust. See on üsna töömahukas meetod, kuid see annab suurima täpsuse.