Vaadeldavad tehted hulkadega alluvad teatud seadustele, mis meenutavad üldtuntud arvualgebra elementaarseadusi. See määrab nime määra algebra, mida sageli nimetatakse kogumite Boole'i ​​algebraks, mida seostatakse inglise matemaatiku John Boole'i ​​nimega, kes rajas oma loogilise uurimistöö ideele algebra ja loogika vahelisest analoogiast.

Suvaliste hulkade A, B ja C puhul kehtivad järgmised identiteedid (tabel 3.1):

Tabel 3.1

10. Poretski seadus

10'. Poretski seadus

11. Involutsiooni seadus (kaksikkomplement)

Hulgaalgebra seadused, mis on seotud lõike () ja ühenduse () tehtetega, alluvad duaalsuse printsiibile: kui mõnes seaduses asendatakse kõik ristmikumärgid ühendusmärkidega ja kõik ühendusmärgid ristumismärkidega. , universumi märk (U) asendatakse tühja hulga märgiga (Ø) ja tühja märk on universumi märk, siis saame jällegi õige identiteedi. Näiteks (sellest põhimõttest lähtuvalt) järgneb see jne.

3.1. Identiteetide tõesuse kontrollimine Euleri-Venni diagrammide abil

Kõiki komplektalgebra seadusi saab visuaalselt kujutada ja tõestada Euleri-Venni diagrammide abil. Selleks vajate:

Joonistage vastav diagramm ja varjutage kõik hulgad võrdsuse vasakul küljel. Joonistage teine ​​diagramm ja tehke sama võrrandi parema poole jaoks.

See identiteet kehtib siis ja ainult siis, kui sama ala on mõlemal diagrammil varjutatud. Kolm ristuvat ringi jagavad kogu universaalse komplekti kaheksaks piirkonnaks (vt joonis 3.2):

See identiteet kehtib siis ja ainult siis, kui sama ala on mõlemal diagrammil varjutatud. Erinevate näidete tingimuste kirjutamisel kasutatakse sageli järgmist tähistust:

 - alates... sellest järeldub...;

 – siis ja ainult siis… .

Probleem 3.1 . Määratud algebra avaldiste lihtsustamine:

Lahendus.

Ülesanne 3 .2 . Tõesta isikud:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C).

Lahendus.

Probleem 3.3 . Tõesta järgmised seosed kahel viisil: kasutades diagramme ja kasutades hulkade võrdsuse definitsiooni.

Lahendus.

2. Tõestus hulkade võrdsuse definitsiooni abil.

Definitsiooni järgi on hulgad X ja Y võrdsed, kui samaaegselt on täidetud järgmised seosed: XY ja YX.

Kõigepealt näitame seda
. Lase X– hulga suvaline element
, see tähendab X
. See tähendab, et XU ja X
. Sellest järeldub, et XA või XB. Kui X Ah, siis XĀ, mis tähendab
. Kui XB siis
, mis tähendab
. Seega komplekti iga element.
. on ka komplekti element
See on

Nüüd tõestame vastupidist ehk seda
. Lase
. Kui XA siis XU ja XJa see tähendab XAB. Sellest järeldub
. Kui
, See XU ja XB. Tähendab, XAB, see tähendab
. Sellest järeldub, et komplekti iga element
on ka komplekti element
, see tähendab
.

Tähendab,
, mida oli vaja tõestada.

A(BC) = (AB)(AC);

1. Tõestus diagrammi abil:

Lase XA(BC). Siis XA ja XBC. Kui XB siis XAB, mis ei ole öelduga vastuolus, mis tähendab X(AB)(AC). Kui XС, siis XAC. Seega X(AB)(AC). Niisiis, on tõestatud, et A(BC)  (AB)(AC.

Las see nüüd X (AB)(AC). Kui XAB, siis XA ja XB. Sellest järeldub XA ja XВС, see tähendab XA(BC). Kui XАС, siis XA ja XS. Sellest järeldub, et XA ja XВС, see tähendab XA(BC). Seega (AB)(AC) A(BC). Seetõttu A(BC) = (AB)(AC). Q.E.D.

Piisavuse tõendamisel leidsime, et AB=. On ilmne, et С, seega on seos tõestatud. Tõestuses käsitleti kõige üldisemat juhtumit. Kuid diagrammide koostamisel on võimalikud ka mõned muud võimalused. Näiteks võrdsuse juhtum AB=C või
, tühjade komplektide puhul ja nii edasi. Ilmselgelt võib olla keeruline kõiki võimalikke variante arvesse võtta. Seetõttu arvatakse, et seoste tõestamine diagrammide abil ei ole alati õige.

2. Tõestus hulkade võrdsuse definitsiooni abil.

Vajadus. Olgu ABC ja element XA. Näitame, et sel juhul on hulga A element ka hulga A element
.

Vaatleme kahte juhtumit: XB või
.

Kui XB siis XABC, see tähendab XC ja sellest tulenevalt
.

Kui
, siis
. Vajadus on tõestatud.

Las see nüüd
Ja XAB. Näitame, et element X on ka komplekti C element.

Kui XAB, siis XA ja XB. Alates
, Tähendab XS. Piisavus on tõestatud.

1. Tõestus diagrammi abil:

2. Tõestus hulkade võrdsuse definitsiooni abil.

Olgu AB. Kaaluge elementi XB (või
). Samamoodi: XA (või XĀ). See tähendab, et komplekti iga element on ka hulga Ā element. Ja see võib nii olla, kui
. Q.E.D.

Probleem 3.4. Väljendage näidatud alasid sümboolselt ja lihtsustage saadud väljendeid.

Lahendus.

Soovitud ala koosneb kahest eraldatud osast.

Nimetagem neid ülevalt ja alt. Nende esindatavat komplekti saab kirjeldada järgmiselt: M = ( M = ( x XA ja XSisse ja XC või XC ja XA ja

B).

Hulkidega tehtavate toimingute määratlusest saame:

M = ((AB)\C)(C\A\B).

Kirjutame selle avaldise põhitoimingute abil - liitmine, liit ja ristmik: Seda väljendit on võimatu lihtsustada, kuna meil on iga tähemärk üks kord. See on see lihtsaim vorm

sellest valemist. M = ( M = ( Seda ala võib vaadelda hulkade A\B\C ja ABC ühendusena. M = ( Definitsiooni järgi M = ( XA ja XB ja XC või XA ja

Sisse ja

1. C).

2. Lihtsustame:

(AB)\B = A\B;

Probleemid iseseisvaks lahendamiseks.

Lihtsusta:

Tõestage diagrammide, hulga algebra seaduste ja hulkade võrdsuse definitsiooni abil:

3. A(BC) = A\(A\B)(A\C);

AB = AB  A=B;

A\B =   AB = A.

Uurige, kas on olemas hulk X, mis rahuldab mis tahes A võrdsust: AX = A; (vastus );.

8. peatükis vaadeldi selliseid mittenumbrilisi objekte nagu hägused ja juhuslikud hulgad. Selle rakenduse eesmärk on uurida sügavamalt hägusate hulkade omadusi ja näidata, et hägusate hulkade teooria taandub teatud mõttes juhuslike hulkade teooriaks. Selle eesmärgi saavutamiseks formuleeritakse ja tõestatakse teoreemide ahel.

Järgnevalt eeldatakse, et kõik vaadeldavad hägused hulgad on sama hulga alamhulgad

YP2-1. De Morgani seadused hägusate hulkade jaoks

(3)

Nagu teada, on Morgani seadused järgmised hulkade algebra identiteedid

1. teoreem. Hägusate komplektide puhul kehtivad järgmised identiteedid:. Erinevalt klassikalisest seoste juhtumist (1) koosnevad need neljast identiteedist, millest üks paar on seotud liite ja lõikumistehtetega ning teine ​​korrutise ja summa tehtega. Nagu seos (1) hulgaalgebras, võimaldavad de Morgani seadused hägusalgebras teisendada avaldisi ja valemeid, mis sisaldavad eitustehteid.

P2-2. Hägusate hulkade jaotusseadus

Mõned hulgatehte omadused ei kehti hägusate hulkade puhul. Jah, välja arvatud siis, kui A- "karge" komplekt (st liikmelisuse funktsioon võtab ainult väärtused 0 ja 1).

Kas jaotusseadus kehtib hägusate hulkade puhul? Kirjanduses öeldakse mõnikord ebamääraselt, et "mitte alati". Olgem täiesti selged.

2. teoreem.Mis tahes hägusate komplektide A, B ja C jaoks

Samas võrdsus

õiglane siis ja ainult siis, kõigi jaoks

Tõestus. Parandage suvaline element. Tähise lühendamiseks tähistame Identiteedi tõestamiseks (4) on vaja seda näidata

Kaaluge kolme numbri erinevat järjestust a, b, c. Olgu esmalt Siis seose (6) vasak pool on ja parem pool, s.o. võrdsus (6) on tõsi.

Olgu Siis relatsioonis (6) vasakul on ja paremal, s.o. seos (6) on jällegi võrdsus.

Kui siis relatsioonis (6) vasakul on ja paremal, st. mõlemad osad sobivad uuesti.

Kolm järelejäänud numbritellimust a, b, c ei ole vaja lahti võtta, kuna seoses (6) numbrid b Ja c sisestage sümmeetriliselt. Identiteet (4) on tõestatud.

Teoreemi 2 teine ​​väide tuleneb asjaolust, et vastavalt hägusate hulkade tehte definitsioonidele (vt 8. peatükk)

Need kaks väljendit langevad kokku siis ja ainult siis, millal ja mida oli vaja tõestada.

Definitsioon 1.Häguse hulga A kandja on kõigi punktide hulk , mille jaoks

2. teoreemi järeldus.Kui hägusate hulkade B ja C kandjad langevad kokku Y-ga, kehtib võrdsus (5) siis ja ainult siis, kui A on "karge" (st tavaline, klassikaline, mitte hägune) hulk.

Tõestus. Tingimuste järgi kõigi ees. Siis 2. teoreemist järeldub, et need. või , mis tähendab seda A- selge komplekt.

P2-3. Hägusad hulgad juhuslike hulkade projektsioonidena

Päris algusest peale kaasaegne teooria fuzzyness'ist hakati rääkima 1960. aastatel selle seostest tõenäosusteooriaga. Fakt on see, et häguse hulga kuuluvusfunktsioon sarnaneb tõenäosusjaotusega. Ainus erinevus on see, et juhusliku suuruse (või integraali, kui võimalike väärtuste hulk on loendamatu) kõigi võimalike väärtuste tõenäosuste summa on alati võrdne 1-ga ja summa S liikmefunktsiooni väärtused (pideval juhul - liikmelisuse funktsiooni integraal) võivad olla mis tahes mittenegatiivne arv. Tekib kiusatus liikmelisuse funktsiooni normaliseerida, s.t. jagage kõik selle väärtused S(at S 0) taandada see tõenäosusjaotuseks (või tõenäosustiheduseks). Ent hägususe spetsialistid vaidlevad õigustatult vastu sellisele "primitiivsele" vähendamisele, kuna see viiakse läbi iga hägususe (häguse hulga) jaoks eraldi ja hägusate kogumite tavaliste operatsioonide määratlused ei saa olla sellega kooskõlas. Olgu hägusate funktsioonide liikmesusfunktsioonid teisendatud näidatud viisil A Ja IN. Kuidas liikmelisuse funktsioone muudetakse? Installige see põhimõtteliselt võimatu. Viimane väide saab täiesti selgeks pärast seda, kui vaadeldakse mitut näidet häguste hulkade paaridest, millel on samad liikmelisuse funktsioonide väärtuste summad, kuid neil on erinevad hulgateoreetiliste toimingute tulemused ja vastavate liikmefunktsioonide väärtuste summad. nende hulgateoreetiliste tehtete tulemuste puhul on näiteks ka hulkade lõikepunktid erinevad.

Hägushulka käsitlevates töödes on üsna sageli väidetud, et hägususteooria on rakendusmatemaatika iseseisev haru ega ole seotud tõenäosusteooriaga (vt nt kirjanduse ülevaadet monograafiates). Hägusteooriat ja tõenäosusteooriat võrrelnud autorid rõhutasid tavaliselt erinevust nende teoreetiliste ja tõenäosusteooriate vahel. rakendusuuringud. Tavaliselt võrreldakse aksiomaatikat ja võrreldakse rakendusvaldkondi. Kohe tuleb märkida, et teist tüüpi võrdluste argumendid ei oma tõendusjõudu, sest isegi nii kauaaegsete rakenduspiiride osas teadusvaldkond, tõenäosus-statistiliste meetoditena on erinevaid arvamusi. Meenutagem, et ühe tuntuima prantsuse matemaatiku Henri Lebesgue’i arutluskäigu tulemus aritmeetika kohaldatavuse piiride kohta on järgmine: “Aritmeetika on rakendatav siis, kui see on rakendatav” (vt tema monograafia).

Kui võrrelda hägusateooria ja tõenäosusteooria erinevaid aksiomaatikaid, siis on hästi näha, et aksioomide loetelud erinevad. Sellest aga ei järeldu sugugi, et nende teooriate vahel ei saaks luua seost, näiteks eukleidilise geomeetria tuntud taandamine tasapinnal aritmeetikale (täpsemalt arvusüsteemi teooriale – vt. näiteks monograafia). Meenutagem, et need kaks aksiomaatikat – eukleidiline geomeetria ja aritmeetika – on esmapilgul väga erinevad.

Võib mõista uue suuna entusiastide soovi rõhutada oma teadusaparaadi fundamentaalset uudsust.

Sama oluline on aga seoste loomine uue lähenemise ja senituntu vahel.

Nagu selgub, on hägusate hulkade teooria tihedalt seotud juhuslike hulkade teooriaga. Veel 1974. aastal näidati töös, et hägusaid hulki võib loomulikult pidada juhuslike hulkade projektsioonideks. Vaatleme seda meetodit häguste hulkade teooria taandamiseks juhuslike hulkade teooriaks.Lase - 2. definitsioon.

(7)

lõpliku hulga Y juhuslik alamhulk. Y-ga määratletud hägusat hulka B nimetatakse projektsiooniks A ja seda tähistatakse Proj A-ga, kui

kõigi ees A Ilmselgelt iga juhuslik komplekt saab valemi (7) abil korreleerida häguse hulgaga B = projekt A.

Selgub, et tõsi on ka vastupidine. 3. teoreem.

Lõpliku hulga Y mis tahes hägusa alamhulga B jaoks on Y juhuslik alamhulk A, nii et B = Proj A. Tõestus. A Piisab juhusliku hulga jaotuse määramisest . Lase U 1 IN- kandja (vt definitsiooni 1 eespool). Üldisust kaotamata võime seda eeldada mõnel m . Lase ja elemendid

nummerdatud sellises järjekorras, et

Tutvustame komplekte Kõigi muude alamhulkade jaoks X komplektid U paneme P(A=X)=0 . Alates elemendist y t sisaldub komplektis Y(1), Y(2),…, Y(t) ja see ei sisaldu komplektid Y(t+1),…, Y(m), See

Ülaltoodud valemitest järeldub, et

Kui siis ilmselgelt on teoreem 3 tõestatud. Sõltumatute elementidega juhusliku hulga jaotuse, nagu tuleneb 8. peatüki kaalutlustest, määrab täielikult selle projektsioon. Üldvormi lõpliku juhusliku hulga puhul see nii ei ole. Selle selgitamiseks vajame järgmist teoreemi. 4. teoreem. Hulga Y juhusliku alamhulga A jaoks lõplikust hulgast elementide arvud arvukomplektid

Lõpliku hulga Y mis tahes hägusa alamhulga B jaoks on Y juhuslik alamhulk A, nii et B = Proj A. Ja



väljenduvad üksteise kaudu.

Selles valemis esimeses summas juures läbib kõiki komplekti elemente Y\X, teises summas summeerivad muutujad kell 1 Ja kell 2 ei lange kokku ja jooksevad ka sellest komplektist läbi jne.

Viide kaasamise ja välistamise valemile lõpetab teoreemi 4 tõestuse. Vastavalt teoreemile 4 saab juhuslikku hulka A iseloomustada mitte ainult jaotusega, vaid ka arvude hulgaga Muid võrdsustüüpi seoseid selles komplektis ei ole. See hulk sisaldab numbreid, seetõttu on juhusliku hulga projektsiooni fikseerimine samaväärne fikseerimisega k = kaart (Y) parameetrid alates(2k-1) A parameetrid, mis määravad juhusliku hulga jaotuse

üldjuhul.

Järgmine teoreem on kasulik.. Kui 5. teoreem, Proj A = B

See

Selle tõestamiseks piisab, kui kasutada juhuslike hulkade teooriast pärinevat identiteeti, 8. peatüki katmise tõenäosuse valemit, häguse hulga eituse definitsiooni ja asjaolu, et kõigi P(A= X) on võrdne 1-ga.

P2-4. Hägusate ja juhuslike hulkade ristumiskohad ja korrutised

Uurime välja, kuidas juhuslike kogumitega tehtavad toimingud on seotud nende projektsioonide tehtega. De Morgani seaduste (teoreem 1) ja teoreem 5 alusel piisab, kui arvestada juhuslike hulkade ristumisoperatsiooni. 6. teoreem. Kui lõpliku hulga juhuslikud alamhulgad A 1 ja A 2 y on sõltumatud, siis hägune hulk on teos hägused komplektid

Lõpliku hulga Y mis tahes hägusa alamhulga B jaoks on Y juhuslik alamhulk A, nii et B = Proj A. Proj A 1 ja Proj A 2 .

Tuleb näidata, et iga

Juhusliku hulgaga punkti katmise tõenäosuse valemi järgi (8. peatükk)

Nagu teada, saab juhuslike hulkade lõikepunktide jaotust väljendada nende ühisjaotuse kaudu järgmiselt:

Seostest (9) ja (10) järeldub, et juhuslike hulkade lõikumise kattetõenäosust saab esitada topeltsummana

(12)

Pange tähele, et valemi (11) paremat poolt saab ümber kirjutada järgmiselt:

Tõepoolest, valem (11) erineb valemist (12) ainult selle poolest, et see rühmitab terminid, milles liitmuutujate ristumiskohal on konstantne väärtus. Kasutades juhuslike hulkade sõltumatuse definitsiooni ja summade korrutamise reeglit, saame, et (11) ja (12) järgneb võrdsus

6. teoreemi tõestuse lõpetamiseks piisab, kui veel kord viidata juhusliku hulgaga punkti katmise tõenäosuse valemile (8. peatükk). 3. määratlus. mille jaoks

Juhusliku hulga C tugi on kõigi nende elementide kogum7. teoreem.

Võrdsus Hulga Y juhusliku alamhulga A jaoks lõplikust hulgast tõene siis ja ainult siis, kui juhuslike hulkade tugede ristumiskoht

Lõpliku hulga Y mis tahes hägusa alamhulga B jaoks on Y juhuslik alamhulk A, nii et B = Proj A. Tuleb välja selgitada, millistel tingimustel

Siis taandub võrdsus (13) tingimuseks

On selge, et seos (14) on täidetud siis ja ainult siis lk 2 p 3=0 kõigi st. pole ühtegi sellist elementi, mis samal ajal Ja , ja see on samaväärne juhuslike hulkade tugede ristumiskoha tühjusega ja . 7. teoreem on tõestatud.

P2-5. Hägusate kogumite toimingute jada vähendamine

juhuslike kogumitega tehtavate operatsioonide jadale

Eespool saime mõned seosed hägusate ja juhuslike komplektide vahel. Väärib märkimist, et nende seoste uurimine töös (see töö viidi läbi 1974. aastal ja sellest teatati 18. detsembril 1974 toimunud seminaril “Mitmemõõtmeline statistiline analüüs ja reaalsete protsesside tõenäosuslik modelleerimine – vt.”) sai alguse 1974. a. juhuslikud hulgad häguste hulkade arendus- ja üldistusaparaadi otstarbeks L. Zadeh. Fakt on see, et hägusate hulkade matemaatiline aparaat ei võimalda meil piisavalt arvestada erinevaid valikuid tema abiga modelleeritud mõistete (objektide) vahelised sõltuvused ei ole piisavalt paindlikud. Seega on kahe hägusa hulga “ühisosa” kirjeldamiseks ainult kaks toimingut - korrutis ja ristmik. Kui rakendada neist esimest, siis tegelikult eeldatakse, et hulgad käituvad sõltumatute juhuslike hulkade projektsioonidena (vt eespool teoreem 6). Ristumiskoha operatsioon seab ka täpselt määratletud piirangud hulkadevahelise sõltuvuse tüübile (vt teoreem 7 eespool) ning sel juhul on leitud isegi vajalikud ja piisavad tingimused. Hulkade (mõistete, objektide) vaheliste sõltuvuste modelleerimiseks on soovitav laiemad võimalused. Juhuslike hulkade matemaatilise aparaadi kasutamine annab selliseid võimalusi.

Hägusate hulkade juhuslikeks taandamise eesmärk on näha iga hägusate hulkade konstruktsiooni taga juhuslike hulgade konstruktsiooni, mis määrab ära esimese omadused, samamoodi nagu me näeme tõenäosusjaotuse tihedusega juhuslikku muutujat. Selles jaotises esitame tulemused häguste hulkade algebra taandamiseks juhuslike hulkade algebraks.

4. definitsioon.Tõenäosusruum { W, G, P)nimetame seda jagatavaks kui mis tahes mõõdetava hulga X G ja mis tahes positiivse arvu korral, väiksem kui P(X), saame määrata mõõdetava hulga nii, et

Näide. Laskma olema lõpliku mõõtme ühiku kuup lineaarne ruum, G on Boreli hulkade sigma algebra ja P- Lebesgue'i mõõt. Siis { W, G, P)- jagatav tõenäosusruum.

Seega ei ole jagatav tõenäosusruum eksootiline. Tavaline kuubik on sellise ruumi näide.

Näites sõnastatud väite tõestamine toimub standardsete matemaatikatehnikate abil, lähtudes asjaolust, et mõõdetavat hulka on võimalik ligikaudselt hinnata nii täpselt kui soovitakse avatud komplektid, viimased on kujutatud mitte rohkem kui loendatava arvu lahtiste kuulide summana ja pallide puhul kontrollitakse jaguvust otse (mahukeha on kuulist X vastava tasapinnaga eraldatud).

8. teoreem.Olgu juhuslik hulk A antud jaguval tõenäosusruumil (W, G, P) väärtustega komplekti Y kõigi alamhulkade hulgas lõplikust arvust elementidest ja hägune hulk D Y-l. Siis on juhuslikud hulgad C 1, C 2, C 3, C 4 samal tõenäosusruumil nii, et

kus B = Proj A.

Tõestus. De Morgani seaduste kehtivuse tõttu fuzzy (vt teoreem 1 eespool) ja juhuslike hulkade jaoks, samuti ülaltoodud teoreem 5 (eituste kohta), piisab juhuslike hulkade olemasolu tõestamisest. C 1 Ja C 2 .

Vaatleme tõenäosusjaotust hulga kõigi alamhulkade hulgas komplektid, mis vastab juhuslikule hulgale KOOS selline et Proj C = D(see on olemas teoreemi 3 alusel). Ehitame juhusliku komplekti C 2 Välistame elemendi ainult jaoks samast hulgast Y selline, et

ja lisaks on hulgateoreetiliste operatsioonide tulemused seotud sarnaste seostega

kus märk tähendab, et kõnealuses kohas on juhuslike hulkade ristumiskoha sümbol, kui B m definitsioonis on ristumiskoha sümbol või häguste hulkade korrutise sümbol ja vastavalt juhuslike hulkade liit, kui B m-s ​​on ühenduse sümbol või häguste hulkade summa sümbol.

De Morgani seadused on Šoti matemaatiku Augustus de Morgani kehtestatud loogilised reeglid, mis seovad paare loogilisi tehteid kasutades loogilist eitust.

Augustus de Morgan märkis, et klassikalises loogikas kehtivad järgmised seosed:

mitte (A ja B) = (mitte A) või (mitte B)

mitte (A või B) = (mitte A) ja (mitte B)

Meile tuttavamas vormis saab need seosed kirjutada järgmiselt:



De Morgani seadusi saab sõnastada järgmiselt:

I de Morgani seadus: Kahe lihtlause disjunktsiooni eitus on samaväärne nende väidete eituste konjunktsiooniga.

II de Morgani seadus: Kahe lihtlause konjunktsiooni eitus on samaväärne nende väidete eituste disjunktsiooniga.

Vaatleme konkreetsete näidete abil De Morgani seaduste rakendamist.

Näide 1. Teisendage valem nii, et poleks keeruliste väidete eitusi.

Kasutame De Morgani esimest seadust ja saame:

Rakendame De Morgani teist seadust lihtsate väidete B ja C konjunktsiooni eitamisele ja saame:

,

Seega:

.

Selle tulemusena saime samaväärse väite, milles liitlausete eitused puuduvad ja kõik eitused puudutavad ainult lihtlauseid.

Lahenduse paikapidavust saate kontrollida tõesuse tabelite abil. Selleks koostame algse väite tõesuse tabelid:

ja De Morgani seaduste abil tehtud teisenduste tulemusena saadud väite kohta:

.

Tabel 1.

			B/\C	A\/B/\C



Nagu tabelitest näeme, on algne loogiline väide ja De Morgani seaduste abil saadud loogiline väide samaväärsed. Sellest annab tunnistust tõsiasi, et tõetabelites saime identsed väärtuskomplektid.

Neeldumisteoreem kirjutatud kahel kujul - disjunktiivne ja

konjunktiiv, vastavalt:

A + AB = A (16)

A(A + B)=A (17)

Tõestame esimest teoreemi. Võtame sulgudest välja tähe A:

A + AB = A(1 + B)

Vastavalt teoreemile (3) 1 + B = 1, seega

A(1 + B) = A 1 = A

Teise teoreemi tõestamiseks avame sulud:

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Tulemuseks on äsja tõestatud väljend.

Vaatleme mitmeid näiteid absorptsiooniteoreemi rakendamisest

Boole'i ​​valemite lihtsustamine.

Liimimise teoreem on ka kaks vormi - disjunktiivne ja

sidesõna:

Tõestame esimest teoreemi:

kuna vastavalt teoreemidele (5) ja (4)



Teise teoreemi tõestamiseks avame sulud:



Vastavalt teoreemile (6) on see järgmine:

Vastavalt neeldumisteoreemile (16) A+AB = A

Neeldumisteoreemi, nagu liimimisteoreemi, kasutatakse lihtsustamisel

Boole'i ​​valemid, näiteks:



De Morgani teoreemühendab kõik kolm Boole'i ​​algebra põhitehet

Disjunktsioon, konjunktsioon ja inversioon:

Esimene teoreem kõlab nii: konjunktsiooni inversioon on disjunktsioon

inversioonid. Teiseks: disjunktsiooni inversioon on inversioonide konjunktsioon. Morgani teoreeme saab tõestada, kasutades vasaku ja parema külje tõetabeleid.

De Morgani teoreem kehtib rohkemate muutujate kohta:

5. loeng

Keeruliste avaldiste ümberpööramine

De Morgani teoreem ei kehti ainult üksikute sidesõnade kohta

või disjunktsioonidele, aga ka keerukamatele väljenditele.

Leiame avaldise inversiooni AB + CD , esitatakse sidesõnade disjunktsioonina. Me loeme inversiooni lõpetatuks, kui negatiivsed märgid ilmuvad ainult muutujate kohal. Tutvustame järgmist tähistust: AB = X;

CD = Y, Siis

Leiame ja asendame avaldisega (22):



Seega:

Mõelge konjunktiivses vormis esitatud väljendile:

(A + B) (C + D)

Leiame selle inversiooni vormis



Tutvustame järgmist tähistust: A + B = X; C + D =Y, Siis

Otsime üles ja asendame need väljendiga

Seega:

Keeruliste avaldiste inverteerimisel saate kasutada järgmist reeglit. Inversiooni leidmiseks on vaja asendada sidemärgid disjunktsioonimärkidega ja disjunktsioonimärgid sidemärkidega ning panna iga muutuja peale inversioonid:

Boole'i ​​funktsiooni mõiste

INüldiselt funktsioon (lat. functio – täitmine, vastavus,

kaardistamine) on teatud reegel (seadus), mille kohaselt hulga iga element X, mis esindab sõltumatu muutuja väärtuste vahemikku X, määratakse komplekti konkreetne element F,

mis viitab sõltuva muutuja väärtuste vahemikule f . Boole'i ​​funktsioonide puhul X = F = (0,1). Funktsiooni määramise reegel võib olla mis tahes Boole'i ​​valem, näiteks:



Sümbol f tähistab siin funktsiooni, mis on nagu A argumendid, B, C, kahendmuutuja.

Argumendid on sõltumatud muutujad, nad võivad võtta mis tahes väärtuse – kas 0 või 1. Funktsioon f - sõltuv muutuja. Selle tähenduse määravad täielikult muutujate väärtused ja nendevahelised loogilised seosed.

Peamine omadus Funktsioon: selle väärtuse määramiseks on üldiselt vaja teada kõigi argumentide väärtusi, millest see sõltub. Näiteks ülaltoodud funktsioon sõltub kolmest argumendist A, V, S. Kui võtame A = 1, saame



st saadakse uus avaldis, mis ei ole võrdne nulliga ega

üksus. Las see nüüd IN= 1. Siis



st antud juhul pole teada, millega funktsioon on võrdne, null või üks.

Võtame lõpuks vastu KOOS= 0. Siis saame: f = 0. Seega, kui algses avaldises võtame A = 1, IN= 1, KOOS = 0, siis võtab funktsioon nullväärtuse: f = 0.

Mõelgem muutuvate väärtuste hulga mõiste .

Kui kõikidele argumentidele, millest funktsioon sõltub, omistatakse mingid väärtused, siis räägime argumentide väärtuste komplektist, mida saab

lihtsalt nimetage seda komplektiks. Argumendi väärtuste komplekt on nullide ja ühtede jada, näiteks 110, kus esimene number vastab esimesele argumendile, teine ​​teisele ja kolmas kolmandale. Ilmselgelt tuleb eelnevalt kokku leppida, mis on esimene, teine ​​või näiteks viies argument. Selleks on mugav kasutada tähtede tähestikulist paigutust.

Näiteks kui

siis ladina tähestiku järgi on argument esimene R, teine ​​-

K, kolmas - X, neljas - U. Seejärel on argumentide väärtuste komplekti põhjal lihtne

leida funktsiooni väärtus. Olgu näiteks antud hulk 1001. Selle järgi

kirjed, st komplektis 1001 on antud funktsioon võrdne ühega.

Pange tähele veel kord, et argumendi väärtuste komplekt on kogum

nullid ja ühed. Kahendarvud on ka nullide ja ühtede hulgad.

See tõstatab küsimuse: kas hulki ei saa pidada binaarseteks?

numbrid? See on võimalik ja paljudel juhtudel on see väga mugav, eriti kui binaarne

Teisendage arv kümnendsüsteemiks. Näiteks kui

A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

st antud hulk on kümnendsüsteemis number 6.

Kui peate leidma argumentide väärtused kümnendarvu abil, siis

jätkame vastupidises järjekorras: esmalt teisendame kümnendarvu kahendarvuks, seejärel lisame vasakule nii palju nulle kui koguarv numbrid on võrdne argumentide arvuga, mille järel leiame argumentide väärtused.

Näiteks peate leidma argumentide A väärtused, B, C, D, E, F valides numbriga 23. Teisendame meetodi abil numbri 23 kahendsüsteemi

jagades kahega:

Selle tulemusena saame 23 10 = 10111 2. See arv on viiekohaline, kuid kokku

Argumente on kuus, seetõttu peate vasakule kirjutama ühe nulli:

23 10 = 010111 2. Siit leiame:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Mitu komplekti on kokku, kui arv on teada? n argumendid? Ilmselgelt on n-bitiseid kahendarve sama palju kui neid on, st 2 n

6. loeng

Boole'i ​​funktsiooni määramine

Me juba teame üht võimalust. See on analüütiline, st matemaatilise avaldise kujul, kasutades binaarmuutujaid ja loogilisi operatsioone. Lisaks sellele on ka teisi meetodeid, millest olulisim on tabelipõhine. Tabelis on loetletud kõik võimalikud argumentide väärtuste komplektid ja iga komplekti funktsiooni väärtus. Sellist tabelit nimetatakse vastavus- (tõe)tabeliks.

Funktsiooni kasutamine näitena



Uurime, kuidas selle jaoks vastavustabelit koostada.

Funktsioon sõltub kolmest argumendist A, B, C. Seetõttu tabelis

pakume jaoks kolm veergu argumendid A,B,C ja üks veerg funktsiooni f väärtuste jaoks. Veerust A vasakule on kasulik paigutada teine ​​veerg. Sellesse kirjutame üles kümnendarvud, mis vastavad hulgale, kui neid peetakse kolmekohalisteks kahendarvudeks. See kümnendkoht

veerg võetakse kasutusele tabeliga töötamise mugavuse huvides, seega põhimõtteliselt

selle võib tähelepanuta jätta.



Täidame tabeli. LLC numbri reale on kirjutatud:

A = B = C = 0.

Määrame selle hulga funktsiooni väärtuse:

Veerus f kirjutame 000-ga reale nulli.

Järgmine komplekt: 001, st. e. A = B = 0, C = 1. Leia funktsiooni väärtus

sellel komplektil:

Komplektis 001 on funktsioon 1, seega veerus f reas c

Selle kirjutamiseks kasutatakse numbrit 001.

Samamoodi arvutame funktsioonide väärtused kõigis teistes komplektides ja

täitke kogu tabel.