Ma räägin lühidalt. Nurk kahe sirge vahel võrdne nurgaga nende suunavektorite vahel. Seega, kui teil õnnestub leida suunavektorite a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ja b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) koordinaadid, saate nurga leida. Täpsemalt nurga koosinus vastavalt valemile:

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see valem töötab:

Ülesanne. Kuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on märgitud punktid E ja F - vastavalt servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid. Leidke nurk sirgete AE ja BF vahel.

Kuna kuubi serv pole määratud, siis paneme AB = 1. Tutvustame standardset koordinaatide süsteemi: alguspunkt on punktis A, teljed x, y, z on suunatud vastavalt mööda AB, AD ja AA 1. Ühiklõik on võrdne AB = 1. Nüüd leiame oma sirgete suunavektorite koordinaadid.

Leiame vektori AE koordinaadid. Selleks vajame punkte A = (0; 0; 0) ja E = (0,5; 0; 1). Kuna punkt E on lõigu A 1 B 1 keskpunkt, on selle koordinaadid võrdsed otste koordinaatide aritmeetilise keskmisega. Pange tähele, et vektori AE alguspunkt langeb kokku koordinaatide alguspunktiga, seega AE = (0,5; 0; 1).

Vaatame nüüd BF-vektorit. Samamoodi analüüsime punkte B = (1; 0; 0) ja F = (1; 0,5; 1), sest F on segmendi B 1 C 1 keskpunkt. Meil on:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Niisiis, suunavektorid on valmis. Sirgete vahelise nurga koosinus on suunavektorite vahelise nurga koosinus, seega on meil:

Ülesanne. Tavalises kolmnurkprismas ABCA 1 B 1 C 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on märgitud punktid D ja E - vastavalt servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid. Leidke sirgete AD ja BE vaheline nurk.

Tutvustame standardset koordinaatsüsteemi: alguspunkt on punktis A, x-telg on suunatud piki AB, z - mööda AA 1. Suuname y-telje nii, et OXY tasand langeb kokku ABC tasandiga. Ühiklõik on võrdne AB = 1. Leiame vajalike sirgete suunavektorite koordinaadid.

Kõigepealt leiame vektori AD koordinaadid. Vaatleme punkte: A = (0; 0; 0) ja D = (0,5; 0; 1), sest D - segmendi A 1 B 1 keskosa. Kuna vektori AD algus langeb kokku koordinaatide alguspunktiga, saame AD = (0,5; 0; 1).

Nüüd leiame vektori BE koordinaadid. Punkti B = (1; 0; 0) on lihtne arvutada. Punktiga E - segmendi C 1 B 1 keskosa - on see veidi keerulisem. Meil on:

Jääb üle leida nurga koosinus:

Ülesanne. Korrapärases kuusnurkses prismas ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on märgitud punktid K ja L - vastavalt servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid. . Leidke sirgete AK ja BL vaheline nurk.

Tutvustame prisma standardset koordinaatsüsteemi: asetame koordinaatide alguspunkti alumise aluse keskpunkti, x-telg on suunatud piki FC-d, y-telg on suunatud läbi lõikude AB ja DE keskpunktide ning z telg on suunatud vertikaalselt ülespoole. Ühiku segment on jällegi võrdne AB = 1. Kirjutame üles meile huvipakkuvate punktide koordinaadid:

Punktid K ja L on vastavalt lõikude A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid, seega leitakse nende koordinaadid läbi aritmeetilise keskmise. Teades punkte, leiame suunavektorite AK ja BL koordinaadid:

Nüüd leiame nurga koosinuse:

Ülesanne. Tavalises nelinurkses püramiidis SABCD, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on tähistatud punktid E ja F – vastavalt külgede SB ja SC keskpunktid. Leidke sirgete AE ja BF vaheline nurk.

Tutvustame standardset koordinaatsüsteemi: alguspunkt on punktis A, x- ja y-telg on suunatud vastavalt AB ja AD ning z-telg vertikaalselt ülespoole. Ühiku segment on võrdne AB = 1.

Punktid E ja F on vastavalt lõikude SB ja SC keskpunktid, seega leitakse nende koordinaadid otste aritmeetilise keskmisena. Paneme kirja meile huvipakkuvate punktide koordinaadid:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Teades punkte, leiame suunavektorite AE ja BF koordinaadid:

Vektori AE koordinaadid langevad kokku punkti E koordinaatidega, kuna punkt A on alguspunkt. Jääb üle leida nurga koosinus:

Tasand ВСE (joon.) tõmmatakse läbi servaga AS risti oleva külje ВС. Külgpindade vahelisi kahetahulisi nurki (kõik need on võrdsed) mõõdetakse nurgaga BEC = φ . Kolmnurk KAAL on võrdhaarne.

Läbilõikepindala S ja nurga määramiseks φ , piisab DE leidmisest (D on eKr keskpaik). Selleks leiame järjestikku BS (kolmnurgast BSD, kus BD = a / 2 ja ∠BSD = α / 2 ).

Siis BE (kolmnurgast BSE, kus ∠BSE = α ) ja lõpuks DE=√BE 2 -BD 2 . Me saame

Märkus 1 . Tasapinna nurkade summa tipus S on alati väiksem kui 360°. Seetõttu 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, st võrrand alati on lahendus.

Märkus 2 . Kui α >90°, st nurk ASB külgpinna tipus on nüri, siis kolmnurga ASB kõrgus BE lõikub aluse jätkusega ja tasapind BEC ei anna püramiidi ühtegi lõiget. Vahepeal valem

ja nüri nurga all α (alla 120°, vt märkust 1) annab teatud väärtuse S.

Vastus: φ = 2 kaare sin (1/2 sek α / 2 );

Sarnased näited:

Püramiidi põhjas asub ristkülik. Üks külgpindadest on võrdhaarse kolmnurga kujuga ja on aluse suhtes risti; teisel küljel, esimese vastas, on külgmised servad, mis on võrdsed b , moodustavad omavahel nurga 2 α ja kaldu esimese näo poole nurga all α . Määrake püramiidi ruumala ja näidatud kahe tahu vaheline nurk.

Märkus. See on õppetund geomeetria ülesannete lahendustega (stereomeetria osa, püramiid, mille põhjas on nelinurk). Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mida siin pole, kirjutage sellest foorumisse. Ülesannetes kasutatakse "ruutjuure" sümboli asemel funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on märgitud sulgudes. Lihtsate radikaalsete väljendite jaoks võib kasutada märki"√".

Ülesanne

Tavalisel nelinurksel püramiidil on aluse külg a ja kõrgus 3a.
Leidke külgribide ja külgpindade kaldenurgad aluse tasapinna suhtes .

Lahendus.

Leiame ribide kaldenurga aluse tasapinna suhtes.
Kuna tavalise püramiidi põhjas asub korrapärane nelinurk, siis antud juhul on see ruut. Kuna püramiidi kõrgus on projitseeritud aluse keskele, on see diagonaalide lõikepunkt. Kust tuleb KN = a/2?

Kolmnurk OKN on ristkülikukujuline, OK on kõrgus 3a.
Leiame nurga KNO puutuja, tähistades seda kui α.

Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctan 6 ≈ 80,5377°

Leiame püramiidi serva kaldenurga.
A-küljega ruudu diagonaal on võrdne a√2. Kuna kõrgus on projitseeritud aluse keskele, jagatakse diagonaalid selles punktis pooleks.

Seega on täisnurkse kolmnurga OKC puhul nurga KCO puutuja (tähistame seda kui β)

Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = arctan 6/√2 ≈ 76,7373°

Vastus: tahkude kaldenurk arctg 6 ≈ 80,5377°; ribide kaldenurk kaartg 6/√2 ≈ 76,7373°