Transformatsioonid juhuslikud muutujad

Iga juhusliku muutuja jaoks X määrake veel kolm kogust – tsentreeritud Y, normaliseeritud V ja antud U. Tsentreeritud juhuslik muutuja Y on erinevus antud juhusliku suuruse vahel X ja tema matemaatiline ootus M(X), need. Y = X - M(X). Tsentreeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus Y on võrdne 0-ga ja dispersioon on antud juhusliku suuruse dispersioon: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). jaotusfunktsioon F Y(x) tsentreeritud juhuslik muutuja Y seotud jaotusfunktsiooniga F(x) esialgne juhuslik suurus X suhe:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Nende juhuslike suuruste tiheduse korral võrdsus

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normaliseeritud juhuslik suurus V on selle juhusliku suuruse suhe X selle standardhälbele , s.o. . Normaliseeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon V väljendub tunnuste kaudu X Niisiis:

,

Kus v on algse juhusliku suuruse variatsioonikordaja X. Jaotusfunktsiooni jaoks F V(x) ja tihedus f V(x) normaliseeritud juhuslik suurus V meil on:

Kus F(x) on algse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X, A f(x) on selle tõenäosustihedus.

Vähendatud juhuslik suurus U on tsentreeritud ja normaliseeritud juhuslik suurus:

.

Vähendatud juhusliku suuruse jaoks

Normaliseeritud, tsentreeritud ja redutseeritud juhuslikke suurusi kasutatakse pidevalt nii teoreetilises uurimistöös kui ka algoritmides, tarkvaratoodetes, normatiiv-tehnilises ja õpetlik-metoodilises dokumentatsioonis. Eelkõige seetõttu, et võrdsused võimaldavad lihtsustada meetodite põhjendamist, teoreemide sõnastamist ja arvutusvalemeid.

Kasutatakse juhuslike suuruste teisendusi ja üldisemat plaani. Nii et kui Y = aX + b, Kus a Ja b siis on mõned numbrid

Näide 7 Kui siis Y on redutseeritud juhuslik suurus ja valemid (8) teisendatakse valemiteks (7).

Iga juhusliku muutujaga X saate ühendada palju juhuslikke muutujaid Y antud valemiga Y = aX + b erinevatel a> 0 ja b. Seda komplekti nimetatakse skaala nihke perekond, mis on genereeritud juhusliku suuruse abil X. Jaotusfunktsioonid F Y(x) moodustavad jaotusfunktsiooni poolt genereeritud skaala nihke jaotuste perekonna F(x). Selle asemel Y = aX + b sageli kasutatav märge

Number Koos nimetatakse nihkeparameetriks ja numbriks d- skaala parameeter. Valem (9) näitab seda X- teatud koguse mõõtmise tulemus - läheb sisse Kell- sama väärtuse mõõtmise tulemus, kui mõõtmise algus nihutatakse punkti Koos ja seejärel kasutage uut mõõtühikut in d korda suurem kui vana.

Skaalanihke perekonna (9) puhul nimetatakse jaotust X standardseks. Tõenäosus-statistilistes otsustusmeetodites ja muudes rakendusuuringutes kasutatakse standardset normaaljaotust, Weibull-Gnedenko standardjaotust, standardset gamma jaotust jne (vt allpool).

Kasutatakse ka muid juhuslike suuruste teisendusi. Näiteks positiivse juhusliku muutuja puhul X kaaluma Y= log X, kus lg X on arvu kümnendlogaritm X. Võrdsuse ahel

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

seostab jaotusfunktsioone X Ja Y.

66.1. Seost (65.11), mis määrab teisendatud muutuja tõenäosustiheduse algse juhusliku suuruse tiheduse kaudu, saab üldistada juhuslike suuruste teisenduse korral. Olgu juhuslikel suurustel ühine tihedus ning funktsioonid ja muutujad on antud. On vaja leida juhuslike suuruste ühine tõenäosustihedus:

See probleem erineb üldlausest, punktist 6.4., tingimusega, et esialgsete juhuslike muutujate arv on võrdne teisendatud muutujate arvuga. (66.1) pöördteisendus leitakse võrrandisüsteemi lahendusena muutujate suhtes. Igaüks neist sõltub. Selliste funktsioonide kombinatsioon moodustab pöördteisenduse. Üldjuhul on pöördteisendus mitmetähenduslik. Olgu pöördteisendusel - - I haru, siis on seos tõene:

kus summa võetakse üle pöördteisenduse kõik harud,

Jacobi teisendus juhuslikest muutujatest juhuslikeks muutujateks.

Kui igast juhuslike muutujate hulgast saadakse juhuslikud suurused, siis saab kasutada valemit (66.2), täiendades süsteemi juhuslike suurustega, näiteks selliste muutujatega. Kui aga hulga juhuslikud suurused on funktsionaalselt seotud ülejäänud suurustega, siis - mõõtmete tihedus sisaldab deltafunktsioone.

Seosed (64.4), (64.6) ja (66.2) määratlevad kaks meetodit esialgsete juhuslike suuruste ühise tõenäosustihedusega funktsionaalsel teisendusel saadud juhuslike suuruste hulga tiheduse arvutamise ülesande lahendamiseks. Peamine raskus esimese meetodi rakendamisel on -dimensioonilise integraali arvutamine keerulises domeenis. Teise meetodi puhul on peamiseks raskuseks pöördteisenduse kõigi harude leidmine.

66.2. Vaatleme lihtsat näidet kahe juhusliku suuruse summa tõenäosustiheduse arvutamisest ja tihedusest valemi (66.2) järgi. Ilmselt tuleks esimeseks teisendatud väärtuseks valida summa: , ja teiseks (kuigi võite võtta ja). Seega annab funktsionaalse teisenduse võrrandisüsteemist:

Pöördteisendus on võrrandisüsteemi lahendus järgmise suhtes:

Pöördteisendus on ainulaadne, nii et punktis (66.2) koosneb summa ühest liikmest. Leidke transformatsiooni jakobilane:

Nüüd (66.2) for võtab kujul:

Funktsioon on juhuslike suuruste ühine tõenäosustihedus ja. Siit leitakse summa tõenäosustihedus konsistentsi tingimusest:

Mõelge sama probleemi lahendamiseks esimesele meetodile. Alates (64.4) on järgmine:

Probleem taandub integraali teisendamiseks tingimusega määratletud piirkonnas. Seda integraali saab esitada järgmiselt:

Siit ka tõenäosustihedus:

Siit ka tõenäosustihedus:

mis langeb kokku valemiga (66.7).

Chi – tõenäosusjaotus ruudus

67.1. Chi - ruudus jaotus vabadusastmetega nimetatakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotuseks, kus on sõltumatud juhuslikud suurused ja kõik on matemaatilise ootuse ja dispersiooniga Gaussi jaotused. Valemi (64.3) kohaselt on juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse funktsioon võrdne

kus on suuruste ühine tõenäosustihedus. Tingimuse järgi on need sõltumatud, seega on see võrdne ühemõõtmeliste tiheduste korrutisega:

(67.1), (67.2) järeldub, et juhusliku suuruse tõenäosustiheduse määrab avaldis:

Selle avaldise analüüs on ilmselt lihtsaim viis leidmiseks, kuna siin ja (67.3) saab esitada järgmiselt:

Siin on integraal võrdne piirkonna mahuga - kahe hüpersfääri vahele jääva dimensiooniruumiga: - raadius ja - raadius. Kuna raadiusega hüpersfääri ruumala on võrdeline, s.o. , See

Kahe raadiusega ja hüpersfääri vaheline ruumala, mis määrab integraali (67,4) kuni tegurini. Asendage (67,5) väärtusega (67,4), seejärel

kus on konstant, mida saab määrata normaliseerimistingimusest:

Asendage (67,6) väärtusega (67,7), seejärel

Olgu siis integraal (67,8)

kus - gamma on argumendi funktsioon. (67,8) ja (67,9) põhjal määratakse konstant, mille asendamine (67,6) annab tulemuse

67.2. Arvutame juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni. Alates (67.11)

Samamoodi on keskmine ruutväärtus

Alates (67.12), (67.13) dispersioon

67.3. Matemaatilise statistika ülesannetes on normaaljaotusega seotud tõenäosusjaotused suur tähtsus. Esiteks on need - jaotus (Pearson'i jaotus), - jaotus (õpilaste jaotus) ja - jaotus (Fisheri jaotus). Jaotus on juhusliku suuruse tõenäosusjaotus

kus on sõltumatud ja kõik.

Studenti jaotus (või - jaotus) on juhusliku suuruse tõenäosusjaotus

kus ja on sõltumatud juhuslikud muutujad, ja.

Fisheri jaotus (- jaotus) vabadusastmetega on juhusliku suuruse tõenäosusjaotus

Chi – ruudujaotus ja Maxwelli kiirusjaotus

Maxwelli jaotus gaasimolekulide kiiruste vahel on kiirusmooduli tõenäosusjaotuse tihedus ja selle määrab seos

kus on gaasimolekulide arv, nende molekulide arv, mille kiirusmoodul asub intervallis, on gaasikonstant, - absoluutne temperatuur gaas. Suhe on tõenäosus, et molekuli kiiruse moodul asub intervallis, siis on kiiruse mooduli tõenäosustihedus.

Jaotuse (68.1) saab saada kahe järgmise lihtsa tõenäosusliku väite põhjal, mis määratlevad ideaalse gaasi mudeli. 1). Kiiruse projektsioonid Descartes'i koordinaatsüsteemi telgedel on sõltumatud juhuslikud suurused. 2). Iga kiirusprojektsioon on Gaussi juhuslik suurus, mille keskmine ja dispersioon on null. Parameeter määratakse katseandmete põhjal.

Määratleme juhusliku suuruse tõenäosustiheduse

Ilmselgelt on hii-ruutjaotus kolme vabadusastmega. Seetõttu määratakse selle tõenäosustihedus valemiga (67.11):

sest. Seega (68.3) on suhtelise kiiruse ruudu tõenäosustihedus.

Järgmine samm on liikuda kiiruse ruudu jaotusest selle mooduli jaotusele, . Funktsionaalteisendusel on vorm: , ja pöördteisendusel, . Seega on pöördteisendus ühe väärtusega. Seetõttu on mooduli jaotustihedusel vastavalt (65.1) vorm

Viimane samm on liikuda juhuslikult muutujalt uuele juhuslikule muutujale

Pöördteisendus on üheväärtuslik, seetõttu saab juhusliku suuruse tõenäosustihedus vastavalt (65.1) kujule

mis langeb kokku valemiga (68.1).

Seos (68.5), mis määrab suhtelise ja absoluutse kiiruse u seose, tuleneb ideaalse gaasi mudeli kolmandast positsioonist, mis on puhtalt füüsiline seisund, erinevalt kahest esimesest tõenäosuslikust tingimusest. Kolmanda tingimuse saab sõnastada väitena ühe molekuli keskmise kineetilise energia väärtuse kohta võrdsuse kujul

kus on Boltzmanni konstant ja see esindab tegelikult eksperimentaalset fakti. Olgu, kus on konstant, mille määrab edasi tingimus (68.7). Leidmiseks määrame (68.4) põhjal suhtelise kiiruse keskmise ruudu:

Siis molekuli keskmine kineetiline energia, kus on molekuli mass ja võttes arvesse (68,7) , või.

Peamine ülesanne on luua juhuslike suuruste funktsiooni jaotusseadus vastavalt antud argumentide jaotusseadusele. Üldine arutlusskeem on siin järgmine. Olgu jaotusseadus Siis on meil ilmselgelt, kus on poolintervalli täispöördkujutis, st. vektori £ väärtuste kogum CG-st, mille jaoks. Viimane tõenäosus on kergesti leitav, kuna on teada juhuslike suuruste jaotusseadus ξ Samamoodi põhimõtteliselt jaotusseadus ja vektorfunktsioon juhuslikud argumendid. Skeemi realiseerimise keerukus sõltub ainult konkreetsest funktsiooni tüübist (р) ja argumentide jaotuse seadusest See peatükk on pühendatud ahela realiseerimisele spetsiifilistes rakenduste jaoks olulistes olukordades §1. Ühe funktsioonid muutuja Olgu £ juhuslik suurus, mille jaotusseaduse annab jaotusfunktsioon F( (x), rj = Kui F4(y) on juhusliku muutuja rj jaotusfunktsioon, siis ülaltoodud kaalutlused annavad JUHUSLIKUTE MUUTUJATE FUNKTSIOONID kus y ) tähistab pooljoone (-oo, y) täielikku pöördkujutist. Seos (I) on (*) ilmne tagajärg ja vaadeldaval juhul on seda illustreeritud joonisel 1. Juhusliku muutuja monotoonne teisendus, mille pöördvõrdeline olemasolu tagavad monotoonsus ja pidevus. Monotoniliselt mittekahaneva) korral annavad sarnased arvutused Eelkõige juhul, kui - on lineaarne, siis a > 0 korral (joon. 2) Lineaarsed teisendused ei muuda jaotuse olemust, vaid mõjutavad ainult selle parameetreid. Juhusliku suuruse ühtlane lineaarne teisendus [a, b] Olgu Tavalise juhusliku suuruse lineaarne teisendus Olgu ja üldiselt, kui Let, näiteks 0. Siit (4) järeldame, et paneme viimase integraali See asendus annab olulise identiteedi, mis on paljude huvitavate rakenduste allikaks, saab saada seosest (3) Lemmaga. Kui on pideva jaotusfunktsiooniga F^(x) juhuslik suurus, siis on juhuslik suurus r) = - ühtlane . Meil on - ei vähene monotoonselt ja jääb o piiresse Seetõttu JUHUSLIKUTE MUUTUJATE FUNKTSIOONID Intervallil saame ühe võimalikud viisid tõestatud lemma kasutamine on näiteks protseduur juhusliku suuruse modelleerimiseks suvalise jaotusseadusega F((x). Nagu lemmast järeldub, piisab, kui on võimalik saada väärtused, mis on ühtlased )