Opštinska obrazovna ustanova

„Prosječno sveobuhvatne škole br. 87"

Apstraktna tema:

Pravilni poliedri.

Završio: Bushueva M.A.

Učenik 10. razreda b.

Lideri:

Kuleš Ljudmila Egorovna,

nastavnik matematike;

Troegubova Tatjana Sergejevna,

IT-učitelj.

Seversk -2009.

Uvod…………………………………………………………………………………..…3

Definicija pravilnog poliedra……………………………….…4

Platonska tijela……………………………………………………………………….….….5

Tipovi pravilnih poliedara………………………………….……6

Pet pravilnih poliedara……………………………………………9

Svojstva pravilnih poliedara…………………….……….……11

Polupravilni poliedari…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …….

Zaključak…………………………………………………………………….…20

Spisak izvora………………………………………………………………………………………..21

Dodatak 1. Slika Salvadora Dalija “Posljednja večera”………………..23

Dodatak 2. Simetrija u arhitekturi…………………………………..24

Uvod

Odabrao sam temu “Pravilni poliedri” jer se u našem životu poliedri nalaze posvuda, u skoro svakom objektu možete vidjeti poliedar.

Bilo mi je veoma interesantno da bolje upoznam ove neverovatne figure, jer ih malo ljudi upoznaje u školi.

Osoba pokazuje interesovanje za poliedre kroz svoju svjesnu aktivnost - od malog djeteta koje se igra s kockicama do odrasle osobe. Neki poliedri se nalaze u prirodi - u obliku kristala ili virusa, pčele grade saće u obliku šesterokuta.

Naš svijet je pun simetrije. Od davnina su naše ideje o ljepoti bile povezane s njom. Možda to objašnjava trajni interes čovjeka za poliedre - zadivljujuće simbole simetrije, koji su privukli pažnju mnogih istaknutih mislilaca, od Platona i Euklida do Eulera i Cauchyja.

Da bih naučio više o pravilnim poliedrima, postavio sam sebi sljedeće zadatke:

Pronađite i analizirajte materijal o pravilnim poliedrima.

Sumirajte obrađeni materijal.

Pošaljite sažetak.

Pripremite prezentaciju.

Predstavite prezentaciju u PowerPointu.

Moj rad se sastoji od šest poglavlja. Proučavao sam i obradio materijale iz 14 književnih izvora, uključujući edukativnu, referentnu, naučnu literaturu, periodiku i internet stranice, a pripremio sam i prezentaciju napravljenu u Power Point editoru.

Pravilni poliedri.

poliedar - dio prostora omeđen skupom konačnog broja planarnih poligona povezanih na takav način da je svaka strana bilo kojeg poligona stranica točno jednog drugog poligona (koji se naziva susjednim), a oko njega postoji tačno jedan ciklus poligona svaki vrh. Ovi poligoni se nazivaju lica, njihove stranice se nazivaju ivicama, a vrhovi poliedra.

Poliedar se naziva konveksan ako u potpunosti leži na jednoj strani ravni bilo koje svoje strane, tada su i njegove strane konveksne. Konveksni poliedar seče prostor na dva dela - spoljašnji i unutrašnji. Njegov unutrašnji dio je konveksno tijelo. Obrnuto, ako je površina konveksnog tijela poliedarska, tada je odgovarajući poliedar konveksan.

Konveksni poliedar se naziva regularnim ako su mu sve strane jednaki pravilni mnogouglovi i isti broj strana graniči sa svakim vrhom.

Ako su sve ivice ispravne R-gons i q od njih su susjedni svakom vrhu, tada se takav pravilan poliedar označava sa ( str, q). Ovu notaciju je predložio L. Schläfli (1814–1895), švajcarski matematičar koji je dao mnoge elegantne rezultate u geometriji i matematičkoj analizi.

Postoje nekonveksni poliedri čija se lica seku i nazivaju se "pravilni zvezdasti poliedri". Pošto smo se dogovorili da ne razmatramo takve poliedre, pod pravilnim poliedrima podrazumijevamo isključivo konveksne pravilne poliedre.

2. Platonska tijela

Jedna od najstarijih referenci na pravilne poliedre nalazi se u Platonovoj raspravi (427-347 pne) ";Timaus";. Zbog toga se pravilni poliedri nazivaju i Platonova tijela (iako su bili poznati mnogo prije Platona). Svaki od pravilnih poliedara, a ima ih ukupno pet, Platon povezuje sa četiri "zemaljska"; elementi (elementi): zemlja (kocka), voda (ikosaedar), vatra (tetraedar), vazduh (oktaedar), kao i sa "nezemaljskim"; element - nebo (dodekaedar). Čuveni matematičar i astronom Kepler izgradio je model Sunčevog sistema kao niz pravilno upisanih i opisanih pravilnih poliedara i sfera.

Slike ispod prikazuju pravilne poliedre. Najjednostavniji od njih je pravilan tetraedar, čije su strane četiri jednakostranična trokuta i tri lica koja se graniče sa svakim vrhom. Tetraedar odgovara zapisu (3, 3). Nije ništa drugo nego poseban slučaj trouglasta piramida. Najpoznatiji od pravilnih poliedara je kocka (ponekad se naziva pravilni heksaedar) - ravna kvadratna prizma, čijih je svih šest strana kvadrata. Pošto su 3 kvadrata susedna svakom vrhu, kocka je označena (4, 3). Ako se dvije podudarne kvadratne piramide s licima u obliku jednakostraničnih trokuta spoje s bazama, onda se dobije poliedar, koji se naziva pravilni oktaedar. Omeđena je sa osam jednakostraničnih trouglova, četiri trokuta se graniče sa svakim od vrhova i, prema tome, odgovara zapisu (3, 4). Pravilni oktaedar se takođe može smatrati posebnim slučajem prave pravilne trouglaste antiprizme. Razmotrimo sada pravu pravilnu petougaonu antiprizmu čija su lica u obliku jednakostraničnih trouglova i dvije pravilne petougaone piramide čije su osnove kongruentne osnovici antiprizme i čija su lica u obliku jednakostraničnih trouglova. Ako su ove piramide pričvršćene na antiprizmu, poravnavajući njihove baze, onda će se dobiti još jedan pravilan poliedar. Dvadeset njegovih strana je u obliku jednakostraničnih trouglova, sa pet lica koja se graniče sa svakim vrhom. Takav poliedar naziva se pravilni ikosaedar i označava se (3, 5). Pored gore spomenuta četiri pravilna poliedra, postoji još jedan - pravilan dodekaedar, ograničen sa dvanaest pentagonalnih lica; tri lica graniče sa svakim od njegovih vrhova, pa se dodekaedar označava kao (5, 3).

Tetrahedron

Tetraedar se sastoji od četiri jednakostranična trougla. Svaki od njegovih vrhova je vrh od tri trougla. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 180 stepeni. Dakle, tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 ivica.

Elementi simetrije:

Tetraedar nema centar simetrije, ali ima 3 ose simetrije i 6 ravni simetrije.

Kocka se sastoji od šest kvadrata. Svaki od njegovih vrhova je vrh od tri kvadrata. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 270 stepeni. Dakle, kocka ima 6 lica, 8 vrhova i 12 ivica.

Elementi simetrije:

Kocka ima centar simetrije - centar kocke, 9 osi simetrije i 9 ravni simetrije

Oktaedar

Oktaedar se sastoji od osam jednakostraničnih trouglova. Svaki od njegovih vrhova je vrh od četiri trougla. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 240 stepeni. Dakle, oktaedar ima 8 lica, 6 vrhova i 12 ivica.

Elementi simetrije:

Oktaedar ima centar simetrije - centar oktaedra, 9 osi simetrije i 9 ravni simetrije.

ikosaedar

Ikosaedar se sastoji od dvadeset jednakostraničnih trouglova. Svaki od njegovih vrhova je vrh od pet trouglova. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 300 stepeni. Dakle, ikosaedar ima 20 lica, 12 vrhova i 30 ivica.

Elementi simetrije:

Ikosaedar ima centar simetrije - centar ikosaedra, 15 osi simetrije i 15 ravni simetrije.

Dodecahedron

Dodekaedar se sastoji od dvanaest jednakostraničnih pentagona. Svaki od njegovih vrhova je vrh od tri pentagona. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 324 stepena. Dakle, dodekaedar ima 12 lica, 20 vrhova i 30 ivica.

Elementi simetrije: Dodekaedar ima centar simetrije - centar dodekaedra, 15 osi simetrije i 15 ravni simetrije.

Pet pravilnih poliedara navedenih gore, često nazivanih i "Platonovim čvrstim tijelom", zaokupili su maštu drevnih matematičara, mistika i filozofa prije više od dvije hiljade godina. Stari Grci su čak uspostavili mističnu korespondenciju između tetraedra, kocke, oktaedra i ikosaedra i četiri prirodna principa - vatre, zemlje, vazduha i vode. Što se tiče petog pravilnog poliedra, dodekaedra, smatrali su ga oblikom svemira. Ove ideje nisu samo naslijeđe prošlosti. A sada, nakon dva milenijuma, mnoge privlači estetski princip koji je u njihovoj osnovi. Da oni do danas nisu izgubili na svojoj atraktivnosti, vrlo uvjerljivo svjedoči slika španskog umjetnika Salvadora Dalija. Posljednja večera.

Stari Grci su takođe proučavali mnoga geometrijska svojstva Platonovih čvrstih tela; plodovi njihovog istraživanja nalaze se u 13. knjizi Poceo Euclid. Proučavanje Platonovih tijela i srodnih figura nastavlja se do danas. I iako su ljepota i simetrija glavni motivi modernih istraživanja, oni imaju i određeni naučni značaj, posebno u kristalografiji. kristali kuhinjska so, natrijum tioantimonid i hromna stipsa se prirodno javljaju kao kocka, tetraedar i oktaedar. Ikosaedar i dodekaedar se ne nalaze među kristalnim oblicima, ali se mogu uočiti među oblicima mikroskopskih morskih organizama poznatih kao radiolarije.

4. Pet pravilnih poliedara

Prirodno je zapitati se postoje li drugi pravilni poliedri osim Platonovih tijela. Kao što pokazuju sljedeća jednostavna razmatranja, odgovor mora biti ne. Neka ( str, q) je proizvoljan pravilan poliedar. Pošto su mu lica ispravna R-uglovi, njihovi unutrašnji uglovi, kao što je lako pokazati, jednaki su (180 - 360 / R) ili 180 (1 – 2/ R) stepeni. Pošto je poliedar ( str, q) je konveksan, zbir svih unutrašnjih uglova duž lica koja graniče sa bilo kojim od njegovih vrhova mora biti manji od 360 stepeni. Ali na svaki vrh susedni q lica, pa nejednakost

gdje simbol

Lako je to vidjeti str I q mora biti veći od 2. Zamjena u (1) R= 3, nalazimo da su jedine važeće vrijednosti q u ovom slučaju su 3, 4 i 5, tj. dobijamo politope (3, 3), (3, 4) i (3, 5). At R= 4 je jedina važeća vrijednost q je 3, tj. poliedar (4, 3), sa R= 5 nejednakost (1) takođe zadovoljava samo q= 3, tj. poliedar (5, 3). At str> 5 dozvoljenih vrijednosti q ne postoji. Dakle, ne postoje drugi pravilni poliedri, osim Platonovih tijela.

Svih pet pravilnih poliedara je navedeno u tabeli ispod. Poslednje tri kolone označavaju N 0 - broj vrhova, N 1 je broj ivica i N 2 je broj strana svakog poliedra.

Nažalost, definicija pravilnog poliedra data u mnogim udžbenicima geometrije je nepotpuna. Uobičajena greška je da definicija zahtijeva samo ispunjenje gornjeg uvjeta (a), ali se uvjet (b) zanemaruje. U međuvremenu, uslov (b) je apsolutno neophodan, što je najlakše proveriti razmatranjem konveksnog poliedra koji zadovoljava uslov (b), ali ne zadovoljava uslov (b). Najjednostavniji primjer ova vrsta se može konstruisati identifikacijom lica pravilnog tetraedra sa licem drugog tetraedra koji je kongruentan prvom. Kao rezultat, dobijamo konveksni poliedar čijih šest strana su podudarni jednakostrani trouglovi. Međutim, tri lica su susjedna nekim vrhovima, a četiri drugima, što narušava uvjet (b).

PET PRAVILNIH POLITOPA
Ime	Schläflijev unos	N 0 (broj vrhova)	N 1 (broj rebara)	N 2 (broj lica)
Tetrahedron
ikosaedar
Dodecahedron

5. Osobine pravilnih poliedara

Vrhovi bilo kojeg pravilnog poliedra leže na sferi (što nije iznenađujuće, s obzirom da vrhovi bilo kojeg pravilnog poliedra leže na kružnici). Pored ove sfere, nazvane "opisana sfera", postoje još dvije važne sfere. Jedna od njih, "srednja sfera", prolazi kroz sredine svih ivica, a druga, "upisana sfera", dodiruje sva lica u njihovim centrima. Sve tri sfere imaju zajednički centar, koji se naziva središte poliedra.

Dualni poliedri. Razmotrimo pravilan poliedar ( str, q) i njegova srednja sfera S. Sredina svake ivice dodiruje sferu. Zamjena svake ivice sa segmentom okomitim na liniju tangentu na S u istoj tački, dobijamo N 1 rub politopa dualan politopu ( str, q). Lako je pokazati da su lica dualnog poliedra pravilna q-gons i da je svaki vrh susjedan R lica. Prema tome, poliedar ( str, q) pravilni poliedar je dualan ( q, str). Politop (3, 3) je dualan drugom politopu (3, 3) kongruentan originalnom (zato se (3, 3) naziva samodualni politop), politop (4, 3) je dualan politopu (3, 4), a politop (5, 3) je poliedar (3, 5). Na sl. 3 poliedra (4, 3) i (3, 4) su prikazana u poziciji dualnosti jedan prema drugom. Osim toga, svaki vrh, svaki rub i svaka strana poliedra ( str, q) odgovara jednom licu, jednom rubu i jednom vrhu dualnog politopa ( q, str). Stoga, ako ( str, q) Ima N 0 vrhova, N 1 rebro i N 2 lica, zatim ( q, str) Ima N 2 vrha, N 1 rebro i N 0 lica.

Pošto svaki od N 2 lica pravilnog poliedra ( str, q) ograničeno R ivice i svaka ivica je zajednička za tačno dva lica, onda postoje pN 2/2 rebra, dakle N 1 = pN 2/2. Dualni poliedar ( q, str) ivice također N 1 i N 0 ivica, dakle N 1 = qN 0/2. Dakle, brojevi N 0 , N 1 i N 2 za bilo koji pravilan poliedar ( str, q) povezani su relacijom

Simetrija. Glavni interes za pravilne poliedre je veliki broj simetrije koje imaju. Pod simetrijom (ili transformacijom simetrije) poliedra podrazumijevamo njegovo kretanje kao krutog tijela u prostoru (npr. rotacija oko određene ravne linije, odraz oko određene ravni, itd.), koje ostavlja skup vrhova, ivica a lica poliedra nepromijenjena. Drugim rečima, pod dejstvom transformacije simetrije, vrh, ivica ili lice ili zadržavaju svoj prvobitni položaj, ili se prebacuju u prvobitni položaj drugog vrha, druge ivice ili drugog lica.

Postoji jedna simetrija koja je zajednička za sve poliedre. Radi se o o identičnoj transformaciji ostavljajući bilo koju tačku u njenom prvobitnom položaju. Nailazimo na manje trivijalan primjer simetrije u slučaju prave linije R-ugljena prizma. Neka l- prava linija koja povezuje centre baza. okreni se l na bilo koji cijeli broj višekratnik ugla 360/ R stepeni je simetrija. Neka, dalje, π - ravan koja prolazi u sredini između baza paralelnih s njima. Refleksija o avionu π (pokret koji prevodi bilo koju tačku P upravo P", takav da str prelazi segment PP" pod pravim uglom i prepolovi ga) je još jedna simetrija. Kombinacija refleksije u odnosu na ravan π sa okretom oko prave linije l, dobijamo još jednu simetriju.

Bilo koja simetrija poliedra može se predstaviti kao proizvod refleksije. Proizvod više gibanja poliedra kao krutog tijela ovdje znači izvođenje pojedinačnih kretanja određenim unaprijed određenim redoslijedom. Na primjer, gore spomenuta rotacija od 360 R stepeni oko prave linije l je proizvod refleksije u odnosu na bilo koje dvije ravni koje sadrže l i formiraju jedan u odnosu na drugi ugao od 180 / R stepeni. Simetrija koja je proizvod parnog broja refleksija naziva se direktna, inače se naziva inverzna. Dakle, svaka rotacija oko prave linije je direktna simetrija. Svaka refleksija je inverzna simetrija.

Ne postoje druge vrste pravilnih poliedara, osim pet navedenih. Dokažimo to.

Označiti sa str broj stranica lica pravilnog poliedra. Pošto su diedarski uglovi jednaki, svi prostorni uglovi u pravilnom poliedru su takođe jednaki. Stoga se na svakom vrhu pravilnog poliedra konvergira isti broj lica, što označavamo sa q.

Koristeći pravilnost lica i jednakost diedarskih uglova, stari Grci su lako dobili da su za pravilne poliedre par cijelih brojeva ( str, q) može biti samo (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3). Međutim, zahvaljujući Eulerovoj teoremi, može se dobiti istih pet parova brojeva ne samo za pravilne poligone, već i općenito za proizvoljne konveksne poliedre, u kojima svako lice ima isti broj str strane i na svakom vrhu isti broj q lica.

Zaista, pošto svaka ivica pripada tačno dva lica, a svako lice ima tačno str onda rebra str G je jednako dvostrukom broju ivica u poliedru: str G \u003d 2P. Pošto svaka ivica ima tačno dva kraja, i na svakom vrhu tačno konvergira q onda rebra q· B = 2P. dakle,

G \u003d 2P / str i B = 2P/ q (4)

Zamjenjujemo relaciju (4) u Ojlerovu formulu:

2P/ q+ 2P/ str= P + 2 (5)

Pronađite P iz (5):

P=2 pq/(2 ( str+ q) - pq) (6)

Imenilac razlomka u (6) je 4 - ( str- 2)(q- 2). a pošto je imenilac pozitivan, onda ( str- 2)(q- 2) p strane na ivici i broj q postoje najmanje 3 lica koja konvergiraju na vrhu, pa je jednadžba (5) pod uslovom str≥3, q≥3 ima pet i samo pet cjelobrojnih rješenja ( str, q): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3).

Iz toga slijedi da kombinatorno različiti poliedri, u kojima su sva lica poligoni istog imena i isti broj lica konvergiraju na svakom vrhu, nije više od pet.

Vratimo se sada na pravilne poliedre. Par brojeva koji odgovara pravilnom poliedru ( str, q) se zove njegov Schläfli simbol. Pravilan poliedar može imati jedan od pet Schläflijevih simbola. Pokažimo sada da za svaki od Schläflijevih simbola postoji pravilan poliedar.

Lako je vidjeti da Schläflijev simbol (3, 3) odgovara pravilnom tetraedru, a simbol (4, 3) kocki. Lako je iz kocke doći do poliedra sa Schläflijevim simbolom (3, 4) - oktaedra. Trebate uzeti središta kvadratnih lica kocke - ima ih šest. Na svakoj trojci centara lica koja graniče sa svakim od 8 vrhova kocke, konstruisaćemo pravilan trougao (slika 16). Lako je provjeriti da su svi diedralni uglovi između lica jednaki. Ovaj poliedar je tačan. Ima osam strana i zove se oktaedar.

Nešto je teže provjeriti postojanje pravilnog poliedra koji odgovara simbolu (3, 5), odnosno poliedra s trokutastim plohama koje konvergiraju pet u svakom vrhu. Uzmimo tri jednaka zlatna pravougaonika, tj. pravougaonik sa omjerom (+1)/2. Postavimo ih u međusobno okomite ravni, kao što je prikazano na slici 17. Neka su stranice zlatnih pravougaonika + 1 i 2. Uzmimo proizvoljan vrh A 1 jednog od pravougaonika. Postoji tačno pet vrhova ovih pravougaonika, odnosno vrhova B1, A2, B3, D3, D2 koji se nalaze od A 1 na istoj udaljenosti 2. Pitagorinom teoremom se može utvrditi da su trouglovi A 1 B 1 A 2, A 1 A 2 B 3 , A 1 B 3 D 3, A 1 D 3 D 2, A 1 D 2 B 1 su tačne. Takođe, bilo koja dva susedna trougla formiraju jednake dvodelne uglove. Potpuno isti pravilni trouglovi pojavljuju se u svih 12 vrhova pravougaonika, po pet u svakom. Dakle, postoji pravilan poliedar koji odgovara simbolu (3, 5). Ovaj poliedar se zove ikosaedar, što na grčkom znači dvadesetostrano. Ikosaedar ima 12 vrhova.

Da bismo konstruisali pravilan poliedar sa simbolom (5, 3), za vrhove ovog poliedra uzimamo središta svih dvadeset trouglastih lica ikosaedra. Centri pet trouglova koji konvergiraju u jednom ili drugom vrhu ikosaedra čine vrhove ravnog pravilnog petougla. Takvih peterokuta ima onoliko koliko ima dvanaest vrhova ikosaedra. Ovi pravilni peterokuti, koji konvergiraju po tri u svakom vrhu (u središtu trouglaste površine ikosaedra), formiraju dodekaedar - dodecahedron. Svi diedarski uglovi ovog dodekaedra su jednaki. Dakle, ovaj poliedar je ispravan.

Dva pravilna poliedra - oktaedar i dodekaedar - izgrađena su pomoću drugih poliedara - kocke i ikosaedra. Štaviše, svaki vrh, recimo, oktaedra odgovara nekom vrhu kocke. Isto se može reći i za par poliedara ikosaedar - dodekaedar.

Dva poliedra se nazivaju dual, ako postoji korespondencija jedan-na-jedan između skupa lica jednog od njih i skupa vrhova drugog, i takva da ako su dva lica prvog od njih susjedna rubu, onda su vrhovi drugi poliedar koji odgovara ovim plohama spojen je na ivicu. Treba napomenuti da je za par dualnih poliedara broj vrhova jednog jednak broju lica drugog, a njihovi rubovi su jednaki.

Dvostruki poliedri se sastoje samo od peterokuta i šesterokuta, sa tri lica koja se sastaju na svakom vrhu. Takvi poliedri se nazivaju fulereni. Proučavanje fulerena je veoma važno za primjenu u hemiji, medicini i arhitekturi. Grünbaumova teorema, prevedena na jezik fulerena, znači da u svakom fulerenu postoji tačno dvanaest pentagona, a šesterokuta može biti bilo koji, najmanje dva.

Izuzetno važan zadatak je kako nabrojati sve moguće strukture fulerena sa unaprijed određenim brojem nšesterokuta i koliko ih u zavisnosti od toga n- ostaje relevantan do danas.

6. Polupravilni poliedri

Polupravilni poliedri su prirodni nastavak pravilnih poliedara. To su konveksni poliedri čija su lica pravilni poligoni, možda s različitim brojem strana, a isti broj lica konvergira na svakom vrhu. Većinu ih je otkrio Arhimed. Ali otvorili su se u dvadesetom veku.

Najjednostavniji Arhimedovi poliedri se dobijaju iz pravilnih poliedara operacijom "skraćenja", koja se sastoji u odsecanju uglova poliedra ravninama. Dakle, ako odsiječemo uglove tetraedra ravninama, od kojih svaka odsiječe treći dio njegovih ivica koji izlaze iz jednog vrha, onda ćemo dobiti skraćeni tetraedar, sa osam lica (slika 1). Od toga, četiri su pravilna šestougla, a četiri pravilna trougla. Tri lica konvergiraju na svakom vrhu ovog poliedra.

Ako odsiječemo vrhove oktaedra i ikosaedra na naznačen način, dobićemo, respektivno skraćeni oktaedar(sl.2) i skraćeni ikosaedar(Sl. 3). Imajte na umu da je površina fudbalske lopte napravljena u obliku površine skraćenog ikosaedra. Od kocke i dodekaedra također možete dobiti skraćena kocka(sl.4) i skraćeni dodekaedar(Sl.5).

Da bismo dobili još jedan pravilan poliedar, crtamo sečne ravnine u kocki kroz sredine ivica koje izlaze iz jednog vrha. Kao rezultat, dobijamo polupravilan poliedar, koji se zove kuboktaedar(Sl. 6). Njegova lica su šest kvadrata, poput kocke, i osam pravilnih trouglova, kao oktaedar. Otuda i naziv - kuboktaedar.

Slično, ako se u dodekaedru sečne ravnine povuku kroz sredine ivica koje izlaze iz jednog vrha, tada dobijamo poliedar, koji se naziva ikosidodekaedar(Sl. 7). Ima dvadeset lica - pravilnih trouglova i dvanaest lica - pravilnih peterokuta, odnosno sve strane ikosaedra i dodekaedra.

Zovu se još dva poliedra skraćeni kuboktaedar(Sl. 8) i skraćeni ikozidodekaedar(Sl. 9), iako se ne mogu dobiti skraćivanjem kuboktaedra i ikosidodekaedra. Obrezivanje uglova ovih poliedara ne daje kvadrate, već pravokutnike.

Razmotrili smo 9 od 13 polupravilnih poliedara koje je opisao Arhimed. Preostala četiri su poliedri složenijeg tipa.

Na slici 10 vidimo rombikuboktaedar. Njegova površina se sastoji od lica kocke i oktaedra, kojima je dodano još 12 kvadrata.

Slika 11 pokazuje rombikozidodekaedar,čija se površina sastoji od lica ikosaedra, dodekaedra i još 30 kvadrata. Na slikama 12, 13 prikazana je takozvana grbava (snub) kocka i prsnati (snub) dodekaedar, čije se površine sastoje od lica kocke ili dodekaedra okružene pravilnim trouglovima.

Pored ovih trinaest Arhimedovih tela, u broj polupravilnih poliedara ubraja se i 14. poliedar, nazvan pseudoarhimedovskim (sl. 14). Dobija se iz rombikuboktaedra rotacijom donje posude za 45º.

Naravno, ako oslabimo drugi uslov u definiciji poluregularnog politopa, onda možemo pronaći druge poliedre koji zadovoljavaju ovu definiciju. Postoji još najmanje pet poliedara dobijenih rotacijom njihovih dijelova.

Dakle, ako rotiramo donju ili gornju čašicu ikosidodekaedra za 36°, dobićemo novi poliedar čija su lica pravilni petouglovi i trouglovi i četiri ivice konvergiraju na svakom vrhu.

Okretanjem posuda rombikozidodekaedra mogu se dobiti još četiri poliedra čija su lica kvadrati i pravilni petouglovi i trouglovi, a četiri ivice konvergiraju na svakom vrhu.

Koja je tačna definicija polupravilnog poliedra? Koju je definiciju Arhidem imao na umu kada je opisao trinaest polupravilnih poliedara? Da li je znao za pseudoarhimedovo čvrsto ili nije pretpostavio da je moguće okrenuti čašu kuboktaedra? Nažalost, definicija polupravilnog poliedra koju je koristio Arhimed nije došla do nas. Očigledno, Arhimed nije smatrao da je pseudoarhimedov poliedar polupravilan poliedar.

Zaista, od strane izgled pseudoarhimedov poliedar nije tako "tačan" kao Arhimedov poliedar. Ali koja je definicija "tačnog"?

Zamislite polupravilan poliedar napravljen od prozirnog materijala i pogledajte kroz jedno n-kutno lice. Ostala lica ćemo vidjeti poređana određenim redoslijedom. Potpuno istu sliku vidjet ćemo ako pogledamo kroz drugu n-gonalnu stranu ovog poliedra. Svi polupravilni poliedri imaju ovo svojstvo, ali pseudoarhimedov poliedar nema. Ako pogledamo kroz gornje kvadratno lice i kroz bočno kvadratno lice, vidjet ćemo različite rasporede ostalih lica.

Sa matematičke tačke gledišta, ispravnost je određena prisustvom simetrija, odnosno kretanja koja prevode poliedar u sebe.

Za Arhimedova tijela vrijedi sljedeće svojstvo: za bilo koja dva vrha postoji simetrija u kojoj jedan vrh prelazi u drugi. To znači da ne samo da su svi poliedarski uglovi jednaki, već da za bilo koja dva poliedra postoji kretanje poliedra koje jedan od njih odvodi u drugi. Naravno, ovo je jači uslov od same jednakosti poliedarskih uglova. Ovaj uslov ne zadovoljava pseudoarhimedov poliedar.

Dakle, postoje tri opcije za definisanje polupravilnog poliedra.

Definicija 1. Polupravilan poliedar je konveksan poliedar čija se površina sastoji od pravilnih mnogouglova - moguće s različitim brojem strana - i na svakom vrhu istim brojem ivica. U ovom slučaju, pored dva beskonačna niza prizmi i antiprizme, postoji najmanje 19 takvih poliedara.

Definicija 2. Polupravilan poliedar je konveksan poliedar čija se površina sastoji od pravilnih mnogouglova, moguće sa različitim brojem stranica, a svi ovi poliedarski uglovi su jednaki. U ovom slučaju, pored dva beskonačna niza prizmi i antiprizme, postoji 14 takvih poliedara - 13 Arhimedovih čvrstih tijela i pseudoarhimedov poliedar.

Definicija 3. Polupravilan poliedar je konveksan poliedar čija se površina sastoji od pravilnih mnogouglova, moguće sa različitim brojem strana, a za bilo koja dva vrha postoji simetrija poliedra koja jedan od njih vodi u drugi. U ovom slučaju, pored dva beskonačna niza, postoji 13 takvih poliedara - Arhimedovih poliedara.

Može se pretpostaviti da je Arhimed koristio treću definiciju.

Zaključak

Dakle, nakon što sam završio ovaj posao, naučio sam puno novih i zanimljivih stvari o pravilnim poliedrima, ispostavilo se da postoje i polupravilni poliedri.

Proučavajući sav ovaj materijal, otkrio sam za sebe nevjerovatne stvari: Platon i Arhimed su bili prvi koji su proučavali pravilne polupravilne poliedre, ali su živjeli prije naše ere, a danas mnogi naučnici proučavaju poliedre. To znači da interes za poliedre nikada neće nestati, to su tako neobične figure, i što je najvažnije, kako su lijepe! Jedno od najvažnijih svojstava poliedra je simetrija. Zahvaljujući njoj, izgledaju tako neobično.

Svojstva poliedara koriste se u različitim poljima ljudske aktivnosti. Na primjer, u arhitekturi: gotovo sve zgrade su izgrađene sa simetrijom. Mnogi poznati umjetnici slikaju svoje slike koristeći simetriju. Zbog toga slike izgledaju impresivnije.

Dakle, cijeli naš život je ispunjen poliedrima, s njima se suočava svaka osoba: i mala djeca i zreli ljudi.

U svom radu sumirao sam prikupljeni materijal na temu sažetka i pripremio prezentaciju napravljenu u Power Point editoru za njenu odbranu. Bilo mi je zanimljivo raditi na odabranoj temi eseja.

Spisak izvora:

/encicl/articles/15/1001550/1001550A.htm

/sch758/2003/geomet/new!!/prav.html

/dict/bse/article/00048/75500.htm

/dict/krugosvet/article/9/9b/1001550.htm

http:// en. wikipedia. org/ wiki/% D0%9 F% D1%80% D0% B0% D0% B2% D0% B8% D0% BB% D1%8 C% D0% BD% D1%8 B% D0% B9_% D0% BC% D0% BD% D0% BE% D0% B3% D0% BE% D0% B3% D1%80% D0% B0% D0% BD% D0% BD% D0% B8% D0% BA

/referat-20446.html

Smirnova I., Smirnov V. Šta je "polupravilan poliedar" // Obrazovno-metodičke novine "Matematika".- 2007.-№16-str.23-26

http:// pravmn. ljudi. en/ tetr. htm

http:// pravmn. ljudi. en/ kocka. htm

http:// pravmn. ljudi. en/ octo. htm

http:// pravmn. ljudi. en/ icos. htm

http:// pravmn. ljudi. en/ dod. htm

Smirnova I.M. U svijetu poliedara: knj. Za studente - M.: Obrazovanje, 1995.

Litvinenko V.N. Poliedri. Zadaci i rješenja: - M.: Vita-Press, 1995.

Aneks 1

Salvador Dali na slici "Posljednja večera" prikazao je Isusa Krista sa svojim učenicima na pozadini ogromnog prozirnog dodekaedra.

Predmet apstraktno: Tačno poligoni Izvedeno: Bushueva M. A. učenik10 klasa B. Lideri: Kuleš Ljudmila Egorovna...

Sažetak disertacije

Škola br. 11 Završenoučenika10 klasa"B": Aljohina... među 9 casovi on tema ispravanpoliedri), a sa druge strane... apstraktno 10 ...

Izvode učenici 10. razreda "B" Alyokhina Marina

Sažetak disertacije

Škola br. 11 Završenoučenika10 klasa"B": Aljohina... među 9 casovi on tema: "... Platonska tijela, tj. pet ispravanpoliedri), a sa druge strane... apstraktno Atanasyan P.M., Butuzov M.V., Kadomtsev A.V., Kiseleva A.I. "Geometrija 10 ...

Sažetak o geometriji "Stereometry" Seversk 2009 Strana sadržaja

Sažetak disertacije

83" Esej Geometrija "Stereometrija" Izvedeno Davletshina R.A. učenik10 klasa Seversk... 6). Što je gromobran veći, teme više volumena takvog konusa ... savršenstvo i ljepota, kao ispravanpoliedri. "Tačnopoliedri prkosno malo...

Poliedri ne samo da zauzimaju istaknuto mjesto u geometriji, već se pojavljuju i u Svakodnevni život svaka osoba. Da ne spominjemo umjetno stvorene kućne predmete u obliku raznih poligona, počevši od kutije šibica i završavajući arhitektonskim elementima, kristalima u obliku kocke (sol), prizme (kristala), piramide (šeelit), oktaedra (dijamant), itd. d.

Pojam poliedra, vrste poliedra u geometriji

Geometrija kao nauka sadrži dio stereometrije koji proučava karakteristike i svojstva trodimenzionalnih tijela čije su stranice u trodimenzionalnom prostoru formirane ograničenim ravnima (licama), nazivaju se "poliedri". Vrste poliedara uključuju više od desetak predstavnika, koji se razlikuju po broju i obliku lica.

Međutim, svi poliedri imaju zajednička svojstva:

1. Svi oni imaju 3 integralne komponente: lice (površinu poligona), vrh (uglove formirane na spoju lica), ivicu (strana figure ili segment formiran na spoju dva lica). ).
2. Svaka ivica poligona povezuje dva, i to samo dva, lica koja su jedna uz drugu.
3. Konveksnost znači da se tijelo u potpunosti nalazi samo na jednoj strani ravni na kojoj leži jedno od lica. Pravilo se odnosi na sve strane poliedra. Takve geometrijske figure u stereometriji nazivaju se konveksni poliedri. Izuzetak su poliedri u obliku zvijezde, koji su derivati ​​pravilnih poliedarskih geometrijskih tijela.

Poliedri se mogu podijeliti na:

1. Vrste konveksnih poliedara, koji se sastoje od sljedećih klasa: obični ili klasični (prizma, piramida, paralelepiped), pravilni (koji se nazivaju i Platonova tijela), polupravilni (drugi naziv - Arhimedova tijela).
2. Nekonveksni poliedri (zvezdani).

Prizma i njena svojstva

Stereometrija kao grana geometrije proučava svojstva trodimenzionalnih figura, vrste poliedara (prizma je jedna od njih). Prizma je geometrijsko tijelo koje nužno ima dvije apsolutno identične strane (oni se nazivaju i baze) koje leže u paralelnim ravnima, i n-ti broj bočnih strana u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizma također ima nekoliko varijanti, uključujući takve vrste poliedra kao:

1. Paralelepiped se formira ako je osnova paralelogram - mnogokut sa 2 para jednakih suprotnih uglova i 2 para podudarnih suprotnih strana.
2. ima rebra okomita na osnovu.
3. karakterizira prisustvo nepravih uglova (osim 90) između lica i baze.
4. Pravilnu prizmu karakteriziraju baze u obliku s jednakim bočnim stranama.

Glavna svojstva prizme:

• Kongruentne baze.
• Sve ivice prizme su jednake i paralelne jedna s drugom.
• Sve bočne strane su u obliku paralelograma.

Piramida

Piramida je geometrijsko tijelo, koje se sastoji od jedne baze i n-tog broja trouglastih lica, povezanih u jednoj tački - vrhu. Treba napomenuti da ako su bočne strane piramide nužno predstavljene trokutima, tada u osnovi može biti ili trokutasti poligon, ili četverokut, i petougao, i tako dalje do beskonačnosti. U ovom slučaju, naziv piramide će odgovarati poligonu u bazi. Na primjer, ako se u osnovi piramide nalazi trokut - ovo je četverokut - četverokut itd.

Piramide su poliedri u obliku konusa. Vrste poliedara ove grupe, pored gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:

1. ima pravilan poligon u osnovi, a njegova visina je projektovana na središte kruga upisanog u bazu ili opisanog oko njega.
2. Pravokutna piramida nastaje kada se jedna od bočnih ivica siječe s bazom pod pravim uglom. U ovom slučaju, također je pošteno nazvati ovu ivicu visinom piramide.

Svojstva piramide:

• Ako su svi bočni rubovi piramide podudarni (iste visine), onda se svi sijeku s bazom pod istim kutom, a oko baze možete nacrtati krug sa centrom koji se poklapa s projekcijom vrha piramide. piramida.
• Ako pravilni mnogokut leži u osnovi piramide, tada su sve bočne ivice podudarne, a lica su jednakokraki trouglovi.

Pravilni poliedar: vrste i svojstva poliedara

U stereometriji posebno mjesto zauzimaju geometrijska tijela s apsolutno jednakim licima, na čijim vrhovima je povezan isti broj ivica. Ova tijela se nazivaju Platonova tijela ili pravilni poliedri. Vrste poliedara s takvim svojstvima imaju samo pet figura:

1. Tetrahedron.
2. Heksaedar.
3. Oktaedar.
4. Dodecahedron.
5. Ikosaedar.

Pravilni poliedri svoje ime duguju starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svojim spisima opisao ova geometrijska tijela i povezao ih sa prirodnim elementima: zemljom, vodom, vatrom, zrakom. Petoj figuri je dodijeljena sličnost sa strukturom svemira. Po njegovom mišljenju, atomi prirodnih elemenata po obliku nalikuju tipovima pravilnih poliedara. Zbog svog najfascinantnijeg svojstva - simetrije, ova geometrijska tijela bila su od velikog interesa ne samo za drevne matematičare i filozofe, već i za arhitekte, umjetnike i skulptore svih vremena. Prisustvo samo 5 tipova poliedara sa apsolutnom simetrijom smatralo se temeljnim otkrićem, čak su dobili vezu s božanskim principom.

Heksaedar i njegova svojstva

U obliku šesterokuta, nasljednici Platona pretpostavili su sličnost sa strukturom atoma zemlje. Naravno, trenutno je ova hipoteza potpuno opovrgnuta, što, međutim, ne sprječava figure da svojom estetikom privlače umove poznatih ličnosti u moderno doba.

U geometriji, heksaedar, poznat i kao kocka, smatra se posebnim slučajem paralelepipeda, koji je, zauzvrat, neka vrsta prizme. U skladu s tim, svojstva kocke su povezana s jedinom razlikom što su sve strane i uglovi kocke jednaki jedni drugima. Iz ovoga proizilaze sljedeća svojstva:

1. Sve ivice kocke su podudarne i leže u paralelnim ravnima jedna u odnosu na drugu.
2. Sva lica su kongruentni kvadrati (u kocki ih ima ukupno 6), od kojih se svako može uzeti kao osnova.
3. Svi međuuglovi su 90.
4. Iz svakog vrha dolazi jednak broj ivica, odnosno 3.
5. Kocka ima 9 od kojih se svi sijeku u tački presjeka dijagonala heksaedra, koja se zove centar simetrije.

Tetrahedron

Tetraedar je tetraedar jednakih strana u obliku trouglova, čiji je svaki vrh spojna tačka tri lica.

Svojstva pravilnog tetraedra:

1. Sve strane tetraedra - ovo iz čega slijedi da su sve strane tetraedra podudarne.
2. Budući da je baza predstavljena pravilnom geometrijskom figurom, odnosno ima jednake stranice, tada se lica tetraedra konvergiraju pod istim kutom, odnosno svi uglovi su jednaki.
3. Zbir ravnih uglova u svakom od vrhova je 180, pošto su svi uglovi jednaki, tada je svaki ugao pravilnog tetraedra 60.
4. Svaki od vrhova se projektuje u tačku preseka visina suprotnog (ortocentra) lica.

Oktaedar i njegova svojstva

Opisujući vrste pravilnih poliedara, ne može se ne primijetiti takav objekt kao što je oktaedar, koji se može vizualno predstaviti kao dvije četverokutne pravilne piramide zalijepljene zajedno na osnovama.

Osobine oktaedra:

1. Sam naziv geometrijskog tijela sugerira broj njegovih lica. Oktaedar se sastoji od 8 podudarnih jednakostraničnih trokuta, u čijim se vrhovima konvergira jednak broj strana, odnosno 4.
2. Pošto su sve strane oktaedra jednake, jednaki su i njegovi međuuglovi, od kojih je svaki jednak 60, pa je zbir ravnih uglova bilo kog vrha 240.

Dodecahedron

Ako zamislimo da su sva lica geometrijskog tijela pravilan pentagon, onda ćemo dobiti dodekaedar - figuru od 12 poligona.

Svojstva dodekaedra:

1. Tri lica se sijeku u svakom vrhu.
2. Sva lica su jednaka i imaju istu dužinu ivice i jednaku površinu.
3. Dodekaedar ima 15 osa i ravni simetrije, a svaka od njih prolazi kroz vrh lica i sredinu suprotnog ruba.

ikosaedar

Ništa manje zanimljiv od dodekaedra, ikosaedar je trodimenzionalno geometrijsko tijelo sa 20 jednakih lica. Među svojstvima pravilnog dvadesetedra mogu se primijetiti sljedeće:

1. Sve strane ikosaedra su jednakokraki trouglovi.
2. Pet lica konvergira u svakom vrhu poliedra, a zbir susjednih uglova vrha je 300.
3. Ikosaedar, kao i dodekaedar, ima 15 osa i ravni simetrije koje prolaze kroz sredine suprotnih strana.

Polupravilni poligoni

Pored Platonovih tijela, grupa konveksnih poliedara uključuje i Arhimedova tijela, koja su skraćeni pravilni poliedri. Tipovi poliedara ove grupe imaju sljedeća svojstva:

1. Geometrijska tijela imaju parno jednaka lica nekoliko tipova, na primjer, skraćeni tetraedar ima 8 lica, baš kao i pravilan tetraedar, ali u slučaju arhimedovog čvrstog tijela, 4 lica će biti trokutna, a 4 će biti šesterokutna.
2. Svi uglovi jednog temena su podudarni.

Zvjezdani poliedri

Predstavnici nevolumetrijskih tipova geometrijskih tijela su poliedri u obliku zvijezde, čija se lica međusobno sijeku. Mogu se formirati spajanjem dva pravilna trodimenzionalna tijela ili nastavljanjem njihovih lica.

Tako su takvi zvjezdani poliedri poznati kao: zvjezdani oblici oktaedra, dodekaedra, ikosaedra, kuboktaedra, ikosidodekaedra.

Platonova tijela, konveksni poliedri, čije su sve strane identični pravilni mnogouglovi i svi poliedarski uglovi u vrhovima su pravilni i jednaki (sl. 1a 1e). U euklidskom prostoru E 3 postoji pet P. m., podaci o kojima su dati u ... Mathematical Encyclopedia

Pravilan n-dimenzionalni politop je n-dimenzionalni euklidski prostorni politop koji je u nekom smislu najsimetričniji. Pravilni trodimenzionalni poliedri se također nazivaju Platonova tijela. Sadržaj 1 Definicija 2 ... Wikipedia

Poliedar je površina sastavljena od poligona, kao i tijelo ograničeno takvom površinom. Sadržaj 1 Tri definicije 2 Varijacije i generalizacije 3 Upotreba ... Wikipedia

Poliedri čija su sva lica pravilni mnogouglovi sa nekoliko različitih imena i čiji su uglovi vrhova podudarni. Postoji 13 specifičnih tipova P. m. i dvije beskonačne serije. Vidi poliedar...

Ili Arhimedova čvrsta tela su konveksni poliedri sa dva svojstva: Sva lica su pravilni poligoni dva ili više tipova (ako su sva lica pravilni mnogouglovi istog tipa, to je pravilan poliedar); Za bilo koji par ... ... Wikipedia

Arhimedova tijela, konveksni poliedri, čija su sva lica pravilni poligoni, a poliedarski uglovi su podudarni ili simetrični. Podaci o P. m. dati su u tabeli, gdje je B broj vrhova, P je broj ivica, G je broj lica, a G je k. broj nk uglja… … Mathematical Encyclopedia

Poliedar- Poliedri (pravilni konveksni): 1 tetraedar; 2 kocke; 3 oktaedar; 4 dodecahedron; 5 ikosaedar. POLIEDAR, površina koja se sastoji od poligona (lica) tako da je svaka strana bilo koje od njih istovremeno i strana drugog poligona ... ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

Dio prostora omeđen skupom konačnog broja planarnih poligona (vidi GEOMETRIJA) povezanih na takav način da je svaka strana bilo kojeg poligona stranica tačno jednog drugog poligona (nazvana ... ... Collier Encyclopedia

U trodimenzionalnom prostoru, kolekcija konačnog broja ravnih poligona, tako da je svaka strana bilo kojeg od poligona istovremeno strana druge (ali samo jedne), koja se naziva susjedna prvoj (duž ove strane); od… … Velika sovjetska enciklopedija

Dodekaedar Pravilan poliedar ili Platonsko tijelo je konveksni poliedar koji se sastoji od identičnih pravilnih mnogouglova i ima prostornu simetriju ... Wikipedia

Knjige

• Magične ivice br. 12. Poliedar. Pravilni politopi , . Izrada modela poliedara od kartona je vrlo uzbudljiva i pristupačna aktivnost, to je "magija pretvaranja" lista papira u trodimenzionalnu figuru. Specijalno izdanje vam omogućava da prikupite 5 tačnih…
• Grupe refleksije i pravilni poliedri, Smirnov E.Yu.

Pravilni poliedri.
Pravilni poliedar, ili također poznat kao "Platonovo tijelo" je vrsta poliedra čija su lica poligoni (trougao, kvadrat, petougao, šestougao, itd.):
1. Tetraedar - lice je pravilan trougao, broj vrhova je 4, broj ivica je 6, broj lica je 4.

2. Heksaedar (ili dobro poznata kocka) je kvadrat lica, broj vrhova je 8, broj ivica je 12, broj lica je 6.

3. Dodekaedar - lice-petougao, broj vrhova - 20, broj ivica - 30, broj lica - 12.

Osim tetraedra, postoje i drugi poliedri čije je lice trokut:
4. Oktaedar - broj vrhova - 6, broj ivica - 12, broj lica - 8.

5. Ikosaedar - broj vrhova - 12, broj ivica - 30, broj lica - 20.


Postoji posebna formula koju je izmislio naučnik Euler. Ova formula povezuje broj ivica, lica i stranica poliedra jednostavnim omjerom:
V+G=R+2, gdje je V broj vrhova; G je broj lica; R je broj rebara.

Neke činjenice iz istorije poliedara:

1. Poliedri su bili poznati mnogo prije Platona. Povjesničari, arheolozi su pronašli figurice koje su stvorili drevni ljudi, u kojima se jasno prate oblici pravilnih poliedara. Osim toga, takve figure često su djelovale kao elementi drevnih arhitektonskih struktura.
2. Vjeruje se da je poliedre (već sa stanovišta geometrije) otkrio Pitagora. Međutim, prema drugim izvorima, njemu se pripisuje otkriće samo tri poliedra, a to su tetraedar, heksaedar i dodekaedar. Što se tiče oktaedra i ikosaedra, njihovo otkriće se pripisuje starogrčkom matematičaru Teetetu iz Atine.
3. Poliedri se nazivaju i "Platonova tijela" jer je svojevremeno Platon u jednom od svojih djela upoređivao poliedre sa četiri prirodna elementa. Svaki poliedar je imao svoj element: tetraedar - vatra, heksaedar (kocka) - zemlja, oktaedar - vazduh, ikosaedar - voda.
4. Puni opis poliedre u smislu matematike i geometrije dao u jednom od svojih djela Euklid.
5. U vrijeme poznatog matematičara Johanesa Keplera bilo je poznato samo pet planeta Sunčevog sistema. Pošto se ovaj broj poklopio s brojem postojećih poliedara, kojih je također 5, pokušao je pronaći korespondenciju između njih i planeta.

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE MOSKOVSKOG REGIJA

MOSKVSKI DRŽAVNI REGIONALNI HUMANITARNI INSTITUT

ZAVOD ZA MATEMATIKU I METODIKU NASTAVE MATEMATIKE

SAŽETAK

PRAVILNI I POLUPRAVILNI POLITOP

IZVOĐAČI: .

UČENICI 3. GODINE 1. GRUPE

FIZIČKO-MATEMATIČKI FAKULTET

PANKOVA ANASTASIA OLEGOVNA

ANTONOVA ELENA NIKOLAEVNA

Orekhovo-Zujevo

pravilni poliedri

prkosno mali, ali ovaj je veoma

mala grupa

uspeo da prodre u dubinu

razne nauke.

L. Carroll.

1. Uvod.

Osoba pokazuje interesovanje za pravilne poliedre kroz svoju svesnu aktivnost - od dvogodišnjeg deteta koje se igra drvenim kockama do zrelog matematičara koji uživa u čitanju knjiga o poliedrima. Neka od pravilnih i polupravilnih tijela javljaju se u prirodi kao kristali, druga kao virusi (što se može vidjeti elektronskim mikroskopom). Pčele su gradile šesterokutna saća mnogo prije pojave čovjeka, a u povijesti civilizacije stvaranje poliedarskih tijela (poput piramida), zajedno s drugim vrstama plastike, seže stoljećima.

Naš esej posvećen je temi pravilnih i polupravilnih poliedara. Proučavali su ih Teetet, Platon, Euklid, Hipsikle i Pap. Takođe, ova neverovatna tela nas nisu ostavila ravnodušnim. Uostalom, njihova forma je primjer savršenstva!

Koliko pravilnih poliedara ima? Koje karakteristike imaju? Kako napraviti model bilo kojeg pravilnog poliedra? Gdje se mogu naći ova tijela? Odgovor na ova i mnoga druga pitanja je svrha našeg rada.

2. Pravilni poliedri.

Poliedar se zove ispravan, ako je: prvo, konveksan je; drugo, sva njegova lica su pravilni poligoni jednaki jedan drugom; treće, isti broj ivica konvergira na svakom od njegovih vrhova; i četvrto, svi njegovi diedralni uglovi su jednaki.

Postavlja se pitanje: koliko ima pravilnih poliedara? Na prvi pogled, odgovor na ovo pitanje je vrlo jednostavan - onoliko koliko je pravilnih poligona. Međutim, nije. U Euklidovim elementima nalazimo rigorozan dokaz da postoji samo pet konveksnih pravilnih poliedara – ni više, ni manje, a njihova lica mogu biti samo tri vrste pravilnih poligona: trokuti, kvadrati i peterokuti ili pravilni peterokuti (tetraedar, heksaedar (kocka) , oktaedar, ikosaedar i dodekaedar).

Nazivi pravilnih poliedara potiču iz Grčke. U doslovnom prijevodu sa grčkog, “tetraedar”, “oktaedar”, “heksaedar”, “dodekaedar”, “ikosaedar” znači: “tetraedar”, “oktaedar”, “heksaedar”, “dodekaedar”, “dvadesetostrani”. 13. knjiga Euklidovih elemenata posvećena je ovim prekrasnim telima.

Svi pravilni poliedri su imenovani Platonska tijela, budući da su zauzimali važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira.

Platon (427-347 pne)

Četiri poliedra personificirala su u njemu četiri esencije ili "elementa". Tetraedar je simbolizirao vatru, jer je njegov vrh usmjeren prema gore; ikosaedar - voda, jer je "najbolje aerodinamična"; kocka - zemlja, kao "najstabilnija"; oktaedar - vazduh, kao najprozračniji. Peti poliedar, dodekaedar, koji je oličavao "sve što postoji ili" "Univerzalni um", koji je simbolizirao cijeli univerzum, smatrao se glavnim.

Stari Grci su skladne odnose smatrali osnovom svemira, pa su četiri elementa bila povezana takvim omjerom: zemlja / voda = zrak / vatra.

Tetrahedron – ovo je tetraedar, čija su sva lica trouglovi, tj. trokutasta piramida; pravilan tetraedar je omeđen sa četiri jednakostranična trougla; jedan od pet pravilnih poligona (slika 1-a). U tetraedru, tri jednakostranična trougla se sastaju na jednom vrhu; dok njihove osnove formiraju novi jednakostranični trougao. Tetraedar ima najmanji broj strana među Platonovim telima i trodimenzionalni je analog ravnog pravilnog trougla, koji ima najmanji broj stranica među pravilnim poligonima.

Kocka ili pravilni heksaedar - ovo je pravilna četvorougaona prizma sa jednakim ivicama, ograničena sa šest kvadrata (slika 1-b). Kocka se dobija spajanjem tri kvadrata u jednoj tački, a zatim dodavanjem još tri.

Oktaedar - to je oktaedar; tijelo omeđeno sa osam trouglova; pravilni oktaedar omeđen je sa osam jednakostraničnih trouglova; jedan od pet pravilnih poliedara (slika 1-c). U oktaedru, četiri trougla se sastaju na jednom vrhu; rezultat je piramida sa četvorougaonom bazom.

ikosaedar - to je dvadesetostrano tijelo, tijelo omeđeno sa dvadeset poligona; pravilan ikosaedar omeđen sa dvadeset jednakostraničnih trouglova ( Slika 1-d).

Dodecahedron - to je dodekaedar, tijelo omeđeno sa dvanaest poligona; pravilan pentagon ( pirinač 1-d ). Zasnovan je na korištenju sljedećeg pravilnog poligona − Pentagon .

Slika 1. Platonska tijela: (a) oktaedar ("Vatra"), (b) heksaedar ili kocka ("Zemlja"),
(c) oktaedar ("Vazduh"), (d) ikosaedar ("Voda"), (e) dodekaedar ("Univerzalni um")

Sljedeći pravilni poligon je hexagon. Međutim, ako spojimo tri šesterokuta u jednoj tački, onda ćemo dobiti površinu, odnosno nemoguće je izgraditi trodimenzionalnu figuru od šesterokuta. Bilo koji drugi pravilni poligoni iznad šesterokuta uopće ne mogu formirati čvrsta tijela. Iz ovih razmatranja proizilazi da postoji samo pet pravilnih poliedara čija lica mogu biti samo jednakostranični trouglovi, kvadrati i peterokuti.

Kocka i oktaedar su dualni, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se kao vrhovi drugog uzmu težišta lica jedne i obrnuto. Dodekaedar i ikosaedar su na sličan način dualni. Tetraedar je dualan samom sebi. Pravilan dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem „krova“ na njenim plohama (Euklidov metod), vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice. Tako se iz kocke dobijaju svi drugi pravilni poliedri. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je zadivljujuća – na kraju krajeva, na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!

Razvoj pravilnih poliedara:

3. Dokaz postojanja pet pravilnih poliedara.

Znamo da postoji samo pet pravilnih poliedara. Sada pokušajmo to dokazati.

Pretpostavimo da pravilni poliedar ima G lica, od kojih je svako pravilan n-ugao, konvergiraju na svakom vrhu k ivice, ukupno u poliedru IN vrhovi i R ivice, i n3, pošto svaki vrh konvergira najmanje tri strane, i k3, pošto svaki vrh konvergira najmanje tri ivice .

Računajući ivice duž lica, dobijamo: n G = 2P.

Svaka ivica pripada dvije strane, dakle u proizvodu

nG broj P je udvostručen.

Računajući ivice po vrhovima, dobijamo: kB = 2P, pošto svaka ivica počiva na 2 vrha. Tada Eulerova jednakost daje:

ili . (*)

Po uslovu , tada , tj. n i k ne mogu biti više od tri. Na primjer, ako je bilo n = 4 i k = 4, tada je procjenom moguće provjeriti da druge vrijednosti n i k veće od 3 ne zadovoljavaju jednakost (*). Dakle, ili k = 3 ili n = 3.

Neka n = 3 , tada će jednakost (*) poprimiti oblik:

ili

Budući da može poprimiti vrijednosti, ,

one. k = 3, 4, 5.

Ako k=3, n=3, tada je P = 6, G = V = tetraedar (vidi tabelu 1).

Ako k=4, n=3, tada je R = 12, G = , V = oktaedar.

Ako k=5, n=3, tada je P = 30, G = B = ikosaedar.

Neka je sada k = 3, tada će jednakost (*) poprimiti oblik:

Iz toga slijedi da n može imati vrijednosti 3, 4, 5.

Analiziran je slučaj n = 3.

Ostala su dva slučaja:

n = 4 za k = 3, tada , tj. P \u003d 12, G \u003d, V \u003d - ovo je kocka.

n \u003d 5 za k = 3, zatim, P = 30, G = 12, B = 30 je dvanaesterac.

Tako smo dokazali da postoji pet i samo pet pravilnih konveksnih poliedara. Dokaz da više ne može biti sadržan je u Euklidovim elementima, a Teetet se smatra autorom ovog dokaza. Poznato je da je Teetet nekoliko godina bio član Akademije i bio blizak Platonu, a ta blizina može objasniti činjenicu da se ispostavilo da je Platon bio upoznat sa najnovijim otkrićima u oblasti stereometrije u to vrijeme.

4. Numeričke karakteristike Platonovih tijela.

Glavne numeričke karakteristike Platonska tijela je broj strana lica m, broj lica n, konvergirajući na svakom vrhu, broj lica G, broj vrhova IN, broj rebara R i broj ravnih uglova At na površini poliedra (tabela 1).

Poliedar	Broj strana lica, m	Broj lica koja konvergiraju na vrhu, n	Broj lica	Broj vrhova	Broj rebara	Broj ravnih uglova na površini
Tetrahedron	3	3	4	4	6	12
heksaedar (kocka)	4	3	6	8	12	24
Oktaedar	3	4	8	6	12	24
ikosaedar	3	5	20	12	30	60
Dodecahedron	5	3	12	20	30	60

Tabela 1. Numeričke karakteristike Platonovih tijela.

S obzirom na tabelu. 1, postavimo sebi pitanje: "da li postoji obrazac u povećanju brojeva u svakoj koloni lica, vrhova i ivica?" Očigledno nije. Ovdje u koloni “ivice” sve je isprva išlo dobro (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), a onda je planirani uzorak “propao” (8 + 2). Nema čak ni stabilnog povećanja u koloni "vrhovi". Broj vrhova se ponekad povećava (sa 4 na 8, sa 6 na 20), a ponekad se smanjuje (sa 8 na 6, sa 20 na 12). U koloni "rebra" šare također nisu vidljive.

Uspoređivali smo brojeve unutar iste kolone. Ali možete uzeti u obzir zbir brojeva u dvije kolone, barem u kolonama "lice" i "temovi" (D + C). Uporedimo novu tabelu naših proračuna (vidi tabelu 2).

tabela 2

Sada je uzorak vidljiv.

Formulirajmo to ovako: "Zbroj broja lica i vrhova jednak je broju ivica uvećanih za 2": G + V = P + 2 .

Ojlerova formula

Tako je dobijena formula koju je uočio već Descartes 1640. godine, a kasnije ponovo otkrio Euler (1752.), čije ime od tada nosi. Ojlerova formula vrijedi za sve konveksne poliedre.

Elementi simetrije:

Tetrahedron nema centar simetrije, ali ima 3 ose simetrije i 6 ravni simetrije.

Radijus opisane sfere:

Radijus upisane sfere:

Površina:

Zapremina tetraedra:

Kocka ima centar simetrije - centar kocke, 9 osi simetrije i 9 ravni simetrije.

Radijus opisane sfere:

Radijus upisane sfere:

Površina kocke:

Volumen kocke:

Oktaedar ima centar simetrije - centar oktaedra, 9 osi simetrije i 9 ravni simetrije.

Radijus opisane sfere:

Radijus upisane sfere:

Površina:

Zapremina oktaedra:

ikosaedar ima centar simetrije - centar ikosaedra, 15 osi simetrije i 15 ravni simetrije.

Radijus opisane sfere:

,

Radijus upisane sfere:

,

Površina:

Zapremina ikosaedra:

.

Dodecahedron ima centar simetrije - centar dodekaedra, 15 osi simetrije i 15 ravni simetrije.

Radijus opisane sfere:

,

Radijus upisane sfere:

,

Površina:

,

Volumen dodekaedra:

.

5. Keplerova teorija.

U Evropi u XYI - XYII veku. živio je i radio izvanredni njemački astronom, matematičar i veliki sanjar Johannes Kepler (1571-1630).

Kepler je zaista djelovao u nauci kao astronom, matematičar i sanjar. Da nije imao barem jednu od ovih osobina, ne bi mogao dostići takve visine u nauci.

Na osnovu generalizacije podataka dobijenih kao rezultat posmatranja, ustanovio je tri zakona kretanja planeta u odnosu na Sunce.

Prvi zakon: Svaka planeta se kreće po elipsi sa Suncem u jednom od njegovih žarišta.

Drugi zakon: svaka planeta se kreće u ravnini koja prolazi kroz centar Sunca, a površina sektora orbite, opisana radijus vektorom, mijenja se proporcionalno vremenu.

treći zakon: kvadrati vremena okretanja planete oko Sunca povezani su kao kocke njihovih prosječnih udaljenosti od Sunca.

Ali to su bile samo hipoteze, sve dok ih Isak Newton (1643-1727) nije objasnio i precizirao na osnovu zakona univerzalne gravitacije, koji je stvorio teoriju kretanja nebeskih tijela, koja je dokazala svoju održivost činjenicom da je uz njenu pomoć ljudi su naučili da predviđaju mnoge nebeske pojave.

Ali zamislite sebe na mjestu Keplera. Ispred njega su razne tabele-stupci brojeva. Ovo su rezultati opservacija - kako njegovih tako i onih velikih astronoma prethodnika. U ovom moru rada na računaru, osoba želi pronaći neku pravilnost. Šta ga podržava u tako grandioznom planu? Prvo, vjera u harmoniju, uvjerenje da je svemir uređen prirodno, što znači da se mogu otkriti zakoni njegove strukture. I drugo, fantazija u kombinaciji sa strpljenjem i iskrenošću. U stvari, pa, morate početi od nečega! Željeni zakoni se prvo moraju izmisliti u vlastitoj glavi, a zatim provjeriti opažanjima.

U početku, Keplera je zavela ideja da postoji samo pet pravilnih poliedara i samo šest (kako se tada činilo) planeta Sunčevog sistema: Merkur, Venera, Zemlja, Mars, Jupiter, Saturn. Činilo se da su harmonija svijeta i ljubav prirode prema ponavljanju pravilne poliedre učinili vezom između šest nebeskih tijela. Kepler je sugerirao da su sfere planeta međusobno povezane platonskim čvrstim tijelima upisanim u njih. Pošto se za svaki pravilan poliedar poklapaju centri upisane i opisane sfere, ceo model će imati jedno središte u kojem se nalazi Sunce.

Kepler je obavio ogromnu količinu računarskog rada kako bi potvrdio svoje pretpostavke. Godine 1596. objavio je knjigu u kojoj su predstavljeni. Prema ovim pretpostavkama, u sferu Saturnove orbite može se upisati kocka u koju je upisana sfera Jupiterove orbite. On, zauzvrat, upisuje tetraedar koji je opisan u blizini sfere Marsove orbite. Dodekaedar je upisan u sferu orbite Marsa, u koju je upisana sfera Zemljine orbite. I opisan je u blizini ikosaedra, u koji je upisana sfera orbite Venere. Sfera ove planete je opisana u blizini oktaedra, u koji se uklapa sfera Merkura. Ovaj model Sunčevog sistema nazvan je Keplerov kosmički pehar.

6. Problem testiranja teorije prostora Platonovih tijela.

Možete sami provjeriti kosmičku teoriju Platonovih tijela. Razmotrite problem:

“Prosječni radijusi orbite Saturna i Jupitera su, respektivno, Rc = 1,427 10 9 km i Ryu = 0,788 10 9 km. Nađite omjer polumjera orbita navedenih planeta i uporedite pronađeni omjer sa omjerom polumjera sfere opisane u blizini kocke i sfere upisane u nju.

Prema Keplerovoj hipotezi ovi odnosi bi trebali biti jednaki. Dakle, iz naših zapažanja imamo:

.

Prema hipotezi, kocka je upisana u sferu Saturnove orbite, neka joj je ivica jednaka a. Tada je poluprečnik upisane kružnice jednak polovini dijagonale upisane kocke, tj. ali čak i tada. U ovu kocku je upisana sfera (orbita Jupitera). Označimo njegov polumjer sa r. Jednaka je polovini ivice kocke, tj. . Onda .

Kao što vidite, neslaganje između teoretskog omjera R: r i posmatranog Rc: Ryu nije tako veliko, manje od 0,1. A za kosmičke razmjere, čini se da je prihvatljivo. Ove "skoro slučajnosti" natjerale su Keplera da se dugo drži teorije Platonovih tijela, jer je bilo lako posumnjati na grešku u zapažanjima.

Godinu za godinom usavršavao je svoja zapažanja, dvaput provjeravao podatke svojih kolega, ali je konačno smogao snage da odustane od primamljive hipoteze. Međutim, njegovi tragovi su vidljivi u Keplerovom trećem zakonu, koji se odnosi na kocke prosječne udaljenosti od Sunca.

Kako bi se one mogle pojaviti u umu osobe ako nije razmišljao o zapremini prostornih tijela? Uostalom, zapremina je, kao što znamo, izražena kockama linearnih dimenzija tijela. Ali ovo je također hipoteza, hipoteza o tome kako su pronađeni Keplerovi zakoni. Nemamo priliku da to testiramo, ali jedno znamo sigurno: bez hipoteza, ponekad najneočekivanije, naizgled lude, nauka ne može postojati.

7. Arhimedova čvrsta tela

Polupravilni poliedri

Poznata su mnoga savršenija tijela, tzv polupravilni poliedri ili Arhimedova tela. Oni također imaju sve poliedarske uglove jednake i sva lica su pravilni poligoni, ali nekoliko različitih tipova. Postoji 13 polupravilnih poliedara čije se otkriće pripisuje Arhimedu.

Arhimed (287 pne - 212 pne)

Skup Arhimedovih čvrstih tijela može se podijeliti u nekoliko grupa. Prvi od njih se sastoji od pet poliedara, koji se dobijaju iz Platonovih tela kao rezultat njihovog skraćivanja. Krnje tijelo je tijelo sa odsječenim vrhom. Za Platonova tijela, skraćivanje se može izvršiti na takav način da i rezultirajuća nova lica i preostali dijelovi starih budu pravilni poligoni. Na ovaj način se može dobiti pet arhimedovih čvrstih tijela: skraćeni tetraedar, skraćeni heksaedar (kocka), skraćeni oktaedar, skraćeni dodekaedar i skraćeni ikosaedar (slika 2).

(A)	(b)	(V)

(G)	(e)

Slika 2. Arhimedova tijela: (a) skraćeni tetraedar, (b) skraćena kocka, (c) skraćeni oktaedar, (d) skraćeni dodekaedar, (e) skraćeni ikosaedar

U svom Nobelovom predavanju, američki naučnik Smalley, jedan od autora eksperimentalnog otkrića fulerena, govori o Arhimedu (287-212 pne) kao o prvom istraživaču skraćenih poliedara, posebno, skraćeni ikosaedar, međutim, uz naznaku da možda Arhimed prisvaja ovu zaslugu i da su možda ikosaedri bili skraćeni mnogo prije njega. Dovoljno je spomenuti one pronađene u Škotskoj i datirane oko 2000. godine prije Krista. stotine kamenih predmeta (izgledno za ritualne svrhe) u obliku sfera i raznih poliedara (tijela omeđena sa svih strana ravnim licima), uključujući ikosaedre i dodekaedre. Izvorno Arhimedovo djelo, nažalost, nije sačuvano, a njegovi rezultati su dospjeli do nas, kako se kaže, "iz druge ruke". Tokom renesanse sve Arhimedova čvrsta tela jedan za drugim su iznova „otkriveni“. Na kraju, Kepler je 1619. godine u svojoj knjizi "Svjetska harmonija" ("Harmonice Mundi") dao iscrpan opis čitavog skupa arhimedovih čvrstih tijela - poliedara, čija je svaka strana pravilan poligon, a svi vrhovi su u ekvivalentu. položaj (kao atomi ugljika u molekuli C 60). Arhimedova čvrsta tijela se sastoje od najmanje dva razne vrste poligona, za razliku od 5 Platonska tijela, čija su sva lica ista (kao u molekulu C 20, na primjer).

Slika 3. Konstrukcija arhimedovog skraćenog ikosaedra
iz Platonovog ikosaedra

Pa kako konstruisati Arhimedov skraćeni ikosaedar od Platonski ikosaedar? Odgovor je ilustrovan uz pomoć Sl. 3. Zaista, kao što se može vidjeti iz tabele. 1,5 lica konvergiraju na bilo kojem od 12 vrhova ikosaedra. Ako se u svakom vrhu 12 dijelova ikosaedra odsječe (odsječe) ravninom, tada se formira 12 novih pentagonalnih lica. Zajedno sa već postojećih 20 lica, koja su se nakon takvog rezanja iz trokutastog pretvorila u šesterokutnu, činiće 32 lica skraćenog ikosaedra. U ovom slučaju će biti 90 ivica i 60 vrhova.

8. Zlatni rez u dodekaedru i ikosaedru.

Dodekaedar i njegov dvojni ikosaedar zauzimaju posebno mjesto među Platonska tijela. Prije svega, mora se naglasiti da je geometrija dodecahedron I ikosaedar direktno povezana sa zlatnim rezom. Zaista, ivice dodecahedron(Sl.1-d) su pentagons, tj. pravilnih peterokuta zasnovanih na zlatnom preseku. Ako pažljivo pogledate ikosaedar(Sl. 1-d), tada možete vidjeti da se pet trouglova konvergira na svakom od njegovih vrhova, vanjske strane koji oblik pentagon. Već su ove činjenice dovoljne da se uvjerimo da zlatni rez igra bitnu ulogu u izgradnji ova dva Platonska tijela .

Ali postoje dublji matematički dokazi za fundamentalnu ulogu koju igra zlatni rez ikosaedar I dodecahedron. Poznato je da ova tijela imaju tri specifične sfere. Prva (unutrašnja) sfera je upisana u tijelo i dodiruje njegova lica. Označimo poluprečnik ove unutrašnje sfere kao R i. Druga ili srednja sfera dodiruje njene ivice. Označimo poluprečnik ove sfere kao R m . Konačno, treća (spoljna) sfera je opisana oko tela i prolazi kroz njegove vrhove. Označimo njegov radijus sa Rc. U geometriji je dokazano da su vrijednosti polumjera navedenih sfera za dodecahedron I ikosaedar, koji ima ivicu jedinične dužine, izražava se u terminima zlatnog preseka t (tabela 3).

Rc	Rm	R i
ikosaedar
Dodecahedron

Tabela 3. Zlatni rez u sferama dodekaedra i ikosaedra

Imajte na umu da je omjer radijusa = isti kao za ikosaedar, i za dodecahedron. Dakle, ako dodecahedron I ikosaedar imaju iste upisane sfere, onda su i njihove opisane sfere jednake jedna drugoj. Dokaz ovog matematičkog rezultata je dat u Počeci Euclid.

U geometriji su poznati i drugi odnosi dodecahedron I ikosaedar potvrđujući njihovu povezanost sa zlatnim rezom. Na primjer, ako uzmemo ikosaedar I dodecahedron sa dužinom ivice jednakom jedan, i izračunaju njihovu spoljašnju površinu i zapreminu, zatim se iskazuju kroz zlatni presek (tabela 4).

Tabela 4. Zlatni rez u vanjskoj površini i volumenu

dodekaedar i ikosaedar.

Dakle, postoji ogroman broj relacija do kojih su došli drevni matematičari, što potvrđuje izuzetnu činjenicu da je zlatni rez je glavni omjer dodekaedra i ikosaedra, a ova činjenica je posebno zanimljiva sa stanovišta tzv "dodekaedarsko-ikosaedarska doktrina", koje ćemo razmotriti u nastavku.

9. Šta je kalendar?

Ruska poslovica kaže: „Vreme je oko istorije“. Sve što postoji u Univerzumu: Sunce, Zemlja, zvijezde, planete, poznati i nepoznati svjetovi, i sve što postoji u prirodi, živo i neživo, sve ima prostorno-vremensku dimenziju. Vrijeme se mjeri posmatranjem procesa koji se periodično ponavljaju određenog trajanja.

Astronomija je bazirala mjerenje vremena na kretanju nebeskih tijela, koje odražava tri faktora: rotaciju Zemlje oko svoje ose, rotaciju Mjeseca oko Zemlje i kretanje Zemlje oko Sunca. Na kojoj se od ovih pojava zasniva mjerenje vremena, zavise i različiti koncepti vremena. Astronomija poznaje sideralno vrijeme, solarno vrijeme, lokalno vrijeme, standardno vrijeme, standardno vrijeme, atomsko vrijeme, itd.

Sunce, kao i sva druga svetila, učestvuje u kretanju po nebu. Pored dnevnog kretanja, Sunce ima i takozvano godišnje kretanje, a čitava putanja godišnjeg kretanja Sunca po nebu naziva se ekliptika. Ako, na primjer, uočimo lokaciju sazviježđa u određenom večernjem času, a zatim ponavljamo ovo zapažanje svakog mjeseca, tada će se pred nama pojaviti drugačija slika neba. Pogled na zvjezdano nebo se neprestano mijenja: svako godišnje doba ima svoju sliku večernjih sazviježđa, a svaka takva slika se ponavlja svake godine. Posljedično, nakon isteka godine, Sunce se u odnosu na zvijezde vraća na svoje prvobitno mjesto.

Radi pogodnosti orijentacije u zvjezdanom svijetu, astronomi su podijelili cijelo nebo u 88 sazviježđa. Svaki od njih ima svoje ime. Od 88 sazvežđa, posebno mesto u astronomiji zauzimaju ona kroz koja prolazi ekliptika. Ova sazviježđa, osim vlastitih imena, imaju i generalizirani naziv - zodijak (od grčke riječi "zoop" - životinja). Oni su širom svijeta poznati simboli (znakovi) i alegorijske slike koje su uključene u kalendarske sisteme.

Poznato je da u procesu kretanja duž ekliptike, Sunce prelazi 13 sazviježđa. Međutim, astronomi su smatrali da je potrebno da putanju Sunca podijele ne na 13, već na 12 dijelova, ujedinjujući sazviježđa Škorpion i Zmijonik u jedno - pod općim imenom Škorpion (zašto?).

Problemima mjerenja vremena bavi se posebna nauka koja se zove hronologija. On je u osnovi svih kalendarskih sistema koje je stvorilo čovječanstvo. Stvaranje kalendara u antici bio je jedan od najvažnijih zadataka astronomije.

Šta je "kalendar" i koji su kalendarski sistemi? Reč kalendar dolazi od latinske reči calendarium, što doslovno znači "knjiga dugova"; takve knjige označavale su prve dane svakog mjeseca - kalende, na koje su dužnici plaćali kamate u starom Rimu.

Od davnina, u zemljama istočne i jugoistočne Azije, pri sastavljanju kalendara pridavala se velika važnost periodičnosti kretanja Sunca, Mjeseca, kao i Jupitera i Saturna, dvije džinovske planete Sunčevog sistema. Postoji razlog za vjerovanje da je ideja stvaranja Jupiterijanskog kalendara s nebeskim simbolima 12-godišnjeg životinjskog ciklusa povezana s rotacijom Jupitera oko Sunca, koje čini potpunu revoluciju oko Sunca za oko 12 godina (11.862 godine). S druge strane, druga gigantska planeta Sunčevog sistema - Saturn napravi potpunu revoluciju oko Sunca za oko 30 godina (29.458 godina). Želeći da usklade cikluse kretanja džinovskih planeta, stari Kinezi su došli na ideju da uvedu 60-godišnji ciklus Sunčevog sistema. Tokom ovog ciklusa, Saturn napravi 2 potpune revolucije oko Sunca, a Jupiter - 5 revolucija.

Prilikom izrade godišnjih kalendara koriste se astronomske pojave: promjena dana i noći, promjena lunarne faze i smjena godišnjih doba. Upotreba raznih astronomskih fenomena dovela je do stvaranja tri vrste kalendara kod raznih naroda: lunarnog, zasnovanog na kretanju Meseca, solarnog, zasnovanog na kretanju Sunca i lunisolarnog.

10. Struktura egipatskog kalendara

Jedan od prvih solarnih kalendara bio je egipatski, nastao u 4. milenijumu pre nove ere. Prvobitna egipatska kalendarska godina sastojala se od 360 dana. Godina je bila podijeljena na 12 mjeseci od po tačno 30 dana. Međutim, kasnije se pokazalo da takvo trajanje kalendarske godine ne odgovara astronomskoj. A onda su Egipćani dodali kalendarskoj godini "rep" od 5 dana, koji, međutim, nisu bili uključeni u mjesece. To je bilo 5 praznika koji povezuju susjedne kalendarske godine. Tako je egipatska kalendarska godina imala sledeću numeričku strukturu: 365 = 12´ 30 + 5. Imajte na umu da je egipatski kalendar prototip modernog kalendara.

Postavlja se pitanje: zašto su Egipćani podijelili kalendarsku godinu na 12 mjeseci? Uostalom, postojali su kalendari sa različitim brojem mjeseci u godini. Na primjer, u kalendaru Maja, godina se sastojala od 18 mjeseci po 20 dana u mjesecu. Sledeće pitanje u vezi sa egipatskim kalendarom je: zašto je svaki mesec imao tačno 30 dana (tačnije, dana)? Mogu se postaviti neka pitanja o egipatskom sistemu mjerenja vremena, posebno o izboru takvih jedinica vremena kao što su sati, minute, sekunde. Posebno se postavlja pitanje: zašto je jedinica sata izabrana tako da stane tačno 24 puta dnevno, odnosno zašto je 1 dan = 24 (2´12) sata? Dalje: zašto 1 sat = 60 minuta i 1 minut = 60 sekundi? Ista pitanja važe i za izbor jedinica ugaonih veličina, posebno: zašto je krug podeljen na 360°, odnosno zašto je 2p = 360° = 12´ 30°? Ovim pitanjima se dodaju i druga pitanja, posebno: zašto su astronomi smatrali da je svrsishodno smatrati da postoji 12 znakova zodijaka, iako u stvari, tokom svog kretanja po ekliptici, Sunce prelazi 13 sazviježđa? I još jedno "čudno" pitanje: zašto je vavilonski brojevni sistem imao vrlo neobičnu osnovu - broj 60?

11. Veza egipatskog kalendara sa numeričkim karakteristikama dodekaedra.

Analizirajući egipatski kalendar, kao i egipatske sisteme za mjerenje vremena i ugaonih vrijednosti, otkrivamo da se četiri broja ponavljaju sa neverovatnom konstantnošću: 12, 30, 60 i iz njih izveden broj 360 = 12´30. Postavlja se pitanje: Postoji li onda neka fundamentalna naučna ideja koja bi mogla dati jednostavno i logično objašnjenje za upotrebu ovih brojeva u egipatskim sistemima?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se još jednom dodekaedru prikazanom na Sl. 3.1-d. Podsjetimo da su svi geometrijski omjeri dodekaedra zasnovani na zlatnom omjeru.

Da li su Egipćani poznavali dodekaedar? Istoričari matematike priznaju da su stari Egipćani poznavali pravilne poliedre. Ali da li su poznavali svih pet pravilnih poliedara, posebno dodekaedar i ikosaedar, kao najsloženije od njih? Drevni grčki matematičar Proklo pripisuje konstrukciju pravilnih poliedara Pitagori. Ali nakon svega, Pitagora je posudio mnoge matematičke teoreme i rezultate (posebno Pitagorinu teoremu) od starih Egipćana tokom svog veoma dugog „poslovnog putovanja“ u Egipat (prema nekim izvještajima, Pitagora je u Egiptu živio 22 godine!). Stoga možemo pretpostaviti da je Pitagora vjerovatno također posudio znanje o pravilnim poliedrima od starih Egipćana (a možda i od starih Babilonaca, jer je prema legendi Pitagora živio u starom Babilonu 12 godina). Ali postoje i drugi, čvršći dokazi da su Egipćani imali informacije o svih pet pravilnih poliedara. Konkretno, u Britanskom muzeju se čuvaju kockice iz Ptolomejeve ere, koje imaju oblik ikosaedra, odnosno "platonskog čvrstog", dvojnog dodekaedru. Sve ove činjenice daju nam za pravo da postavimo hipotezu da je dodekaedar bio poznat Egipćanima. A ako je to tako, onda iz ove hipoteze proizlazi vrlo harmoničan sistem koji omogućava objašnjenje nastanka egipatskog kalendara, a ujedno i porijekla egipatskog sistema za mjerenje vremenskih intervala i geometrijskih uglova.

12. Harmonija ciklusa Solarni sistem.

Ranije smo ustanovili da dodekaedar na svojoj površini ima 12 lica (peterokuta), 30 ivica i 60 ravnih uglova (tabela 3.1). Ako pođemo od hipoteze da su Egipćani poznavali dodekaedar i njegove numeričke karakteristike 5, 12, 30, 60, kakvo je onda bilo njihovo iznenađenje kada su otkrili da se ciklusi Sunčevog sistema izražavaju istim brojevima, odnosno 12 -godišnji ciklus Jupitera, 30-godišnji ciklus Saturna i konačno 60-godišnji ciklus Sunčevog sistema. Istovremeno, glavni ciklus Sunčevog sistema i ciklus Jupitera povezani su sledećim numeričkim odnosom: 60 = 12´5 (što se, inače, poklapa sa numeričkom strukturom hijerarhije skale Univerzuma!) . Dakle, između tako savršene prostorne figure kao što je dodekaedar, i Sunčevog sistema, postoji duboka matematička veza! Ovaj zaključak su izveli drevni naučnici. To je dovelo do činjenice da je dodekaedar usvojen kao "glavna figura", koja je simbolizirala Harmoniju Univerzuma. A onda su Egipćani odlučili da svi njihovi glavni sistemi (kalendarski sistem, sistem mjerenja vremena, sistem mjerenja ugla) trebaju odgovarati numeričkim parametrima dodekaedra! Budući da je, prema zamislima drevnih, kretanje Sunca duž ekliptike bilo strogo kružno, odabirom 12 znakova Zodijaka, među kojima je razmak luka bilo tačno 30°, Egipćani su zadivljujuće lijepo koordinirali godišnje kretanje Sunce duž ekliptike sa strukturom njihove kalendarske godine: jedan mjesec je odgovarao kretanju Sunca po ekliptici između dva susjedna znaka zodijaka! Štaviše, kretanje Sunca za jedan stepen odgovaralo je jednom danu u egipatskoj kalendarskoj godini! U ovom slučaju, ekliptika je automatski podijeljena na 360°. Podijelivši svaki dan na dva dijela, prateći dodekaedar, Egipćani su zatim podijelili svaku polovicu dana na 12 dijelova (12 strana dodekaedra) i tako uveli sat, najvažniju jedinicu vremena. Podijelivši jedan sat na 60 minuta (60 ravnih uglova na površini dodekaedra), Egipćani su tako uveli minutu, sljedeću važnu jedinicu vremena. Na isti način su uveli sekundu - najmanju jedinicu vremena za taj period.

Tako su Egipćani, birajući dodekaedar kao glavnu "harmoničnu" figuru svemira, i striktno prateći numeričke karakteristike dodekaedra 12, 30, 60, uspjeli izgraditi izuzetno harmoničan kalendar, kao i sisteme za mjerenje vremena i uglova. vrijednosti koje postoje do danas! Ovi sistemi su bili u potpunosti u skladu sa njihovom "teorijom harmonije", koja je, prema nekim informacijama, postojala među starim Egipćanima. Ova teorija je bila zasnovana na zlatnom omjeru i nastala je mnogo prije pojave grčke nauke i matematike.

Ovakvi nevjerovatni zaključci slijede iz poređenja dodekaedra sa Sunčevim sistemom. A ako je naša hipoteza tačna (neka je neko pokuša opovrgnuti), onda slijedi da čovječanstvo već milenijumima živi u znaku zlatnog reza! I svaki put kada pogledamo brojčanik naših satova, koji je takođe izgrađen na korišćenju numeričkih karakteristika dodekaedra 5,12, 30 i 60, dodirujemo glavnu "Misteriju univerzuma" - zlatni presek, bez znajući to!

13. O kalendaru Maja i sistemu brojeva.

Poznato je da je kalendarska godina u kalendaru Maja imala sledeću numeričku strukturu: 1 godina = 360 + 5 = 20´ 18 + 5 dana, iz čega sledi da je godina Maja bila podeljena na 18 meseci od po 20 dana. Brojeve 20 i 360 Maje su koristile kao "čvorne" brojeve svog sistema brojeva. Međutim, po svojoj strukturi, kalendarska godina Maja je bila slična strukturi egipatske kalendarske godine: 1 godina = 360 + 5 = 12´ 30 + 5 dana, u kojoj su brojevi 12 i 30 bili brojevi dodekaedra. Ali koji je broj 20 u kalendaru Maja? Vratimo se ponovo ikosaedru i dodekaedru. U ovim "svetim" figurama postoji još jedna "sveta" numerička karakteristika - broj vrhova, koji je isti za dodekaedar i ikosaedar i jednak je broju 20! Tako su drevne Maje nesumnjivo koristile ovo numerička karakteristika dodekaedar i ikosaedar u svom kalendaru (koji godinu dijeli na 20 mjeseci) i u svom brojevnom sistemu (izabravši brojeve 20 i 360 kao "čvorne" brojeve svog brojevnog sistema).

Prema komentatoru posljednjeg izdanja Platonovih djela, kod njega "sva kosmička proporcionalnost počiva na principu zlatne podjele, odnosno harmonijske proporcije". Kao što je spomenuto, Platonova kosmologija se zasniva na pravilnim poliedrima zvanim Platonova tijela. Ideja o "kroz" harmoniji svemira je uvijek bila povezana s njenim utjelovljenjem u ovih pet pravilnih poliedara, koji su izražavali ideju univerzalnog savršenstva svijeta. A činjenica da je glavna "kosmička" figura - dodekaedar, koja simbolizira tijelo svijeta i univerzalnu dušu, bila zasnovana na zlatnom presjeku, dala je ovom potonjem posebno značenje, značenje glavne proporcije svemira.

Platonova kosmologija postala je osnova takozvane ikosaedarsko-dodekaedarske doktrine, koja se od tada kao crvena nit provlači kroz svu ljudsku nauku. Suština ove doktrine je da su dodekaedar i ikosaedar tipični oblici prirode u svim njenim manifestacijama, od kosmosa do mikrosvijeta.

Pitanje oblika Zemlje neprestano je zaokupljalo umove naučnika drevnih vremena. A kada je potvrđena hipoteza o sfernom obliku Zemlje, pojavila se ideja da je oblik Zemlje dodekaedar. Dakle, Sokrat je već napisao: "Zemlja, ako je pogledate odozgo, izgleda kao lopta sašivena od 12 komada kože."

Ova Sokratova hipoteza našla je dalji naučni razvoj u radovima fizičara, matematičara i geologa. Dakle, francuski geolog de Beamont i poznati matematičar Poincaré vjerovali su da je oblik Zemlje deformisani dodekaedar.

Ruski geolog S. Kislitsin također je podijelio mišljenje o dodekaedarskom obliku Zemlje. On je pretpostavio da se prije 400-500 miliona godina dodekaedarska geosfera pretvorila u geo-ikosaedar. Međutim, takav prijelaz se pokazao nepotpunim i nepotpunim, zbog čega se pokazalo da je geo-dodekaedar upisan u strukturu ikosaedra.

Nedavno su moskovski inženjeri V. Makarov i V. Morozov iznijeli još jednu zanimljivu hipotezu o obliku Zemlje. Smatraju da jezgro Zemlje ima oblik i svojstva rastućeg kristala koji utiče na razvoj svih prirodnih procesa koji se odvijaju na planeti. Zrake ovog kristala, odnosno njegovo polje sile, određuju ikosaedarsko-dodekaedarsku strukturu Zemlje, koja se očituje u tome što se u zemljinoj kori pojavljuju, takoreći, projekcije pravilnih poliedara upisanih u globus: ikosaedar i dodekaedar. Njihova 62 vrha i sredine ivica, koje autori nazivaju čvorovima, imaju niz specifičnih svojstava koja omogućavaju objašnjenje nekih neshvatljivih fenomena.

Posljednjih godina testirana je hipoteza ikosaedarsko-dodekaedarskog oblika Zemlje. Da bi to učinili, naučnici su poravnali osu dodekaedra sa osom globusa i, rotirajući ovaj poliedar oko njega, skrenuli pažnju na činjenicu da se njegovi rubovi poklapaju s džinovskim poremećajima u zemljinoj kori (na primjer, sa srednjim Atlantikom podmorski greben). Uzimajući zatim ikosaedar kao poliedar, otkrili su da se njegovi rubovi poklapaju sa manjim dijelovima zemljine kore (grebeni, rasjedi, itd.). Ova zapažanja potvrđuju hipotezu o bliskosti tektonske strukture zemljine kore sa oblicima dodekaedra i ikosaedra. u jednom od čvorova ikosaedra (u Gabonu) otkriven je "prirodni atomski reaktor" koji je još radio prije 1,7 milijardi godina. Ogromna ležišta minerala (na primjer, Tjumensko naftno polje), anomalije životinjskog svijeta (Bajkalsko jezero), centri razvoja ljudskih kultura (Drevni Egipat, proto-indijska civilizacija Mohenjo-Daro, Sjeverni Mongol, itd.) ograničeni su na mnogo čvorova poliedara. Svi ovi primjeri potvrđuju zadivljujući uvid Sokratove intuicije.

Rad američkog istraživača D. Wintera, koji je na čelu grupe Planetary Heartbeats, postao je kvintesencija geometrijskih ideja o svemu što postoji. On je propovednik ideala forme, jedinstvenog „zlatnog preseka“, koji poput „zlatnog lanca“ povezuje gen i Univerzum. Uzimajući koncept ikosaedarsko-dodekaedarskog oblika Zemlje, Winter ga dalje razvija. On skreće pažnju na činjenicu da je ugao koji opisuje Zemljina os rotacije tokom njene 26.000 godina precesije 32°. To je tačno jednako kutu pod kojim možete nagnuti kocku, tako da se rotacijom oko ose (sa pet zaustavljanja) dobije dodekaedar. Prema Winteru, energetski okvir Zemlje je dodekaedar umetnut u ikosaedar, koji je zauzvrat umetnut u drugi dodekaedar. Geometrijski odnos između ovih poliedara je zlatni rez.

Dodekaedarska struktura, prema Winteru, inherentna je ne samo energetskom okviru Zemlje, već i strukturi žive materije. I što je možda najvažnije, DNK struktura genetskog koda života je četverodimenzionalni potez (duž vremenske ose) rotirajućeg dodekaedra! Tako se ispostavlja da je cijeli Univerzum - od Metagalaksije do žive ćelije - izgrađen po jednom principu - beskonačno upisanom dodekaedru i ikosaedru, koji su proporcionalni zlatnom presjeku!

A evo još jedne potvrde plodnosti doktrine dodekaedara-ikosaedra u astronomiji, date u članku Valerija Šikhirina "Izgledi za razvoj torusnih tehnologija, elastične mehanike i "čuda" koja stvaraju u prirodi." Prema Šihirinu, „sve „tečne“ zvezde i planete, kao što su Sunce, Jupiter, Saturn, itd., formirane su u superhladnoj zoni/centru deformacije mlina za valjanje zvezda galaksije u pravilne poliedre, koji su zamrznuti . Prilikom progresivnog pomeranja prirodne elastične toroidne galaksije u toplu zonu, ove zvezde i planete su se odmrznule, odnosno postale tečne, barem na površini, i ispunile lica poliedra zajedno sa njegovim ivicama. Japet je satelit Saturna, nema atmosferu, nije se otopio, zbog nedovoljne temperature za njegovo odmrzavanje ( hemijski sastav). Odnosno, ima tvrdu zastakljenu površinu-ćelavu mrlju, sa koje je sva prašina, ako je bilo, jednostavno raznesena u svemir i Japet je ostao "u onome što je majka galaksija rodila", odnosno pravilan poliedar - dodekaedar . Štaviše, na površini Japeta (slika 3, donja sredina) jasno je vidljiva takozvana „Mažinoova linija“, planinski lanac koji okružuje planetu tačno duž ekvatora, kao da je deli na dva jednaka dela. Ovo nije ništa drugo do neravnina (burr, fleš, ožiljak, zaljev, izbočina) - višak materijala istisnut tokom spiralnog valjanja kroz razmak između prirubnica rolne.

Rice. 3. Jupiterov mjesec Japet ima oblik dodekaedra

15. Uloga ikosaedra u razvoju matematike.

Ime izvanrednog geometra Felixa Kleina nadaleko je poznato u nauci. Klajnovi glavni radovi posvećeni su neeuklidskoj geometriji, teoriji kontinuiranih grupa, teoriji algebarskih jednadžbi, teoriji eliptičkih funkcija i teoriji automorfnih funkcija. Klajn je predstavio svoje ideje u oblasti geometrije u delu "Uporedno razmatranje novih geometrijskih istraživanja" (1872), poznatom kao Erlangenski program. Pored programa iz Erlangena i drugih izvanrednih matematičkih dostignuća, genijalnost Felixa Kleina očitovala se i u činjenici da je prije 100 godina mogao predvidjeti izuzetnu ulogu Platonovih tijela, posebno ikosaedra, u budućem razvoju. nauke, posebno matematike. Godine 1884. (sjećamo se ove godine) Felix Klein je objavio još jednu knjigu, Predavanja o ikosaedru i rješavanju jednačina petog stepena, posvećenu geometrijskoj teoriji ikosaedra.

Kao što znate, ikosaedar (i sa njim dvojni dodekaedar) zauzimaju posebno mjesto u "živoj" prirodi; neki virusi i radiolarije imaju oblik ikosaedra, odnosno ikosaedarski oblik i pentagonalna simetrija su fundamentalni u organizaciji žive materije.

Prvi dio knjige definira i objašnjava mjesto ikosaedra u matematici. Prema F. Kleinu, tkivo matematike je široko i slobodno razasuto listovima pojedinačnih teorija. Ali postoje objekti u kojima se konvergira nekoliko listova - neka vrsta točke grananja. Njihova geometrija povezuje listove i omogućava da se obuhvati opšte matematičko značenje različitih teorija. Upravo takav matematički objekat, prema Kleinu, jeste ikosaedar. Klein tretira ikosaedar kao matematički objekt od kojeg se razilaze grane pet matematičkih teorija: geometrija, Galoisova teorija, teorija grupa, teorija invarijanta i diferencijalne jednadžbe.

dakle, glavna ideja Klein je krajnje jednostavan: "svaki jedinstveni geometrijski objekt, na ovaj ili onaj način, povezan je sa svojstvima ikosaedra."

Kakav je značaj ideja istaknutog matematičara sa stanovišta teorije harmonije? Prije svega, kao objekt koji objedinjuje "glavne listove" matematike, odabrano je "Platonovo tijelo" - ikosaedar zasnovan na zlatnom presjeku. Iz ovoga prirodno proizilazi ideja da je zlatni rez glavna geometrijska ideja, koja, prema Kleinu, može ujediniti svu matematiku.

Klajnovi savremenici nisu uspeli da uvaže i uvaže revolucionarni karakter Klajnove "ikosaedarske" ideje. Njegovo značenje je shvaćeno tačno 100 godina kasnije, odnosno tek 1984. godine, kada je izraelski fizičar Dan Šehtman objavio belešku u kojoj je potvrđeno postojanje posebnih legura (zvanih kvazikristali) sa takozvanom "ikosaedralnom" simetrijom, odnosno 5. reda. simetrija, što je strogo zabranjeno klasičnom kristalografijom.

Tako ga je još u 19. veku briljantna intuicija Feliksa Klajna dovela do ideje da je jedan od najstarijih geometrijski oblici- ikosaedar - je glavna geometrijska figura matematike. Tako je Klajn u 19. veku. udahnuo novi zivot u razvoju „dodekaedarsko-ikosaedarske ideje“ o strukturi Univerzuma, čiji su sledbenici bili veliki naučnici i filozofi: Platon, koji je svoju kosmologiju izgradio na osnovu pravilnih poliedara, Euklid, koji je svoje „Principe“ posvetio prezentaciju teorije Platonovih tela, Johanesa Keplera, koji je koristio Platonova tela da stvori svoju kosmičku čašu, veoma originalan geometrijski model Sunčevog sistema.

16. Pravilni poliedri oko nas.

Raspravljajući o strukturi svijeta, ne možemo zanemariti divlje životinje. Da li se pravilni poliedri javljaju u prirodi?

1. Pravilni poliedri se takođe nalaze u divljim životinjama. Na primjer, skelet jednoćelijskog organizma feudarnosti (Circogoniaicosahedra) je u obliku ikosaedra. Većina feodarija živi u dubokom moru i služi kao plijen za koraljne ribe. Ali najjednostavnija životinja pokušava se zaštititi: 12 šupljih igala izlazi iz 12 vrhova skeleta. Na krajevima igala nalaze se zupci koji iglu čine još efikasnijom u zaštiti.

Koji je razlog za takvu prirodnu geometrizaciju feodarija? Činjenica je, očigledno, da od svih poliedara sa istim brojem lica, ikosaedar ima najveći volumen s najmanjom površinom. Ovo svojstvo pomaže morskom organizmu da savlada pritisak vodenog stupca.

2. Zanimljivo je da je ikosaedar postao fokus pažnje biologa u njihovim sporovima oko oblika nekih virusi. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se ranije mislilo. Da bi odredili njegov oblik, uzeli su različite poliedre, usmjerili svjetlost na njih pod istim uglovima kao i protok atoma do virusa. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu - ikosaedar. Njegova geometrijska svojstva omogućavaju čuvanje genetskih informacija. Pravilni poliedri su najpovoljnije figure. I priroda to koristi. Kristali nekih nama poznatih supstanci su u obliku pravilnih poliedara. Dakle, kocka prenosi oblik kristala obične soli NaCl, monokristal aluminijum-kalijum stipse ima oblik oktaedra, kristal sumpornog pirita FeS ima oblik dodekaedra, antimon natrijum sulfat je tetraedar, bor je ikosaedar.

3. Pravilni poliedri su najprofitabilnije figure. I priroda to koristi. To potvrđuje i oblik nekih kristala. Uzmi barem kuhinjska so bez kojih ne možemo. Poznato je da je dobro rastvorljiv u vodi i da služi kao provodnik električne struje. I kristali soli (NaCl) imaju oblik kocke.

4. Proizvodnja aluminijum koristiti aluminijum-kalijum alum (K 12H 2 O), čiji monokristal ima oblik pravilnog oktaedra.

5. Dobijanje sumporne kiseline, gvožđa, specijalnih vrsta cementa nije potpuno bez sumporni pirit (FeS). Kristali ovoga hemijski imaju oblik dodekaedra.

6. U različitim hemijske reakcije koristi se antimon natrijum sulfat (Na 5 (SbO 4 (SO 4)) - supstanca koju su sintetizirali naučnici. Kristal antimon natrijum sulfat ima oblik tetraedra.

7. Poslednji pravilni poliedar - ikosaedar prenosi oblik kristala bor (B). Svojevremeno se bor koristio za stvaranje poluprovodnika prve generacije.

Zahvaljujući pravilnim poliedrima, otkrivaju se ne samo zadivljujuća svojstva geometrijskih oblika, već i načini razumijevanja prirodne harmonije.

Int e zdrava naučna hipoteza, čiji su autori (ranih 80-ih) bili moskovski inženjeri V. Makarov i V. Morozov. Smatraju da jezgro Zemlje ima oblik i svojstva rastućeg kristala koji utiče na razvoj svih prirodnih procesa koji se odvijaju na planeti. Zrake ovog kristala, odnosno njegovo polje sile, određuju ikosaedarsko-dodekaedarsku strukturu Zemlje, koja se očituje u tome što se u zemljinoj kori pojavljuju, takoreći, projekcije pravilnih poliedara upisanih u globus: ikosaedar i dodekaedar. Njihova 62 vrha i sredine ivica, koje autori nazivaju čvorovima, imaju niz specifičnih svojstava koja omogućavaju objašnjenje nekih neshvatljivih fenomena.

Ako na globus stavite centre najvećih i najistaknutijih kultura i civilizacija antičkog svijeta, možete primijetiti obrazac u njihovoj lokaciji u odnosu na geografske polove i ekvator planete. Mnoga ležišta minerala protežu se duž ikosaedarsko-dodekaedarske mreže. Još nevjerovatnije stvari se dešavaju na sjecištu ovih rebara: ovdje su centri najstarijih kultura i civilizacija: Peru, Sjeverna Mongolija, Haiti, Obska kultura i drugi. Na ovim tačkama postoje maksimumi i minimumi atmosferskog pritiska, džinovski vrtlozi Svetskog okeana, ovde škotski Loch Ness, Bermudski trokut. Dalja proučavanja Zemlje će, možda, odrediti odnos prema ovoj prekrasnoj naučnoj hipotezi, u kojoj, po svemu sudeći, pravilni poliedri zauzimaju važno mjesto.

Zaključak.

U toku rada na apstraktu proučavali smo pravilne poliedre, ispitivali njihove modele, identifikovali i sistematizovali svojstva svakog od poliedara. Osim toga, saznali smo da su pravilni poliedri od davnina privlačili pažnju naučnika, graditelja, arhitekata i mnogih drugih. Bili su zapanjeni ljepotom, savršenstvom, harmonijom ovih poliedara. Pitagorejci su te poliedre smatrali božanskim i koristili su ih u svojim filozofskim spisima o suštini svijeta. Drevni grčki naučnik Platon je detaljno opisao svojstva pravilnih poliedara. Poslednja XIII knjiga čuvenih Euklidovih "Početaka" posvećena je pravilnim poliedrima. O poliedrima se govorilo i kasnije. To se može vidjeti iz naučnih radova Johannesa Keplera.

Stakhov A.P. Dodekaedar, tajna egipatskog kalendara, ciklusi Sunčevog sistema i "Aritmetika univerzuma" // "Akademija trinitarizma", M., El br. 77-6567, izdanje 13065, 10.03.2006.