Definicija 1. Vektor r se naziva vektorskom funkcijom skalarnog argumenta t ako svaka vrijednost skalara iz raspona dozvoljenih vrijednosti odgovara određenoj vrijednosti vektora r Zapisaćemo ga ovako: Ako je vektor r je funkcija skalarnog argumenta t tada će x, y, z koordinate vektora r također biti funkcije argumenta t: Vektorska funkcija skalarnog argumenta. Hodograf. Ograničenje i kontinuitet vektorske funkcije skalarnog argumenta Nasuprot tome, ako su koordinate vektora g funkcije od t%, onda će sam vektor g biti funkcija od t: Dakle, specificiranje vektorske funkcije r(f) je. ekvivalentno specificiranju tri skalarne funkcije y(t), z(t). Definicija 2. Hodograf vektorske funkcije r(t) skalarnog argumenta je lokus tačaka koji opisuje kraj vektora r(*) kada se skalar t promijeni, kada je početak vektora r(f) postavljen u fiksnu tačku O u prostoru (slika I). Hodograf radi kretanja vektora brkova r = g(*) Sl. 1 goruća tačka će biti putanja L same ove tačke. Hodograf brzine v = v(J) ove tačke biće neka druga prava L\ (slika 2). Dakle, ako se materijalna tačka kreće u krug konstantnom brzinom |v| = const, onda je i njegov hodograf brzine kružnica sa centrom u tački 0\ i poluprečnika jednakim |v|. Pokazati da je vektor beskonačno grimizan vektor za t -* 0. Rješenje. Imamo gdje je jasno da ako za bilo koje e 0 uzmemo 6 = ~, onda na -0| označit ćemo |. Prema definiciji, to znači da je a(t) beskonačan vektor na t 0. 1> problemi za samostalno rješavanje r. Pokažite da je granica modula vektora jednaka modulu njegove granice ako je posljednja granica postoji. . Dokažite da bi vektorska funkcija r(*) imala granicu A na do, potrebno je i dovoljno da r(može biti predstavljena kao vektorska funkcija skalarnog argumenta. Hodograf. Granica i kontinuitet vektorske funkcije od skalarni argument de a( t) je beskonačan vektor za t -* t0 14. Vektorska funkcija a+ b(*) je kontinuirana za t = t0. su također kontinuirani za t - do 15. Dokažite da ako su a( kontinuirane vektorske funkcije, onda njihov skalarni proizvod (a(*),b(f)) i vektorski proizvod |a(f),b(t)] takođe su kontinuirani.

i njegovu diferencijaciju.

Jedan od najjednostavnijih načina za specificiranje prostorne krive je specificiranje vektorske jednadžbe:

Gdje je radijus vektor tačke krivulje, i - parametar koji određuje poziciju tačke.

To. varijabilni vektor postoji skalarna funkcija . U matematičkoj analizi, takve funkcije se nazivaju vektorske funkcije skalarnog argumenta.

Raspadanje koristeći jedinične vektore, jednačina (1) se može dati u obliku:

Ovo proširenje omogućava da se pređe na parametarsku jednadžbu krive:

Drugim riječima, specificiranje vektorske funkcije je ekvivalentno specificiranju tri skalarne funkcije.

U odnosu na vektorsku funkciju (1) koja definira ovu krivu, sama kriva se naziva hodograf ove funkcije. Izvor koordinata se u ovom slučaju naziva pol hodografa.

Pusti to sada
I
- tačke krive definisane jednačinom (1). Štaviše
, A
Radijus vektori ovih tačaka će biti

I
.

Vector
naziva se inkrement vektorske funkcije
, što odgovara inkrementu
njegov argument, i označava se sa
,

Vektorska funkcija
će biti kontinuirana funkcija , Ako

.

Da biste pronašli derivat od
nastavimo na sljedeći način -

.

Hajde sada da odredimo pravac
. Očigledno je da kolinearno sa
i na
usmjerena u istom smjeru kao
i kada
- u suprotnom smjeru. Ali u prvom slučaju
iu drugom
To. vektor uvijek usmjerena duž sekantnog hodografa
prema gore .

Ako koristimo ekspanziju I po ortama, onda

Odavde dijeleći (*) sa
i ide do krajnjih granica
Za
dobijamo

Na osnovu (4) može se pokazati da su sljedeće formule važeće:

(5)

(6)

- skalarna funkcija.

Dokaz (7).

Hajde da sada ispitamo neka svojstva
. Prije svega, pronađimo njegov modul:

.

Jer onda smatramo da je luk hodografa ispraviv
- je dužina tetive, i
- dužina luka. Zato

To. modul derivacije vektorske funkcije skalarnog argumenta jednak je derivaciji luka hodografa u odnosu na isti argument.

Zaključak 1. Ako - jedinični vektor usmjeren tangencijalno na hodograf u smjeru povećanja , To

Posledica 2. Ako se kao argument vektorske funkcije uzme dužina luka hodografa , To

(jer
)

To. derivacija vektorske funkcije duž dužine luka hodografa jednaka je jediničnom vektoru tangente na hodograf, usmeren ka povećanju dužine luka.

Korol 3. Ako se hodograf vektorske funkcije smatra putanjom tačke, i - kao vrijeme kretanja, računato od određenog , To
poklapa se po veličini i smjeru s vektorom brzine kretanja
.

U stvari, skalarna vrijednost brzine jednaka je derivaciji putanje u odnosu na vrijeme:

Osim toga, vektor usmjerena tangencijalno na putanju u smjeru kretanja, što odgovara smjeru povećanja , tj. odgovara pravcu .

To.
.

Hajde sada da razmotrimo
, čija je dužina konstantna,
, tj.

(*)
Gdje

Diferencirajući (*), nalazimo:

One.

Konkretno, derivacija vektora bilo koje varijable u smjeru jedinice Uvijek
.

Pusti to sada
ugao između polumjera jedinične sfere povučene do tačaka
I
hodograph
. Zatim dužina akorda
iz trougla
biće jednaki

Veličina derivacije vektora jedinične varijable jednaka je ugaonoj brzini rotacije ovog vektora.

Što se tiče skalarnih funkcija, diferencijal vektorske funkcije se zapisuje kao

Ali čak i tada

Zakrivljenost prostorne krive.

Prateći triedar.

Prema korolaru 2, for možemo napisati formulu:

Promjena smjera , povezan sa promjenom tangente na prostornu krivu, karakterizira zakrivljenost krive. Kao mjera zakrivljenosti prostorne krive, kao i za ravnu krivu, uzima se granica omjera ugla susjedstva i dužine luka, kada je

zakrivljenost,
ugao susjedstva,
dužina luka.

sa druge strane,
jedinični vektor i njegov derivirani vektor je okomita na njega, i njegov modul
Diferenciranje By i ulazak
jedinični vektor sa smjerom , nalazimo:

Vector
vektor zakrivljenosti prostorne krive. Njegov smjer, okomit na smjer tangente, je normalni smjer prostorne krive. Ali prostorna kriva u bilo kojoj tački ima beskonačan broj normala, koje sve leže u ravni koja prolazi kroz datu tačku krive i okomita je na tangentu u datoj tački. Ova ravan se naziva normalna ravan prostorne krive.

Definicija. Normala krive duž koje je vektor zakrivljenosti krive usmjeren u datu tačku je glavna normala prostorne krive. To.
jedinični glavni normalni vektor.

Konstruirajmo sada treći jedinični vektor jednak unakrsnom proizvodu I

Vector , kao i takođe okomito one. leži u normalnoj ravni. Njegov smjer se naziva smjer binormale prostorne krive u datoj tački. Vector
I čine trio međusobno okomitih jediničnih vektora, čiji pravac zavisi od položaja tačke na prostornoj krivulji i varira od tačke do tačke. Ovi vektori formiraju tzv. prateći triedar (Frenet trihedron) prostorne krive. Vector
I formiraju desnu trojku, baš kao jedinični vektori
u pravom koordinatnom sistemu.

Snimljeno u parovima
definirati tri ravni koje prolaze kroz istu tačku na krivulji i formiraju lica pratećeg triedra. U isto vreme I odrediti oskulirajuću ravan (luk krive u blizini date tačke je luk ravanske krive u oskulirajućoj ravni s preciznošću višeg reda);

I - ravan za ravnanje;

I - normalan avion.

Tangentne, normalne i binormalne jednačine.

Jednačine ravni pratećeg triedra.

Znajući
I , ili bilo koji vektori koji nisu jedinični njima kolinearni T,N I B Hajde da izvedemo jednadžbe navedene u ovom odeljku.

Da biste to učinili, u kanonskoj jednadžbi prave linije

i u jednadžbi ravni koja prolazi kroz datu tačku

uzeti za
koordinate tačke odabrane na krivulji, za
odnosno za
uzeti koordinate vektora
ili
, koji određuje smjer željene linije ili normale na željenu ravan:

ili - za tangentu ili normalnu ravan,

ili - za glavnu normalu i ravan za ispravljanje,

ili - za binormalnu i oskulirajuću ravan.

Ako je kriva data vektorskom jednadžbom
ili
zatim za vektor
može se uzeti tangencijalno usmjereno

Da nađem
I hajde da prvo pronađemo dekompoziciju
po vektorima
Prethodno (korolar 1) smo to otkrili
Razlikovanje po , dobijamo:

Ali, jer

Pomnožimo sada vektorski I

(*)

Na osnovu (*) po vektoru , koji ima binormalni pravac, mogli bismo uzeti vektor

Ali onda, za
možemo uzeti vektorski proizvod ovih potonjih:

To. u bilo kojoj tački proizvoljne krive možemo odrediti sve elemente pratećeg triedra.

Primjer. Jednadžba tangente, normale i binormalne na desnu spiralu u bilo kojoj tački.

Tangenta

Kuca normalna

Binormal

Primjer 2. Razmotrimo, na primjer, funkciju tri varijable f(X,at,z), ima sljedeću tabelu istinitosti:

Sa leksikografskim redom vektora varijabilnih vrijednosti  X n mogu se izostaviti i funkcija će biti potpuno specificirana sama po sebi vektor vrijednosti istine f= (10110110).

Matrična metoda

Poenta je da ima mnogo varijabli  X n lomi se na dva dela  at m I  z n–m na takav način da sve moguće istinite vrijednosti vektora  at m su iscrtane duž redova matrice i sve moguće istinite vrijednosti vektora  z n - m- po kolonama. Vrijednosti istine funkcije f na svakom setu   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) smeštene u ćelije nastale presekom linije ( 1 , ...,  m) i kolona ( m+ 1 ,...,  n).

U primjeru 2 o kojem smo gore govorili, u slučaju particioniranja varijabli ( x, y, z) u podskupove ( X) i ( y, z) matrica ima oblik:

	y,z

Bitna karakteristika matrične metode je da se kompletiraju skupovi varijabli  X n, koje odgovaraju susjednim (i vertikalno i horizontalno) ćelijama, razlikuju se u jednoj koordinati.

Specificiranje pomoću punog binarnog stabla

Za opis n-lokalna funkcija f( X n) koristi se svojstvo visine binarnog stabla n, koji se sastoji u činjenici da svaki viseći vrh u njemu odgovara jedan prema jedan određenom skupu vektorskih vrijednosti  X n. Shodno tome, ovom visećem vrhu može se dodijeliti ista vrijednost istine koju funkcija ima na ovom skupu f. Kao primjer (slika 1.3), predstavljamo zadatak koristeći binarno stablo ternarne funkcije o kojoj smo gore govorili f =(10110110).

Prvi red brojeva dodijeljenih visećim vrhovima stabla označava leksikografski broj skupa, drugi - sam skup, a treći - vrijednost funkcije na njemu.

Zadatak koristećin - kocka jedinica dimenzijeIN n

Od vrhova IN n također se može mapirati jedan-na-jedan u skup svih skupova  X n, To n-lokalna funkcija f(X n) može se specificirati dodjeljivanjem njegovih istinitih vrijednosti odgovarajućim vrhovima kocke IN n . Slika 1.4 prikazuje postavku funkcije f= (10110110) na kocki IN 3. Istine vrijednosti su dodijeljene vrhovima kocke.

Definicija . Algebra logike imenovati skup Booleovih konstanti i varijabli zajedno sa logičkim vezama uvedenim na njima.

Zadatak formule

Funkcije logičke algebre mogu se specificirati kao analitički izrazi.

Definicija. Neka X― abeceda varijabli i konstanti koja se koristi u logičkoj algebri, F― skup notacija za sve elementarne funkcije i njihove generalizacije s brojem varijabli većim od 2.

Formula preko X,F(formula logičke algebre) pozovimo sve zapise oblika:

A) X, Gdje X X;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , Gdje F 1 , F 2 - formula je završena X, F;

V) h(F 1 , … ,F n ), Gdje n > 2, F 1 ,… ,F n- formule gotove X,F, h ― označavanje generalizirane funkcije praga iz F .

Kao što slijedi iz definicije, za dvomjesne elementarne funkcije koristi se infiksni oblik notacije, u kojem se funkcionalni simbol postavlja između argumenata i generaliziranih funkcija, koristi se prefiksni oblik notacije u kojem je funkcionalni simbol se stavlja ispred liste argumenata.

Primjer 3.

1. Izrazi X(atz); ( x, y, z  u) su formule algebre logike, jer zadovoljavaju gore datu definiciju.

2. Izraz  X (at z) nije formula logičke algebre jer je operacija  primijenjena pogrešno .

Definicija. Funkcija implementirana formulom F, je funkcija dobivena zamjenom vrijednosti varijabli u F. Označimo ga f(F).

Primjer 4. Razmotrite formulu F=xy (Xz). Da bi se konstruirala tabela istinitosti implementirane funkcije, potrebno je logičko množenje izvoditi sekvencijalno, uzimajući u obzir snagu logičkih veza xy, zatim implikacija ( Xz), zatim dodajte rezultirajuće istinite vrijednosti po modulu 2. Rezultat akcija prikazan je u tabeli:

				X z

Formulski prikaz funkcija omogućava da se a priori procijene mnoga svojstva funkcija. Prijelaz sa formulačnog zadatka na tablicu istinitosti uvijek se može postići uzastopnim zamjenama vrijednosti istine u elementarne funkcije uključene u formulu. Obrnuti prijelaz je dvosmislen, jer se ista funkcija može predstaviti različitim formulama. To zahtijeva odvojeno razmatranje.

Neka se skup vrijednosti vektorske funkcije skalarnog argumenta svede na zajednički ishodište u tački 0. Uparimo početak kartezijanskog koordinatnog sistema sa ovom tačkom. Tada se za bilo koji vektor može proširiti u jedinične vektore

Dakle, specificiranje vektorske funkcije skalarnog argumenta znači specificiranje tri skalarne funkcije Kada se vrijednost argumenta promijeni, kraj vektora će opisati krivulju u prostoru, koja se naziva vektorski hodograf

Neka postoji bliska vrijednost za Tada se poziva derivacija vektorske funkcije na skalarni argument

Br. 17 Brzina i ubrzanje tačke u krivolinijskom kretanju

Brzina

Brzina se uvodi kao karakteristika kretanja materijalne tačke. Brzina je vektorska veličina, koju karakterizira i brzina kretanja (veličina vektora brzine) i njegov smjer (smjer vektora brzine) u datom trenutku. Neka se materijalna tačka kreće duž neke krivolinijske putanje, a u trenutku t odgovara radijus vektoru r0 (slika 1). U kratkom vremenskom periodu Δt, tačka će putovati Δs i istovremeno dobiti elementarni (infinitezimalni) pomak Δr.

Vektor prosječne brzine naziva se odnos prirasta Δr radijus vektora tačke i vremenskog intervala Δt:

Smjer vektora prosječne brzine poklapa se sa smjerom Δr. Uz beskonačno smanjenje Δt, prosječna brzina teži vrijednosti koja se naziva trenutna brzina v:

To znači da je trenutna brzina v vektorska veličina koja je jednaka prvom izvodu radijus vektora pokretne tačke u odnosu na vrijeme. Jer u granici sekansa se poklapa sa tangentom, tada je vektor brzine v usmjeren tangentno na putanju u smjeru kretanja (slika 2).

Fig.2

Kako se Δt smanjuje, Δs će se sve više približavati |Δr|, pa modul trenutne brzine

To znači da je apsolutna vrijednost trenutne brzine jednaka prvom izvodu puta s obzirom na vrijeme:

Kod neravnomjernog kretanja, modul trenutne brzine je različit u različito vrijeme. U ovom slučaju koristite skalarnu količinu - prosječna brzina neravnomjernog kretanja:

Ako integrišemo izraz ds=vdt tokom vremena u rasponu od t do t+Δt (vidi formulu (2)), naći ćemo dužinu putanje koju je prešla tačka za vrijeme Δt:

U slučaju ravnomjernog kretanja, numerička vrijednost trenutne brzine je konstantna; Tada će izraz (3) poprimiti oblik

Dužina puta koju je prešla tačka tokom vremenskog perioda od t1 do t2 data je integralom

ACCELERACIJA

Kada vozite neravnomjerno, često je potrebno znati koliko se brzina mijenja tokom vremena. Fizička veličina koja karakterizira brzinu promjene brzine u veličini i smjeru naziva se ubrzanje. Razmotrimo kretanje u ravnini - kretanje u kojem trajektorije svake tačke sistema koji se razmatra leže u istoj ravni. Neka je vektor v brzina tačke A u trenutku t. Tokom vremena Δt, tačka se pomerila na poziciju B i dobila brzinu različitu od v i po veličini i po pravcu i jednaku v1 + Δv. Pomerimo vektor v1 u tačku A i pronađemo Δv (slika 1).

Prosečno ubrzanje neravnomernog kretanja u intervalu od t do t+Δt je vektorska veličina jednaka odnosu promene brzine Δv i vremenskog intervala Δt:

Trenutačno ubrzanje a (ubrzanje) materijalne tačke u trenutku t će biti vektorska veličina:

jednak prvom izvodu brzine u odnosu na vrijeme.

Razložimo vektor Δv na dvije komponente. Da bismo to uradili, iz tačke A (slika 1) u pravcu brzine v, crtamo vektor AD, čiji je modul jednak v1. Očigledno, CD vektor jednak Δvτ određuje promjenu brzine tokom vremena Δt po modulu: Δvτ=v1-v. Druga komponenta Δvn vektora Δv karakterizira promjenu brzine tokom vremena Δt u smjeru.

Tangencijalna komponenta ubrzanja:

tj. jednak je prvom izvodu s obzirom na vrijeme modula brzine, čime se određuje brzina promjene brzine u modulu.

Tražimo drugu komponentu ubrzanja. Pretpostavljamo da je tačka B veoma blizu tački A, pa se Δs može smatrati lukom kružnice nekog poluprečnika r, malo drugačijim od tetive AB. Trougao AOB je sličan trouglu EAD, iz kojeg sledi Δvn/AB=v1/r, ali pošto je AB=vΔt, onda

U granici na Δt→0 dobijamo v1→v.

Jer v1→v, ugao EAD teži nuli, i od toga trokut EAD je jednakokračan, tada ugao ADE između v i Δvn teži pravom kutu. Posljedično, pri Δt→0 vektori Δvn i v postaju međusobno okomiti. Jer vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju, tada je vektor Δvn, okomit na vektor brzine, usmjeren na centar zakrivljenosti putanje tačke. Druga komponenta ubrzanja, jednaka

naziva se normalna komponenta ubrzanja i usmjerena je duž prave linije koja je okomita na tangentu putanje (koja se naziva normala) do centra njene krivine (zato se naziva i centripetalno ubrzanje).

Ukupno ubrzanje tijela je geometrijski zbir tangencijalne i normalne komponente (slika 2):

To znači da je tangencijalna komponenta ubrzanja karakteristika brzine promjene brzine u apsolutnoj vrijednosti (usmjerena tangencijalno na putanju), a normalna komponenta ubrzanja je karakteristika brzine promjene brzine u smjeru (usmjerena prema centar zakrivljenosti putanje). Ovisno o tangencijalnoj i normalnoj komponenti ubrzanja, kretanje se može klasificirati na sljedeći način:

1)aτ=0, an=0 - pravolinijsko ravnomerno kretanje;

2)aτ=an=const, an=0 - pravolinijsko ravnomjerno kretanje. Sa ovom vrstom kretanja

Ako je početno vrijeme t1 = 0, a početna brzina v1 = v0, tada, označavajući t2=t i v2 = v, dobijamo a=(v-v0)/t, od čega

Integrirajući ovu formulu u rasponu od nule do proizvoljnog trenutka vremena t, nalazimo da je dužina putanje koju prelazi tačka u slučaju jednoliko promjenjivog kretanja

3)aτ=f(t), an=0 - pravolinijsko kretanje sa promjenjivim ubrzanjem;

4)aτ=0, an=konst. Kada je aτ=0, brzina se ne mijenja u apsolutnoj vrijednosti, već se mijenja u smjeru. Iz formule an=v2/r slijedi da radijus zakrivljenosti mora biti konstantan. Prema tome, kružno kretanje je ravnomerno krivolinijsko;

5)aτ=0, an≠0 ravnomerno krivolinijsko kretanje;

6)aτ=const, an≠0 - krivolinijsko ravnomerno kretanje;

7)aτ=f(t), an≠0 - krivolinijsko kretanje s promjenjivim ubrzanjem.

Br. 18 Jednačine tangentne ravni i normale na površinu

Definicija. Neka je funkcija dvije varijable z =f(x,y) data na domeni D, M0(x0;y0) je unutrašnja tačka domene D, M(x0+Δx;y+Δy) je tačka u D „susedni“ M0.

Razmotrite puni prirast funkcije:

Ako je Δz predstavljen kao:

gdje su A, B konstante (nezavisne od Δx, Δy), - rastojanje između M i M0, α(Δ x,Δy) - beskonačno malo pri Δx 0, Δy 0; tada se funkcija z =f(x,y) naziva diferencijabilna u tački M0, a izraz

naziva se ukupni diferencijal funkcije z =f(x;y) u tački M0.

Teorema 1.1. Ako je z =f(x;y) diferencijabilno u tački M0, onda

Dokaz

Pošto su u (1.16) Δx, Δy proizvoljni infinitezimali, možemo uzeti Δy =0, Δx≠0, Δx 0, tada

nakon čega iz (1.16) slijedi

Slično, dokazano je da

i teorema 1.1. dokazano.

Napomena: diferencijabilnost z =f(x,y) u tački M0 implicira postojanje parcijalnih izvoda. Obrnuti iskaz je netačan (postojanje parcijalnih izvoda u tački M0 ne implicira diferencijabilnost u tački M0).

Kao rezultat toga, uzimajući u obzir teoremu 1.1, formula (1.18) će poprimiti oblik:

Posljedica. Funkcija diferencibilna u tački M0 je u ovoj tački kontinuirana (pošto iz (1.17) slijedi da za Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Napomena: Slično za slučaj tri ili više varijabli. Izraz (1.17) će poprimiti oblik:

Koristeći geometrijsko značenje (slika 1.3) parcijalnih izvoda, možemo dobiti sljedeću jednačinu (1.24) tangentne ravni πkas na površinu: z =f(x,y) u tački C0(x0,y0,z0), z0=z(M):

Iz poređenja (1.24) i (1.21) dobijamo geometrijsko značenje puni diferencijal funkcije dvije varijable:

Povećanje primjene z kada se tačka C kreće duž tangentne ravni od tačke C0 do tačke

gdje je iz (1.24).

Jednačina normale Ln na površinu: z = f(x,y) u tački C0 dobija se kao jednačina prave linije koja prolazi kroz C0 okomito na tangentnu ravan:

br. 19 Usmjerena derivacija. Gradijent

Neka je funkcija data u nekoj domeni i tačka . Nacrtajmo vektor iz tačke čiji pravac kosinus . Na vektoru, na udaljenosti od njegovog početka, razmotrite tačku, tj. .

Pretpostavićemo da je funkcija a njegove parcijalne derivacije prvog reda su kontinuirane u domeni.

Granica omjera na naziva se derivacija funkcije u tački u pravcu vektora i označava se, tj. .

Za pronalaženje derivacije funkcije u datoj tački u pravcu vektora koristite formulu:

Gdje – kosinus smjera vektora , koji se izračunavaju po formulama:
.

Neka funkcija bude specificirana u svakoj tački određene regije .

Vektor čije su projekcije na koordinatne osi vrijednosti parcijalnih izvoda ove funkcije u odgovarajućoj točki naziva se gradijent funkcije i označava se ili (čitaj “nabla u”): .

U ovom slučaju kažu da je u regionu definisano vektorsko polje gradijenata.

Da biste pronašli gradijent funkcije u datoj tački koristite formulu: .

Br. 22 osnovna svojstva neodređenog integrala

Neodređeni integral

gdje je F antiderivat funkcije f (na intervalu); C je proizvoljna konstanta.

Osnovna svojstva

1.

2.

3. Ako To

24)

25)

28)

Ova metoda se koristi u slučajevima kada je integrand proizvod ili količnik heterogenih funkcija. U ovom slučaju, V’(x) se uzima kao dio koji se lako integrira.

29)

32) Dekompozicija racionalnog razlomka na proste razlomke.

Bilo koji pravilan racionalni razlomak
može se predstaviti kao zbir konačnog broja jednostavnih racionalnih razlomaka prvog – četvrtog tipa. Za razgradnju
potrebno je nazivnik proširiti na proste razlomke Qm(x) na linearne i kvadratne faktore, za koje trebate riješiti jednačinu:

- (5)

Teorema.Pravilan racionalni razlomak
, Gdje
, može se jedinstveno razložiti u zbir jednostavnih razlomaka:

- (6)

(A 1 , A 2 , …, A k , B 1 , B 2 , …, B 1 , M 1 , N 1 , M 2 , M 2 , …, M s , N s – neki realni brojevi).

33) Dekompozicija pravilnog razlomka na proste razlomke sa složenim korijenima nazivnika

Izjava o problemu. Pronađite neodređeni integral

1 . Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

Uporedimo stepene brojioca i nazivnika.

Ako je integrand nepravilan racionalni razlomak, tj. brojnik stepenan veći ili jednak stepenu nazivnikam , zatim prvo odabiremo cijeli dio racionalne funkcije dijeljenjem brojnika sa nazivnikom:

Ovdje je polinom ostatak dijeljenja sa i stepenaPk(x) manji stepenQm

2 . Proširimo pravi racionalni razlomak

na elementarne razlomke.

Ako je njegov imenilac prost složeni koreni one.

tada ekspanzija ima oblik

3 . Za izračunavanje nesigurnih koeficijenata,A1,A2,A3...B1,B1,B3... razlomak na desnoj strani identiteta dovodimo do zajedničkog nazivnika, nakon čega izjednačavamo koeficijente na istim potencijamaX u brojiocima s lijeve i desne strane. Hajde da uzmemo sistem 2 S jednačine sa 2 S nepoznato, što ima jedinstveno rješenje.

4 Integriramo elementarne razlomke forme

47) Ako postoji konačna granica I integralne sume kao λ → 0, a ona ne zavisi od metode izbora tačaka ξ i, metode particionisanja segmenta, onda se ova granica naziva definitivnim integralom funkcije f ( x) preko segmenta i označava se kako slijedi:

U ovom slučaju se kaže da je funkcija f (x) integrabilna na . Brojevi a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije, f (x) je integrand, x je varijabla integracije. Treba napomenuti da nije bitno koje slovo označava integracijsku varijablu određenog integrala

budući da promjena notacija ove vrste ni na koji način ne utiče na ponašanje integralnog zbira. Unatoč sličnosti u notaciji i terminologiji, određeni i neodređeni integrali drugačije

48) Teorema o postojanju određenog integrala

Podijelimo segment na dijelove tačkama x1,x2,x3... dakle

Označimo sa deltaX dužinu i-tog komada i sa maksimumom ovih dužina.

Odaberimo proizvoljno određenu tačku na svakom segmentu tako da (ona se zove “srednja tačka”) i sačinimo

veličina koja se zove integralni zbir

Hajde sada da pronađemo granicu

Definicija. Ako postoji i ne zavisi od

a) način podjele segmenta na dijelove i od

b) metoda za izbor sredine,

je definitivni integral funkcije f(x) nad segmentom .

Funkcija f(x) se u ovom slučaju poziva integrabilnom na intervalu. Veličine a i b nazivaju se donjom i gornjom granicom integracije.

50) Osnovna svojstva određenog integrala

1) Ako se interval integracije podijeli na konačan broj parcijalnih intervala, tada je definitivni integral uzet na intervalu jednak zbiru određenih integrala uzetih za sve njegove parcijalne intervale.

2) teorema srednje vrijednosti.

Neka je funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu ,m=min f(x) i M=max f(x), tada postoji takav broj

Posljedica.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na intervalu , tada postoji broj takav da.

3) Prilikom preuređivanja granica integracije, određeni integral mijenja predznak u suprotan.

4) Određeni integral sa istim granicama integracije jednak je nuli.

5) Integracija funkcijskog modula

Ako je funkcija f(x) integrabilna, tada je i njen modul integrabilan na intervalu.

6)Integracija nejednakosti

Ako su f(x) i q(x) integrabilni na intervalu i x pripada

To

7) Linearnost

Konstantni faktor se može uzeti izvan predznaka određenog integrala

ako f(x) postoji i integrabilno je na intervalu, A=const

Ako je funkcija y=f(x) kontinuirana na intervalu i F(x) je bilo koji od njenih antiderivata na (F’(x)=f(x)), tada vrijedi formula

Neka se izvrši zamjena x=α(t) da se izračuna integral neprekidne funkcije.

1) Funkcija x=α(t) i njen izvod x’=α’(t) su neprekidni za t koji pripada

2) Skup vrijednosti funkcije x=α(t) na t pripada segmentu

3) A α(c)=a i α(v)=b

Neka je funkcija f(x) kontinuirana na intervalu i ima beskonačan diskontinuitet na x=b. Ako granica postoji, onda se naziva nepravilnim integralom druge vrste i označava se sa .

Dakle, po definiciji,

Ako granica na desnoj strani postoji, onda je nepravilan integral konvergira. Ako navedena granica ne postoji ili je beskonačna, onda kažu da je integral divergira.

Preuzmite sa Depositfiles

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA

I. VEKTORSKA FUNKCIJA SKALARNOG ARGUMENTA

Vektorska funkcija (definicija 1.1), metode za njeno specificiranje.

Radijus vektor i hodograf, parametarska specifikacija hodografa.

Derivat vektorske funkcije (Definicija 1.6).

Geometrijsko značenje derivacije vektorske funkcije.

Pravila za diferencijaciju vektorskih funkcija.

1.1. DEFINICIJA VEKTORSKE FUNKCIJE

Definicija 1.1Ako je svaka vrijednost skalarnog argumentapodudarni vektor
trodimenzionalni prostor R 3 , onda kažu da je vektorska funkcija (ili vektorska funkcija) skalarnog argumenta data na skupu Xt .

Ako u svemiru R 3 naveden je kartezijanski koordinatni sistemO xyz , tada je zadatak vektorska funkcija
,
je ekvivalentno specificiranju tri skalarne funkcijeX( t ), y ( t ), z ( t ) – vektorske koordinate:

= { x ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

ili , (1.2)

Gdje
— vektori koordinatnih jedinica.

1.2. PROSTORNA PRAVA KAO HODOGRAF RADIJUS VEKTORA

Definicija 1.2 Ako je početak svih vektora ,postavljeni u ishodištu, nazivaju se radijus vektori.

Definicija 1.3 Prava koja je geometrijski lokus krajeva radijus vektora , , naziva se hodograf vektorske funkcije, a njihov zajednički početak je hodografski pol.

Ako je parametar t je vrijeme, a radijus vektor pokretne tačke, tada je hodograf funkcije putanja pokretne tačke.

Jednačina hodografa se može napisati u vektorskom obliku (1.2) ili u parametarskom obliku:

(1.3)

Konkretno, ako je vektorska funkcijas promjenom argumenta, mijenja se samo njegov modul, ali smjer se ne mijenja (), tada će hodograf takve vektorske funkcije biti pravolinijski zrak koji izlazi iz ishodišta; ako se promijeni samo smjer vektora, ali njegova veličina ostane nepromijenjena (
), tada će hodograf vektorske funkcije biti kriva koja se nalazi na sferi sa centrom na polu i radijusom jednakim konstantnom modulu vektora.

Slika 1.

1.3. GRANICA, KONTINUITET I DERIVAT VEKTORA–FUNKCIJE

Definicija 1. 4 Vector naziva se granica vektorske funkcijeat
, Ako

. (1.4)

Definicija 1.5 Poziva se vektorska funkcija kontinuirano u jednoj tačkit 0, ako ima ograničenje u ovoj tački jednako vrijednosti vektorske funkcije u ovoj tački:

. (1.5)

Definicija 1.6Derivat vektorske funkcije u tački t naziva se granica omjera prirasta vektorske funkcije i prirasta argumenta
at
:

(1.6)

1.4. GEOMETRIJSKO I MEHANIČKO ZNAČENJE PRVOG DERIVATA VEKTORSKE FUNKCIJE

Geometrijsko značenje prvog izvoda vektorske funkcije skalarnog argumenta je da je ovaj izvod novi vektor usmjeren tangencijalno na hodograf:
. Hajde da to pokažemo.

Slika 2

Pretpostavićemo da je hodograf razmatrane vektorske funkcije neprekidna linija koja ima tangentu u bilo kojoj tački.

Hajde da iznesemo argument t prirast, a zatim geometrijski omjer
je neki vektor
, koji leži na sekanti MM'. Kada se ovaj vektor rotira i pretvara u vektor
, koji leži na tangenti i usmjeren prema rastut . Dakle, vektor

(1.7)

će biti jedinični tangentni vektor orijentiran u smjeru povećanja parametrat .

Dakle, vektor
može se uzeti kao vektor smjera tangenta na krivu u tački ), (ili
), i napišite tangentnu jednačinu u obliku:

(1.8)

Ako t – vrijeme i — radijus vektor tačke
, krećući se u trodimenzionalnom prostoru, zatim okoodnos se zove prosječna brzina tačke na segmentu [t; t+t].

Mehaničko značenjeprvi izvod vektorske funkcije je da ovaj izvod predstavlja brzinu tačke M u ovom trenutkut :

Pravila za diferencijaciju vektorskih funkcija

Dokažimo pravilo 1 koristeći pravila za oduzimanje vektora i dijeljenje vektora brojem:

Dokaz preostalih pravila zasniva se na Pravilu 1 i pravilima za rad sa vektorima.

Primjer 1.1: Zadana je vektorska funkcija.Konstruirajte njegov hodograf i kreirajte jednačinu za njegovu tangentu u proizvoljnoj tački.

Rješenje. Za bilo koju tačku ( x , y , z ) hodografski vektor – funkcije koje imamo:x = acost ; y = asint ; z = bt a samim tim i za bilo koje
jednakost važix 2 + y 2 = a 2 , a generatriksa je paralelna sa osom Oz. Ako je parametar t interpretirano kao vrijeme, a zatim ravnomjernim kretanjem po kružnici projekcija kraja radijus vektora na ravanOxy njegova projekcija na osuOz kretat će se ravnomjerno i pravolinijski brzinomb . Drugim riječima, primjena hodografske točke vektorske funkcije raste proporcionalno kutu rotacije njene projekcije na ravanOxy . Stoga će željeni hodograf imati oblik prikazan na slici 3 i naziva se spiralna linija. Da bismo pronašli tangente na hodograf (zavojnu liniju), nalazimo derivaciju vektorske funkcije.

Rješenje. Pošto, onda