Возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил . Эпюра продольных сил необходима для оценки стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение ).
Как строить эпюру продольных сил?
Для построении эпюры N используется . Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).
Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении .
Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.
Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.
При этом применяем следующее : силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».
Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила кН растягивает верхнюю часть, а сила кН ее сжимает, то кН.
Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.
Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат.
Построение эпюр внутренних усилий (продольной силы)
Эпюрой называется графическое изображение закона изменения внутренних усилий по длине стержня.
Эпюры внутренних усилий строят для того, что бы определить опасные сечения стержня, т.е. сечения, в которых внутренние усилия достигают наибольших значений, поскольку существует большая вероятность наступления разрушения в этих сечениях.
Построение эпюры продольной силыПод действием внешних нагрузок, направленных вдоль оси стержня, или нагрузок, равнодействующая которых направлена также вдоль продольной оси, в поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила (N ). Такая деформация стержня называется осевое растяжение (сжатие).
Эпюрой продольной силы N называется графическое изображение закона её изменения по длине бруса.
Правило знаков:
Растягивающая продольная сила, т.е. направленная от сечения, считается положительной, а сжимающая, т.е. направленная к сечению - отрицательной.
Рис.2.1 Правило знаков
Величина и направление продольной силы в сечениях стержня определяются с помощь метода сечений (см. п. 1.3) .
Продольная сила в поперечных сечениях стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось стержня, приложенных к рассматриваемой отсеченной части.
Порядок построения эпюры продольной силы (N )
1. Изображается расчетная схема бруса с указанием численных значений приложенных нагрузок и геометрических размеров бруса.
2. Брус разбивается на участки, границами которых являются точки приложения сосредоточенных сил, а так же начало и конец распределенной нагрузки.
3. Для каждого участка из уравнения равновесия записывается аналитическое выражение продольной силы согласно (2.1) и вычисляются все её значения, необходимые для построения эпюры, обычно в начале и конце участка.
4. Проводится ось (база) эпюры, параллельно оси бруса. Значения продольной силы для каждого участка откладываются перпендикулярно оси в масштабе. Положительные значения выше оси, отрицательные – ниже.
5. На эпюре ставятся её знаки: «+» или «», она штрихуется прямыми параллельными линиями, перпендикулярными оси.
6. Проводится проверка правильности построения эпюры.
Для исключения ошибки при составлении уравнения равновесия следует неизвестное внутреннее усилие принимать всегда положительным, так как знак усилия, полученный из решения, позволяет установить, правилен ли был сделан выбор направления силы N , и какой вид деформации при этом возникает – растяжение, если значение N положительно, или сжатие, если отрицательно.
Пример №2.1 : Построить эпюру продольной силы для бруса жестко закрепленного левым концом, на который действуют осевые силы F 1 , F 2 , F 3 (рис 2.2) .
Рис. 2.2 Расчетная схема бруса
Внешние осевые нагрузки делят брус на три участка. Пронумеруем участки со свободного конца. Определим величину продольной силы с помощью метода сечений, а направление в соответствии с правилом знаков.
Эпюра строится под расчетной схемой. Проводится проверка правильности построения эпюры.
Рис. 2.3 К примеру №2.1. Эпюра продольной силы.
3. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ M , Q , N
3.1. Эпюра изгибающего момента M
Процедура построения ординат эпюры M
численное значение изгибающего момента в сечении.
2. Отложить найденное численное значение в виде ординаты перпендикулярно оси стержня со стороны растянутого волокна стержня .
Численное значение изгибающего момента в сечении равно численному значению алгебраической суммы моментов всех сил, действующих на стержневую систему с любой одной из сторон сечения , взятых относительно точки на оси сечения.
Как устанавливается растянутое волокно в сечении, продемонстрировано на примере консоли ломаного очертания при ее загружении тремя видами нагрузки (рис. 3.1). Ординаты соответствующих трех эпюр M построены на растянутой стороне стержней, образующих консоль.
Признаки правильного вида эпюры M
При указанном правиле построения ординат эпюры M эта эпюра имеет следующие свойства.
1. На участке прямого стержня, свободном от нагрузки, эпюра прямолинейна.
2. На участке распределенной нагрузки она очерчена кривой линией, выпуклой в сторону действия нагрузки. Когда нагрузка равномерно распределена, кривая является параболой второй степени.
3. В точке приложения сосредоточенной силы эпюра имеет излом, острие которого направлено в сторону действия силы.
4. В точке приложения сосредоточенного момента эпюра имеет скачок в ординатах, равный величине момента.
5. В сечении, находящемся на границе незагруженного участка стержня и участка, загруженного распределенной нагрузкой, кривая линия эпюры плавно (без излома) переходит в прямолинейную эпюру, которая является касательной
к криволинейному участку.
Эти свойства используют для контроля построенных эпюр M .
Правило знаков для ординат эпюр M
При построении ординат эпюры M со стороны растянутого волокна стержня вручную, знак ординаты не требовался. Однако при численном расчете на ПК, каждой ординате эпюры M присваивается знак. Используется знак эпюры M и при построении по ней эпюры Q .
В данном учебном пособии приводится правило знаков, принятое для ординат эпюр M в программе SCAD .
Если растянуто «нижнее» волокно стержня, то ордината откладывается от оси стержня «вниз» и ей присваивается знак «+ »
Если же растянуто «верхнее» волокно стержня, то ордината откладывается от оси стержня «вверх» и ей присваивается знак « – » (рис. 3.3).
«Нижним» волокном стержня в программе SCAD считается волокно стержневого конечного элемента (КЭ) типа «Стержень плоской рамы», находящееся со стороны отрицательных ординат оси Z1 местной системы осей координат (МСК), а «верхним» – со стороны положительных ординат оси Z1 (см. рис. 3.2, 3.3).
Примечание. При ручном подсчете алгебраической суммы моментов всех сил с одной стороны от сечения для определения изгибающего момента в сечении стержня, рекомендуется сразу ставить знаки слагаемых моментов в соответствии с этим правилом знаков. Тогда ордината изгибающего момента получится со своим знаком в соответствии с принятым правилом и может быть отложена от оси стержня по этому правилу.
Построение эпюры М на элементе стержня свободном от нагрузки
Из приведенных выше свойств эпюры M (признаков правильной эпюры)
известно, что е сли на конечном элементе стержня нет внешней нагрузки, то эпюра изгибающих моментов на нем будет прямолинейной. Для ее построения достаточно вычислить ординаты только в конечных сечениях такого элемента.
Примечание. В программе SCAD для получения ординат изгибающих моментов на КЭ загруженных распределенной нагрузкой «по умолчанию» может быть назначено вычисление для нескольких, например, трех сечений КЭ: в начале (н), в середине (с) и в конце (к) конечных элементов (начальное сечение «н» связано с началом оси X1 в МСК).
Тогда с целью сокращения выходных результатов для КЭ без нагрузки в их пределах
в разделе Назначения на инструментальной панели необходимо нажать кнопку «Назначение промежуточных сечений для расчета усилий». Откроется диалоговое окно «Вычисление усилий…..» (см. в программе SCAD справку к этому окну). В диалоговом окне на поле «количество сечений» вносится цифра 2. Далее надо закрыть окно и отметить конечные элементы на схеме стержневой системы, на которых ожидаются линейные эпюры M . Как это делается, показано в пособиях .
На рис. 3.2, 3.3 концевые сечения стержня обозначены узлами « н » и « к » МСК. После назначения для расчета усилий в отмеченных элементах только двух сечений, в программе SCAD в соответствующей таблице усилий будут выдаваться значения изгибающих моментов M н (M 1 ) и M к (M 2 ) только в узлах «н» (1) и «к» (2) (со своими
знаками в МСК).
При оцифровке ординат эпюры моментов, которая выполняется при нажатии кнопки
Фильтра отображения, в пределах каждого конечного элемента из указанных двух моментов (M 1 , M 2 ) приводится момент с максимальным значением.
Построение эпюры М на элементе стержня при действии по его длине равномерно распределенной нагрузки
Если по всей длине КЭ расположена равномерно распределенная нагрузка, то эпюра изгибающих моментов на нем будет иметь вид параболы с выпуклостью направленной в сторону действия нагрузки.
Примечание. В программе SCAD с помощью процедуры, которая только что была рассмотрена по назначению для вычисления изгибающих моментов только в двух сечениях КЭ, можно назначить вычисление моментов в ряде сечений между узлами « н » и « к » элемента в МСК.
Для приближенного построения параболы достаточно вычислить ординаты эпюры M в трех сечениях КЭ: в начале «н», в середине «с» и в конце «к». В результирующей таблице усилий программы SCAD эти сечения обозначены соответственно 1, 2, 3. В программе SCAD вычисление моментов в указанных сечениях может быть обеспечено по умолчанию. Однако, если по какой-то причине у расчетчика оказались известными только две ординаты эпюры M по концам элемента (M н и M к ), то можно легко вычислить
ординату M c в среднем сечении, применив принцип независимости действия сил.
Пример. Вырежем (по узлам «н» (1) и «к» (3) МСК) из стержневой системы элемент, загруженный равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 3.4,а ).
Рассмотрим его, как балку на двух опорах, под действием внутренних усилий по концам элемента и распределенной нагрузки (рис. 3.4,б ). Добавление указанных трех опорных связей не влияет на усилия в элементе, так как в вырезанном состоянии он находится в равновесии, поэтому в добавленных связях усилия (реакции) будут нулевыми.+ M c o .
Обе суммируемые ординаты в рассмотренном примере положительны, так как они расположены снизу от оси балки. На рис. 3.5 показан вариант, когда ордината
M c (лом) = 0.5(M н + M к ) отрицательна (ордината M c o = ql 2 / 8 при указанном направлении нагрузки q положительна). Здесь же приведен графоаналитический способ построения параболической эпюры по трем ее суммарным ординатам (M н , M с , M к ) и по трем
касательным к параболе в соответствующих концах ординат (отмечены крестиком).
Смысл этого графоаналитического способа будет понятен, если рассмотреть на рис. 3.4, г эпюру M (R ) треугольной формы, показанную штриховыми линиями. Эпюра
Все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых
наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижная опора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление , или заделка (рис.1,в).
В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.
2. Построение эпюр продольных сил Nz
Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.
Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - в противном случае.
Пример 1. Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).
Порядок расчета:
1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.
По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные - под осью.
3. Построение эпюр крутящих моментов Мкр .
Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.
Правило знаков для Мкр : условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным - в противном случае.
Пример 2. Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).
Порядок расчета.
Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил .
1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).
4. Правила контроля эпюр Nz и Мкр .
Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.
1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.
2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.
3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.
5. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой . В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора - Qy и изгибающий момент Mx .
Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.
Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде
Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.
Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде:
Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.
6. Консольные балки
При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.
Пример 3. Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).
Порядок расчета .
1. Намечаем характерные сечения.
epure - чертёж) - чертёж, на котором пространственная фигура изображена методом нескольких (по ГОСТу трёх, но не всегда) плоскостей. Обычно оно даёт 3 вида: фронтальную, горизонтальную и профильную проекции (фасад, план, профиль). Чертёж проецируется на взаимно перпендикулярные, а затем развернутые на одну плоскости.Энциклопедичный YouTube
-
1 / 3
Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, то есть возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путём простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур.
Будучи одним из министров в революционном правительстве Франции, Гаспар Монж много сделал для её защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке - начертательной геометрии , творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года (стенографическая запись лекций была сделана в 1795 году).
Система двух плоскостей проекции
В данном случае, для построения изображения в двух плоскостях проекций, горизонтальная плоскость проекций П 1 и фронтальная плоскость проекций П 2 совмещаются в одну, как показано на рис.1. В пересечении они дают ось проекций x и делят пространство на четыре четверти (квадранта).
