Natural ədədlər çoxluğu cisimlərin sayılması üçün istifadə olunan 1, 2, 3, 4, ... ədədlərindən ibarətdir. Bütün natural ədədlərin çoxluğu adətən hərflə işarələnir N :
N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .
Natural ədədlərin toplanması qanunları
1. İstənilən natural ədədlər üçün a Və b bərabərlik doğrudur a + b = b + a . Bu xassə toplamanın kommutativ qanunu adlanır.
2. İstənilən natural ədədlər üçün a, b, c bərabərlik doğrudur (a + b) + c = a + (b + c) . Bu xassə birləşmənin birləşmiş (assosiativ) qanunu adlanır.
Natural ədədlərin vurulması qanunları
3. İstənilən natural ədədlər üçün a Və b bərabərlik doğrudur ab = ba. Bu xassə vurmanın kommutativ qanunu adlanır.
4. İstənilən natural ədədlər üçün a, b, c bərabərlik doğrudur (ab)c = a(bc) . Bu xassə vurmanın birləşmiş (assosiativ) qanunu adlanır.
5. İstənilən dəyərlər üçün a, b, c bərabərlik doğrudur (a + b)c = ac + e.ə . Bu xassə vurmanın paylayıcı qanunu adlanır (toplamaya nisbətən).
6. İstənilən dəyərlər üçün a bərabərlik doğrudur a*1 = a. Bu xassə birə vurma qanunu adlanır.
İki natural ədədin toplanması və ya vurulmasının nəticəsi həmişə natural ədəd olur. Yaxud başqa cür desək, bu əməliyyatlar natural ədədlər çoxluğunda qalaraq yerinə yetirilə bilər. Bunu çıxma və bölmə ilə bağlı demək olmaz: məsələn, 3 rəqəmindən natural ədədlər çoxluğunda qalaraq 7 rəqəmini çıxmaq mümkün deyil; 15 rəqəmini 4-ə tam bölmək olmaz.
Natural ədədlərin bölünmə əlamətləri
Cəmin bölünmə qabiliyyəti. Hər bir hədd bir ədədə bölünürsə, cəmi həmin ədədə bölünür.
Məhsulun bölünmə qabiliyyəti.Əgər məhsulda amillərdən ən azı biri müəyyən ədədə bölünürsə, hasil də bu ədədə bölünür.
Bu şərtlər həm məbləğ, həm də məhsul üçün kifayətdir, lakin zəruri deyil. Məsələn, 12*18 hasili 36-ya bölünür, baxmayaraq ki, nə 12, nə də 18 36-ya bölünür.
2-yə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın. Natural ədədin 2-yə bölünməsi üçün onun son rəqəminin cüt olması zəruri və kifayətdir.
5-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın. Natural ədədin 5-ə bölünməsi üçün onun son rəqəminin 0 və ya 5 olması zəruri və kifayətdir.
10-a bölünmə qabiliyyətini yoxlayın. Natural ədədin 10-a bölünməsi üçün vahidlərin rəqəminin 0 olması zəruri və kifayətdir.
4-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın.Ən azı üç rəqəmi olan natural ədədin 4-ə bölünməsi üçün son rəqəmlərin 00, 04, 08 olması və ya bu ədədin son iki rəqəmindən əmələ gələn ikirəqəmli ədədin aşağıdakılara bölünməsi zəruri və kifayətdir. 4.
2-yə (9-a) bölünmə qabiliyyətini yoxlayın. Natural ədədin 3-ə (9-a) bölünməsi üçün onun rəqəmlərinin cəminin 3-ə (9-a) bölünməsi zəruri və kifayətdir.
Tam ədədlər dəsti
Mənşəyi nöqtədə olan ədəd xəttini nəzərdən keçirək O. Üzərindəki sıfır rəqəminin koordinatı nöqtə olacaq O. Verilmiş istiqamətdə say xəttində yerləşən ədədlərə müsbət ədədlər deyilir. Say xəttində bir nöqtə verilsin A koordinatı 3 ilə. O, müsbət rəqəm 3-ə uyğundur. İndi isə vahid seqmenti nöqtədən üç dəfə çəkək. O, verilənə əks istiqamətdə. Sonra mətləbi anlayırıq A", nöqtəyə simmetrikdir A mənşəyinə nisbətən O. Nöqtə koordinatı A"ədədi olacaq - 3. Bu ədəd 3 ədədinin əksidir. Verilənə əks istiqamətdə say xəttində yerləşən ədədlərə mənfi ədədlər deyilir.
Natural ədədlərə əks olan ədədlər ədədlər toplusunu təşkil edir N" :
N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .
Dəstləri birləşdirsək N , N" və singleton dəsti {0} , sonra bir dəst alırıq Z bütün tam ədədlər:
Z = {0} ∪ N ∪ N" .
Tam ədədlər üçün yuxarıdakı toplama və vurma qanunlarının hamısı doğrudur, natural ədədlər üçün də doğrudur. Bundan əlavə, aşağıdakı çıxma qanunları əlavə olunur:
a - b = a + (- b) ;
a + (- a) = 0 .
Rasional ədədlər toplusu
Tam ədədləri sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədə bölmə əməliyyatını mümkün etmək üçün kəsrlər təqdim olunur:
Harada a Və b- tam ədədlər və b sıfıra bərabər deyil.
Bütün müsbət və mənfi kəsrlərin çoxluğunu tam ədədlər çoxluğuna əlavə etsək, rasional ədədlər çoxluğunu alırıq. Q :
.
Üstəlik, hər bir tam ədəd də rasional ədəddir, çünki məsələn, 5 rəqəmi pay və məxrəcin tam ədəd olduğu formada göstərilə bilər. Bu, biri tam ədəd ola bilən rasional ədədlər üzərində əməliyyatlar yerinə yetirərkən vacibdir.
Rasional ədədlər üzərində arifmetik əməllərin qanunları
Kəsrin əsas xüsusiyyəti. Verilmiş kəsrin payı və məxrəci eyni natural ədədə vurularsa və ya bölünərsə, verilənə bərabər kəsr alırsınız:
Bu xassə fraksiyaların azaldılması zamanı istifadə olunur.
Kəsrlərin əlavə edilməsi. Adi fraksiyaların əlavə edilməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
.
Yəni müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplamaq üçün kəsrlər ortaq məxrəcə endirilir. Təcrübədə müxtəlif məxrəcli kəsrlər toplanarkən (çıxıldıqda) kəsrlər ən aşağı ortaq məxrəcə qədər azaldılır. Məsələn, bu kimi:
Eyni sayları olan kəsrləri əlavə etmək üçün, sadəcə olaraq, sayları əlavə edin və məxrəci eyni şəkildə buraxın.
Fraksiyaların vurulması. Adi fraksiyaların vurulması aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
Yəni kəsri kəsrə vurmaq üçün birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vurmaq və hasilini yeni kəsrin payına yazmaq, birinci kəsrin məxrəcini isə kəsrə vurmaq lazımdır. ikinci kəsrin məxrəcini yazın və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazın.
Bölmə fraksiyaları. Adi kəsrlərin bölünməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
Yəni kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikinci kəsrin məxrəcinə vurub hasilini yeni kəsrin payına yazmaq, birinci kəsrin məxrəcini isə kəsrə vurmaq lazımdır. ikinci kəsrin payını və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazın.
Kəsirin təbii göstəricisi olan qüvvəyə yüksəldilməsi. Bu əməliyyat aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
Yəni kəsri qüvvəyə qaldırmaq üçün pay o dərəcəyə, məxrəc isə o dərəcəyə qaldırılır.
Dövri onluq ədədlər
Teorem.İstənilən rasional ədəd sonlu və ya sonsuz dövri kəsr kimi təqdim edilə bilər.
Məsələn,
.
Ədədin onluq işarəsində onluq nöqtədən sonra ardıcıl təkrarlanan rəqəmlər qrupu dövr, qeydində belə dövrə malik sonlu və ya sonsuz onluq kəsr isə dövri adlanır.
Bu halda, istənilən sonlu onluq kəsr dövrdə sıfır olan sonsuz dövri kəsr hesab olunur, məsələn:
İki rasional ədədin toplanması, çıxması, vurması və bölünməsinin (sıfıra bölmədən başqa) nəticəsi də rasional ədəddir.
Həqiqi ədədlər toplusu
Tam ədədlər çoxluğu ilə əlaqədar nəzərdən keçirdiyimiz say xəttində rasional ədəd şəklində koordinatları olmayan nöqtələr ola bilər. Beləliklə, kvadratı 2 olan rasional ədəd yoxdur. Deməli, ədəd rasional ədəd deyil. Kvadratları 5, 7, 9 olan rasional ədədlər də yoxdur. Buna görə də , , , ədədləri irrasionaldır. Rəqəm də məntiqsizdir.
Heç bir irrasional ədəd dövri kəsr kimi təqdim edilə bilməz. Onlar dövri olmayan fraksiyalar kimi təmsil olunur.
Rasional və irrasional ədədlər çoxluğunun birliyi həqiqi ədədlər çoxluğudur R .
Sayılan çoxluq, elementləri natural ədədlərlə nömrələnə bilən və ya natural ədədlər çoxluğuna ekvivalent olan sonsuz çoxluqdur.
Bəzən natural ədədlər çoxluğunun hər hansı alt çoxluğuna bərabər kardinal çoxluqlar hesablana bilən adlanır, yəni bütün sonlu çoxluqlar da hesablana bilən sayılır.
Sayılan çoxluq "ən kiçik" sonsuz çoxluqdur, yəni istənilən sonsuz çoxluqda hesablana bilən alt çoxluq var.
Xüsusiyyətlər:
1. Sayılan çoxluğun istənilən alt çoxluğu ən çox hesablana biləndir.
2. Sonlu və ya sayıla bilən sayıla bilən çoxluqların birliyi hesablana biləndir.
3. Sonlu sayda hesablana bilən çoxluqların birbaşa hasilatı hesablana biləndir.
4. Sayılan çoxluğun bütün sonlu alt çoxluqlarının çoxluğu hesablana biləndir.
5. Hesablana bilən çoxluğun bütün alt çoxluqlarının çoxluğu davamlıdır və xüsusilə, sayıla bilməz.
Sayılan çoxluq nümunələri:
Sadə ədədlər Natural ədədlər, Tam ədədlər, Rasional ədədlər, Cəbri ədədlər, Dövrlər halqası, Hesablanan ədədlər, Arifmetik ədədlər.
Həqiqi ədədlər nəzəriyyəsi.
(Real = real - bizim uşaqlar üçün xatırlatma.)
R çoxluğu rasional və irrasional ədədlərdən ibarətdir.
Rasional olmayan həqiqi ədədlərə irrasional ədədlər deyilir
Teorem: Kvadratı 2 ədədinə bərabər olan rasional ədəd yoxdur
Rasional ədədlər: ½, 1/3, 0,5, 0,333.
İrrasional ədədlər: 2-nin kökü=1,4142356…, π=3,1415926…
Həqiqi ədədlərin R çoxluğu aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
1. Sifariş olunur: istənilən iki müxtəlif nömrə üçün a və b iki münasibətdən biri var a və ya a>b
2. R çoxluğu sıxdır: iki müxtəlif ədəd arasında a və b sonsuz sayda həqiqi ədədləri ehtiva edir X, yəni bərabərsizliyi ödəyən ədədlər a 3-cü mülk də var, amma çox böyükdür, bağışlayın Sərhədli dəstlər. Yuxarı və aşağı sərhədlərin xassələri. Məhdud dəst- müəyyən mənada sonlu ölçüyə malik çoxluq. yuxarıda məhdudlaşdırılır bütün elementləri aşmayan bir ədəd varsa: Həqiqi ədədlər toplusu adlanır aşağıda məhdudlaşdırılır, əgər nömrə varsa, belə ki, bütün elementlər ən azı: Yuxarıda və aşağıda məhdud olan çoxluğa deyilir məhduddur. Sərhədsiz çoxluğa deyilir limitsiz. Tərifdən göründüyü kimi, çoxluq yalnız və yalnız o halda qeyri-məhduddur yuxarıdan məhdudlaşmır və ya aşağıda məhdud deyil. Nömrə ardıcıllığı. Ardıcıllıq həddi. Lemma iki polis haqqında. Nömrə ardıcıllığıədəd fəzasının elementlərinin ardıcıllığıdır. Ya həqiqi ədədlər çoxluğu, ya da kompleks ədədlər çoxluğu olsun. Sonra çoxluğun elementlərinin ardıcıllığı çağırılır ədədi ardıcıllıq. Misal. Funksiya rasional ədədlərin sonsuz ardıcıllığıdır. Bu ardıcıllığın elementləri birincidən başlayaraq formaya malikdir. Ardıcıllıq limiti- bu, say artdıqca ardıcıllığın üzvlərinin yaxınlaşdığı obyektdir. Xüsusilə, ədəd ardıcıllıqları üçün hədd müəyyən bir nöqtədən başlayaraq ardıcıllığın bütün şərtlərinin yerləşdiyi hər hansı bir qonşuluqdakı ədəddir. İki polis haqqında teorem... Funksiya elədirsə ki, nöqtənin hər hansı bir qonşuluğunda olan hər kəs üçün və funksiyaları ilə eyni limiti var, onda funksiyanın eyni qiymətə bərabər limiti var, yəni. İngilis dili: Vikipediya saytı daha təhlükəsiz edir. Siz gələcəkdə Vikipediyaya qoşula bilməyəcək köhnə veb brauzerdən istifadə edirsiniz. Lütfən cihazınızı yeniləyin və ya İT administratorunuzla əlaqə saxlayın. 中文:
The 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。 İspan: Vikipediya daha çox yer tutur. Vikipediyaya daxil olmaq üçün heç bir məlumat əldə etmək üçün veb saytı istifadə etməkdən istifadə edin. Aktuallıq və ya məlumat idarəçi ilə əlaqə saxlayın. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés. ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ:
ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا. Français: Vikipediya və son saytın təhlükəsizliyini artırın. Vikipediyaya daxil olmaq üçün əlavə olaraq əlavə olaraq veb-navigatordan istifadə edə bilərsiniz. Merci de mettre à jour votre appareil ya da contacter votre administrateur informatique à cette fin. Əlavə məlumat əlavələri və texnikalar və ingilis dilini istifadə edə bilərsiniz. 日本語:
???す るか情報は以下に英語で提供しています。 Alman: Vikipediya Sicherheit der Webseite-ə daxil olur. Webbrowser-ə daxil olun, Vikipediyaya daxil olun. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator və. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise İngilis dili Sprache-də Du unten tapdı. İtalyanca: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Gələcəkdə Vikipediya ilə əlaqə saxlamaq üçün brauzerdən istifadə edin. İstədiyiniz halda, məlumat idarəçiliyi ilə əlaqə saxlayın. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico ingilis dilində. macar: Vikipediyaya daxil olun. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul). Svenska: Vikipediya gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. IT-administrator ilə əlaqə saxlamaq üçün yeniləmələr. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska langre ned. हिन्दी:
विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है। Təhlükəsiz TLS protokol versiyaları, xüsusən də brauzer proqramınızın saytlarımıza qoşulmaq üçün etibar etdiyi TLSv1.0 və TLSv1.1 üçün dəstəyi ləğv edirik. Buna adətən köhnəlmiş brauzerlər və ya köhnə Android smartfonları səbəb olur. Və ya bu, əlaqə təhlükəsizliyini faktiki olaraq aşağı salan korporativ və ya şəxsi "Veb Təhlükəsizliyi" proqram təminatının müdaxiləsi ola bilər. Saytlarımıza daxil olmaq üçün veb brauzerinizi təkmilləşdirməli və ya bu problemi başqa yolla həll etməlisiniz. Bu mesaj 1 yanvar 2020-ci il tarixinə qədər qalacaq. Həmin tarixdən sonra brauzeriniz serverlərimizlə əlaqə yarada bilməyəcək. Tərif:Çox Açağırdı bağlanıb
əməliyyatına nisbətən *, əgər bu əməliyyatın çoxluğun hər hansı elementlərinə tətbiqinin nəticəsidirsə A həm də çoxluğun elementidir A. (Hər hansısa a,bÎ A, a*bÎ A, sonra dəst Aəməliyyat altında bağlandı *) Çoxluğun əməliyyatla bağlı qapalı olduğunu sübut etmək üçün ya bütün halları sadalamaqla (misal 1b) bunu birbaşa yoxlamaq, ya da ümumi formada əsaslandırma aparmaq lazımdır (nümunə 2). Qapalılığı təkzib etmək üçün qapalılığın pozulmasını nümayiş etdirən bir misal göstərmək kifayətdir (nümunə 1a). Misal 1. Qoy A = {0;1}. a) * əməliyyatı üçün toplamanın (+) arifmetik əməliyyatını götürürük. Gəlin dəsti araşdıraq Aəlavə əməliyyatı ilə bağlı bağlama üçün (+): 0 + 1 = 1 О A; 0 + 0 = 0 О A; 1 + 0 = 1О A; 1 + 1 = 2 Ï A. Bizdə bir halda (1+1) çoxluğun elementlərinə (+) əməliyyatının tətbiqinin nəticəsi var. A dəstinə aid deyil A. Buna əsaslanaraq, setin olduğu qənaətinə gəlirik Aəlavə əməliyyatı altında bağlanmır. b) İndi * əməliyyatı kimi vurma (×) əməliyyatını götürək. 0×1 = 0 О A; 0×0 = 0 О A; 1×0 = 0 О A; 1×1 = 1 О A. Dəstin istənilən elementləri üçün A vurma əməliyyatının tətbiqinin nəticəsi də çoxluğun elementidir A. Beləliklə, A vurma əməliyyatı altında bağlandı. Misal 2. Dörd arifmetik əmələ görə 7-yə çoxlu olan tam ədədlər çoxluğunun qapalılığını tədqiq edin. Z 7 = {7n, nÎ Z
) – yeddiyə qat olan ədədlər toplusu. Aydındır ki Z
7 – bölmə əməliyyatı ilə bağlı bağlanmayıb, məsələn, 7 Î Z
7, 14 О Z
7 lakin 7: 14 = ½ Ï Z
7 . Çoxluğun qapalılığını sübut edək Z
7 əlavə əməliyyatı ilə bağlı. Qoy m, k– ixtiyari tam ədədlər, sonra 7 mÎ Z
7 və 7 kÎ Z
7. 7 cəmini nəzərə alın m+ 7 k= 7∙(m+ k). bizdə var mÎ Z
, kÎ Z
. Z
– Þ əlavəsi ilə bağlanmışdır m+ k = l – tam ədəd, yəni lÎ Z
Þ 7 lÎ Z
7 . Beləliklə, ixtiyari tam ədədlər üçün m Və k sübut etdi (7 m+ 7 k) Î Z
7. Buna görə də dəst Z
7 əlavə altında bağlanır. Çıxma və vurma əməliyyatlarına münasibətdə qapalılıq oxşar şəkildə sübut olunur (özünüz edin). 1.
a) cüt ədədlər çoxluğu (əks halda: 2-yə bölünən tam ədədlər çoxluğu( Z
2)); b) mənfi tam ədədlər dəsti ( Z
–); V) A = {0;1}; G) C= {–1;0;1}. 2.
Toplama, çıxma, vurma və bölmənin arifmetik əməliyyatları ilə bağlı qapalılıq üçün aşağıdakı çoxluqları yoxlayın: a) tək ədədlər toplusu; b) sonuncu rəqəmi sıfır olan natural ədədlər çoxluğu; V) B = {1}; G) D = {–1;1}. 3.
a) çoxlu N
natural ədədlər; b) çoxlu Q
rasional ədədlər; V) D = {–1;1}; d) tək ədədlər çoxluğu. 4.
Göstərici əməliyyatı ilə bağlı qapalılıq üçün aşağıdakı çoxluqları yoxlayın: a) çoxlu Z
tam ədədlər; b) çoxlu R
həqiqi ədədlər; c) cüt ədədlər toplusu; G) C = {–1; 0; 1}. 5.
Dəst olsun G yalnız rasional ədədlərdən ibarət olan , toplama altında bağlanır. a) G çoxluğunda 4 rəqəminin olduğu məlumdursa, onun tərkibində olan hər hansı üç ədədi göstərin. b) çoxluğun olduğunu sübut edin G 5 və 12 rəqəmlərini ehtiva edərsə, 2 rəqəmini ehtiva edir. 6.
Dəst olsun K yalnız tam ədədlərdən ibarət olan , çıxılma ilə bağlanır. a) Çoxluqda olan hər hansı üç rəqəmi göstərin K, əgər onun tərkibində 5 rəqəminin olduğu məlumdursa. b) çoxluğun olduğunu sübut edin K 7 və 3 rəqəmlərini ehtiva edirsə, 6 rəqəmini ehtiva edir. 7.
Təbii ədədlərdən ibarət olan və əməliyyat altında bağlanmayan çoxluğa misal göstərin: a) əlavə; b) vurma. 8.
4 rəqəmini ehtiva edən və əməliyyatlar altında bağlanan çoxluğa nümunə verin: a) toplama və çıxma;
