1 рода.
1.1.1. Определение криволинейного интеграла 1 рода
Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L). Пусть для любой точки кривой (L) определена непрерывная функция f(x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А=P 0 , P 1 , P n = В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.27)
Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму
Пусть , где .
λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L )на элементарные части, ни от выбора точек M i криволинейным интегралом 1 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по длине дуги) и обозначают:
Замечание . Аналогично вводиться определение криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой (L).
Физический смысл криволинейного интеграла 1 рода:
Если (L)- плоская кривая с линейной плоскостью , то массу кривой находят по формуле:
1.1.2. Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода:
3. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то .
4. Криволинейный интеграл 1 рода не зависит от направления интегрирования:
5. , где - длина кривой.
1.1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.
Вычисление криволинейного интеграла сводят к вычислению определенного интеграла.
1. Пусть кривая (L) задана уравнением . Тогда
То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Пример
Вычислить массу отрезка прямой от точки А(1;1) до точки В(2;4), если .
Решение
Уравнение прямой проходящей через две точки: .
Тогда уравнение прямой (АВ ): , .
Найдём производную .
Тогда . = .
2. Пусть кривая (L) задана параметрически : .
Тогда , то есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Для пространственного случая задания кривой: .Тогда
То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Пример
Найти длину дуги кривой , .
Решение
Длину дуги найдём по формуле : .
Для этого найдём дифференциал дуги .
Найдём производные , , .Тогда и длина дуги: .
3. Пусть кривая (L) задана в полярной системе координат: . Тогда
То есть дифференциал дуги вычислют по формуле .
Пример
Вычислить массу дуги линии , 0≤ ≤ , если .
Решение
Массу дуги найдём по формуле:
Для этого найдёмдифференциал дуги .
Найдём производную .
1.2. Криволинейный интеграл 2 рода
1.2.1. Определение криволинейного интеграла 2 рода
Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L) . Пусть на (L) задана непрерывная функция f (x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А = P 0 ,P 1 , P n = В в направлении от точки А к точке В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.28).
Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму , где - длина проекции дуги P i -1 P i на ось Оx . Если направление движения вдоль проекции совпадает с положительным направлением оси Оx , то проекцию дуг считают положительной , иначе - отрицательной .
Пусть , где .
Если существует предел интегральной суммы при λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L) на элементарные части, ни от выбора точек M i в каждой элементарной части, то этот предел называют криволинейным интегралом 2 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по координате х ) и обозначают:
Замечание. Аналогично вводится криволинейный интеграл по координате у:
Замечание. Если (L) - замкнутая кривая, то интеграл по ней обозначают
Замечание. Если на (L ) задано сразу три функции и от этих функций существуют интегралы , , ,
то выражение: + + называют общим криволинейным интегралом 2 рода и записывают:
1.2.2. Основные свойства криволинейного интеграла 2 рода:
3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода изменяет свой знак .
4. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то
5. Если кривая (L ) лежит в плоскости:
Перпендикулярной оси Ох , то =0 ;
Перпендикулярной оси Oy , то ;
Перпендикулярной оси Oz , то =0.
6. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).
1.2.3. Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода.
Работа А силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки М в точку N вдоль (MN ) равна:
1.2.4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводят к вычислению определенного интеграла.
1. Пусть кривая (L ) задана уравнением .
Пример
Вычислить, где (L )- ломаная OAB : O(0;0), A(0;2), B(2;4).
Решение
Так как (рис.29), то
1)Уравнение (OA) : , ,
2) Уравнение прямой (AB ): .
2. Пусть кривая (L) задана параметрически: .
Замечание. В пространственном случае:
Пример
Вычислить
Где (АВ)- отрезок от А(0;0;1) до B(2;-2;3).
Решение
Найдём уравнение прямой (АВ ):
Перейдём к параметрической записи уравнения прямой (АВ) . Тогда .
Точке A(0;0;1) соответствует параметр t равный: следовательно, t=0.
Точке B(2;-2;3) соответствует параметр t , равный: следовательно, t=1.
При перемещении от А к В ,параметр t меняется от 0 до 1 .
1.3. Формула Грина . L ) в т. М(х;у;z) с осями Оx, Оy, Oz
Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства..
Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода.
Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривой L: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.
Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).
1. Организуем разбиение области- дуги L на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А )
3. Построим интегральную сумму , где - длина дуги (обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.
Переходя к пределу при условии 
(условие В
), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:
.
Теорема существования.
Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.
Замечание. Предел этот не зависит от
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
1. Линейность
а) свойство суперпозиции
б) свойство однородности 
.
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность.
Если,
то =
+
3. .Здесь – длина дуги .
4. Если на дуге выполнено неравенство , то 
Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.
Заметим, что, в частности, возможно
5. Теорема об оценке.
Если существуют константы , что , то
Доказательство. Интегрируя неравенство 
(свойство 4), получим 
. По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.
6. Теорема о среднем (значении интеграла).
Существует точка 
, что 
Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань 
и верхняя грань 
. Выполнено неравенство . Деля обе части на L, получим 
. Но число 
заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве L, то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .
Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
Параметризуем дугу L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Пусть t 0 соответствует точке A, а t 1 соответствует точке B. Тогда криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному интегралу (
- известная из 1 семестра формула для вычисления дифференциала длины дуги):
Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовой линии: .
Криволинейный интеграл 2 рода.
Задача о работе силы.
|
| Какую работу производит сила F (M ) при перемещении точки M по дуге AB ? Если бы дуга AB была отрезком прямой, а сила была бы постоянной по величине и направлению при перемещении точки M по дуге AB, то работу можно было бы вычислить по формуле , где - угол между векторами. В общем случае эту формулу можно использовать для построения интегральной суммы, предполагая силу постоянной на элементе дуги достаточно малой длины. Вместо длины малого элемента дуги можно взять длину стягивающей ее хорды , так как эти величины – эквивалентные бесконечно малые величины при условии (первый семестр). |
1. Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А )
2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M i и вычислим в них значения функции
3. Построим интегральную сумму 
, где вектор, направленный по хорде, стягивающей -дугу .
4. Переходя к пределу при условии (условие В
), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы):
.
Часто обозначают
Теорема существования.
Пусть вектор - функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм.
.
Замечание. Предел этот не зависит от
Способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А
Выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,
Способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Свойства криволинейного интеграла 2 рода.
1. Линейность
а) свойство суперпозиции
б) свойство однородности 
.
Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность.
Если,
то =
+
.
Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L 1 , так и элементы L 2 . Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
3. Ориентируемость.
= -
Доказательство. Интеграл по дуге –L, т..е. в отрицательном направлении обхода дуги есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо стоит (). Вынося «минус» из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат.
Вычисление объема удобнее вести в цилиндрических координатах. Уравнение окружности, ограничивающей областьD , конуса и параболоида
соответственно принимают вид ρ = 2, z = ρ , z = 6 − ρ 2 . С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей xOz и yOz . имеем
6− ρ 2 |
||||
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z |
6 ρ − ρ 2 d ρ = |
|||
4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =
2 d ϕ = |
|||||||||||||||||
4 ∫ 2 (3 ρ 2 − |
∫ 2 d ϕ = |
32π |
|||||||||||||||
Если не учитывать симметрию, то |
|||||||||||||||||
6− ρ 2 |
32π |
||||||||||||||||
V = ∫ |
dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = |
||||||||||||||||
3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая. Интегралы такого рода называются криволинейными. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы по длине дуги и криволинейные интегралы по координатам.
3.1. Определение криволинейного интеграла первого типа (по длине дуги). Пусть функция f (x, y) определена вдоль плоской кусочно-
гладкой1 кривой L , концами которой будут точки A и B . Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками M 0 = A , M 1 ,... M n = B . На
каждой из частичных дуг M i M i + 1 выберем произвольную точку (x i , y i ) и вычислим значения функции f (x, y) в каждой из этих точек. Сумма
1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочногладкой кривой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.
n− 1 |
|
σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i , |
i = 0
где∆ l i – длина частичной дуги M i M i + 1 , называется интегральной суммой
для функции f (x , y ) по кривой L . Обозначим наибольшую из длин |
|||
частичных дуг M i M i + 1 , i = |
|||
0 ,n − 1 черезλ , то есть λ = max ∆ l i . |
|||
0 ≤i ≤n −1 |
|||
Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1) |
|||
стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугM i M i + 1 , |
|||
зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от |
|||
выбора точек (x i , y i ) , то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа (криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f (x , y ) по кривой L и обозначается символом ∫ f (x , y ) dl .
Таким образом, по определению |
||
n− 1 |
||
I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl. |
||
λ → 0 i = 0 |
||
Функция f (x , y ) называется в этом случае интегрируемой вдоль кривой L ,
кривая L = AB - контуром интегрирования, А – начальной, а В - конечной точками интегрирования, dl - элементом длины дуги.
Замечание 3.1. Если в (3.2) положить f (x , y ) ≡ 1 для (x , y ) L , то
получим выражение длины дуги L в виде криволинейного интеграла первого типа
l = ∫ dl.
Действительно, из определения криволинейного интеграла следует, |
||||
dl = lim n − 1 |
||||
∆l |
Lim l = l . |
|||
λ → 0 ∑ |
λ→ 0 |
|||
i = 0 |
||||
3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа |
||||
аналогичны свойствам определенного интеграла: |
||||
1 о . ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl. |
||||
2 о . ∫ cf (x , y ) dl = c ∫ f (x , y ) dl , где с - константа. |
||||
и L , не |
||||
3 о . Если контур интегрирования L разбит на две части L |
||||
имеющие общих внутренних точек, то
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.
4 о .Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, так как в формировании интегральной суммы (3.1) участвуют значения функции f (x , y ) в
произвольных точках и длины частичных дуг ∆ l i , которые положительны,
независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую – конечной, то есть
f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl . |
|||
3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа |
|||
сводится к вычислению определенных интегралов. |
|||
x= x(t) |
|||
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями |
y= y(t) |
||
Пустьα и β – значения параметра t , соответствующие началу (точка А ) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
концу (точка В ) |
[α , β ] |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x (t ), y (t ) и |
производные |
x (t), y (t) |
Непрерывны, |
f (x , y ) - |
|||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функций одной переменной известно, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = (x (t)) |
+ (y (t )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t)) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x (t ) |
+ (y (t )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3.1. |
Вычислить |
окружности |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x= a cos t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ t ≤ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y= a sin t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Так как x (t ) = − a sin t , y (t ) = a cos t , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dl = |
(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
и по формуле (3.4) получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Cos 2t )dt = |
sin 2t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a |
3 ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
πa 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
sin π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
L задана |
уравнением |
y = y(x) , |
a ≤ x ≤ b |
y(x) |
||||||||||||||||
непрерывна вместе со своей производной y |
(x ) при a ≤ x ≤ b , то |
|||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+ (y (x )) |
||||||||||||||||||||
и формула (3.4) принимает вид |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x)) |
||||||||||||||||||||
(y (x )) |
||||||||||||||||||||
L задана |
x = x(y), c ≤ y ≤ d |
x (y ) |
||||||||||||||||||
уравнением |
||||||||||||||||||||
непрерывна вместе со своей производной x (y ) при c ≤ y ≤ d , то |
||||||||||||||||||||
dl = |
||||||||||||||||||||
1+ (x (y )) |
||||||||||||||||||||
и формула (3.4) принимает вид |
||||||||||||||||||||
∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y) |
||||||||||||||||||||
1 + (x (y )) |
||||||||||||||||||||
Пример 3.2. Вычислить ∫ ydl, где L – дуга параболы |
2 x от |
|||||||||||||||||||
точки А (0,0) до точки В (2,2). |
||||||||||||||||||||
Решение . Вычислим интеграл двумя способами, применяя |
||||||||||||||||||||
формулы (3.5) и(3.6) |
||||||||||||||||||||
1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как |
||||||||||||||||||||
2x (y ≥ 0), y ′ |
||||||||||||||||||||
2 x = |
2 x , |
dl = |
1+ 2 x dx , |
|||||||||||||||||
3 / 2 2 |
||||||||||||||||||||
1 (5 |
3 2 − 1) . |
|||||||||||||||||||
∫ ydl = ∫ |
2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx = |
1 (2x + 1) |
||||||||||||||||||
2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как |
||||||||||||||||||||
x = 2 , x |
Y, dl |
1 + y |
||||||||||||||||||
y 1 + y 2 dy = |
(1 + y |
/ 2 2 |
||||||
∫ ydl = ∫ |
||||||||
3 / 2 |
||||||||
1 3 (5 5 − 1).
Замечание 3.2. Аналогично рассмотренному, можно ввести понятие криволинейного интеграла первого типа от функции f (x , y , z ) по
пространственной кусочно-гладкой кривой L :
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
α ≤ t ≤ β , то
dl = |
||||||||||||||||
(x (t )) |
(y (t )) |
(z (t )) |
||||||||||||||
∫ f (x, y, z) dl = |
||||||||||||||||
= ∫ |
dt . |
|||||||||||||||
f (x (t ), y (t ), z (t )) (x (t )) |
(y (t )) |
(z (t )) |
||||||||||||||
x= x(t) , y= y(t)
z= z(t)
Пример 3.3. Вычислить∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , где L – дуга кривой
x= t cos t |
0 ≤ t ≤ 2 π. |
|
y = t sin t |
||
z = t |
||
x′ = cost − t sint, y′ = sint + t cost, z′ = 1 , |
||
dl = |
(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt = |
|
Cos2 t − 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =
2 + t2 dt .
Теперь по формуле (3.7) имеем
∫ (2z − |
x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t − |
t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t ) |
2 + t 2 dt = |
|||||||||||||||||||
T 2 ) |
||||||||||||||||||||||
= ∫ |
t 2 + t |
dt = |
4 π |
− 2 2 |
||||||||||||||||||
цилиндрической |
поверхности, |
|||||||||||||||||||||
которая составлена из перпендикуляров к |
||||||||||||||||||||||
плоскости xOy , |
восстановленных в точках |
|||||||||||||||||||||
(x , y ) |
L = AB |
и имеющих |
||||||||||||||||||||
представляет собой массу кривой L , имеющей переменную линейную плотность ρ (x , y )
линейная плотность которой меняется по закону ρ (x , y ) = 2 y .
Решение. Для вычисления массы дуги AB воспользуемся формулой (3.8). Дуга AB задана параметрически, поэтому для вычисления интеграла (3.8) применяем формулу (3.4). Так как
1+ t |
dt , |
|||||||||||||||||||
x (t) = 1, y (t) = t , dl = |
||||||||||||||||||||
3/ 2 1 |
||||||||||||||||||||
1 (1+ t |
||||||||||||||||||||
m = ∫ 2 ydl = ∫ |
1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt = |
|||||||||||||||||||
(2 3 / 2 − |
1) = |
2 2 − 1. |
||||||||||||||||||
3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по |
||||||||||||||||||||
координатам ). Пусть функция |
f (x , y ) определена вдоль плоской |
|||||||||||||||||||
кусочно-гладкой кривойL , концами которой будут точки А и В . Опять |
||||||||||||||||||||
произвольным |
разобьем |
кривую L |
||||||||||||||||||
M 0 = A , M 1 ,... M n = B Так же выберем в пределах |
каждой частичной |
|||||||||||||||||||
дуги M i M i + 1 |
произвольную точку |
(xi , yi ) |
и вычислим |
Криволинейный интеграл 2-ого рода вычисляется так же, как криволинейный интеграл 1-ого рода сведением к определённому. Для этого все переменные под знаком интеграла выражают через одну переменную, используя уравнение той линии, вдоль которой производится интегрирование. а) Если линия АВ задана системой уравнений то
Для плоского случая, когда кривая задана уравнением Если линия АВ задана параметрическими уравнениями то
Для плоского случая, еслилиния АВ
задана параметрическими уравнениями , (10.6) где - значения параметра t, соответствующие начальной и конечной точкам пути интегрирования. Если линия АВ кусочно-гладкая, то следует воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла, разбив АВ на гладкие дуги. Пример 10.1
Вычислим криволинейный интеграл  . Сведём оба интеграла к определённым. Часть контура задана уравнением относительно переменной  . Воспользуемся формулой (10.4
), в которой поменяем ролями переменные. Т.е.
Для вычисления интеграла по контуру ВС перейдём к параметрической форме записи уравнения эллипса и воспользуемся формулой (10.6). Обратите внимание на пределы интегрирования. Точке Пример 10.2. Вычислим вдоль отрезка прямой АВ , где А(1,2,3), В(2,5,8). Решение
. Задан криволинейный интеграл 2-ого рода. Для вычисления необходимо преобразовать его в определённый. Составим уравнения прямой. Её направляющий вектор имеет координаты Канонические уравнения прямой АВ: Параметрические уравнения этой прямой: При Воспользуемся формулой (10.5) : Вычислив интеграл, получим ответ: 5. Работа силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки в точку вдоль кривой . Пусть в каждой точке кусочно –гладкой кривой . (10.7)
Таким образом, физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода Пример 10.3.
Вычислим работу, производимую вектором Решение . Построим заданную кривую как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 10.3).  .
Чтобы свести подынтегральное выражение к одной переменной, перейдём в цилиндрическую систему координат: Т.к. точка перемещается по кривой
Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции: ( - знак + указывает на то, что движение точки по контуру происходит против часовой стрелки) Вычислим интеграл и получим ответ: Занятие 11 . Формула Грина для односвязной области. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла (плоский и пространственный случаи). ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4. Практика : ОЛ-6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 илиОЛ-5 №№10.79, 82, 133, 135, 139. Домашнее здание к занятию 11 : ОЛ-6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 или ОЛ-5 №№ 10.80, 134, 136, 140 Формула Грина. Пусть на плоскости
Теорема
. Если функции
- формула Грина . (11.1) Обозначает положительное направление обхода (против часовой стрелки). Пример 11.1.
Используя формулу Грина, вычислим интеграл
 ,  ;  ,  . Функции и их производные непрерывны в замкнутой области, ограниченной данным контуром. По формуле Грина данный интеграл .
После подстановки вычисленных производных получаем
Проверим ответ, вычислив интеграл непосредственно по контуру как криволинейный интеграл 2-ого рода.
Ответ
: 2. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования . Пусть Имеют место следующие теоремы. Теорема 1
. Для того, чтобы интеграл Теорема 2.
. Для того, чтобы интеграл Таким образом, если выполняются условия независимости интеграла от формы пути (11.2) , то достаточно указать только начальную и конечную точки: (11.3) Теорема 3.
Если в односвязной областивыполняется условие , то существует функция Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла. Замечание.
Напомним, что равенство является необходимым и достаточным условием того, что выражение Тогда из выше сформулированных теорем следует, что если функции а) существует функция в) имеет место формула Ньютона – Лейбница . Пример 11.2
. Убедимся в том, что интеграл Решение. .
 Проверим выполнение условия (11.2) .  . Как видим, условие выполнено. Значение интеграла не зависит от пути интегрирования. Выберем путь интегрирования. Наиболее
простым путём для вычислений является ломаная линия АСВ , соединяющая точки начала и конца пути. (См. рис. 11.3) Тогда
3. Нахождение функции по её полному дифференциалу . С помощью криволинейного интеграла, который не зависит от формы пути, можно найти функцию Если функции Вычислим
 с конкретными координатами и точку с произвольными координатами. Вычислим криволинейный интеграл по ломаной, состоящей из двух отрезков прямых, соединяющих эти точки, причём один из отрезков параллелен оси , а другой – оси . Тогда . (См. рис. 11.4)
Уравнение . Уравнение . Получаем: Вычислив оба интеграла, получаем в ответе некоторую функцию . б) Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона – Лейбница. Теперь сравним два результата вычисления одного и того же интеграла. Функциональная часть ответа в пункте а) является искомой функцией Пример 11.3.
Убедимся в том, что выражение Решение.
Условие существования функции Как было сказано выше, функциональная часть полученного выражения и есть искомая функция Проверим результат вычислений из примера 11.2 по формуле Ньютона –Лейбница: Результаты совпали. Замечание. Все рассмотренные утверждения верны и для пространственного случая, но с большим количеством условий. Пусть кусочно-гладкая кривая принадлежит области в пространстве а) выражение является полным дифференциалом некоторой функции б) криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции в) имеет место формула Ньютона – Лейбница .(11.6 ) Пример 11.4
. Убедимся в том, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции Решение.
Для ответа на вопрос о том, является ли данное выражение полным дифференциалом некоторой функции Эти функции непрерывны вместе со своими частными производными в любой точке пространства . Видим, что выполняются необходимые и достаточные условия существования Для вычисления функции
 ,  .
Тогда
Здесь зафиксирован y
, поэтому В итоге получаем: . Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона-Лейбница. Приравняем результаты: . Из полученного равенства следует, что , а Занятие 12. Поверхностный интеграл первого рода: определение, основные свойства. Правила вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Приложения поверхностного интеграла первого рода: площадь поверхности, масса материальной поверхности, статические моменты относительно координатных плоскостей, моменты инерции и координаты центра тяжести . ОЛ-1 гл.6, ОЛ 2 гл.3, ОЛ-4§ 11. Практика : ОЛ-6 №№ 2347, 2352, 2353 или ОЛ-5 №№ 10.62, 65, 67. Домашнее задание к занятию 12: ОЛ-6 №№ 2348, 2354 или ОЛ-5 №№ 10.63, 64, 68. Вас может заинтересовать | ||||||||||||||||
(10.3)
криволинейный интеграл вычисляется по формуле: . (10.4)
(10.5)
, криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
вдоль контура, состоящего из части кривой от точки 
до 
и дуги эллипса 
от точки 
.
. После вычисления получим 
.
соответствует значение , а точке 
соответствует 
Ответ: 
.
.
.
, 
.
.
задан вектор, имеющий непрерывные функции-координаты: . Разобьём эту кривую на малых частей точками 
так, чтобы в точках каждой части 
значение функций 
можно было считать постоянными, а сама часть 
могла быть принята за отрезок прямой (см. рис. 10.1). Тогда 
. Скалярное произведение 
, на прямолинейный вектор перемещения численно равно работе, которую совершает сила при перемещении материальной точки вдоль 
. В пределе при неограниченном увеличении числа разбиений получим криволинейный интеграл 2-ого рода
- это работа, произведённая силой 
при перемещении материальной точки от А
к В
по контуру L
.
при перемещении точки вдоль части кривой Вивиани, заданной как пересечение полусферы 
и цилиндра 
, пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX.
.
, то удобно в качестве параметра выбрать переменную , которая вдоль контура меняется так, что 
. Тогда получаем следующие 
.При этом 
.
.
дана односвязная область , ограниченная кусочно- гладким замкнутым контуром . (Область называется односвязной, если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку этой области).
и их частные производные 
Г
, то
по контуру, состоящему из отрезков OA, OB
и большей дуги окружности 
, соединяющей точки A
и B,
если 
, 
, .
Решение
. Построим контур 
(см. рис.11.2). Вычислим необходимые производные.
. Двойной интеграл вычислим, переходя к полярным координатам: 
.
.
.
и 
- произвольные точки односвязной области пл. 
. Криволинейные интегралы, вычисленные по различным кривым, соединяющим эти точки, в общем случае имеют различные значения. Но при выполнении некоторых условий все эти значения могут оказаться одинаковыми. Тогда интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек.
не зависел от формы пути, соединяющего точки и , необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.
по любому замкнутому контуру был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции 
такая, что . (11.4)
непрерывны в замкнутой области Г
, в которой даны точки 
, и , то
не зависит от формы пути, и вычислим его.
.
, во-первых, не зависит от формы пути и, во-вторых, может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница.
.
является полным дифференциалом некоторой функции 
точку 
. Составим и вычислим интеграл по ломаной АСВ,
где 
:
.
. Тогда, если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области , в которой даны точки 
и , и 
(11.5
), то
,
, . (См. (11.5)
) ; 
; ; 
; 
; 
.
, 
, 
, ч. т. д.
- начало пути, а некоторая точка 
- конец пути.
Вычислим интеграл
по контуру, состоящему из отрезков прямых, параллельных координатным осям. (см.рис.11.5).
.
, x
здесь зафиксирован, поэтому 
,
.
